Оптимальная равномерная линейная аппроксимация функций с S-образным графиком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.28

ОПТИМАЛЬНАЯ РАВНОМЕРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ С S-ОБРАЗНЫМ ГРАФИКОМ © 2012 А. М. Фрумкин

канд. тех. наук, ст. науч. сотрудник каф. математического обеспечения информационных систем e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Сформулированы и доказаны две теоремы, определяющие метод поиска параметров оптимальной (в смысле минимума равномерной нормы отклонения) линейной аппроксимации функции с S-образным графиком. Представлены примеры результатов численного решения рассмотренной задачи оптимизации.

Ключевые слова: выпуклая функция, вогнутая функция, S-функция, равномерная норма, оптимальная линейная аппроксимация.

Введение

Функции, промежуток определения которых, разделяется на два промежутка, в одном из которых функция выпукла «вниз», а в другом - выпукла «вверх», возникают в самых различных областях науки и техники [Verhulst 1838; LeCun 1998; Сулейманов 2002; Крамер 2008]. График таких функций напоминает букву «S». Соответствующие кривые часто называют S-кривыми [Крамер 2008]. Далее функции с S-образным графиком будем называть S-функциями.

При решении прикладных задач иногда полезно заменить рассматриваемую S-функцию в каком-то смысле близкой линейной неоднородной (аффинной) функцией. Типичным примером является инженерное исследование системы дифференциальных уравнений «с одной нелинейностью», когда замена нелинейной функции на линейную позволяет в первом приближении исследовать поведение системы методами линейной теории. Самым популярным методом аппроксимации здесь является метод минимизации среднеквадратичной нормы (часто обозначаемой как ||-||2, [Шилов 1970]) отклонения линейного приближения от приближаемой функции, однако более совершенными являются линейные приближения, обеспечивающие минимум равномерной нормы (часто обозначаемой как ||-||<», [Шилов 1970]) отклонения.

В статье исследуется задача оптимальной, именно в смысле минимума равномерной нормы отклонения, аппроксимации S-функции с помощью линейной неоднородной функции, для краткости называемой далее просто «линейной». Это задача минимакса [Демьянов 1972], но предлагаемый способ решения связан с ее конкретными особенностями.

1. Основные результаты

Дадим точные определения рассматриваемым понятиям. Линейную функцию, определяемую парой (^)eRxR, будем обозначать L(^,,V):

L(^,,V) : xeR^ L(^,,^,x)=^+^x.

Здесь и далее R - множество действительных чисел. Линейную функцию, определяемую четверкой (x1,y1,x2,y2)eR (x1^x2), будем обозначать A(x1,y1,x2,y2,-): w ) R . w ) у 1x2 - у2x1 . y2 - y1

A(x1,y1,x2,y2,-): x eR. A(x:,y!,x2,y2,x) =-----------------+---------x.

x2 - x1 x2 - x1

Определение 1. Будем говорить, что пара (a,P)eRxR определяет оптимальную линейную аппроксимацию непрерывной функции f:[a,b].R, если для любой пары (U,X)eRxR имеет место неравенство

||f - L(u,X,)| = max |f(x) - L(u,X,x)| > max |f(x) - L(a,p,x)| = ||f - L(a,p,0||. xe[a,b] xe[a,b]

Здесь и далее символы ||-|| будут обозначать равномерную норму. Будем говорить, что пара (a,P)eRxR определяет строго оптимальную линейную аппроксимацию непрерывной функции f:[a,b].R, если для любой пары (u,X)eRxR: (U,X)^(a,P) имеет место строгое неравенство

max f(x) - L(u, X,x) > max f(x) - L(a,P,x) . x e[a,b] x e[a,b]

Выпуклость в данной статье понимается в строгом смысле.

Определение 2. Будем говорить, что функция f:[a,b].R выпукла (выпукла вверх), если V a<x1<x<x2<b f(x)>A(x1,f(x1),x2,f(x2),x), и вогнута (выпукла вниз), если V a<x1<x<x2<b f(x)<A(xbf(x!),x2,f(x2),x).

Определение 3. Функцию f:[a,b].R назовем S-функцией, если она обладает следующими свойствами:

1) Функция f непрерывно дифференцируема на [a,b]. Дифференцируемость в граничных точках a и b понимается как односторонняя.

2) Найдется такое ce(a,b), что f вогнута на [a,c] и выпукла на [c,b].

Точку «с», обладающую свойством 2), будем называть точкой перегиба функции f. Точка перегиба S-функции единственна (лемма 5).

Методы исследования задачи оптимальной линейной аппроксимации S-функции преемственны по отношению к методам исследования задачи оптимальной линейной аппроксимации выпуклой функции [Cox 1971, Imamoto 2008]. Для того, чтобы проследить эту преемственность, сначала в статье приводится доказательство известного факта.

Теорема 1. Пусть f:[a,b].R - выпуклая (вогнутая) непрерывно дифференцируемая функция. Дифференцируемость в граничных точках a и b

X f(b) - f(a) b •f(a) - a •f(b)

понимается как односторонняя. Обозначим X 0 = —:----------------------, U 0 =-1---.

b - a b - a

Тогда существует единственное число ^e(a,b), обладающее следующими свойствами:

а) f'(^)=X0.

б) В случае выпуклой функции

f(E) -X 0Е + и 0 f(E) -X 0 Е + и 0

L( ^ Ц0 , X0,a) - f(a) = L( ^ Ц0 , X0,b)- f(b) =

f(0 -АG^-^G

2

в случае вогнутой функции

f(E) -X 0Е + и 0 f(E) -X 0Е + и 0

f(a) -L( ^ , X0,a) = f(b) - L( ^ Ц0 , X0,b) =

в) Пара

^ -Х, о^ + Д о 2

X,

ТЛ^>-хо^ + До . ) г

Ь( о , Х0,-) - г

задает строго оптимальную линеиную

аппроксимацию функции Г.

Далее доказываются две взаимно дополняющих друг друга теоремы.

Теорема 2. Пусть Г:[а,Ь]^-К - Б-функция с точкой перегиба се[а,Ь].

