О двух функциях, связанных с простейшей линейной системой второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ДВУХ ФУНКЦИЯХ, СВЯЗАННЫХ С ПРОСТЕЙШЕЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© 2010 А. М. Фрумкин

канд. техн. наук, доцент. каф. электроснабжения e-mail: frumkinam@mail.ru

Юго-Западный государственный университет

Исследуются некоторые свойства двух функций, связанных с линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Одна из функций паре переменных начального состояния ставит в соответствие значение ближайшего справа экстремума решения уравнения. Другая функция паре переменных начального состояния ставит в соответствие значение производной решения уравнения в ближайший справа момент перехода решения через ноль. Обе функции могут использоваться при исследовании решений нелинейных систем методом сравнения.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, состояние, дифференциальное неравенство, метод сравнения, критическая точка функции, ноль функции.

Введение

Одним из методов исследования свойств решений дифференциальных уравнений является метод сравнения решений исследуемой системы с решениями более простого (например, линейного) уравнения, имеющими те же начальные условия [Воскресенский 1990; Ельшин 1954; Камке 1976; Лакшмикантам 1991; Мамедов 1980; Мышкис 1979; Тонков 1985; Чаплыгин 1976]. Метод сравнения часто применяется для качественного исследования процессов в конкретных объектах [Белых 1983; Бутенина 2004; Бутенина 2010].

При исследовании затухающего колебательного процесса методом сравнения иногда бывает полезно сравнить экстремумы исследуемой переменной с экстремумами переменной приближающего решения соответствующей простой (линейной) системы, а также скорости перехода (производные) исследуемой переменной через ноль со скоростями перехода через ноль для переменной приближающего решения. Рассуждения при этом требуют исследования зависимостей экстремумов и скоростей перехода через ноль приближающего решения от начальных условий и параметров. Настоящая статья посвящена такому исследованию для простого дифференциального уравнения:

x"+ax'+bx=0, (a,beR, a>0, b>0). (1)

Решение x(t) задачи Коши для данного уравнения с начальными условиями x(0)=ueR, x'(0)=veR зависит от четырех параметров. Далее будем обозначать его h(a,b,u,v,t), а производную решения (то есть производную h(a,b,u,v,t) по пятому аргументу: x'(t)=d5h(a,b,u,v,t) ) будем обозначать как h'(a,b,u,v,t). Если параметры a,b ясны из контекста, решение и его производную будем обозначать проще: h(u,v,t) и h'(u,v,t).

В данной статье будут исследоваться свойства следующих отношений, являющихся одновременно функциями (согласно общему подходу к определению функции, как отношения [Дьедонне 1964; Фор 1966]):

i0=(((u,v)£): (u,v)eR2 л ^=inf{t>0: h'(u,v,t)=0}} - функция, которая некоторым парам (u,v)eR2 ставит в соответствие ближайшую справа (с учетом начального

момента) критическую точку решения соответствующей задачи Коши. Область определения этой функции Бш(т0)={(и,у)еК2: {1>0: Ь'(и,у,1;)=0}^0};

д={((и,у),^): (и,у)еБш(т0) л ^=Ь(и,у,т0(и,у))} - функция, которая каждой паре (и,у) из области определения т0 ставит в соответствие ближайшее справа критическое значение (значение экстремума) решения соответствующей задачи Коши;

ц={((и,у)£): (и,у)еЯ2 л ^=тГ{1>0: Ь(и,у,1;)=0}} - функция, которая некоторым парам (и,у)еЯ2 ставит в соответствие ближайшую справа (с учетом начального момента) точку нуля решения соответствующей задачи Коши. Область определения этой функции Бш(т1)={(и,у)еК2: {1>0: Ь(и,у,1;)=0}^0};

Л={((и,у),^): (и,у)еБш(11) л ^=Ь'(и,у,т1(и,у))} - функция, которая каждой паре (и,у) из области определения т1 ставит в соответствие производную решения соответствующей задачи Коши в ближайшей справа точке перехода решения через ноль.

