Обобщенное решение задачи о теплопроводности круглой плоской пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.048.37 С. В. Анаников

ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КРУГЛОЙ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Ключевые слова: теплопроводность, тепловой поток, граничные условия, температурное поле.

В работе решается задача о теплопроводности круглой тонкой пластины при переменном во времени и вдоль радиальной координаты тепловом потоке, перпендикулярном поверхности пластины, а также при переменной во времени температуре на радиальной границе пластины. Начальная температура пластины зависит от радиальной координаты. Задача решается в цилиндрической системе координат.

Keywords: heat conduction, heat stream, boundary conditions, field of temperature.

Jn article task of unstable heat conduction for circular thin plate is solved. Variable for time and along radial coordinate heat stream towards perpendicular plane surface of plate is taken in consideration. Temperature on radial boundary ofplate is function of time. Initial temperature ofplate also is function of radial coordinate. Problem is taken consideration in cylindrical coordinates.

Как отмечается в работе [1] для решения целого ряда обратных задач теплопроводности требуется накопление банка базовых решений прямых задач теплопроводности для тел различной конфигурации. Одной из таких прямых задач является задача о теплопроводности тонкой круглой пластины при наиболее общих граничных условиях, необходимая при разработке датчиков для измерения температур в исследуемых объектах.

Физическая постановка задачи

Дана круглая тонкая пластина радиуса Я , толщиной I. Начальная температура пластины - / (г). В момент времени т = 0 пластина начинает подвергаться воздействию теплового потока д(г, т), направленному перпендикулярно плоскости пластины. На границе пластины радиуса Я задана температура стенки - Тст (т), причем всегда Тст > /(г).

Температура по толщине пластины принимается постоянной, вследствие её малой толщины и высокой теплопроводности материала, из которого изготовлена пластина. При этом тепловой поток учитывается в уравнении энергии как положительный источник тепла [2].

Требуется найти поле температур в пластине. Математическая постановка задачи

ЗТМ = a 2

дт

д 2T (r,T) 1 дТ (r ,т)

dr2

- + —

r dr

q(r,T)

(1)

T(r,0) = f (r), 0 < r < R.

T(r,T) = Тст (т), т> 0,

дТ (0,т) = 0,

dr

Т (0,т)

Ф ж,

т > 0, т > 0 .

c pi 0 <т< R, т > 0, (2)

(3)

(4)

(5)

Для решения задачи вводится новая переменная в(г,т) = Т (г,т) + Тст (т) . (6)

Подстановка (6) в (1) - (5) позволяет получить

de{r,T) | dTrn (т) = дт dT

2

= a 2

д 2e(r,r) 1 дО(,т)

дг2 r дr 0(r,0) = f (r) - Тст (0),

0(r,T) = 0, дф,т) = 0,

дr

0(0,т)

q(r,T)

cpi '

Ф ж.

(7)

(8) (9)

(10) (11)

Задача (7) - (11) решается с использованием конечного интегрального преобразования Ханкеля [2]

Он (Pm = jre(r,T) J0 (Pmr)dr .

(12)

Здесь Рт = , мт - корень уравнения Я

(Мт) = 0, (13)

т = 1,2,3,...

Преобразование отдельных членов уравнения (7) с учетом граничных условий (9) - (11) позволяет последовательно получить Я ( ) Я

Н^о (Рт г) = -Tjв(г,т)гJo (Рт Г) = 00 = 3вн (Рт ,т) дт '

(Щ1*1 Щ^г; 0 (Pmr ) =

0 дг2 r дr

= RJ0 (Pm R))TRll - Pi Он (Pm, t) = -Pm Он (Pm, т),

дr

j «P-rJ 0 (Pmr ) =

J c pi

c pi

p-t j q(TJ0 (Pmr )r.

c pi

Преобразование начального условия (8) дает

R

Он P ,0)=f0(r,0)rJ 0 (PmT )dr = 0

R

ff (r )- Tcm (o)]r J0 (Pmr )r . 0

Таким образом, необходимо решить обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами и с начальным условием

+ a 2 Pfa (Pm ,m) =

dz

R R d ()

= -Lfq(r,m)rJo(Pmr)dr-J^IdMrJo(Pmr). (14) c p 0 o m

R

Он (Pm ,0)= Jf (r)-Tcm (0)]r J0 (Pm r ) . (15)

0

Решение задачи (14) - (15) в форме Коши дает

R

Он (Pm, m) = e-a2P m J f (r )r J0 (Pm r d -0

22R

- Tcm (0)e-a2P mf rJ0 (Pmr)dr +

cpi .