Г(Ь) - Г(а) Ь • Г(а) - а • Г(Ь)

Обозначим Xо =—:-------------, до =--------:--------. Пусть Ухе[а,Ь] Г(х)>Ь(доДо,х)

Ь — а Ь — а

(случай квазивыпуклой функции), или Ухе[а,Ь] Г(х)<Ь(доДо,х) (случай

квазивогнутой функции). Тогда найдется единственное число ^е(а,Ь), обладающее

следующими свойствами:

а) Г (0=Хо.

б) В случае квазивыпуклой функции

Г(;) — X о^ + Д о Г(^) — X о ; + Д о

Ь( ^ . , Xо,а) — Г(а) = Ь( ^ , Xо,Ь) — Г(Ь) =

г(^) -х о^-Д о

в случае квазивогнутой функции

Г"(^) -X о^ + Д о Г(^) -X о^ + Д о

ВД -Ь( ^ ^ Цо , Xо,а) = Г(Ь) - Ь( ^ ^ Цо , Xо,Ь):

хо^ + До - Г(0

в) Пара

Г(0 ^ о^ + Д о 2

X,

ТЛО-Xо^ + До . ) г

Ь( о , Xо,-) - г

задает строго оптимальную линейную

аппроксимацию функции Г.

Теорема 3. Пусть Г:[а,Ь]^Я - Б-функция с точкой перегиба се[а,Ь]. Обозначим

X о =

Г(Ь) - Г(а)

Д о =

Ь•Г(а) - а•Г(Ь)

. Пусть 3 хє[а,Ь]: f(x)<L(д0,X0,x) и 3хє[а,Ь]:

Ь — а Ь — а

Г(х)>Ь(доДо,х) (случай общего вида). Тогда имеют место следующие утверждения:

1) Найдется единственная пара чисел Па^(а,с) и ;ае(с,Ь), удовлетворяющая

ГО;а)— Г(а)

равенствам

£ а - а

= Г а) = Г'(Па).

2) Найдется единственная пара чисел пЬ£(а,с) и ;Ье(с,Ь), удовлетворяющая

Г(Ь) — Г(Пь) г,( ) Г,(; )

равенствам —--------------= Г'(пь ) = Г'(; ь ) .

Ь — Пь

3) Если Г(;а)-Г’(;а)^;а-Г(Па)+Г’(Па)^Па>Г(;ь)-Г’(;ь)^;ь-Г(ль)+Г’(Пь)^Пь, то пара Г( Па) — Г'(Па) •Па + Г( £ а) — Г'(£ а) ^ а

Д=

2

и X = Г'(Е, а) задает строго оптимальную

линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства

Г(а) — ь(Д, X,а) = X,Па) — Г(Па) = Г(;а) — Ь(Д, X,;а) = ||L(Д, X^ — Г||

и неравенство |Г(Ь) — Ь(д, X, Ь)| < ||ь(д, X,) — г|.

4) Если Г(;а)-Г’(;а)^;а-Г(Па)+Г’(Па)^Па<Г(;ь)-Г’(;ь)^;ь-Г(пь)+Г’(пь)^Пь, то пара

Г(пь) — Г '(пъ) •ПЬ + Г(; ь) — Г'(; ь) •; Ь , Г „ )

д =-------------------2------------------ и X = Г'(пь) задает строго оптимальную

линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства

ь(д, X ,Ь) — Г (Ь) = ь(д, X, пь) — Г( п ь) = Г(; ь) — ь(д X,; ь) = ||ь(д, X Л — Г\\

и неравенство |г(а) — Ь(д, X, а) < я, ^ — Г\\.

5) Если Г(;а)-Г'(;а)^;а-Г(па)+Г'(па)^па=г(;ь)-Г'(;ь)^;ь-Г(пь)+Г'(пь)^пь, то имеют место

равенства па=пЬ и ;а=;Ь (обозначим: па=пЬ=п и ;а=;ь=;). Пара

Г(п)—г'(п)-п+Г(;)—Г'(;)•; , Г,г ^ Г

д =---------------2------------- и X = Г (п) = Г (;) задает строго оптимальную

линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства Ь(д, X,Ь) — Г(Ь) = Г(а) — Ь(д, X,Ь) = Ь(д, X,п) — Г(п) = Гф — Ь(д, X,;) = ||Ь(д, X,•) — Г||.

2. Вспомогательные утверждения

В дальнейшем изложении значки 3 4 обозначают начало и конец доказательства, а значок И обозначает противоречие. В рассуждениях будут использованы теорема о существовании экстремумов непрерывной функции на отрезке, теорема Ферма, теорема о среднем (теорема Лагранжа) [Шилов 1969], а также следующие утверждения.

Лемма 1. Сумма выпуклой и линейной функции - выпуклая функция. Сумма вогнутой и линейной функции - вогнутая функция.

3 Это частный случай более общей теоремы [Бурбаки 1965]. 4 Лемма 2. Производная выпуклой дифференцируемой функции Г:[а,Ь]^Я монотонно убывает. Производная вогнутой дифференцируемой функции Г:[а,Ь]^Я монотонно возрастает.

3 Это утверждение - часть критерия выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции [Кудрявцев 1977]. Доказательство данной леммы представлено, например, в [Калинина, Яиёпеу]. 4

Лемма 3. Если Г:[а,Ь]^Я - вогнутая непрерывно дифференцируемая функция, то отношение

а={(х,У) е[Г(а)ЛЬ)]х|а,Ь] : Г'(у)=х} является непрерывной монотонно возрастающей функцией.

Если Г:[а,Ь]^Я - выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то отношение

а={(х,У) е[Г(Ь)Аа)]х[а,Ь] : Г'(у)=х} является непрерывной монотонно убывающей функцией.

3 Если Г - вогнутая функция с непрерывной производной, то, согласно лемме 1, функция Г непрерывно и монотонно отображает [а,Ь] на [Г(а),Г(Ь)]. Тогда, согласно известной теореме [Шилов 1969 п.5.38.а], функция Г имеет обратную, которая также непрерывна и имеет тот же характер монотонности (возрастает). Случай выпуклой функции рассматривается аналогично. 4

Лемма 4. Если Г:[а,Ь]^Я - выпуклая непрерывно дифференцируемая функция (Ь>а), то функция ф: хе[а,Ь]^-ф(х)=Г(х)-(х-а)Г(х) монотонно возрастает. Если Г:[а,Ь]^Я - вогнутая непрерывно дифференцируемая функция, то функция ф: хе[а,Ь]^-ф(х)=Г(х)-(х-Ь)Г(х) монотонно возрастает.

