Фрагмент работы с определением понятия «Выпуклая функция» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.022

С. И. Калинин

Фрагмент работы с определением понятия «выпуклая функция»

Статья касается такой деятельностной составляющей содержания обучения математике, как работа с определениями принципиальных понятий. Автор обращается к рассмотрению классического определения понятия выпуклой на промежутке числовой прямой функции, анализ которого приводит к формулированию критерия выпуклости.

The article is devoted to such a component of contents of training in mathematics as operation with determination of basic concepts. The author addresses to considering classical definition concept of convex function on interval of a numerical straight line. Analysis of this concept leads to formulation of criterion of convexity.

Ключевые слова: выпуклая функция, вогнутая функция, неравенство Иенсена, критерий выпуклости.

Keywords: convex function, concave function, the inequality Jensen, criterion of convexity.

Напомним хорошо известные из курса математического анализа (см., напр., [1, с. 191, 196], [2, с. 355-356]) понятия выпуклой и вогнутой функций.

Пусть l - произвольный промежуток числовой прямой Ox и f : l —> R - непрерывная функция.

О п р е д е л е н и е 1. Функция f (x) называется выпуклой (строго выпуклой, выпуклой вниз, строго выпуклой вниз) на промежутке l, если для любого отрезка [a;b], принадлежащего l, и любого числа Л, Ле (0;1), выполняется неравенство

f (Ла + (1 -Л)Ь)< If (a) + (1 - Л) f (b). (1)

О п р е д е л е н и е 2. Функция f (x) называется вогнутой (строго вогнутой, выпуклой вверх, строго выпуклой вверх) на промежутке l, если для любого отрезка [a;b], принадлежащего l, и любого Л, Ле (0;l), выполняется неравенство

f (Ла + (1 -Л)Ь)> Af (a) + (1 - Л) f (Ь). (2)

Неравенства (1)-(2) называются неравенствами Иенсена. Данные неравенства дают аналитическую характеризацию выпуклости-вогнутости функций.

Напомним также геометрическую интерпретацию понятий выпуклой и вогнутой функций.

Если функция f выпукла на промежутке l, то для любого отрезка [a;b] С l внутренние точки графика сужения f| [ ] функции f на [a;b] лежат ниже соответствующих точек отрезка, соединяющего концы (a; f (a) ), (b; f (b) ) этого графика (см. рис. 1).

© Калинин С. И., 2014

Рис. 1

Если же функция / вогнута на промежутке /, то для любого отрезка [а;Ь]С / внутренние точки графика сужения [ ] функции / на [а;Ь] лежат выше соответствующих

I [а,Ь]

точек отрезка, соединяющего концы (а; / (а) ), (Ь; / (Ь) ) этого графика (рис. 2).

Рис. 2

Нетрудно заметить, что у выпуклой на промежутке / функции / ее надграфик ^ = {(х; у) : у > /(X), X е /} есть выпуклое на плоскости хОу множество. Аналогично, у

вогнутой на промежутке / функции / ее подграфик Г = {(х; у) : у £ /(X), X е /} является выпуклым множеством.

Г 1 Л

1 2

выпук-

В качестве примеров отметим, что показательные функции у = 2х, у

лые на R функции; функции у = 1п X, у =--являются вогнутыми на интервале (0;+¥>).

X

Приведенные определения выпуклой и вогнутой функций, а также их геометрические интерпретации обязательно изучаются всеми студентами математических направлений подготовки, а также учащимися школ и классов физико-математического профиля.

Остановимся на одном фрагменте возможной организации работы с определением понятия выпуклой функции, которая приводит к формулированию критерия выпуклости функции на промежутке и уточнению неравенства Иенсена (1) для выпуклой функции.

