Поле температур в гидролизере идеального вытеснения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.872: 661.241.093.8

С. В. Анаников, Р. Т. Валеева, Е. А. Харитонов, М. С. Нурсубин, В. В. Галеева

ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР В ГИДРОЛИЗЕРЕ ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ

Ключевые слова: гидролиз, теплопроводность, поле температур, граничные условия, собственные значения, собственные

функции.

В работе решается нестационарная задача о поле температур в цилиндрическом гидролизере проточного типа. Рассматривается уравнение энергии в движущейся среде с источниковым членом, зависящем от времени. Учитывается перенос тепла теплопроводностью в радиальном направлении, теплопроводностью и конвекцией в осевом направлении. Решение проводилось методом расщепления на две задачи и преобразования Лапласа по времени для обеих задач. В результате получены теоретические решения для поля температур в горизонтальном гидролизере в зависимости от координат и времени.

Keywords: hydrolysis, field of temperature, heatconduction, boundary conditions, own meanings, own functions.

In article is solved unstable task for field of temperature into cylindrical hidrolyser where flow substance. Is resolved equation of energy in moving stream with source member. It take into account transfer heat of heatconduction along radical coordinate and of heatconduction and convection in axisal direction. Solution received of methods splitting of task on two task and laplace's transformation for time's coordinate. In result founded theoretical solutions for field of temperature into horisontalhidrolyser where flow substance.

В работе [1,2] рассматривается аналогичная задача без учёта теплопроводности в направлении аксиальной координаты. В ряде случаев при малых скоростях перемещения реагирующей смеси теплоперенос конвекцией становится соизмеримым с теплопереносом теплопроводностью. Поэтому пренебрегать теплопроводностью, в аксиальном направлении становится некорректно.

В этом случае в уравнении энергии следует учитывать вторую производную температуры по осевой координате. В связи с изложенным в данной работе можно опустить физическую постановку задачи, которая приведена в [1], и сразу записать математическую формулировку. Следует отметить, что задача решается как для полубесконечного цилиндрического тела.

Математическая постановка задачи

ат(г,г,т) ат(г,г,т)

■+ 1У

ат

а2т(г, z,x)

Эг2

+

дг

1 dT(r,z,x) г Эг

+

а2т(г, z,x)

дг2

w(-t)

+ сР'

x>0,0<r<R,0<z<« T(r, z,0) = T0, 0< r<R, z>0, T(R, z,r) = Тст, 0< z <«, T >0, t(0,z,t) Ф«, 0 < z< «, т >0, т(г,0 ,т) = T0, 0<r< R, T >0 ат(г, «,т)

az

= 0,0<r<R,x>0.

+

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

я

Здесь обозначено: a.* =--коэффициент

,2 _

рс

температуропроводности смеси; X, С, р -коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность смеси соответственно.

Задача (1) -(6) неоднородна, так как неоднородно само уравнение и неоднородны

начальные и граничные условия. Она будет решаться с помощью метода редукции, то есть путем расщепления её на две задачи, поскольку дифференциальное уравнение (1) линейно. После этого общее решение задачи (1) -(6) будет найдено при помощи суперпозиции полученных решений.

Если положить Т(г*,т)= Тх(г,ж,т) + Т2(г,^т), (7)

то можно получить две задачи «2 [2"

ЭТцг.г.х) , m3Ti(r,z,x)__2 [8fTi(w) 1 ОТ, Гг,/,х;

--h V--а. I-^--I----h

0т 6z L дг* г 6г

дг2 J' т>0, 0< r <R, 0<z<<x>, Т (r, z,0) = T0, 0< r <R, 0< z<», Tj(R,z,r)=TCT, 0<z < oo, т > 0, Tj (0,z,r) Ф«, 0<z<«, т > 0, T1(r,0,x) = T0,0<r<R,t>0,

ат(г, z,x)

= 0,0<r<R,T>0

ax

aT2(r,z,x) , 3T2(r,z,x) ■ + V- -

ax

az

f

azT2(r,z,x) + 1 8T2(r,z,x) +

dr2

dr

+

r,z,x)]. w(x)

2 J CP ,

9z2 J cp

т>0, 0< r <R, 0< z<(X) T2 (r, z,0) = 0, 0< r<R, 0<z <», T2 (й, z,r) = 0, 0< z <<»,, т >0, T2 (0,z,r) Ф«, 0< z<»,, r > 0, T2 (r,0 ,t) =0, 0<r<«, т> 0,

3T2(r,ra,x)_

az

=0, 0<r<R,T >0.