Близкое утверждение предлагается в качестве упражнения [Бурбаки 1965]. Приведем полное доказательство леммы.

3 Рассмотрим случай выпуклой функции. Пусть а<х1<х2<Ь.

Имеем ф(х2)-ф(х1)=Г(х2)-(х2-а>Г (х2) - [Г(х1)-(х1-а>Г (хО ]= Г(х2)-Г(х1) + (х1-а>Г (хО -(х2-а>Г (х2) = Г(х2)-Г(х1) + хгГ (х^ -х2-Г (х2) -аГ (х^ +аГ (х2)

= Г(х2)-Г(х1) +хгГ (х1) -х2^Г (х2)+хгГ(х2) -хгГ(х2) -аГ(х1) +аГ(х2) =Г(х2)-Г(х1) -Г(х2)(х2-х1) +хГ(Г (х1) -Г(х2)) -а<Г (х1) -Г(х2))=

=Г(х2)-Г(х1) - Г (х2)(х2-х1) + (х1-а)^(Г (х1) - Г (х2)).

Применив к разности Г(х2)-Г(х1) теорему Лагранжа, получим ф(х2)-ф(х1)=[Г (;)-Г(х2)]^(х2-х1) +(х1-а)^(Г (х1) - Г (х2)), где х1<;<х2.

В силу х1-а>о и монотонного убывания Г (х) первое слагаемое в правой части последнего равенства положительно, а второе - неотрицательно, то есть ф(х2)-ф(х1)>о.

Доказательство для вогнутой функции проводится аналогично, но только в выражении для ф(х2)-ф(х1) члены по-другому группируются:

ф(х2)-ф(х1)=Г(х2)-(х2-Ь)^Г (х2) - [Г(х1)-(х1-Ь)^Г (х1)]= Г(х2)-Г(х1) +(х1-Ь)^Г (х1) -(х2-Ь>Г(х2) = Г(х2)-Г(х1) + хгГ (х1) -х2^Г (х2) -ЬГ(х1) +ЬГ (х2)=

Г(х2)-Г(х1) +хгГ(х1) -х2^Г(х1)+х2^Г(х1) -х2^Г (х2) -ЬГ(х1) +ЬГ (х2)=

[Г (;)-Г(х1)]^(х2-х1) +(х2-Ь)-(Г (х1) - Г (х2)), где х1<;<х2.

В силу неравенства х2-Ь<о и монотонного роста Г (х) первое слагаемое в правой части последнего равенства положительно, а второе - неотрицательно, то есть снова ф(х2)-ф(х0>о. 4

Лемма 5. Точка перегиба Б-функции единственна.

3 Пусть Б-функция Г:[а,Ь]^Я имеет две точки перегиба: с1 и с2 (с1<с2). Возьмем хе(с1,с2). Согласно условию вогнутости Г на [а,с2], должно выполняться условие: Г(х)<А(с1,Г(с1),с2,Г(с2),х). Согласно условию выпуклости Г на [с1,Ь], должно выполняться условие Г(х)>А(с1,Г(с1),с2,Г(с2),х)И. 4

Лемма 6. Пусть Г:[а,Ь]^Я - Б-функция с точкой перегиба се(а,Ь). Тогда функция к:хе[а,Ь]^-Г(х)-(х-с)Г(х) возрастает на [а,Ь].

3 Так как функция Г вогнута на промежутке [а,с], то, согласно лемме 4, функция И(х) возрастает на [а,с]. Так как Г выпукла на [с,Ь], согласно той же лемме, функция И возрастает также на [с,Ь]. Таким образом, И возрастает на [а,Ь]. 4

Лемма 7. Пусть Г:[а,Ь]^Я - непрерывная функция, (а,Р)еКхК Пусть функция ф(х)=Г(х)-Ь(а,в,х) достигает максимального на [а,Ь] значения в точках ие[а,Ь] и уе[а,Ь] и минимального значения в точке we[a,b], причем выполнены неравенство и<’^у и равенство ф(и)=ф(у)= -ф(w).

Тогда ||Г-Ь(а,Р,-)||=ф(и)=ф(у)= -ф(w) и (а,Р) определяет строго оптимальную линейную аппроксимацию функции Г.

3 Обозначим 5=ф(и)=ф(у). Если бы 5 было отрицательно, то выполнялось бы неравенство ф^)=-5>о, то есть минимум функции ф был бы больше максимума^. Следовательно, 5>о, Ухе[а,Ь] -5<Г(х)-Ь(а,Р,х)<5 ^ |Г(х)-Ь(а,Р,х)|<5. С другой стороны значение 5 достигается в точках и,у^, то есть 5=||Г-Ь(а,Р,-)||.

Рассмотрим произвольную пару (д,X)eRхR.

а — д

Пусть А^р. Тогда уравнение Ь(д, X,z) = Ь(а, в, 2) имеет решение z = -—— .

X — р

Для ъ имеет место одно из неравенств: либо z<w, либо ъ>и. Действительно, если z>w и ъ<и, то u>wИ. Аналогично показывается, что для ъ имеет место одно из неравенств: либо ъ<у, либо z>w.

Пусть А,>р. Если z<w, то (с учетом равенства Ь(д, X, z) = Ь(а, Р, z) ) имеем

L(д,X,w)-L(а,Р,w)=L(д,X,w)-L(д,X,z)+L(а,Р,z)-L(а,Р,w)=(X-Р)(w-z)>0.

Таким образом,

L(д,X,w)>L(а,Р,w) и L(д,X,w)-Г(w)>L(а,Р,w)-Г(w)=5 и ||Г-L(д,X,•)||>5.