Итак, пусть /(х) - выпуклая на промежутке I числовой прямой Ох функция, то есть в отношении ее реализуется определение 1. Обратимся к содержанию данного определения, в частности к неравенству Иенсена (1). В этом неравенстве зафиксируем значение Л, Ле (0;1), и произвольно выберем точки и, V ( а < и £ V < Ь ) так, чтобы выполнилось условие

Ли + (1 - Л^ = Ла + (1 - Л)Ь .

(3)

В последнем выборе, на самом деле, достаточно фиксировать значение и, а < и £ Ла + (1 — Л)Ь , по нему значение V однозначно определяется из соотношения (3).

Выбор и и V обусловливает введение в рассмотрение хорды графика функции /с концами в точках С (и; / (и)) и О(у; / (V)). Так как f (х) - выпуклая функция, то данные точки лежат строго ниже соответствующих точек хорды АВ (см. рис. 3). Следовательно, таким же свойством будут обладать и все внутренние точки хорды CD. В частности, точка

будет располагаться строго ниже точки

в(Ли + (1 — ЛУ; f (Ли + (1 — Л^) ^ (Ла + (1 — Л)Ь; f (Ла + (1 — Л)Ь).

Рис. 3

Последний геометрический факт может быть описан аналитически неравенством

Л (и) + (1 — Л) f (V) < Л[ (а) + (1 — Л) f (Ь).

(4)

х

Таким образом, проведенные геометрические рассуждения позволяют сформулировать следующее

Предложение 1. Если функция /(х) является выпуклой на промежутке I числовой прямой Ох, то для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, любого числа Л, Л Е (0;1), и любых точек и, V Е [а; Ь], а < и £ V < Ь, удовлетворяющих условию Ли + (1 — Л^ = Ла + (1 — Л)Ь , будет выполняться неравенство (4).

Д о к а ж е м сформулированное предложение строго, обращаясь к аналитическим вы-

Л=Ь — и ~=Ь — V . ~

кладкам. Положим Л = , 7 ■> ясно, что 0<Л< 1, 0<Л< 1 .Величины и и

Ь — а Ь — а

V через Ли Л выражаются соответственно так:

и = Ла + (1 — Л)Ь, V = Ла + (1 — Л)Ь.

Используя последние представления, выпуклость функции /(х) на промежутке I и условие Ли + (1 — Л^ = Ла + (1 — Л)Ь , левую часть (4) оценим сверху следующим образом: Л/(и) + (1 — Л)/(V) = Л/(Ла + (1 — Л)Ь) + (1 — Л)/(Ла + (1 — ~)Ь) < < ЛЛ/(а) + Л(1 — Л)/(Ь) + (1 — Л)Л/(а) + (1 — Л)(1 — 1)/(Ь) =

Ь — и

Г и „,\

Ь — а'

Ь—и

V

Ь—а

Ь — V

= Л--/(а) + Л 1 — -- /(Ь) + (1 — Л)--/(а) + (1 — Л) 1 — -- /(Ь) =

Ь—а

Ь — V

V

Ь—а

ЛЬ — Ли + (1 — Л)Ь — (1 — ЛЪ . Ли — Ла + (1 — ЛЪ — (1 — Л)а

=-^^---- /(а) +-^^-^-/(Ь) =

Ь — а Ь — а

ЛЬ + (1 — 1)Ь — Ла — (1 — Л)Ь . Ла + (1 — Л)Ь — Ла — (1 — Л)а

=-------- / (а) +-------— / (Ь) =

Ь — а Ь — а

= Л/ (а) + (1 — Л ) / (Ь).

Предложение доказано.

Покажем сейчас, что установленное предложение 1 обратимо, то есть верно

Предложение 2. Пусть непрерывная на промежутке I числовой прямой Ох функция /(х) обладает свойством: для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, любого числа Л ,

Л Е (0;1), и любых точек и, V е[д; Ь], а < и £ V < Ь , удовлетворяющих условию Ли + (1 — Л^ = Ла + (1 — Л)Ь , будет выполняться неравенство (4). Тогда /(х) - выпуклая на промежутке I функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для установления требуемого достаточно в неравенстве (4) положить и = V = Ла + (1 — Л)Ь . Это обеспечивает выполнение неравенства Иенсена (1), характеризующего выпуклость функции / (х) на рассматриваемом промежутке.

