CC BY
12
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 66.048.37
С. В. Анаников, И. В. Логинова
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Ключевые слова: теплопроводность, тепловой поток, граничные условия, температурное поле.
В работе решается задача о теплопроводности круглой тонкой пластины при переменных во времени тепловом потоке, перпендикулярном поверхности пластины, и температуре на её радиальной границе. При этом начальная температура пластины зависит от её радиальной координаты. Задача решается в цилиндрической системе координат.
Keywords: heat conduction, heat stream, boundary conditions, field of temperature.
Jn article task of unstable heat conduction for circular thin plate is solved. Variable for time heat stream towards perpendicular plane surface of plate and also temperature on radial boundary of plate is taken in consideration. Initial temperature ofplate is function of radial coordinate. Problem is taken consideration in cylindrical coordinates.
Как отмечается в работе [1] при решении обратной задачи теплопроводности необходимо располагать решением прямой задачи теплопроводности. Поэтому накопление банка базовых решений уравнений теплопроводности для тел различной конфигурации представляется проблема актуальной. Выбор круглой тонкой пластины в качестве предмета исследования обоснован в цитируемой выше работе необходимостью разработки датчиков для измерения температур в различных точках изучаемого объекта.
Физическая постановка задачи
Дана круглая тонкая пластина радиуса Я , толщиной I. Начальная температура пластины - /(г). В момент времени г = 0 пластина начинает подвергаться воздействию переменного во времени теплового потока д(т), направленному перпендикулярно плоскости пластины. На границе пластины радиуса Я задана температура стенки - Тст (г), причем всегда Тст > / (г) .
Температура по толщине пластины принимается постоянной, вследствие её малой толщины и высокой теплопроводности материала, из которого изготовлена пластина. При этом тепловой поток учитывается в уравнении теплопроводности в качестве положительного источника тепла [2].
Требуется найти поле температур в пластине.
Математическая постановка задачи
дТ&1 = а 2
дт
d 2T (r
т) +1 дик
т)
dr2
dr
q(T)
cpl
0 <z< R,z > 0,
T (r,0) = f (r), 0 < r < R. T(r,t)_ Тст (4 т> 0,
(1)
(2) (3)
дТ (0,т) n
-_ 0, Г > 0 ,
dr
T (0,т)*к, т > 0. Производится замена T (г,т)_0(г,т) + Tcm (т).
(4)
(5)
(6)
Тогда после соответствующих преобразований вместо исходной системы (1) - (5) можно получить
д0{г,г) , ¿Тст(г) =
дт dr
2
_ a 2
d 200т) 1 d0(r,T)
dr2
dr
д(т)
cpl
0(r,0) = f (r )-TСт (0), 00R,r)_ 0,
d0(0,T)_ 0,
dr
0(0, т)* к.
(7)
(8) (9)
(10) (11)
Задача (7) - (11) будет решаться с использованием конечного интегрального преобразования Ханкеля [2]
0н (Pm ,т)_{ Г0(г,т) J 0 (Pmr )dr
(12)
m
где Pm _-R-,/j.m - положительные корни уравнения
J 0 (Pm)_0 m _ 1,2,3,...
Преобразование отдельных членов дифференциального уравнения (7) позволяет получить следующие результаты
I
8 2в(г,-) 18в{г,т) дг2 г дг
г./0 (ртг Уг =
= Я/0 р Я)8^^ - рт вн {Рт ,-) = -рт вн {Рт ,-) .(I4)
дг
В соотношении (14) было учтено условие (10) и характеристическое уравнение (13).
