Об одной прямой задаче теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.048.37 С. В. Анаников

ОБ ОДНОЙ ПРЯМОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Ключевые слова: температурное поле, тепловой поток, граничные условия, теплопроводность.

В работе решается задача о теплопроводности круглой тонкой пластины при переменных во времени тепловом потоке, падающим перпендикулярно поверхности пластины, и температуре на круглой границе пластины. При этом принимается постоянной начальная температура пластины. Задача решается в цилиндрической системе координат.

Keywords: field of temperature, heat stream, boundary conditions, heat conduction.

In article is solved task of unstable heat conduction for circular then plate. Js taken in consideration variable for time heat stream towards perpendicular plane surface of plate. Variable for time is also temperature on radial boundary of plate. Constant initial temperature of plate is taken in consideration. Task is solved in cylindrical coordinates.

В статье [1] изучалась простейшая обратная задача теплопроводности для круглой тонкой пластины в условиях постоянства теплового потока, падающего перпендикулярно поверхности пластины, и температуры на круглой границе пластины. Задача решалась путем обращения прямой задачи теплопроводности, что оказалось возможным для рассмотренных в ней условий.

Обычно такой простой путь решения обратной задачи является больше исключением, нежели правилом.

Во многих случаях не всегда удается получить аналитическое решение даже прямой задачи, ввиду сложности граничных условий и ряда других факторов. Однако всегда для решения обратных задач требуется получить решение прямой задачи аналитическим или численным методами, а затем одним из итерационных методов возвратится к решению обратной задачи.

В любом случае для решения конкретных обратных задач требуется располагать наиболее востребованными для этих целей решениями прямых задач теплопроводности. В связи с изложенным очевидна необходимость накопления банка базовых решений для тел различной конфигурации, которые будут использованы в дальнейшем.

Выбор круглой тонкой пластины в качестве предмета математического моделирования обоснован в цитируемой выше работе [1] необходимостью разработки датчиков для измерения температур в различных точках исследуемого объекта.

Физическая постановка задачи

Дана круглая тонкая пластина радиуса К , толщиной £ . Начальная температура пластины - То. В момент времени т = 0 пластина начинает подвергаться воздействию переменного во времени теплового потока д(т), направленному перпендикулярно плоскости пластины. На границе пластины радиуса К задана переменная во времени температура стенки -Тст (т). При этом всегда Тст (т) > То. Температура по толщине пластины принимается постоянной, вследствие малости её толщины и высокой теплопроводности материала, из которого изготовлена пластина. При этом тепловой поток вводится в уравнение теп-

лопроводности в качестве положительного источника тепла [2].

Требуется найти поле температур в пластине. Математическая постановка задачи

дТ(т1 = a2

дт

д 2T (г,т) +1 дТ (,т) r

dr

2

dr

c pi

0 <т< R, т> 0, T(r,0) = Т0, 0 < r < R , T М= Тст (т), т> 0,

дТ (0,т) 0 0

—= 0, т> 0,

dr

ф Ц. 1У1 yvilivilim Л4Ди XXX IJUV^Il А V.

Т(г,т) = Тст (т) + F(тК {"m rJ =

(6)

(1)

(2)

(3)

(4)

Т(0,ж)* ж, т > 0. (5)

Для решения задачи вводится новая переменная

г

К

где мт - положительные корни уравнения

1о (мт) = 0. (7)

Введение в (6) функции Бесселя первого рода нулевого порядка совместно с (7) позволяет одновременно удовлетворить условиям (3) - (5) задачи (1) -

(5). При этом условие (5) может быть удовлетворено в предположении ограниченности функции Тст (т) и Г(т) при т ^ ж.

Теперь следует продифференцировать выражение

(6) по т и г и подставить эти производные в (1) с тем, чтобы решить вновь полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно единственной переменной т.

