(1/2; 1)-выпуклые функции. Ч. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

НА СТАВНИК-УЧЕНИК

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (26). 2018

УДК 517.162

(1/2; 1)-ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ. Ч. I С. И. Калинин, Н. В. Леонтьева

В работе рассматривается класс (2; 1)-выпуклых функций. Авторы приводят геометрическую характеризацию таких функций, выводят достаточные условия принадлежности функции обсуждаемому классу в терминах производных. Ключевые слова: (2; 1)-выпуклая функция, (2; 1)-вогнутая функция, 2-параболическая дуга.

1. Определения и иллюстрации

Пусть I С [0; — произвольный промежуток и f: I ^ И. — функция, заданная на этом промежутке.

Определение 1. Функцию f назовем (2; 1)-выпуклой на I, если для любого отрезка [а; Ь] С I и любого числа А £ [0; 1] выполняется неравенство

^(А^а + (1 - А)УЬ)^ Аf (а) + (1 - А)f (Ь).

(1)

Если в условиях определения 1 для всех А £ (0; 1) выполняется неравенство

^(А^а + (1 - А)^Ь)2) < Аf (а) + (1 - А^(Ь), (2)

то функцию f будем называть строго ; 1)-выпуклой на рассматриваемом промежутке /.

Очевидно, что строго (2; 1) -выпуклая функция является (2; ^ -выпуклой.

Замечание 1.1. В соответствии с неравенствами (1)-(2) можно говорить соответственно о (2; 1)-выпуклости функции f в строгом или нестрогом смысле.

© Калинин О. И., Леонтьева Н. В., 2018.

Замечание 1.2. Принимая во внимание обозначения, принятые в статьях [1]-[2], (1; l) -выпуклые функции можно называть еще и PA-выпуклыми. Здесь параметр P ассоциируется с весовым средним степенным порядка 1 чисел а и b с весами Л и (1 — Л) (значение аргумента функции f в левой части соотношения (1)), а параметр А — с весовым средним арифметическим значений f (а) и f (b) с тем же набором весов (правая часть (1)).

Замечание 1.3. Введенное понятие есть конкретный случай общего понятия (а, в)-выпуклой функции, рассмотренного в [3].

Аналогично определяются ; l)-вогнутая и строго (|; l)-вогнутая функции — для этого в соответствующих неравенствах(1)-(2) знаки ^ и < следует поменять на знаки ^ и > соответственно.

Рассмотрим некоторые примеры.

На всяком промежутке I С [0; функция! f (x) = c^Jx + d, где

с и d — вещественные константы, является как (1; l) -выпуклой, так и (1; l) -вогнутой. Это следует из преобразований

f ((л^а +(l — Л)^)^ = ^y^vOTil —A)Vbf + d =

= Л CcVa + d) + (l — Л) (^Vb + d) = Лf (a) + (l — Л^(b),

где a E /, b E /, Л E [0; l]. Отсюда, в частности, следует, что на рассматриваемом промежутке ; l) -выпуклыми и ; l) -вогнутыми являются функции y = const и y = -y/x.

Функция f (x) = x, x > 0, является строго Q; l)-выпуклой, так как для любых положительных а и b (a = b) и любых Л E (0; l) имеем:

(4va + (l — Л)^)2 < Ла + (l — Л)Ь.

Последнее неравенство есть известное соотношение между взвешенным средним степенным порядка 1 и взвешенным средним арифметическим чисел а и b с весами Л и l — Л.

Легко видеть, что функция g(x) = — x, x > 0, будет, наоборот, строго (1; l) -вогнутой.

2. Геометрическая характеризация (1; l)-выпуклых функций

Введем в рассмотрение вспомогательное понятие |-параболической дуги (-параболической кривой).

Определение 2. 1 -параболическая дуга, или 1 -параболическая кривая, есть всякая связная часть графика функции y = c^fx + d, где c и d — вещественные константы.

Покажем, что существует только одна 2-параболическая дуга, соединяющая две точки правой полуплоскости плоскости жОу, не лежащие на одной вертикали.

Действительно, пусть М^ж^ у2) ^ 0) и М2(ж2; у2) (ж2 ^ 0, ж1 = ж2) — произвольные фиксированные точки. Подставляя координаты данных точек в общее уравнение 2-параболической кривой у = с^/ж + а, получим систему уравнений относительно с и а

У1 = + а, У2 = + а.