(8)

(9)

(10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Задача (14) - (19) имеет всего одну неоднородность в самом дифференциальном уравнении и, следовательно, может быть решена одним из известных приёмов или методов.

Рассматривается задача (8) - (13).

Для уменьшения числа неоднородностей в граничных условиях, вводится безразмерная температура

= Тст-Т1(г,г,т)

Тст-То . (20)

0(r, z, т) :

Тогда (8) - (13) примет вид

ае(г,гд) , ав(г, ■+ V

ах

=а2

дх I

а/0(г,г,х) ^ 1 80(г,г,х) ^

аг2

аг

+

д2в(г,г,х)

дг2

0(г^,0) = 1, 0< г <К, 0< z<да, z,т) = 0, 0< z<да, т > 0, ,т) Ф -оо, 0< z<<x), Т > 0, в(г,0,т) = 1,0<г <К, т >0, дв(г,о, т)

аг

= 0,0<г<К,т> 0.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

К (21) -(26) применяется одностороннее преобразование Лапласа по времени, что позволяет уменьшить количество независимых переменных на единицу, то есть уменьшить размерность решаемой задачи. 0ь(г,2,т) = Ь[0(г,2,т)] =

= /0°° в(г, г, т) е""йт[3]. (27)

Здесь знак Ь означает операцию преобразования по Лапласу, s- параметр.

Применение преобразования (27) к задаче (21) - (26) дает

ае^г^)

= а

дг

д2в[1(г,г,5)

дг2

+

+ дв[1(г,г,з) + 920(г,2, в)

дг дг2

0<г<Я , 0<г<о, в^К,^) = 0,0<г<о, вь(0, г, в) Ф -о, о < г < о, 1

©¿(г,0,5) = -,0<г<К, Э0ь(г, о, в)

дг

= 0,0<г<о.

Для решения задачи (28) - (32) подбирается функция в^г,^) = ^^(Кл),

III к

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

удовлетворяющая одновременно условиям (29), (30), если /ит- положительные корни уравнения Зо(Мт) =0. (34)

Известно, что все корни уравнения (34) являются действительными и положительными

[4].

В (33) - бесселева функция

первого рода действительного аргумента нулевого порядка.

Теперь следует продифференцировать соотношение (33) по г и ъ и подставить эти производные в (28) с тем, чтобы решить вновь полученное обыкновенное дифференциальное относительно единственной координаты ъ.

В самом деле двь(г,г,8) ^ ^ ( гч цп

дг

дг2

■= (ип

+

Я

эеь(г,2,5) дг

дХ(г,^)

= FL(z,s)Jo

дz2 -=Р"(2,5)50

Здесь первая и вторая производные по г от функции 30 (^т") получены на основании [4].

Подстановка этих производных в (28), после некоторых преобразований с использованием условия (31), приводит к задаче

(35)

(36)

Л2 ^От) 1 2 Рь(0,з) = -•

Аг

= 0.

(37)

Следует отметить, что появление в (35),

2

(36) комплекса --обусловлено

необходимостью использования известного разложения единицы в ряд по функциям Бесселя в (28), (31) (то есть представлением тождественной единицы) в виде

1

■1=

т=1

ЛОт)

без знака суммы, который, естественно, будет учтен в окончательном решении задачи. Здесь корень уравнения (34).

Решение однородного уравнения (35) пока без использования условий (36), (37) и без правой части дает

^(г, в) = Схехр

( \

V2 +4 а4 + + V

2а2

+

+С2ехр

V2 +4я4 + - ^ \ г

2а2

(38)

)

Применение к (38) метода вариации произвольной постоянной с использованием уравнения (35) и граничных условий (36), (37) позволяет получить окончательное решение задачи (35) - (37)

^(2,5)=- '

хехр

+

2 а2 4

+

хехр

2л2

(39)

Подстановка (39) в (33) дает частное решение задачи (28) - (32) в пространстве изображений

, , 1 0ь(г,г,8) = „ „ 2--

(тЫ

1

Н— ехр

ехр

2 а2 5

+

2я2 3

(40)

Обратный переход от изображений в пространство оригиналов выполняется с помощью таблиц преобразования Лапласа [3-7].

Первый член в правой части выражения (40) имеет табличное изображение

4-в

= е

И2

(41)

Здесь /г1 означает операцию обратного перехода по Лапласу, то есть от изображения к оригиналу.

