7-9 СЫНЫП ОҚУШЫЛАРЫН ТЕПЕ-ТЕҢДІКТЕРДІ ДƏЛЕЛДЕУГЕ ҮЙРЕТУ ƏДІСТЕМЕСІ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Удк 512.13(071.2)

7-9 СЫНЫП ОЦУШЫЛАРЫН ТЕПЕ-ТЕЦД1КТЕРД1 ДЭЛЕЛДЕУГЕ YЙРЕТУ

ЭД1СТЕМЕС1

Ц¥ЛМАХАНОВА ¥ЛДАНА

Математика, физика жэне информатика институтыньщ магистранты Абай атындагы ^азак улттык педагогикалык университетi

Алматы, Казакстан

Т¥ЯЦОВ ЕСЕНКЕЛД1

п.г.к.,доцент, университет профессоры Абай атындагы ^азак улттык педагогикалык университетi

Алматы, Казакстан

Ацдатпа: Мацалада математикалыц тепе-тецдгкдгктг турлендгруге оцытудыц эдктемеЫ тацырыбы, оцушыларга эр тYрлi эд1стерд1 Yйрету, математикалыц индукция дэлелдеу баяндалган.

Ктт сездер:тепе-тецдщдэлелдеу,эд^теме,математикалыц индукция.

Математика пэншде кандай акпараттар беру керек, неш окыту кажет деген мэселенi шешумен катар,оларды кандай реттеп,тэртiппен окыту,ягни оку курсын барынша тиiмдi тYPде жетюзу проблемасы шешуiн табу керек.Орта мектептерде математиканы окытудыц бiлiмдiк максаты- барлык окушыларды математика гылымыныц негiзi болып табылатын бiлiмдер жYЙесiмен жэне ол бiлiмдердi саналы тYPде шыгармашылыкпен колдана алудыц iскерлiгi мен дагдыларын берш калыптастыру, ой eрiсiн дамыту болып табылады.Орта мектептерде мацызды бiлу керек такырыптардыц бiрi - тепе-тецдшт дэлелдеу.Тепе-тецдшт тYрлендiрудщ эртYрлiлiгi(орасан кeптiгi) оларды окушылардыц кай максатта орындау керектiгiн тYсiнуiн Kиындатады.Бiр жагдайларда окушылар кeпмYшелiктi «кыскарту» Yшiн оны кeпмYшелiктердiц кeбейтiндiсiмен алмастырады, ал кейбiр жагдайларда бiрнеше кeпмYшелердщ кeбейтiндiсiн бiр кeпмYшелiкпен алмастырады.Бiр жаттыгуларда «-» тацбасын жакшаныц сыртына шыгарса, ал кейбiреуiнде бул тацбаны жакшаныц iшiне енгiзедi.Бiр тYрлендiрулерде бeлшектердщ косындысын бiр бeлшекпен алмастырады, ал кейбiреуiнде берiлген бeлшектi бiрнеше бeлшектердщ косындысы тYрiнде жiктеп жазады.Бул тепе-тецдiктердi тYрлендiрудi орындаудыц максаттарын окушыларга тYсiндiру окытудыц ец негiзгi курамды бeлiктерiнiц бiрi болып табылатындыгын кeрсетедi.

Тепе-тецдiктердi тYрлендiрудi максатты орындаудыц себептерiне мысал кел^решк: 3,45х — 3,45у = 3,45(х — у) тепе-тецдiктi тYрлендiруi 3,45х — 3,45у eрнегiнiц сандык мэнш есептеудi жецiлдету Yшiн орындалады,егер х пен y-тiц сандык мэндерiн 3,45х — 3,45у eрнегiне апарып коятын болсак,онда Yш амал орындау кажет, ал егер х пен у-тщ мэндерш 3,45(х — у) eрнегiне апарып коятын болсак, онда ею амалды орындау жеткiлiктi. Будан кeрсетiлген тепе-тецдiк тYрлендiрулердi орындаудыц кажеттiгi айкын.Бул eрнектiц мэнi белгiлi бiр санга тец болган жагдайда окушыларга одан да тYсiнiктi болады.

36 • 25 — 27 • 25 = 25(36 — 27) = 25 • 9 = 225 бул есеп бiзге санды eрнек тYрiнде берiлген окушылар eрнектi шыгару барысында мынадай киындыкка ушырауы мYмкiн, алдымен берiлген eрнектiц алгашында кeбейту амалын, содан соц екiншi кeбейту амалын орындап,содан шыккан кeбейтiндiлердi азайтады.Окушыларды мундай киындыктан куткару Yшiн есептегi ортак кeбейткiштi жакшаныц сыртына шыгарып,азайту амалын орындап, шыккан нэтиженi кeбейтсек жеткшкп екенiн тYсiндiруiмiз тицс.Мундагы максат есептщ шыгару жолын ыцгайлап, амалдарды тиiмдi эдiспен орындау болып табылады.

Окушыларга эр тYрлi дэлелдеулер эдюш Yйретудщ басты максаты - математикалык теорияларды игеру жэне оларды ездшнен теоремаларды дэлелдеуге машыктандыру.Тепе-тецдiктердi дэлелдеуге математикалык индукция эдiсiн колдануга токталайык.