Описанные функции, как и функции И, И', зависят от параметров (а,Ь), поэтому их значения более строго обозначать как т0(а,Ь,и,у), д(а,Ь,и,у), т1(а,Ь,и,у), п(а,Ь,и,у). Далее эти функции будут изучаться не на полных областях определения, а на их подмножествах. Учет начального момента времени в определениях т0, т1, выбран специально, чтобы эти функции были непрерывны в точках границы рассматриваемых подмножеств (кроме точки (0,0)). Эти подмножества важны с точки зрения решения следующих двух задач.

Задача 1. Пусть гладкая функция х(1;) возрастает на промежутке [0,Т] от нуля до максимального значения х(Т)>0, причем х'(Т)=0. Пусть в промежутке [0,Т] функция удовлетворяет дифференциальному неравенству х''(1;)+а-х'(1;)+Ь-х(1;)<0, где а>0, Ь>0. Необходимо выяснить, выполняется ли неравенство х(Т)<д(а,Ь,0,х'(0)).

Во втором (симметричном) варианте этой задачи рассматривается функция х(1;), убывающая на промежутке [0,Т] от нуля до минимального значения х(Т)<0 и удовлетворяющая дифференциальному неравенству х''(1;)+а-х'(1;)+Ь-х(1;)>0. Необходимо выяснить, выполняется ли неравенство х(Т)>д(а,Ь,0,х'(0)).

Задача 2. Пусть гладкая функция х(1;) убывает на промежутке [0,Т] от максимального значения х(0)>0 до нуля, причем х'(0)=0. Пусть в промежутке [0,Т] функция удовлетворяет дифференциальному неравенству х''(1;)+а-х'(1;)+Ь-х(1;)>0. Необходимо выяснить, выполняется ли неравенство х'(Т)>п(а,Ь,х(0),0).

Во втором (симметричном) варианте этой задачи рассматривается функция х(1;), возрастающая на промежутке [0,Т] от минимального значения х(0)<0 до нуля и удовлетворяющая дифференциальному неравенству х''(1;)+а-х'(1;)+Ь-х(1;)<0. Необходимо выяснить, выполняется ли неравенство х'(Т)<п(а,Ь,х(0),0).

Первую задачу можно решить с помощью известной теоремы сравнения Чаплыгина [Чаплыгин 1976, Мамедов 1980], однако для решения второй задачи этот подход непосредственнно не применим. Данная статья преследует цель решить обе задачи.

В первой задаче значения функции х(1;) и ее производной неотрицательны (во втором ее варианте - неположительны). Для ее решения могут быть использованы сужения функций т0 и д на множество 00={(и,у)еЯ2: (и>0лу>0^(и<0лу<0)}еВш(т0).

Во второй задаче значения функции х(1;) неотрицательны, а значения производной х'(1;) неположительны (во втором варианте значения х(1;) неположительны, а значения х'(1;) неотрицательны). Для ее решения могут быть использованы сужения функций т1 и п на множество 01={(и,у)еЯ2: (и^лу^^и^лу^^еБш^). Если а2-4Ь>0, то приближающее решение уравнения (1) не достигает нуля и, согласно теореме

Чаплыгина [Чаплыгин 1976, Мамедов 1980, Мышкис 1979], сама функция х(1) также не достигает нуля, то есть задача 2 теряет содержание. Поэтому при исследовании функций т1 и п будем рассматривать только вариант а2-4Ь<0.

1. Основные результаты

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть 0={(и,у)еЯ2: (и>0лу>0^(и<0лу<0)} и 0={(и,у)еЯ2:

(и>0лу>0^(и<0лу<0)}. Отношение т={((и,у)£): (и,у)еО л ^=тГ{1>0: Ь'(и,у,1;)=0}} является функцией, непрерывной в 0\{(0,0)} и непрерывно дифференцируемой в О.

Теорема 1. Определим суперпозицию д:(и,у)еО^-Ь(и,у,т(и,у)), где О, О, т определены в лемме 1. В множестве О функция непрерывно дифференцируема и ее частные производные по обоим аргументам положительны.