Если z>u, то (с учетом равенства L(д, X^) = L(a, Р,z) ) имеем

L(a,Р,u)-L(д,X,u)=L(a,Р,u)-L(a,Р,z)+L(д,X,z)-L(д,X,u)=(Р-X)(u-z)>0.

Таким образом,

L(д,X,u)<L(a,Р,u) и ДиНЦдД^ГцНЦаДц^ и ||Г-L(д,X,•)||>5.

Пусть А<Р. Рассуждения аналогичны, но используют условие z<v или z>w.

Если z>w, то

L(д,X,w)-L(a,Р,w)=L(д,X,w)-L(д,X,z)+L(a,Р,z)-L(a,Р,w)=(X-Р)(w-z)>0.

Таким образом,

L(д,X,w)>L(a,Р,w) ^ L(д,X,w)-Г(w)>L(a,Р,w)-Г(w)=5 и ||Г-Ь(дД,0||>5.

Если z<у, то

L(a,Р,v)-L(д,X,v)=L(a,Р,v)-L(a,Р,z)+L(д,X,z)-L(д,X,v)=(Р-X)(v-z)>0.

Таким образом,

L(д,X,у)<L(a,Р,у) ^ Г(у)-L(д,X,у)>Г(у)-L(a,Р,у)=5 и ||Г-Ь(дД,0||>5.

Пусть А=Р.

Если д>а, то L(д,X,w)>L(a,Р,w) ^ L(д,X,w)-Г(w)>L(a,Р,w)-Г(w)=5 и ||Г-L(д,X,•)||>5.

Если д<а, то L(д,X,v)<L(a,Р,v) ^ Г(у)-L(д,X,у)>Г(у)-L(a,Р,у)=5 (одновременно Г(u)-L(д,X,u)>Г(u)-L(a,Р,u)=5) и ЦГ-ЦдД,-)!^.

В результате показано, что при любом (дД)^(а,Р) ||Г-L(д,X,•)||>5. 4 Лемма 8. Пусть Г:[а,Ь]^К - непрерывная функция, (a,Р)eRхR. Пусть функция ф(х)=Г(х)-Ь(а,Р,х) достигает максимального на [а,Ь] значения в точке we[а,Ь] и минимального значения в точках ие[а,Ь] и уе[а,Ь], причем выполнены неравенство и^<у и равенство ф(w) = -ф(и) = -ф(у).

Тогда ||Г-Ь(а,Р/)|| = ф(w) = -ф(и) = -ф(у) и (а,Р) определяет строго оптимальную линейную аппроксимацию функции Г.

3 Доказательство проводится по строгой аналогии с доказательством леммы

7.4

3. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим случай выпуклой функции. Случай вогнутой функции

рассматривается аналогично с использованием леммы 7.

3 Свойство а). Существование числа £, удовлетворяющего равенству Г (^)=X0,

- следствие теоремы о среднем, единственность - следствие леммы 2.

Г( ^) — X 0^ + д 0 Г(^) — X 0 ^ + д 0

Свойство б). L( ^ 20Ь ^°, X0,а) — Г(а) = ^ 20 0 + X0а — Г(а) =

Г(0 — ^ + Д0 Г(Ь) — Г(а) Г( . Г(0 — ^ + Д0 Г(Ь)а — Г(а)Ь

=--------;;-------+ —;-------а — Г(а) =-------- ------+-----;--------=

2 Ь — а 2 Ь — а

Г(£)— ^ + Д0 Г(0 — ^ —Д0 т

=--------2-------д 0 =----------------------------------------------2-. (1)

Аналогично показывается, что

Т(Г(^) — X 0^ + д 0 0 ]) Г(]) Г(^) — X 0^ —д 0 (2)

L(---------------, X 0,Ь) — Г(Ь) =------------. (2)

Г(£) — X 0^ —Д 0

Введем обозначение -------------------2-------= 5. Рассмотрим функцию

Г(^) — X 0^ + Д 0

ф:х е[а,Ь] ^ Г(х) — L(--------2-----, X0,х) . Производная этой функции ф' (х)=Г (x)-X0.

В точке Е, ф' (£)=0. В силу леммы 2 на промежутке [а,^) ф '(х)>0, а на промежутке (£,Ь] ф '(х)<0. С учетом теоремы Лагранжа на [а,£] функция ф монотонно возрастает, а на [^,Ь] - монотонно убывает. Так как Г выпукла, то Г(£)-Аю£-До>0, то есть Г( ^) — X 0^ — Д 0

ф(^) =---------------------------------------------2-= 5> 0. С другой стороны, в силу (1) и (2), ф(а)=ф(Ь)= -5<0.

Поэтому на [а,^] функция возрастает от минимального на [а,Ь] значения -5 до максимального на [а,Ь] значения 5, а на [£,Ь] убывает от 5 до -5. Таким образом,

ф Г (Г(0— ^ + Д0 . ) 8

функция Г и пара (-----------2------, X0) удовлетворяют условиям леммы 8, то есть

линейную аппроксимацию

5 (Г(£) — X 0^ + д 0 л )

= 5 и (---------2-------, X0) задает строго оптимальную

Г. 4

4. Доказательство теоремы 2

Большая часть рассуждений здесь повторяет рассуждения из доказательства теоремы 1. В частности, достаточно рассмотреть только случай квазивыпуклой функции, а случай квазивогнутой функции рассматривается аналогично с использованием леммы 7.

3 Покажем, что число ^е(а,Ь), такое, что Г (^)=X0, существует и единственно. Пусть Г (а)<Аю. Тогда, в силу непрерывности производной, в некотором промежутке (а,а+в) (в>0) Г Для произвольного хе(а,а+в) по теореме Лагранжа

Г(х)=Г(а)+Г (^)-(х-а), где ^е(а,а+в), то есть f(x)<f(a)+X0•(x-a) или Г(х)<Ь(д0Д0,х), что противоречит квазивыпуклости. Поэтому Г (а)^0 и, в силу леммы 2, в промежутке (а, с] Г (х)^0, то есть, в частности, Г (с)^^

Пусть Г (Ь)^. Тогда, в силу леммы 2, в некотором промежутке (Ь-в,Ь) (в>0) Г (х)^0. Применяя аналогично теорему Лагранжа, получаем, что в этом промежутке Г (х)<Ь(д0Д0,х), что опять противоречит квазивыпуклости. Поэтому Г (Ь)^^ Отсюда, в силу леммы 2, найдется единственное ^е(с,Ь): Г (^)=X0.