Р У2 - У1

Решая данную систему, находим ее единственное решение с

- V/XТ

, У1 \7ж2- У2^ г. 1 Л

а = -. Следовательно, 2-параболическая кривая, задава-

\/х2 - ^жГ 2

емая уравнением

у = У2 - У1 + - у2УХГ (3)

У = ^+ ^, (3)

есть единственная 2-параболическая дуга, соединяющая точки М1 и М2. Нужное показано.

Из (3) легко видеть, что если точки М1 и М2 лежат на одной горизонтали (в этом случае у1 = у2), то их соединяющая 1 -параболическая дуга вырождается в отрезок горизонтальной прямой у = у1 .

Введенное понятие 1 -параболической кривой позволяет реализовать геометрическую характеризацию (2; -выпуклости функции.

Покажем, что если f (ж) — (2; 1) -выпуклая на данном промежутке I, I С [0;функция, то для любого отрезка [а; Ь], принадлежащего /, и любого ж £ (а; Ь) выполняется условие: точка (ж; f (ж)) графика функции f будет находиться не выше точки 2-параболической дуги, соединяющей точки (а; f (а)), (Ь; f (Ь)), с той же абсциссой ж. Для этого, отправляясь от (3), составим уравнение упоминаемой дуги:

у = f (Ь) - f (а) ^ + f (а)УЬ - f (Ь)У5. (4)

л/Ь - ^/а л/Ь - ^/а

Легко видеть, что уравнение (4) можно переписать так:

л/Ь - у/х г, , у/х - у/а У = ^—f (а) + ^—р f (Ь)- (5)

Ь- а Ь- а

Представим х Е (а; Ь) в виде

л/Ь — у/х г \[Х — -у/а

х

л/а + ух—у—у/& , (6)

л/Ь — ^/а л/Ь — ^/а

заметив при этом, что для дробей в основании записанной в правой части представления (6) степени выполняются условия:

V — У^ Е (0; Х) Vх — У^ Е (0; Х) У6 — У^ + Vх — У^ = 1

л/Ь — ^/а л/Ь — -у/а л/Ь — -у/а л/Ь — -у/а

Используя последнее и условие ; 1) -выпуклости функции /, ее значение / (х) оценим сверху следующим образом:

/Х)=/ ((«уа+4)«З—*-

+/ (Ь).

V о — уа

Отсюда в силу (5) следует, что то(ка (х; /(х)), х Е (а; Ь), графика функции / лежит не выше точки ( х; уЬ—Ух/(а) + ух—У— /(Ь)

У уЬ — у/а У Ь — -у/а

1 -параболической дуги (5). Нужное установлено.

Подобно рассуждая, очевидно, нетрудно показать, что если /(х) — строго (2; 1)-выпуклая на промежутке I функция, то для любого отрезка [а; Ь], принадлежащего ¡, и любого х Е (а; Ь) выполняется условие: точка (х; /(х)) графика функции / лежит строго ниже точки 2-параболической дуги, соединяющей точки (а; /(а)), (Ь; /(Ь)), с той же абсциссой х (см. рис. 1).

Ясно, что по аналогии соответствующую геометрическую характе-ризацию можно привести и в отношении ; 1) -вогнутых в строгом или нестрогом смысле функций.

3. Достаточные условия ; 1)-выпуклости функции

Предположим, что функция /(х) непрерывна на некотором промежутке I С (0; и внутри его дважды дифференцируема. В данных условиях введем в рассмотрение величину Д(х) = /'(х) + 2х/''(х), х Е ¡0, где ¡0 — внутренняя часть ¡. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Если внутри промежутка I выполняется условие Д(х) > 0, то функция /(х) является строго (2; 1)-выпуклой на этом

2

Рис. 1. Геометрическая характеризация строгой (2; 1) -выпуклости

промежутке. Если же внутри I Д(х) < 0, то /(х) будет строго (2; 1) -вогнутой на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Пусть [а; Ь] — произвольный отрезок из промежутка /. Покажем, что если Д(х) > 0 для любого х, а < х < Ь, то будет выполняться неравенство /(х) < у(х), где у(х) — функция (5), задающая 2-кривую, соединяющую концы графика функции /(х) на отрезке [а; Ь]. Последнее, согласно геометрической интерпретации (1; 1) -выпуклости, будет означать указанную выпуклость данной функции. Рассмотрим разность у(х) — /(х). Для нее имеем:

У(х) — / (х) = / — //(а) + /р-/ (Ь) — / (х) =

V Ь — V а V Ь — V а

= (^^^х^а) (/(Ь) — /(х) — /(х) — /(а) \

— /а V >/Ь —/х — \/а )'

В получившемся произведении множитель, записанный в виде дроби перед последними скобками, очевидно, положительный. Нам достаточ-

б л / (Ь) — / (х)

но доказать, что положительным будет выражение А = —у-

уЬ — у[х

/(х) — /(а) _ К

--=-. Для данного выражения по теореме Коши о среднем зна-

х — а

чении имеем представление

А = /(П) — ^ = 2уП/' (п) — 2^/'(!),

27!