1-мысал, бастапкы сандагы барлык так сандардыц косындысын табу керек. Шешу^Ьзделшген косындыны Бп деп белгiлеп алайык,ягни, Бп = 1 + 3 + 5 +

—+ (2п — 1) мундай есептердi шешу Yшiн математикада дайын формулалар бар. Бiрак бiз оны математикалык индукция эдiсiн колдап шешудi керсетемiз.Оныц Yшiн эуелi болжамды (гипотеза) куру керек, ягни жауапты болжап керу керек.

Осы максатта п-нщ орнына 1,2,3... сандарын коя бастаймыз.Бул жумысты кандайда бiр болжам айту Yшiн жеткшкп материал алганша жалгастырамыз.Болжам аныкталганнан соц оны математикалык индукция эдiсiмен тексеремiз.Сейтiп:

Б1 = 1,Б2 = 1 + 3 = 4,Б3 = 1 + 3 + 5 = 9,Б4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 55

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25,Б6 = 1 + 3+ 5+ 7 + 9 + 11 = 36

Ендi осы жеке мэлiметтердi талдай отырып жалпы зацдылыкты аныктауга эрекет жасаймыз:

Б1 = 1 = 12,Б2 = 4 = 22,Б3 = 9 = 32,Б4 = 16 = 42,Б5 = 25 = 52, 56 = 62

Осылар непзшде жалпы кез-келген п-кадамда Бп = п2 болады деген пiкiрге келуге болады. Ендi осы болжамды тексеремiз

1. п=1 болганда = 1,1 = 12 болганда Б1 = 1,1 = 12, ягни болжам орындалады екен.

Ч

= (к + 1)2 тецдштщ дурыс екендiгiн керсетемiз.

2. n=k болганда Sk = к2 орындалада n = k+1 жагдайда осы болжамныц орындалуын,ягни

Sk+1 =Sk + (2k + 1)=к2 + (2k + 1) = (к + I)2

Жауабы: Sn =n2.

0 t-< n(n+1)(2n+1) . .

2-мысал.Бастапкы n натурал сандардыц квадраттары косындысы ---_га тец екендшн

дэлелдеу керек,ягни:

см | 2 n(n+l)(2n+l)

S(n) = 12 + 22 + 32 + —+ п2 =---

6

Шешу^Бул есептщ эуелгiсiнен айырмашылыгы мунда гипотезаны курудыц кажет жок.Ол берiлген осы болжамныц дурыстыгын дэлелдеу керек.

1. n=1 болсын 5(1) = 12 = 1(1+1)(2^1+1)

2. n=k айталык, S(k) = к(к+1~)(2к+1) тецдш орындалсын, онда n =k+1 болганда: S(k + 1) =

12 + 22 + 32 + ... + к + (к + 1)2=^(к+1}(2к+11++(к + 1)2 = (к+1}(к+2}(2,+31

6 6 Математикалык индукция эдiсiнiц ею шарты орындалгандыктан айтылган пiкiрдiц дурыстыгы келiп шыгады.Математикалык eрнектердi тепе-тецдiк тYрлендiруге окыту эдiстемесi такырыбы кеп iзденiстi талап етедi.Себебi, ол кец келемд^ аукымды такырыптардыц бiрi.

- sina 1+cosa . . „. „ .

3-мысал .-=- тригонометрияялык тепе-тецдiгiн дэлелдешк.Б^л тепе-тецдiктi

1-cosa sina

дэлелдеу Yшiн пропорцияныц касиетiн пайдаланымыз.Шетю мYшелерiнiц кeбейтiндiсi,ортацFы мYшелерiнiц кeбейтiндiсiне тец:

sina • sina = (1 — cosa)(1 + cosa) (1 — cosa)(1 + cosa) кыскаша кебейту формуласымен ашамыз:

(1 — cosa)(1 + cosa) = 1 — cos2a ал, 1 — cos2a = зт2а^атец. Содан келш шь^атыныны:

22 sin2 a = sin2 a

Тепе-тецдш дэлелдендь

4-мысал.(1 + a)(1 - a)(1 + a2) - 5 + a4 = -4

Тецдштщ сол жагын ашайык (1 + a)(1 — a) кыскаша кебейту формуласы аркылы ашылады (1 + а)(1 — а) = 1 — а2 болып ашылады^рден орнына койсак, (1 — a2)(1 + а2) — 5 + а4 = 1 — а4 — 5 + а4 = —4.Тецдштщ оц жагы мен сол жагында -4 болды.Тепе-тецдш дэлелдендi.

Бiз окушыларга есептердi тиiмдi эдiспен жэне амалдарды барынша азайтып нэтиженi алуга Yйретiп кана коймай, керiсiнше амалдарды тYрлендiрiп шыгаруды да жиi тYсiндiргенiмiз жен.

ПАЙДАЛАНЫЛГАН ЭДЕБИЕТТЕР Т1З1М1

1. Эбiлкасымова А., Кебесов А., Рахымбек Д., Кенеш Э. Математиканы окытудыц теориясы мен эдютемеа. -Алматы: Бiлiм, 1998.-204 б.

2. Эбшкасымова А.,Орта мектепте математика есептерш шыгаруга Yйретудiц эдiстемелiк непздерь - Алматы,2004. -125б.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,2002 г

4. Эбшкасымова А.Е. Математиканы окытудыц теориясы мен эдютемеа: оку куралы. -Алматы: Атамура, 2014. - 272 б.