Доказательство равенств

— ^ + Д0 . ) Г( ) — ^ + Д0 . Ь) т) Г(0 — ^ — Д0

Д---------2------, X 0,а)—Г(а) = ^------2-------, X 0,Ь)—Г(Ь) =-------2-------

в п.3 не использует свойств выпуклости функции Г, поэтому полностью переносится в данное доказательство.

В промежутке (а,£) Г(х)>Аю, а в промежутке (£,Ь) Г^х)^^ поэтому функция Г(^) — X 0 ^ +Д 0

ф(х) = Г(х) — L(------2-------, X0,х) в промежутке [а,£] монотонно растет от -5 до 5, а

Г(^) — X 0^ —Д 0

в промежутке [^,Ь] монотонно убывает от 5 до -5, где 5 =--------2-------.

Г(^) — X 0^ +д 0

Г-Г-' /— 1 г* / 0~ г 0 л \

Таким образом, функция Г и пара (------------------2---------, X0) удовлетворяют условиям

леммы 8, то есть

2

строго оптимальную линейную аппроксимацию Г. 4

о (Г(0 -Х0^ + Д0 Л ч

= о и пара (-----------2--------, X0) задает

5. Доказательство теоремы 3

Теперь рассмотрим случай, когда на отрезке [а,Ь] функция ф(х)=Г(х)-Ь(д0Д0,х) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Для того чтобы доказательство не было громоздким, сначала выделим несколько лемм.

Лемма 9. Существуют единственная точка п0е[а,Ь], в которой функция ф достигает минимального на [а,Ь] значения, и единственная точка ^0е[а,Ь], в которой функция ф достигает максимального на [а,Ь] значения. Эти точки обладают следующими свойствами: п0е(а,с), ^0е(а,Ь) и f(n0)=f(^0)=X0.

3 По лемме 1 функция ф является Б-функцией с той же точкой перегиба «с», что и функция Г. Как непрерывная функция, ф достигает на отрезке [а,Ь] минимального и максимального значений. Пусть п - некоторая точка минимума ф. Из условия теоремы следует, что ф(п)<0. Так как ф(а)=ф(Ь)=0, то п^а и п^Ь и по теореме Ферма ф'(п)=0.

Покажем, что пе(а,с). Пусть пе[с,Ь). По теореме о среднем Ухе(п,Ь) ф(х)-ф(п)=ф'(у)(х-п), где уе(п,х). По лемме 2 ф'(у)<ф'(п)=0, то есть ф(х)-ф(п)<0^ф(х)<ф(п)

■

Далее, так как по лемме 2 ф' растет на (а,с), то точка п, обладающая свойством: ф'(п)=0 единственна на (а,с). Обозначим эту единственную точку минимума как п0.

Аналогично доказывается, что найдется единственная точка максимума функции ф на [а,Ь] ^0 и она обладает свойствами: ^0е(с,Ь) и ф'(^0)=0. Из равенств ф'(п0)=0 и ф'(^0)=0 следует, что f(пo)=f(^o)=Xo. 4

Рассмотрим функцию а из леммы 3 для сужения функции Г|[а с]. Аналогичную

функцию для сужения Г|[с ь] обозначим через р. Обозначим: Г(c)=Xm.

Лемма 10. Для каждого Xе[X0,Xm] а^е^^с] и Р^е^,^].

3 Это связано с монотонностью Г на [а,с] и [с,Ь]. Если, например, а^)<п0, то X=f(а(X))<f(пo)=Xo ■. 4

Для заданного Xе[X0,Xm] рассмотрим две линейные функции. График одной из них имеет наклон X и проходит через точку (а^), Да^)). График другой также имеет наклон X, но проходит через точку (Р^), ДР^)). Аналитически эти функции задаются формулами

ша(X,x)=f(a(X))+X(x-a(X))=L(f(a(X))-X•a(X)),X,x),

шь(X,x)=Г(p(X))+X(x-p(X))=L(Г(p(X))-X•p(X)),X,x).

Для любого х разность шЬ(X,x)-ша(X,x)=Г(P(X))-X•P(X) - f(a(X))+X•a(X) не зависит от х, но зависит от X. Половину этой разности обозначим 5^):

5^) = ^РМН-да) - Г(a(X))+X•a(X)]. (3)

11

Функцию ш^х) = 2 [юЬ(X,x)+шa(X,x)] = ^ [Г(P(X))-X•P(X)+Г(a(X))-X•a(X)]+X•x

будем рассматривать как некоторое линейное приближение искомой оптимальной функции, соответствующее параметру X.

Лемма 11. Функция а^х^Дх^-ш^х) при фиксированном X монотонно убывает по х на отрезке [а^^)], монотонно возрастает на отрезке [аДХРД)] и монотонно убывает на отрезке [РДХЬ].

3 Вычисляем производную а по х: а'^х^Г'(х)^. Она отрицательна на отрезке (а^^)), положительна на (а^ХР^)) и снова отрицательна на (РДХЬ). Монотонность функции в каждом промежутке обосновывается теоремой о среднем. 4

Лемма 12. Функция а^х^Дх^-ш^х) имеет абсолютный максимум либо в точке «а», либо в точке Р^) и абсолютный минимум либо в точке а^), либо в точке «Ь». Других точек экстремума у функции нет. При этом а^Р^)^ -а^а^)^^)^.

3 Внутри промежутка, на котором функция монотонна, она не может иметь точек локального экстремума. Поэтому, в соответствии с закономерностями монотонности функции а^,-), установленными леммой 11, на отрезке [а,Ь] функция а^,-) имеет следующие точки локального экстремума: «а», а^), РД) и «Ь». Точка «а» является точкой локального максимума, а^) является точкой локального минимума, Р^) является точкой локального максимума, причем а^Р^^а^аД)), точка «Ь» снова является точкой локального минимума. Так как точка абсолютного максимума является точкой локального максимума, то функция а^/) имеет абсолютный максимум либо в точке «а», либо в точке Р^). Аналогичны рассуждения, касающиеся абсолютного минимума а^/).