где ! и п — некоторые средние точки, удовлетворяющие условию а<!<х<п<Ь. Применяя теперь к разности ^/п/'(п) — л/!/'(!) формулу Лагранжа конечных приращений, получаем:

А = (у^/'(С) + 2^С/''(С)) (п — !) = УД(С) (п — !),

где £ — некоторая точка, лежащая между точками ! и п Так как Д(С) > 0, то отсюда имеем у(х) — /(х) > 0, или /(х) < у(х), а < х < Ь. Нужное показано.

Второе утверждение теоремы устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Замечание 3.1. Техника доказательства установленной теоремы позволяет заключить, что если внутри промежутка ¡ для функции /(х) выполняется условие Д(х) ^ 0, то данная функция будет нестрого (1; 1)-выпуклой на ¡. Аналогично, условие Д(х) ^ 0, х Е ¡0, влечет факт нестрогой (2; 1)-вогнутости функции /(х) на промежутке ¡.

Замечание 3.2. Теорема 3.1 есть аналог соответствующего утверждения о достаточных условиях обычной строгой выпуклости функции на промежутке в терминах ее второй производной.

Установленная теорема 3.1 позволяет эффективно конструировать примеры строго (2; -выпуклых и -вогнутых функций.

Так, функция ех, х ^ 0, является строго (2; -выпуклой, поскольку для нее величина Д(х) = ех+2хех на интервале (0; положительная. Наоборот, функция у = 1п х в своей области определения будет строго

(2; 1)-вогнутой, так как Д(х) =--2х— =--< 0, х > 0.

22

•Лу

Рассмотрим степенную функцию у = ха, х > 0, где а — вещественный показатель, отличный от 2. Для данной функции величина Д = аха-1 + 2ха(а — 1)ха-2 = а(2а — 1)ха-1 может менять знак. При а Е (—то;0) и (2; имеем: Д(х) > 0, значит, при таких а функция

у = ха, х > 0, будет строго (2; 1)-выпуклой. При а Е (0; , наоборот, рассматриваемая функция будет, очевидно, строго (2; 1) -вогнутой.

Список литературы

1. Guan Kaizhong. GA-convexity and its applications // Anal. Math. 2013. 39. № 3. Pp. 189-208.

2. Xiao-Ming Zhang, Yu-Ming Chu, and Xiao-Hui Zhang. The

Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application // J. of Inequal. and Applies. Vol. 2010. Article ID 507560, 11 pages, doi:10.1155/2010/507560.

3. Калинин С. И. (а; в)-выпуклые функции, их свойства и некоторые применения // Уфимская международная математическая конференция : сборник тезисов / отв. ред. Р. Н. Гарифуллин. Уфа: РИЦ БашГУ, 2016. С. 75-76.

Summary

Kalinin S. I., Leonteva N. V. (1/2; 1)-convex functions. Part 1. The article deals with the class of ; 1)-convex functions. The authors give a geometric characterization of such functions, derive sufficient conditions for the membership of the function to the class under discussion in terms of derivatives.

Keywords: ; 1)-convex function, ; 1)-concave function, 2-parabolic are. References

1. Guan Kaizhong. GA-convexity and its applications, Anal. Math., 2013, 39, № 3, pp. 189-208.

2. Xiao-Ming Zhang, Yu-Ming Chu, and Xiao-Hui Zhang. The

Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its applicationm, J. of Inequal. and Applics., vol. 2010, Article ID 507560, 11 pages, doi:10.1155/2010/507560.

3. Kalinin S. I. (а; в)-vypuklyye funktsii, ikh svoystva i nekotoryye primeneniya ((а; в)-convex functions, their properties and some applications), Ufa International Mathematical Conference. Collection of abstracts, otv. red. R. N. Garifullin, Ufa: RIC BashGU, 2016, pp. 7576.

Для цитирования: Калинин C. И., Леонтьева Н. В. (1/2; 1)-выпуклые функции. Ч. I // Вестник Сыктывкарского университета.

Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 1 (26). C. 97-104.

For citation: Kalinin S. I., Leonteva N. V. (1/2; 1)-convex functions. Part 1., Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 1 (26), pp. 97-104.

ВятГУ

Поступила 01.04-2018