г/0{Рт гУг = д-^Мг/0{Рт г)*■ = 0 0
= ёвн {Рт — ; йт
Я
I йТст г/0 {р г)йг = Ырт*) ; (16)
1 йт йт Рт
0
я Я
1ГЗ 0 {Ртг )йг = Ц | Г/0 {Ртг )йг =
1 СО £ СО £1
00 = Ц шРтЯ)
Ср1 Рт '
(17)
В выражениях (16), (17) интеграл взят из [3]. Подставив выражения (14) - (17) в (7), можно получить
йвн {Рт+ а 2 Р20{Р -) = ти 1тин {1 т , )
й
_Я/Г{Ртг )
Р
-1 ГУ}
Ч(т) йТст{т)
с р £ йт
(18)
и соответственно преобразовать начальное условие
Он {Рт ,0) = {[/{г) - Тст {0)]г /0 {Рт г)йг . (19)
Задача (18), (19) есть задача с начальным условием для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Решение данной задачи в форме Коши будет выражение
Я
вн {Рт, т) = е- - 2Р т I /{г) г /0 {Рт г)йг -
- Тст {0) Я/1{РтЯ) е-« 2+
т
1_ Ш^и ) I ф )е-и2 рт т-г )Л -
с ^ £ I
Я/1{РтЯ ^ йТст {г) е-и 2 Рт (т-г)Л (20)
Рт 1 ж . ( )
Теперь следует возвратится к переменной в{г, т) с помощью формулы обращения. Формула обращения для конечного интегрального преобразования Ханке-ля, согласно [2], имеет вид
вМ = Я2 ¿/#4^-). (21)
К т=1/1 {,т г)
На основании (20), (21) с учетом выражения для Рт можно получить
1 °°
(15) вм=--22:
2.01 Пт— ] - "ЯП -
Я 2 т=1 {пт )
е ^ х
I/{г) г/0 [ Пт Я )йг - Тст {0)
I
г \ „2.2
2. 01 ^Я )- ^ - 1
е к +-х
= Пт/1{Пт) СР£
- 2. 0 \М тЯ - - ^ т)
X / ПIФ Я 2 йг -
I г Л 2 2
- 2. 0 \м т— К ™ (Л - и т-г) X У Я) Г йТст [I) е Я 2 1
Пт.1{Пт) 1 й1
^ йг
(22)
И, наконец, на основании (6) окончательно можно получить
1
Т {г, т) = Тст {-) +
2/0 \ Пт Я ] - "Ят -
ех
Я т=1 .1 {пт)
Я ( Л - 2/0 т Я I /{г)г /0 [ Пт Я \йг - Тст {0^^-^^ х
22 и М-т
хе +
Я) ^ т= Пт.1{Пт)
( г Л 2 2
- 1 ^2/0 ^ т^ \- - -)
СР£ Пт/1{Пт) I г Л 2 2
- 2.0 ^^ \ Г ™ Л\ - " --1)
-X У , Я) е —2 . (23)
Решение (23) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), а также условиям (2) - (5).
х
X
х
+
Вывод
В результате решения начально-краевой задачи (1) - (5) получено аналитическое выражение для нестационарного температурного поля в круглой пластинке Т(г, г) при произвольных зависимостях теплового потока д(т) и температуры на радиальной границе Тст (г) от времени при переменном начальном условии Т0 (г).
Обозначения
г, г - цилиндрические координаты, м; Т (г, г) - текущая температура пластины, К; Тст (г) - температура стенки на радиальной границе пластины, К;
Я - внешний радиус пластины, м; £ - толщина пластины, м;
с - удельная теплоёмкость пластины, Дж/(кг-К);
р - плотность материала пластины, кг/м3;
д(г) - тепловой поток, падающий на пластину, Вт/м2;
а2 - коэффициент температуропроводности пластины, м2/с;
в(т,т) - преобразованная текущая температура пластины, K;
вн (Pm, т) - преобразованная по Ханкелю температура пластины, K-м2; г - время, с;
ßm - положительные корни уравнения J0 (jum ) = 0, безразмерные;
J0 (¡лт ), J0 j - бесселевы функции первого
рода действительного аргумента нулевого порядка, безразмерные.
Литература
1. Анаников С.В. Об одной обратной задаче теплопроводности / С.В. Анаников // Вестник технологического унта.- 2014.- 17, № 21.- с. 85-88.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.- М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.
© С. В. Анаников - д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru; И. В. Логинова - к. х. н., доц. кафедры химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.
© S. V. Ananikov - Doctor of Technical of Science, professor of Department of Chemical cybernetics KNRTU, anani-kovsv@rambler.ru; 1 V. Loginova - candidate of chemical of science, associate professor of Department of Chemical cybernetics KNRTU, ananikovsv@rambler.ru.
