CC BY
39
ПРОБЛЕМЫ НЕФТЕДОБЫЧИ, НЕФТЕХИМИИ, НЕФТЕПЕРЕРАБОТКИ И ПРИМЕНЕНИЯ НЕФТЕПРОДУКТОВ
УДК 544.35.03:665.7
С. В. Анаников
МОДЕЛЬ АДСОРБЦИИ СЕРНИСТЫХ СОЕДИНЕНИЙ ИЗ НЕФТЯНЫХ МАСЕЛ В НЕПОДВИЖНОМ СЛОЕ
Ключевые слова: модель, адсорбция, нефтяные масла, массоперенос, преобразование Лапласа, энергоресурсосбережение.
В статье рассматривается модель адсорбции сернистых соединений на алюмосиликатах из трансформаторного масла при его производстве или регенерации с учетом продольной диффузии. Решение получено методом преобразования Лапласа. Оно может быть распространено на аналогичные задачи при кусочно-линейной аппроксимации нелинейной изотермы адсорбции. Представленное решение позволяет более точно рассчитать параметры процесса. Это позволит сэкономить затраты материальных и энергетических ресурсов, то есть использовать энерго- и ресурсосберегающие технологии.
Keywords: model, adsorption, petroleum oil, masstransfer, transformation of Laplace, resource and energy-saving technologies.
In the article is described model of adsorption of sulphurous compounds out of transformer oil when it produced or regenerated. It is taked into consideration masstransfer with calculation longitudinal diffusion (masstransfer). Solution of the task was obtained by method transformation of Laplace and can be disseminate on analogy task at part-linear approximation unlinear isotherm of adsorption. Presented solution do possible more precise calculate parameters of process and economize expenses material and energy resources, in another way use technologies of resource and energy-saving.
В настоящей работе аналитически решается задача динамики адсорбции с использованием линейной изотермы адсорбции общего вида. Эту работу следует рассматривать в контексте развития темы, представленной в [1]. Здесь, однако, проводится решение более сложной задачи, в которой учитывается также и продольная диффузия, то есть наряду с внешним рассматривается внутренний массопере-нос.
История вопроса описана в цитируемой выше работе.
Заметим, что описание процесса адсорбции в неподвижном слое базируется на уравнениях баланса массы целевого компонента для бесконечно малого элемента слоя, кинетики адсорбции, уравнении изотермы адсорбции.
Математическая постановка задачи
Система дифференциальных уравнений, описывающих динамику адсорбции в одномерном потоке с учетом продольной диффузии, имеет вид [2,3].
дСм ( Т) + ядСа (Х Т) + W дСм (Х Т) _
Сa (x, О) _ О, x > О,
См(О,т)_ СО т> °.
дСм(”, т) _О, т>О.
дг
Уравнение изотермы адсорбции
Са _ асм - B.
(4)
(5)
(6)
(7)
Здесь Са (х,т) - концентация адсорбированного вещества в сорбенте в сечении х в момент времени т;
См (х,т)- концентрация адсорбтива в потоке на расстоянии х в момент времени т ;
Ж - скорость потока; к - коэффициент мас-сообмена;
- коэффициент продольного перемеши-
вания;
_(1 -є)
- коэффициент; є - доля сво-
дт дт
_ D д2°м ^ т)
l дx2 ,
дт
x > О, т > О
дCa (x, т)
дт
+ k
См (x, т)- см (Ca )
x > О, т > О,
См(х, О) _ О, x > О,
(1)
(2)
(3)
бодного сечения адсорбента (постоянная по объему порозность неподвижного слоя).
*
См - концентрация целевого компонента (сернистых соединений) в потоке(масле) равновесная со средним содержанием адсорбтива Са в слое.
Первые два слагаемых уравнения (1) представляют собой скорость изменения массы целевого компонента в зазорах между частицами и внутри частиц соответственно. Третье слагаемое соответствует приращению количества целевого компонента за счет конвективного переноса со скоростью потока.
є
Слагаемое в правой части уравнения (1) учитывает изменение массы целевого компонента за счет продольного перемешивания (обратный заброс). Следовательно уравнение (1) представляет связь между концентрациями целевого компонента в дисперсной фазе в неподвижном слое и в потоке сплошной среды в любой момент времени и в любом сечении этого слоя.
Краевые условия (3)-(6) выражают следующее.