T R

PJ Jq(r,t)rJ0(Pmr)dr

a2p2m (T_t)dt _

J JrJ0(Pmr)

dTст (t) e_a2Pm (T_t)dt dt '

(16)

После вычисления интеграла "fr J 0 (Pmr) -

Pm

0m

выражение (16) приобретает вид

f

вн (Pm , t) - e_a2P T J f (r)r J0 (Pm r)dr -

_ Tcm (0) fJ1(Pmf ) e_a2Pi T +

P

■l гу1

c pi.

T f

P J J q(r,t)rJ0 (Pmr)dr

~a 2 pm (T_t )dt _

_ RJl(Pmf ) J dTrn (t) e

_a Pm (T_t)

Pm

ст\1/ e~ a dt

'dt.

(17)

Возвращение в пространство оригиналов с помощью формулы обращения [2]

e(r T)-JL Y J0 (Pmr) в (P T)

e(r'T f 2 m=1 Jl2 (Pmr) {Pm 'T).

с учетом выражения для Pm и (6) дает

(18)

T(r,T)- Тст (t) + ~2 Y

~ 2J0I Mmr\ _aalÄ

f

R2 m-1 J12 C"m )

f ( Г \

: J f (r )rJ0 (Mm R Jdr _ Тст (0)

Y

2J0I Mm^ \

f

- MmJ1(Mm)

К 2c pi

» 2J0[Mmf №

«YJrfJJ q( t )>

m-1 J1\T m)

0

0

x rJ 0| Mmf \dr

22 a Mm

(T_t)

f 2 dt _

~ 2J01 Mm — \T dT (,) _ aT_t)

Y ( R J J dTст (() e f2 T t)dt . m-1 MmJ1(Mm) J ' '

dt

(19)

Выражение (19) полностью удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и условиям (2) - (5). Это решение обобщает множество задач для исходного дифференциального уравнения (1). Возможны любые сочетания граничных условий: Тст(г), Тст = const, Tq = f (r), To = const, q(r), q(r), ч(г,г), q = const. Поскольку выражение (19) получено в общем виде и определенные интегралы для различных функциональных зависимостей Тст(г), Tq(r), q(r,r) представлены в окончательном решении задачи (а не в промежуточных вычислениях), то указанное решение всегда может быть доведено до числа либо путем аналитического, либо путем численного "взятия" указанных интегралов.

Вывод

В результате решения начально-краевой задачи (1) - (5) получено обобщенное аналитическое решение для нестационарного температурного поля в круглой пластине при произвольных тепловом потоке q(r,r), температуре на радиальной границе пластины - Тст (г), начальном условии Tq (r).

Обозначения

r, z - цилиндрические координаты, м; Т (r, г) - текущая температура пластины, K; Тст (г) - температура стенки на радиальной границе пластины, K;

R - внешний радиус пластины, м; £ - толщина пластины, м;

c - удельная теплоёмкость пластины, Дж/(кг-К);

р - плотность материала пластины, кг/м3;

q(r,z) - тепловой поток, падающий на пластину,

Вт/м2;

г

f

e

Т

1

R

x

m

e

+

+

e

а - коэффициент температуропроводности пластины, м2/с;

в(г,т) - преобразованная текущая температура пластины, К;

вн (Рт, т) - преобразованная по Ханкелю температура пластины, К-м2; т - время, с;

Мт - положительные корни уравнения Jо (мт) = 0, безразмерные;

J0 (РтЯ), J0 (мт) - бесселевы функции первого рода действительного аргумента нулевого порядка, безразмерные;

Jl(PmR), Jl(мm) - бесселевы функции первого рода действительного аргумента первого порядка, безразмерные.

Литература

1. Анаников С.В. Об одной обратной задаче теплопроводности / С.В. Анаников // Вестник Казанского технологического ун-та.- 2014.- 17, № 21.- с. 85-88.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.- М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, профессор кафедры химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.

© S. V. Ananikov - Doctor of Technical of Science, professor of Department of Chemical cybernetics KNRTU, ananikovsv@rambler.ru.