CC BY
19
ИСТОРИЯ ФИЛОСОФИИ
2001.03.026. ГАЙДЕНКО П.П. К ВОПРОСУ О ГЕНЕЗИСЕ НОВОЕВРОПЕСКОЙ НАУКИ//Философия науки. - М., 1998. - Вып.4. -С.52-60.
В статье речь идет о пересмотре античного и средневекового понимания непрерывности, послужившем толчком к созданию математики бесконечномалых величин.
Принцип непрерывности, как он был разработан в античной математике и физике (Евдокс, Аристотель), исключал допущение актуальной бесконечности. «Я говорю о непрерывном, - писал Аристотель, - когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается» (цит. по: с.52). Непрерывными, согласно Аристотелю, могут быть пространство, время, движение. Непрерывное - это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное не может быть составлено из неделимых. Именно непрерывное есть условие возможности движения и, соответственно, условие его мыслимости. Тем самым оказываются устраненными апории Зенона, которые базируются на допущении актуально бесконечного множества неделимых элементов любого отрезка пространства и времени.
Потенциально бесконечное - это, согласно Аристотелю, то, что всегда становится, возникает, а не есть нечто завершенное, законченное. Поэтому бесконечное есть материя, а не форма. Потенциально бесконечное всегда связано с конечностью, есть не имеющее предела движение по конечному. Например, это бесконечно возрастающий ряд натуральных чисел, который, сколько бы его ни увеличивали, остается как угодно большой, но конечной величиной. Потенциально бесконечному противостоит законченное и целое. Только предел, граница делают нечто актуально сущим, действительным и потому
предстают как начало формы.
В Средние века сохраняется античный принцип непрерывности как в математике, так и в физике. Фома Аквинский также считал, что непрерывное не может состоять из неделимых. Актуально бесконечен лишь Бог, в природе человек имеет дело с потенциальной бесконечностью, и только она постижима для человеческого разума.
Пересмотр этих понятий начинается в эпоху Возрождения и первоначально происходит в теологии и философии, а затем проникает в математику и физику. Так, Николай Кузанский объявляет закон совпадения противоположностей (вместо бывшего закона непротиворечия) законом логики. Исходя из того, что Единое (Бог) не имеет противоположности, он заключает, что Единое тождественно бесконечному, абсолютный минимум - абсолютному максимуму. Но максимум и минимум - это одно и то же в Боге. Чтобы сделать более наглядным принцип совпадения противоположностей, он обращается к математике. Так, при увеличении радиуса круга любой отрезок окружности все более «выпрямляется». Если же увеличить радиус до бесконечности, то окружность превратится в прямую линию - тоже бесконечную. У такого «максимального» круга диаметр становится тождественным окружности. Более того, с окружностью совпадает и центр круга, а тем самым оказываются совпавшими точка (минимум) и бесконечная прямая (максимум). То же происходит, например, с треугольником. Строго говоря, никаким «увеличением» сторону треугольника невозможно превратить в актуально бесконечную: она всегда будет оставаться сколь угодно большим, но конечным отрезком прямой. Между потенциальной бесконечностью возрастания величины и актуальной бесконечностью всегда остается непреодолимая пропасть. «Кузанец совершает здесь «скачок», никакой логикой не объяснимый. Он совершается с помощью теологических, а не математических понятий» (с.55).
Эти идеи, воспринятые, вероятнее всего, через Дж.Бруно Галилеем, получили новую жизнь именно в математике и естествознании. Подготовляя фундамент механики Нового времени, Галилей опирается на принцип совпадения противоположностей и использует его при решении проблемы континуума. Тем самым он отходит от античной математики, в рамках которой решение проблемы континуума предполагало исключение актуальной бесконечности. Галилей, чтобы объяснить большую сопротивляемость некоторых тел разрыву, допускает бесконечное множество ничтожно малых пустот в
конечном теле.
В математике с помощью подобного допущения (конечная величина состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых величин) Галилей решает знаменитую задачу «Колеса Аристотеля». Его решение предполагает случай «предельного перехода», когда многоугольник превращается в круг. Круг, согласно Галилею, содержит актуально бесконечное число бесконечно малых «сторон» многоугольника.
В решении Галилея появляется парадоксальное понятие «пустой точки», обозначающее интервалы под дугами вписанного в круг многоугольника, которые в случае перехода в круг представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих «пустых точек» (другое название у Галилея «бесконечно малых частей», «неделимых» или «пустот») служило средством преодоления противоположности непрерывного и дискретного. На основании понятия «неделимого» его ученик Кавальери создал геометрию неделимых - первую форму исчисления «бесконечного», которое легло в основу классической механики.
Сам Галилей указывал на непостижимость этого понятия для человеческого ума, поскольку оно парадоксально по своей природе: оно предполагает отождествление точки и линии. Но Галилей с его помощью пытался решить вполне конкретную задачу: обосновать возможность математики движущихся объектов. Первоначальная форма
дифференциального исчисления базировалась на понятии бесконечно малой величины, введенной Галилеем. Однако парадоксальность понятия постоянно вызывала неудовлетворение математиков и побуждала их искать новые пути обоснования дифференциального исчисления (Ньютон, Лейбниц, Карно и многие другие математики ХУП-ХУШ вв.).
Возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления намечается в математике второй половины XVIII в., хотя полностью преодолеть трудности и создать теорию пределов удалось только позднее усилиями К.Гаусса, Б.Больцано, О.Коши и К.Вейерштрасса.
Таким образом, Николай Кузанский своим учением о совпадении противоположностей снял тот непереходимый водораздел, который существовал в Средние века между творцом и творением. Понятия, ранее применявшиеся только к Богу, становятся употребительными по отношению к тварному миру. «Это прежде всего относится к понятию актуально бесконечного, оперирование с которым предполагало
существенную переоценку... познавательных возможностей человеческого разума. Эти сдвиги, происшедшие в европейской культуре на заре Нового времени, в значительной мере обусловили становление новой науки» (с.60).
Л.А.Боброва