Прежде чем перейти к оригиналам для второго и третьего членов в изображении (40), необходимо предварительно преобразовать имеющеюся там экспоненциальную функцию

ехр

2а2

(луъ\ ехП^)ехР

N

я2\ 4я2 + К2

(42)

Тогда на основании (42) переход к оригиналу следует выполнить для второго и третьего членовв(40) от изображений, записанных в виде

ехр

и2

И2

е 2л2 егГс

а*

4 а2

+

+е 2а2егГс

ехр

"2 ■- + а т

Аа2

(43)

и2

+ о2 -1

1 )„ И2

2

егГс

а'

N

(4д2+ Я2

+ ^

2(ТТ2 +

хегГс

~2 ■" + а т

М

■ + ■

4я2 Я2

Тогда на основании (40) - (44) будет

получено общее решение задачи (21) - (26)

• -1ГП / м пг \ Тст— Т-^г, г, т) Ь 1[0Ь(Г,2,5)] — 0 (Г, Ъ, т) = -----=

14 Г., Л..1

1ст *0

^(Цт)

1 ъ2 1

Я2 Т ^

хегГс< - —

2 а2&

(4д2+ К2

х +

, а2\4а^ И2 .

+ П Х ' X

хегГс

ъ2 1

а2 т

М

2 я2ц2

V

4 а2 Я2

■ + ■

Или окончательно в размерной ( решение задачи (8) - (13) Т1(г,г,т)= Тст - (Тст -Т0) х

> —

т=1

^(Цт)

е к2 + (Тст - То) X

( Л

КкК к2

Л(Цт) 2

¡егГс

1

- X 2

ъ2 1 ,0-2 4Я2 Т

г2 1 Я2 X ,0-2 4Я2 Т

„ Цт^1(Цт) 2

т=1

хегГс

+е

1 г2 1

я2 т

Ц*2 ' к2 / ' X

хегГс

а2 +

М

-И"2

■ +

4 а2 К2

(46)

Решается задача (14) - (19) применением преобразования Лапласа по времени ![Т2(г,2,т)] =Ть(г,:г,5)

= [ Т2(г, г, т)е~БТйт. (47) ¿о

Тогда вместо (14) - (19) можно получить

эть(г,2,5) 2[а2ть(г,2,5)

sT.fr, г, в) + V---= ат

1ЭТь(г,2,5) а2Ть(г,2,5) г Эг дг2

дг2

+

+

+

[

-'о

СР

Т^г^) = 0,0 < г < со, Г^О,^) ^ То, о < г <а>, 7^,0, ж) = 0,0 <г<К,

---=0,0<г<то.

дг

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

Вновь принимается ТЬ(Г,2,5) = ^,5)30 (Цт]£),

где положительные корни уравнения (34).

Подставка (53) в (48) - (52), как и при решении предыдущей задачи, даёт

[

-'о

^(0,5) = 0,

х)

-1

ср

= о.

В (54) дополнительный

(54)

(55)

(56) комплекс

—^—-—- появился в результате использования

а М-тЛ(Мт)

тождественной единицы, как и в предыдущей задаче, умноженной на последний интегральный член в (48).

Решение задачи (54) - (56) с использованием вариации произвольных постоянных в результате довольно рутинных

преобразований приводит к соотношению 2

л- О! ■>0

ср

гdт

2ехр

2 л2

"'О

рс

(57)

Теперь на основании (53) с учетом (42) при использовании оператора Ь~1 получается обобщенное решение задачи (14) - (19), удобное

для обратного перехода в пространство оригиналов при конкретном значении -ш'(т) 1"1[Г1(г,2,5)] = Т2(г,г,т)

-I

Х< 1Г

ГИШе-кйт

■'О рс

е^2 х

XI

-1

(58)

Таким образом, на основе (7), (46) и (58) получается обобщенное решение исходной задачи (1) - (6), пригодное для любых законов изменениям (т) Т(г,2,т) = Тст-(Тст

т=1

230

-5-1

2 2

_

е к2

К2 ' +

1 г2 1 -и-2

а2 4л2 1

+ е«2ег/с

а2 т

Если рассмотреть алгоритм перехода к оригиналам для изображений в соотношении (58) для Т2 (г, z, т) или то же самое, что в последней сумме соотношения (59), то его можно представить в следующей последовательности: - задать вид зависимости-ш^т);

- произвести интегрирование потв интервале от 0 до м (переход к изображению);

- преобразовать, в случае необходимости, полученные изображения для их приведения к табличным (переход к оригиналам);

- перейти к соответствующим оригиналам от полученных изображений;

при невозможности непосредственного перехода к оригиналам - представить сложное изображение в виде произведения более простых изображений, оригиналы, которых являются табличными, а затем произвести свертку оригиналов для перемножаемых изображений и найти соответствующий оригинал; не исключено применение и других известных теорем операционного исчисления, а также, в наиболее сложных случаях, выполнение комплексного интегрирования.