В начальном сечении колонки в произвольный момент времени т концентрация целевого компонента постоянна и равна С0: условие (5); в начальный момент времени т _ 0 колонка свободна от адсорбируемого вещества: условия (3), (4); концентрация целевого компонента в любой момент времени т на бесконечности (х ^ да) должна быть равна нолю.
Подстановка в (2) С*м из (7) дает
С„ (х, т) - £аМ - В
дСа (х т) = к дт
А
А
(2а)
Преобразование (1) с учетом (2а) приводит к дифференциальному уравнению
дСм (х т) + Ж дСм (x, т) = 0 д2см (х т) -
' 1 дх2
дт
дх
-8к
См(x, т) -
Са (х,т) В
А
А
(1а)
Применение преобразования Лапласа
ю
ь[См(х, т) = Е(х, 5) = ^См(х, т)е-5тСт,
0
ю
ьСа (х, т) = Ф(х, 5) =|Са (х, т)е 5т(т.
(8)
(9)
0
к дифференциальным уравнениям (1а), (2а) с учетом условий (3), (4) позволяет получить
іЕ(х, 5) + Ж ^ 5) = БI ( Е( 5) - 8кЕ(х, 5) +
(х (х 2
(1б)
5Ф(х, 5) = кЕ(х, 5) - кВ — - — Ф(х, 5) (2б)
А 5 А
Здесь 5 выполняет роль параметра.
Из (2б) следует
\ Ак \ кВ ,
фМ=А7+1еМ"КГГ) (2в)
Использование (1б) совместно с (2в) приводит к результату
£(Е(хі£)-м/Е(х,5)=-N. (1в)
ёх
ёх
Ж
Аі' 2 + АМя + к5
N =-
кВ8
(As + к)
Граничные условия для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (1в) согласно (5), (6) принимают вид
Е(0, і) = | См (0, т)е-5тс(т :
С 0 | с т = С 0
(5а)
ёЕ(ю, 5) Г дСм (ю, т)
е 5тёт = 0. (6а)
ёх J д х
0
Таким образом необходимо решить краевую задачу (1в), (5а), (6а), а затем найти функцию Ф(х, і) из (2в).
Решение этой краевой задачи имеет вид
Е (х,5) = 1^ - ММ-1 ехр
(
- Е +
ТЕ2
+ 4М
N
м '
(10)
Замена постоянных Ь, М, N их значениями, дальнейшее преобразование выражения (10), с целью приведения его к виду удобному для обратного преобразования Лапласа при помощи таблиц изображений, дает соотношение разрешенное относительно основного параметра преобразования 5.
кС0 (А 8 +1)- Бк8 1
Е (х, і) =
С і "0У______________________
0 А(А8 +1) 5
Вк8
2
(А8 +1) (і + к8 + к/А)
1
ехр
(і+ка)
( Жх_Л 20}
х ехр
1 5 + А^ 5 + В-1
щ ( + к/А) Х
Вк8 1
А 5(5 + к8 + к/А)
(11)
Аналогичная процедура, выполненная с использованием (10), также приводит выражение (2 в) к виду удобному для обратного преобразования Лапласа
кС0 (А8 +1)-Вк8 1 (А 8 +1) 5 +
Вк8
1
(А8 +1) (і + к8 + к/А)
1
(і + к/А)
і
+
х
2
1
х
+
х ехр
11 5 + А} 5 + В}
Щ (5 + к/А)
- 1
А + к8 + к/А),
Ж2
ехр
( Жх Л
20/
Ж 2к
(12)
где А, =--+ к8 + к А ; В, =
1 40} 11 4А0/
Теперь, после приведения отдельных частей выражений (11), (12) к табличному виду, выписываются соответствующие изображения и оригиналы при помощи известных справочников [4 - б]. Здесь, как и в [4], переход к оригиналу обозначен оператором Ь-1.
= ехр[-к(А8 + 1//А]. С](13)
Ь-1
(і + к8 + к/А)
1
5(5 + к8 + к/А)
А
) {1 - ехр[- к (А 8 +1) >
к (А8 +1) хт/А]}. [5] (14)
Согласно источнику [2] имеет место следующее соотношение
Ь ^ехр
11 5 + Ах 5 + Вх
І0/ ( + к/А)
= ехр -
р(-кт/А)| Jo 2^к2 #8 (т-#)/А
,.2
40/#
Ж
20
+ к8- к/А)#]й#. (15)
Здесь У0 (#,т)- бесселева функция первого рода действительного аргумента нулевого порядка.
Поскольку в решениях (11), (12) имеет место произведение изображений, то для получения окончательного решения в оригиналах необходимо выполнить свертку соответствующих оригиналов.