Равенство а^РД)) = 5^) = -а^а^)) показывается непосредственным

1

вычислением, например: а(X,P(X))=f(P(X)) — ^ [f(P(X))-X•P(X)+f(a(X))-X•a(X)]-X•P(X)

1

= - [f(p(X))-X•p(X) - Г(a(X))+X•a(X)]=5(X).

Так как а^РД^а^а^)), то 5(X) > -5(X) ^ 5(X)>0. 4

Рассмотрим следующие отклонения шД,х) от функции Г в концевых точках отрезка [а,Ь]:

5а(X)=a(X,а)=Г(а)-ш(X,а), 5ь(X)= -а(X,Ь)=ш(X,Ь)-Г(Ь).

Лемма 13. VXе[X0,Xm] 5а(X)>-5(X) и 5Ь(X)>-5(X).

3 Обозначим

sa(X)=5a(X)+5(X)=Г(a)-X• a-[f(a(X))-X•a(X)]= Г(a)-Г(a(X))-X• [a-•a(X)]. Применяя теорему о среднем, получаем sа(X)=[f(^)-X]•[a-•a(X)], где ^е^а^)). Так как Г вогнута на [а, с] и ^а^), то по лемме 2 f(^)-X<0. Кроме того, а-аД)<0, поэтому [f(^)-X]•[a-•a(X)]>0 ^sa(X)>0^5a(X)>-5(X).

Обозначим sь(X)=5ь(X)+5(X)=X•Ь -Г(Ь) + f(p(X))-X•p(X)=X•(b-p(X))+ Г(p(X))-Г(Ь). Применяя теорему о среднем, получаем: sЬ(X)==[f (^)-X]•[P(X)-Ь], где ^еф^ХЬ). Так как Г выпукла на [с,Ь] и ^Р^), то по лемме 2 f(^)-X<0. Так как Р^-Ь^, то sЬ(X)>0 ^ 5Ь(X)>-5(X). 4

Далее, рассмотрим две разности:

Aa(X)=5a(X)-5(X) = Г(a)-X•a -[Г(p(X))-X•p(X)] и

Aь(X)=5ь(X)-5(X) = X•Ь -Г(Ь) + ^а^Н'^^).

Проанализируем изменение функций 5(X), Aa(X), AЬ(X) на промежутке [X0,Xm].

1

Лемма 14. На промежутке 5(X) монотонно убывает от ^ [Г(P(X0))-X0•P(X0)

- Г(a(X0))+X0•a(X0)] до нуля.

3 Преобразуем выражение для вычисления 5^):

5^) = 2 [Г(P(X))-X•(P(X)-c) - Г^НЧа^-с)].

Функцию gЬ(X)=Г(P(X))-X•(P(X)-c) можно представить так:

вь^щ^Гр^Нр^-сЖр^)).

Здесь ^хе^Ь^Г^-х-с^Г^х) возрастает на [а,Ь] согласно лемме 6. Согласно лемме 3, функция Р убывает, поэтому (при возрастающей ^ суперпозиция gЬ=h°P убывает.

Функцию ga(X)=Г(a(X))-X•(a(X)-с) можно представить как gа(X)=f(a(X))-f(a(X))•(a(X)-c). Согласно лемме 3, функция а возрастает, поэтому и суперпозиция

1

gа=h°a возрастает. Отсюда следует, что 5(X)=2 [gь(X)—gа(X)] монотонно убывает.

Согласно лемме 3, a(Xm)=c и P(Xm)=c, поэтому 5(А,щ)=0. Следовательно, функция 1

5 убывает на [X0,Xm] от ^ [Г(P(X0))-X0•P(X0) - Г(a(X0))+X0•a(X0)] до нуля. 4

Лемма 15. Функция Аа^) на промежутке [X0,Xm] монотонно растет, причем Аа^0)<0 и Aа(Xm)>0.

3 Преобразуем выражение для вычисления Aa(X) :

Aa(X) = Г(a)-X•(a-c) -[Г(p(X))-X•(p(X)-c)]=Г(a)-X•(a-c)-gь(X).

Так как а<с, то выражение f(a)-X•(a-c) монотонно возрастает. Функция gЬ(X), как было показано в доказательстве леммы 14, монотонно убывает, то есть -gЬ(X) монотонно возрастает. Следовательно, Aa(X) монотонно растет.

Так как ^^Р^) является точкой максимума функции f(x)-д0-X0x на [а,Ь], то f(^0)-д0-X0^0>0^f(^0)-X0^0>д0. Далее, по самому определению X0, д0 имеем: Г(a)=д0+X0•a ^ f(a)-X0•a=д0. Таким образом, Aa(X0)=Г(a)-X0•a-[Г(^0)-X0^0]<д0-д0=0.

Далее:

Aa(Xm)=Г(a)-Xm•a -[f(p(Xm))-X•p(Xm)]=f(a)-Xm•a - [Г(c)-X•c]= Г(a)-Г(c)+Xm•(c-a). Применяя теорему о среднем и лемму 2, получаем

Aa(Xm)=[Xm-f(^)]•(с-a)=[f(c)-f(^)]•(с-a)>0.

Итак, Aa(X0)<0 и Aa(Xm)>0. 4

Лемма 16. Функция AЬ(X) на промежутке монотонно растет, причем

Ab(Xo)<0 и Aь(Xm)>0.

3 Преобразуем выражение для вычисления AЬ(X) :

Ab(X) = X•(Ь-c) -Г(Ь) + Да^-Ма^-с^^).

Так как Ь>с, то выражение X•(Ь-c)-Г(Ь) монотонно возрастает. Функция ga(X), как было показано в доказательстве леммы 14, монотонно растет. Следовательно, AЬ(X) также возрастает.

Так как п0=а^0) является точкой минимума функции f(x)-д0-X0x на [а,Ь], то Г(п0)-д0-X0п0<0^Г(п0)-X0п0<Д0. Далее, по определению X0 и д0, имеем f(b)=д0+X0•b ^ X0•Ь-Г(Ь) = -д0. Таким образом, AЬ(X0)=X0•Ь-Г(Ь)-[Г(n0)-X0n0]<Д0-Д0=0.