В самом деле

щт== Тт т)+Г'(т) о {»тК ) ,

д 2Т (r,z)

dr 2

F (т)

f J [" r )+f JVmR -RT J 0 l"mR J + ^ -

Здесь JxlfnR

бесселева функция первого рода первого порядка действительного аргумента. Произ-

водные по г получены с использованием соотношений для функции Бесселя [3].

После подстановки вычисленных производных в (1) и некоторых преобразований с использованием условия (2), получена задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

2 2

F '(r) + ^F (г)

2

R

F (0) = -

„mJ1(„m )

Т " Tcm (0)].

г)

с pi

- T' (г)

(8)

(9)

„mJ1(„m)

Следует заметить, что появление в (8), (9) ком-обусловлено необходимостью при

плекса

2

И -А {Ип

таком методе решения задачи использования известного разложения единицы в ряд по функциям Бесселя в (1), (2) (использование тождественной единицы) в виде

'-Г

2JоI „—

R

т= Ит^т) без знака суммы, который, естественно, будет учтен в окончательном решении задачи. Здесь /ит определяется из того же уравнения (7).

Решением задачи (8), (9) в форме Коши будет

F (г) = -

2

„

Jl(Mm)

2 2 а Km

[[о - Tcm (0)]e R2 +

о

q(()

с pi

Тст (()

2 2 а Km

(г-t)

dt

(10)

Использование (6), (10) позволяет получить частное решение задачи (1) - (5)

г

Т (,г) = Тст Г)+ -

2 J01 Ит TT

R

J\(„m)

„

2 2 а Ит

[[0 - Тст (0)]е R +

^ - Т;т (()

С pi

22 а Ит

(г-t)

Rz dt

(11)

Общее решение задачи (1) - (5) можно записать в более удобном для проверки выполнения начального и граничных условий в виде

<» 2J 01 „m R I

Т(,г) = Тст (г) +Г „ J („ ) [Т0 - Тст (0)]>

=1 „mJ1(„m)

х exp

( 2 2 j а „m г

R2 г

2J 0

Г „mJ1(„m)

q(t)

с pi

-Т' (()

1 ст V /

exp

2 2 а „m

' R2

(г-1)

dt.

(12)

Решение (12) удовлетворяет всем условиям задачи, то есть дифференциальному уравнению (1) и условиям (2) - (5).

Вывод

В результате решения начально-краевой задачи (1) - (5) получено относительно простое общее аналитическое выражение для температурного поля в круглой пластинке Т (г, г) при произвольных зависимостях теплового потока д(г) и температуры на круговой границе Тст (г) во времени.

Обозначения

г, г - радиальная и осевая координаты цилиндрической системы координат, м; Т (г, г) - текущая температура пластины, К; Тст (г) - температура стенки на круговой границе пластины, К;

Я - наружный радиус пластины, м; £ - толщина пластины, м;

с - удельная теплоёмкость материала пластины, Дж/(кг-К); р - плотность материала пластины, кг/м3;

д(г) - тепловой поток, падающий на пластину, Вт/м2;

а2 = - коэффициент температуропроводности пла-

с Р стины, м2/с;

Я - коэффициент теплопроводности , Вт/(м-К); г - время, с;

Ит - положительные корни уравнения Jo (¡лт ) = 0 , безразмерные;

/ г '0\НтЬ и00\ И-тЯ

действительного аргумента нулевого порядка, безразмерные;

J\ (ит ) - бесселева функция первого рода действительного аргумента первого порядка, безразмерная;

Е'(г) = ^ ; с1г

Т, (г)= СТст (г) 1ст\1) , •

сг

puj J

J00 („m ), J0 | „m Rj - бесселевы функции первого рода

Литература

1. Анаников С.В. Об одной обратной задаче теплопроводности / С.В. Анаников // Вестник Казанского технологического ун-та.- 2014.- 17, № 21.- с. 85-88.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.- М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт.- М.: Наука, 1964.- 228 с.

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.

© S. V. Ananikov - Doctor of Technical of Science, professor of Department of Chemical cybernetics KNRTU, ananikovsv@rambler.ru;

г

X

2

г

2

R

+

e

T

+

e

+