Свертка для оригиналов записывается в форме [б]
^)* р2 (*)_ Р2 (*)* ^(г)
или
т
| Р\ ()^2 (т - {М _ | ¥2 ()^1 ( - {№.
0 0
Тогда в наиболее общем виде переход от произведения двух изображений к оригиналу представляется следующим образом [б]
Ь Л/1№2 ()]_
т т
_ | Р\ 0Р2 (т - _ | ^2 ()^1 ( - /)ж. 16)
= І ¥і(і
(17)
выполняется свертка с единицей. Аналогично согласно (15), (17) представляется переход от изображения к оригиналу для следующей функции
ь-и 1
(і+к А)
ехр
| 1 5 + Аг 5 + Вг
Щ (5 + к/А)
і I
■■ Е(г) * 1 = | {ехр[- кґ/А]| J0 2у1 к2#8(т-#)/А
^2x0#
г ехр
-2 ( Ж2
40/#
20/
/ (і ) =
+ к8- к/А)#](#( Здесь было принято:
1
(18)
(і+к А/
ехр
1 5 + А^ 5 + В-1
\0/ (і+к А)
И, наконец, использование (13), (15), (16) позволяет получить
Ь
1
(і+к А/
ехр
11 5 + А^ 5 + В-1
10/ (і+к А)
ха+8+ц а) /1 Е'(т-’ А (< )с'=
0
т
= 1 {ехр[- к (А 8 + 1)А-ґ)/А]ехр(- к(/А)>
0
ґ
: 1J 0 [У к 2#8(г-#)/А
х ехр
40/#
( Ж 2 20/
УІ2Щ#3
+ к8 - к/А
(# }Сґ.
(19)
Здесь
/(5) = -
(і + к8 + к/А/
Применение оператора Ь -1 к выражениям (11), (12), при переходе от изображений к оригиналам с использованием соотношений (13)-(15), (18), (19), приводит к окончательному решению задачи.
См (х,т)= С(
0ехр
20/ А
В частном случае
Г
Ь
х
+
X
Г
г
+
2
х
1
г
х
х
т
х) J0 2у/к 2#8(г-#)/А
0
х ехр
^2лВ/#3
х2
4В/#
W 2 2В1
+ к8- к/А
#
ё# +
кС0(А8 +1)-Бк8 f Wx Л
+ ААА8+1) ехр
к2В/у т Г
:|{ехр(- кГ/А)| Jo 2у/к2#8(т-#)/А
I I
:){ехр(- кГ/А)) J0 2д/к2#8(т-#)/А
д/ 2лВ/#3
х ехр
„2 Г
х
щ#
w2
2В/
+ к8- к/А
#
ё# >ёГ +
Бк8 + (81ехр
Жх к (А8 +1)
-------------------т
2В1 А
^лВ/#3
х ехр
4В/#
_Г_
2В/
+ к8- к/А
ё# >ёГ -
Бк8 (А8 +1)
ехр
Wx - к(А8 +1)
2В/
А
С I
){ехр(к8Г) J0 2д/к2#8(т-#)/А
х ехр
4В/#
Б8
(
2В/
+ к8- к/А
^2лВ1#3
ё# >ёГ +
+(А8+1){1 - ехр[- к (А 8+А]; с (х т)_ кС0(А8 +1)-Бк8рГ Жх} Са[Х,т_ (А8 +1) ехр^2В/
I I
){ехр(к8Г) J0 2у/к 2#8(т-#)/А
х ехр
4В/#
Г ж!
2В/
+ к8- к/А
V2лВ/#3
ё# >ёГ -
Б
(А8 +1)
{1 - ехр[- к (А8 +1)^ А]}.
Литература
1. С.В. Анаников, Вестник Казанского технолог. ун-та, 15,8, 247-253 (2012).
2. И.Н. Федоткин, Математическое моделирование технологических процессов. Выша шк., Киев, 1988. 415 с.
3. П.П. Золотарев, Изв. АН СССР, сер. хим., №10, 24032405 (1971).
4. А.В. Лыков, Теория теплопроводности. Высшая школа, Москва, 1967. 600 с.
5. В.А. Диткин, Справочник по операционному исчислению. ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1951. 256 с.
6. Г. ДЁЧ Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. ГИФМЛ, Москва, 1958. 208 с.
х
х
х
х
х
х
х
X
X
х
#
2
х
#
X
2
х
#
X
© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, апашкоУ8У@гатЪ1ег.га.