Далее, Aь(Xm) = Xm•Ь-Г(Ь) + Г(a(Xm))-Xm•a(Xm)=Xm•(Ь-c)+Г(c)-Г(Ь).

Применяя теорему о среднем и лемму 2, получаем AЬ(Xm)=[f(c)-F(^)]•(b-c)>0 (с<^<Ь). 4

Проведем теперь доказательство теоремы 3. При этом доказательство каждого пункта заключения теоремы будем начинать его номером.

3 1) Согласно лемме 15, существует единственное Xае(X0,Xm): Aa(Xa)=0. Обозначим ^=0^), na=a(Xa). Из условия Aa(Xa)= Г(a)-Xa•a -[Г(P(Xa))-Xa•P(Xa)]=0 следует равенство

Г(а)-Г(5а)^ ГК&Ка]=0 или Г(а)-Г(5а)-Г(5а>(а-5а)=0. (4)

Функция у(х)=Г(а)-Г (х^а-Г^-Г (x)•x]=Г(a)+f (x)•(c-a)-[Г(x)-f (х)^(х-с)] монотонно убывает на [с,Ь], потому что с>а, Г убывает по лемме 2 и выражение -[Г(х)-Г (х)^(х-с)] убывает по лемме 4. Следовательно, другого 5е[с,Ь], удовлетворяющего равенству (4), нет. В силу монотонности Г на [а,с] не найдется и другого п, удовлетворяющего равенству Г (п)=Г (5а). Равенство (4) переписывается как Г( 5 а) — Г(а) Г )

5а — а (5а).

2) Согласно лемме 16, существует единственное XЬе(X0,Xm): AЬ(XЬ)=0. Обозначим 5ь=P(Xь), nь=a(Xь).

Из условия AЬ(XЬ)=XЬ•Ь-Г(Ь) + Г(a(XЬ))-XЬ•a(XЬ)=0 следует равенство

Г (пь>Ь-Г(Ь) + Д(пь)-Г (пь>Пь=0 или Г(пьНЬ-Пь) + Г(пь)-Г(Ь)=0. (5)

Функция у(х)=Г (x)•Ь-Г(Ь) + Г(х)-Г (x)•x=f (x)•(Ь-c)-Г(Ь) + Г(х)-Г (х>(х-с) монотонно возрастает на [а,с], потому что Ь>с, Г' возрастает по лемме 2 и выражение Г(х)-Г (х)^(х-с) возрастает по лемме 4. Следовательно, другого пе[а,с], удовлетворяющего равенству (5), нет. В силу монотонности Г на [с,Ь] не найдется другого 5е[с,Ь], удовлетворяющего равенству Г (5)=Г (пЬ). Равенство (5)

Г(Ь) — Г(пь) Г'( .

переписывается как —------------= Г' (пь) .

ь — Пъ

Согласно равенству (3), имеют место равенства 5(Xа)=Г(5а)-f(5а)•5а-Г(nа)+f(nа)•nа и 5^)=^)^ (5ьКь-ГЫ+Г(ПЬ>ПЬ.

3) Пусть 5(Xa)>5(XЬ). Так как функция 5 по лемме 14 монотонно убывает, то Xa<XЬ. Отсюда, в силу монотонного возрастания функции Aь по лемме 16, AЬ(Xa)<AЬ(XЬ)=0^5Ь(Xa)<5(Xa). С другой стороны, по лемме 13, 5Ь(Xa)>-5(Xa), то есть имеют место неравенства

-5(Xa)<5b(Xa)<5(Xa) ^ -5(Xa)<a(Xa,Ь)<5(Xa). (6)

Г( Па) — Г'( Па) •Па + Г(5 а) — Г'(5 а) ^5 а Т

Обозначим д =------------------------2------------------. Тогда, по

определению 5а и па, имеем: ш^/ХЦдД^). Функция a(Xa,•), согласно лемме 12, имеет абсолютный максимум в точке «а» или в точке 5а и абсолютный минимум в точке па или в точке «Ь». Из равенства Aa(Xa)=0 следует, что 5a(Xa)=a(Xa,a)=f(a)-L(д,Xa,a)=5(Xa)=a(Xa,5a), то есть а^^) имеет максимум в обеих точках: «а» и 0^X5^ Согласно лемме 12 аДа,па) = -5^). Согласно (6), a(Xa,Ь)>a(Xa,na). Следовательно, аД^) имеет абсолютный минимум в точке па, причем

а^а^а^^КДа^-а^Па).

Таким образом, для функций Г и ш^/) выполняются условия леммы 7 и потому пара д и X = X а = Г'(5 а) задает строго оптимальную линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства

Г(а) — L(Д, X,а) = L(Д, X,Па) — Г(Па) = Г(5а) — L(Д, X,5а) = ||ДД, X^ — Г\\.

Из (6) следует: Д(Ь) — L(д, X, Ь)| < |^(д, X,•) — г|| .

4) Пусть 5(Xa)<5(XЬ). Так как функция 5 по лемме 14 монотонно убывает, то Xa>XЬ. Отсюда, в силу монотонного возрастания функции Aa по лемме 15, Aa(XЬ)<Aa(Xa)=0^5a(XЬ)<5(XЬ). С другой стороны, по лемме 13, 5a(XЬ)>-5(XЬ), то есть имеют место неравенства

-5^)^^)^^) ^ -5(Xь)<a(Xь,a)<5(Xь). (7)

Г(пъ) — Г '(пъ)•пъ + Г(5ъ) — Г'(5ъ)^5ъ т 5

Обозначим д =--------------------2-------------------. Тогда, по определению 5Ь

и пЬ, имеем ш(XЬ,•)=L(д,XЬ,•). Функция а^/), согласно лемме 12, имеет абсолютный максимум в точке «а» или в точке 5Ь и абсолютный минимум в точке пЬ или в точке «Ь». Из равенства AЬ(XЬ)=0 следует, что 5Ь(XЬ)= -a(XЬ,Ь)=5(XЬ)=a(XЬ,5Ь). Следовательно, в частности, а^^Ь^^^). С другой стороны, согласно лемме 12 также а^,^) = -5(XЬ), то есть аД^) имеет минимум в обеих точках: «Ь» и a(XЬ)=nЬ. Согласно (7), а^^^^^а^^). Следовательно, a(XЬ,•) имеет абсолютный максимум только в точке 5Ь, причем

а^ь^ь) = 5^ь) = - аДьЬ) = -a(Xь,пь).