Предложения 1-2 позволяют сформулировать критерий выпуклости функции на промежутке.

Теорема А. Непрерывная на промежутке I числовой прямой Ох функция /(х) является выпуклой на данном промежутке тогда и только тогда, когда для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, любого числа Л , Л е(0;1), и любых точек и, V Е [а; Ь], а < и £ V < Ь , удовлетворяющих условию Ли + (1 — Л^ = Ла + (1 — Л)Ь , будет выполняться неравенство (4).

Заметим, что в условиях сформулированной теоремы А неравенство (4) при ограничении а < и < V < Ь порождает двойное неравенство

/(Ла + (1 — Л )Ь )< Л/(и) + (1 — Л )/(V) < Л/(а) + (1 — Л )/(Ь), (5)

которое уточняет неравенство Иенсена (1). В неравенстве (5) величина Л/(и) + (1 — Л) f (V) тем меньше отличается от величины f (Ла + (1 — Л)Ь ), чем значение u ближе к значению Ла + (1 — Л)Ь . Наоборот, сумма Л/(и) + (1 — Л) f (V) тем меньше отличается от суммы Л/(а) + (1 — Л) f (Ь) , чем значение u ближе к a ^ ближе к Ь). Подведем предварительный итог. Работа с определением понятия выпуклой функции позволила нам сформулировать и доказать критерий (теорему А) выпуклости функции на промежутке. Как следствие данного критерия мы получили уточнение классического неравенства Иенсена (1), характеризующего выпуклость функции.

З а м е ч а н и е 1. Ясно то, что аналогичная работа может быть проделана в отношении определения понятия вогнутой функции. Результатом такой работы будут формулировка критерия вогнутости функции на промежутке и соответствующее уточнение неравенства Иенсена (2). Сформулируем соответствующие результаты.

Теорема Б. Непрерывная на промежутке I числовой прямой Ох функция f (х) является вогнутой на данном промежутке тогда и только тогда, когда для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, любого числа Л, Ле (0;1), и любых точек и, VЕ [а;Ь], а < и £ V < Ь , удовлетворяющих условию Ли + (1 — Л^ = Ла + (1 — Л)Ь , будет выполняться неравенство

Л/(и) + (1 — Л) f (V) > Л/(а) + (1 — Л) f (Ь). (6)

В условиях теоремы Б неравенство (6) при ограничении а < и < V < Ь порождает двойное неравенство

/(Ла + (1 — Л)Ь) > Л/(и) + (1 — Л)/(V) > Л/(а) + (1 — Л)/(Ь),

уточняющее неравенства Иенсена (2) для вогнутой функции.

З а м е ч а н и е 2. Вышеустановленное предложение 1 с учетом неравенства (5) имеет интересное следствие.

Предложение 3. Если функция /(х) является выпуклой на промежутке I числовой

прямой Ох, то для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, и любых точек и, V Е [а; Ь], а < и £ V < Ь, удовлетворяющих условию и + V = а + Ь , будет выполняться неравенство

/(и) + /(V) < /(а) + /(Ь). (7)

Кроме того, если в (7) и < V, то верно двойное неравенство

( а + Ь ^

2/ — < /(и) + /(V) < /(а) + /(Ь). V 2 у

Аналогичное утверждение, очевидно, можно сформулировать для вогнутой функции.

Предложение 4. Если функция /(х) является вогнутой на промежутке I числовой

прямой Ох, то для любого отрезка [а;Ь], принадлежащего I, и любых точек и, V Е [а; Ь], а < и £ V < Ь, удовлетворяющих условию и + V = а + Ь, будет выполняться неравенство

/(и) + /(V) > /(а) + /(Ь). (8)

Если в (8) и < V, то верно двойное неравенство

( а + Ь ^

2/ — > /(и) + /(V) > /(а) + /(Ь).