Теперь остается привести пример перехода к оригиналу для конкретной зависимости w(t) в решении (59). Для этого необходимо преобразовать фигурную скобку в последней сумме этого решения.

Пусть например, w(t) = ш = const,

тогда

rdx

рс

wR2

- i-i

w

рс s(s + ^)

pc a?y?m

1-е R2

(60)

Г-е-Мх -jii,

J0 рс \„т

;214Я2 + R2

XnL R^ J

= — L_1 PC

Вводятся обозначения:

(s + ^p2*)

(61)

fl(s) = f2(s) =

„2„2

находятся оригиналы для изображений f1 (s),f2 (s); L_1[fi(s)] = F1(x) = i<e R2 x

xerfc

1 z2 1

Я2 4 J

|

4я2 R2

+

+ e^4a2 R2 ^ xerf(;

Я2 T

w

2

4я2 R2

Согласно (41) будет

= F2(x) = e r2 .

Использование теоремы о свертке оригиналов [2] дает возможность получить

f1(s)-f2(s) = F1(x)*F2(x) =

= f F1(t)F2(x-t)dt. (63)

■>о

На основании (41), (61) - (63) получается

Г-e—dx

J° ос la^ Aa2 r2 J

M

xerfc

| а-2У2т 4 a2 R2

+e^2 4*2 r2 x

z2 1 a2't +

v2 а2У1г 4 a2 R2

хе"^"^.

(64)

Использование (60), (64) в (59) позволяет получить окончательное решение задачи при -Ш = const

T(r,z,x) = Tcm-(Tcm-T0)x

x A ^

m=l

„у Цтт

—+(Ttm-T„,x

„

m=l

Om)

erfc

z2 1

Л^ X

\

4я2

+ e«2erfc ~ 2J,

z2 1

"2 " + Я2 X

4я2

. ч V R) — 1

-(Tcm-T0)> —A—S^.-x

m=l

У^'ЙЛ-е- 3

^ Mm^lOrn) V

_ -nr j^L

2 1 |--e2a2 x

cp

у Гт1|

A ^m^l(^m) Jo 2 I

erfc

m=l

- X 2

z2 1 Я2 ' t

\

|

4л2 R2

, a2\4a2 R2 ,

xerfc

z2 1

я2 t

| а2У2т 4л2 R2

xe"

dt.

Итак, имея обобщенное решение (59) можно получить из него общие решения при любом законе изменения -ш^т). В частности, если положить -ш(т) = 0, то есть в отсутствие источника, то температура определится по выражению (46), уже пригодному для непосредственного использования.

Литература

1. С.В. Анаников, Р.Т. Валеева, Е.А. Харитонов ,М. С. Нурсубин, В.В. Галеева, Вестник Каз. технол. ун-та, 17, 24, 99 - 104, (2014).

2. И.В. Логинова, В.М. Емельянов, Р.Т. Валеева, С.Г. Мухачев, Вестник Каз. технол. ун-та, 15, 12, 102 -104, (2012).

3. Г. Дёч, Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, ГИФМЛ, Москва-Ленинград,

1958, 208с.

4. А.В. Лыков, Теория теплопроводности, Высшая школа, Москва, 1967, 600с.

5. В.А. Диткин, П.И. Кузнецов, Справочник по операционному исчислению, ГИГГЛ, Москва-Ленинград, 1951, 256с.

6. М.И. Конторович, Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических целях, ГИГГИ, Москва, 1955, 228с.

7. А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах, Высшая школа, Москва, 2001, 445с.

© С. В. Анаников - д.т.н., профессор кафедры химической кибернетики КНИТУ; Р. Т. Валеева - канд. техн. наук, доцент кафедры химической кибернетики KHHTyvalrt2008@rambler.ru; Е. А. Харитонов - канд. техн. наук, доцент кафедры химической кибернетики КНИТУ; М. С. Нурсубин - канд. техн. наук, доцент кафедры Информатики и прикладной математики КНИТУ; В. В. Галеева - студентка гр. 6101-11 каф. химической кибернетики КНИТУ.

© S. V. Ananikov - Ph.D., Professor of Department of Chemical Cybernetics, KNRTU; R. T. Valeyeva - candidate of technicalsciences, associate professor; department of chemical cybernetics, KNRTU, valrt2008@rambler.ru; Y. A. Kharitonov -candidate of technical sciences, associate professor; department of chemical cybernetics, KNRTU; M. S. Nursubin - candidate of technical sciences, associate professor, department of computer science and applied mathematics, KNRTU; V. V. Galeeva - student, Department of Chemical Cybernetics, KNRTU.