Таким образом, для функций Г и ш^ь^) выполняются условия леммы 8 и потому пара д и X = Xъ = Г'(пъ) задает строго оптимальную линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства

L(Д, X,Ь) — Г(Ь) = ^ X, Пъ) — Г(Пъ) = Г(5ъ) — L(Д, X, 5ъ) = ||L(Д, XЛ»— Г||

Из (7) следует |Г(а) — L(д, X, а) < |^(д, X,•) — Г||.

5) Пусть 5(Xа)=5(XЬ). Из монотонности функции 5 следует, что Xa=XЬ. Обозначим это общее значение через X. Соответственно, имеем п^п^а^), 5^51^^). Обозначим

Г( п) — Г'( п) • п + Г(5) — Г'(5) ^5 П=Па=Пь, 5=5а=5ь, Д =-------------------2-------------. Тогда X = Г ' (п) = Г'(5). Из

равенств Aa(X)=0 и AЬ(X)=0 следует, что 5a(X)=a(X,a)=5(X) и 5Ь(X)= -a(X,Ь)=5(X). Из леммы 12 следует, что а(^5)= -а^пК^). Таким образом, a(X,а)=a(X,5)=5(X) и а^п^а^Ь^ -5(X).

Следовательно, по каждой из лемм 7 или 8 пара д и X задает строго оптимальную линейную аппроксимацию функции Г, причем выполняются равенства

имЛ, Ь)—f (Ь) = / ^)—ЦмЛ,Ь) = ЦдЛп)—f (п) = / (5)—ЦмА5) = | И X—А 4

6. Вычисление параметров оптимальной линейной аппроксимации

Методы вычисления параметров наилучшего линейного приближения непосредственно формулируются на основе теорем 2, 3. Аналитическое решение уравнений вида

. Г(Ь) — Г(а) ( Г(х) — Г(а) Д ( [Ь]) Г(Ь) — Г(х)

Г' (х) = — ------- (хе [а,Ь]), --------= Г ' (х) (хе [с,Ь]), или — ------= Г'(х)

Ь — а х — а Ь — х

(хе[а,с])

возможно только в частных примерах, поэтому желательно предложить достаточно универсальный численный метод решения задачи. Так как функции Г (х)^^ Г(х)-Г(а)-Г(х)(х-а) и Г(Ь)-Г(х)-Г'(х)(Ь-х), нули которых ищутся при решении перечисленных уравнений, монотонны, то для численного решения уравнений эффективно используются стандартные итеративные методы, например, метод дихотомии [Калиткин 1978]. При практической реализации метода определения параметров оптимальной аппроксимации универсальная программа, осуществляющая итерации, взаимодействует со специальной программой (программой пользователя), передающей универсальной программе данные, касающиеся конкретной функции Г. От специальной программы требуется следующая информация:

1) тип функции: квазивыпуклая, квазивогнутая, общего вида;

2) границы промежутка [а,Ь], на котором задана функция, точка перегиба се(а,Ь);

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Рис. 1. Оптимальная линейная аппроксимация функции f(x)=sin(x) на

п п

промежутке [-- ^]

-3 -2.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Рис. 2. Оптимальная линейная аппроксимация функции-сплайна Jax2 + cx, если x < 0 с с 1 3

f(x)Ч, 2 Л на промежутке [-—,-2b] (a = 2’ b = -2’ с = 3).

I bx + cx, если x > 0 2a 2b 2 2

3) характеристики требуемой точности;

4) значения функции для любого xe [a,b];

5) значения производной для любого xe [a,b].

При использовании для решения задачи средств объектно-ориентированного программирования описанные данные могут формироваться методами объекта пользователя, посвященного одной функции. Объект пользователя взаимодействует с объектом, реализующим универсальные вычисления. На рисунках 1 и 2 представлены результаты, полученные в среде системы MatLab [Дьяконов 1999] с использованием для решения уравнений стандартной программы поиска нулей функции «fzero». Запрос о точности этой программе не передавался, то есть использовались ее внутренние критерии остановки процесса вычислений. Для сравнения на рисунках тонкой черной линией показаны графики линейных аппроксимаций, параметры которых получены

b

аналитически, путем минимизации функции Q(^, X) = J (f(x ) - ^-Xx)2dx.

a

Библиографический список

БурбакиН. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965. 424 с.

Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.

Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. 640 с.

Кудрявцев Л. Д. Выпуклая функция // Математическая энциклопедия. Т.1. М.: Советская энциклопедия, 1977. С. 793-795.

Калинина Е. А. Математика, которая мне нравится. Выпуклые функции. URL: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-11-klass/14-vypuklye-funkcii (дата

обращения: 18.11.2011).

Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

Крамер А. Размышления над S-кривой. URL: http://www.metodolog.ru

/01490/01490.html (дата обращения: 12.12.2011).

Сулейманов С. Л. Оршовская Е. В., Исаенко В. В. Подбор функций для описания технического состояния оборудования // Прогрессивные технологии и системы машиностроения. 2002. Вып. 23. С. 147-151.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. М.: Наука, 1970. 352 с.

Cox M. G. An algorithm for approximating convex functions by means of the first degree splines // Computer Journal. 1971. Aug. Vol. 14. P. 272-275.

Imamoto A., Tang B. Optimal piecewise linear approximation of convex functions. // Proceedings of the world congress on engineering and computer science, October 22-24, 2008. San Francisco, 2008.

LeCun Y., Bottou L., Orr G., Muller K. (1998). Efficient BackProp. Springer.

RudnevM. Convex functions. URL: http://www.maths.bris.ac.uk/~maxmr/opt/convex.pdf (дата обращения: 13.11.2011).

Verhulst P. F. (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement // Correspondance mathematique et physique 10:113-121.