V 2 у

З а м е ч а н и е. Свойство выпуклой функции/, выражаемое предложением 1, назовем ее характеристическим свойством. Ясно, что характеристическое свойство может быть сформулировано и для вогнутых функций, для этого следует использовать неравенство (6). На основе применения характеристического свойства в работе [3] мы представили эффективный метод решения уравнений специального вида, составляемых с помощью выпуклых и вогнутых функций.

Примечания

1. Райков Д. А. Одномерный математический анализ: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1982. 415 с.

2. Хавин В. П. Основы математического анализа: в 3 ч. Ч. I. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной: учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 448 с.

3. Калинин С. И. Метод неравенств решения уравнений: учеб. пособие по элективному курсу для классов физико-математического профиля. М.: Изд-во «Московский Лицей», 2013. 112 с.

Notes

1. Raykov D. A. Odnomernyiy matematicheskiy analiz: ucheb. posobie [One-dimensional mathematical analysis: tutorial. Moscow: Higher scholl Publ., 1982. 415 pages.

2. Havin V. P. Osnovyi matematicheskogo analiza: v 3 ch. Ch. I. Differentsialnoe i integralnoe ischislenie funktsiy odnoy veschestvennoy peremennoy: ucheb. posobie [Bases of the mathematical analysis: in 3 prts. P. I. Differential and integral calculus of functions of one material variable: tutorial. Publ. of Leningr. university, 1989. 448 pages.

3. Kalinin S. I. Metod neravenstv resheniya uravneniy: ucheb. posobie po elektivnomu kursu dlya klassov fiziko matematicheskogo profilya [Metod of inequalities of the solution of the equations: studies. grant at an elective course for classes of the physicist of a mathematical profile]. Moscow: "Moskovskiy Litsey" Publ., 2013. 112 pages.

УДК 371

С. С. Быкова

Методологические подходы к подготовке будущих учителей в контексте становления их гуманистического мировоззрения

В статье рассматриваются методологические подходы, которые позволяют обновить содержание образования в целях повышения качества подготовки будущих учителей. Акцент в подготовке будущих учителей делается на становлении их гуманистического мировоззрения как необходимого уровня духовно-нравственного развития.

This article discusses the methodological approaches that allow to update the content of education in order to improve the training of future teachers. The emphasis in the training of future teachers is on the formation of their humanistic outlook as the required level of spiritual and moral development.

Ключевые слова: компетентностный подход, поведенческий подход, аксиологический подход, гуманистическое мировоззрение.

Keywords: competence approach, behavioral approach, axiological approach, humanistic outlook.

Современные тенденции развития нашего общества связаны с определением новых запросов к подготовке будущего педагога. Значимость данного процесса подтверждается приоритетными программными документами развития образовательной сферы. В Национальной образовательной инициативе «Наша новая школа» отмечено, что современной школе требуются новые учителя, владеющие психолого-педагогическими знаниями и понимающие особенности развития школьников; чуткие, внимательные и восприимчивые к интересам школьников, открытые ко всему новому учителя. В обсуждаемой сегодня концепции и содержании профессионального стандарта педагога задаются конкретные требования к квалификации учителя. Современный успешный педагог характеризуется умением «проектировать и создавать ситуации и события, развивающие эмоционально-ценностную сферу ребенка (культуру переживаний и ценностные ориентации ребенка)»; «умение формировать и развивать... образцы и ценности социального поведения, навыки поведения в мире виртуальной реальности и социальных сетях, навыки поликультурного общения и толерантность, ключевые компетенции (по международным нормам)» и «готовностью принять разных детей, вне зависимости от их реальных учебных возможностей, особенностей в поведении, состояния психического и физического здоровья» и т. д. [1]

© Быкова С. С., 2014 124