Лемма 2. Пусть а2-4Ь<0, О={(и,у)еЯ2: (и>0лу<0^(и<0лу>0)}, О={(и,у)еЯ2: (и>0лу<0^(и<0лу>0)}. Отношение т={((и,у),^)еК2хЯ: ^=тГ{1>0: Ь(и,у,1;)=0}} является функцией, непрерывной в О\{(0,0)} и непрерывно дифференцируемой в О.

Теорема 2. Определим суперпозицию п:(и,у)еЯ2^И'(и,у,т(и,у)), где О, О, т определены в лемме 2. В множестве О функция непрерывно дифференцируема и ее частные производные по второму аргументу положительны.

В приведенных формулировках объекты т и О обозначены без индексов, потому что в последующих доказательствах их различение не потребуется.

В силу группового свойства решений дифференциального уравнения функции д, П обладают свойством, описываемым в леммах 3, 4. Здесь для различения т и О индексы сохранены.

Лемма 3. Для любых (и,у)еО0 в некоторой окрестности I нуля определены суперпозиции функций 9:1е1^т0(Ь(и,у,1;),к'(и,у,1;)) и у:1е1^д(Ь(и,у,1;),к'(и,у,1;)). При этом У1;е1 9(1;)=т0(и,у)-1;, у(1;)=д(и,у).

Лемма 4. Для любых (и,у)еО1 в некоторой окрестности I нуля определены суперпозиции функций 9:1е1^т1(к(и,у,1),Ь'(и,у,1)) и у:1е1^п(И(и,у,1),Ь'(и,у,1)). При этом Уге1 9(0=т1(и,уН у(0=п(и,у).

Ответы на вопросы, сформулированные в задачах 1 и 2, положительны и основаны на следующем утверждении.

Теорема 3. Пусть а>0, Ь>0, ОоЯ - открытое множество, О - его замыкание, и функция 9:О^Я обладает следующими двумя свойствами:

а) она непрерывно дифференцируема в О и ее частная производная по второму аргументу положительна;

б) У(и,у)еО функция у(и,у) : 1^9(к(и,у,1),Ь'(и,у,1)) является константой в некоторой окрестности нуля.

Пусть Т>0, х:[0,Т]^Я - дважды непрерывно дифференцируемая функция, У1е(0,Т) (х(1),х'(1;))еО и в точках (х(0),х'(0))еО и (х(Т),х'(Т))еО функция 9 непрерывна.

Пусть, кроме того, в промежутке (0,Т) функция $(1;)=х''(1;)+ах'(1;)+Ьх(1;) сохраняет

знак.

Тогда функция ф:1;е[0,Т]^9(х(1;),х'(1;)) монотонна на [0,Т], причем характер монотонности определяется знаком $(1;): если $(1;)>0, ф(1) возрастает; если $(1;)>0, ф(1) не убывает; если $(1;)<0, ф(1) не возрастает; если $(1;)<0, ф(1) убывает.

Последующие пункты посвящены доказательствам сформулированных утверждений и решению задач 1 и 2. Будут использованы следующие нестандартные обозначения. Для функции нескольких переменных { значок 5^" обозначает далее

частную производную по к-ому аргументу. Начало и конец доказательства помечаются значками 3,4. Противоречие обозначается значком И.

2. Исходные утверждения

Дальнейшие рассуждения основываются на следующем утверждении. Утверждение 1. Значения функций Ь(и,у,1) и Ь'(и,у,1) определяется следующими формулами.

2 V + аш _а + V + а2и _а +

Если а-4Ь>0, то h(u,v,t)=----------е 2 -------------е 1 ,

а^ _а2 а1 _а2

v + а 2и _а 1t v + а1и _а 2t (2)

п(и^Д)= а1-----------е 1 _а2------------е 2 ,

а1 _а 2 а1 _а 2

а [а2 Ь а [а2 Ь ( )

где а1 = 2 + А^ ~4 _ Ь , а 2 = 2 _ V _ Ь (а1>а2).

(3)

Если а2-4Ь=0, то h(u, v, t) = [и + ^ + аu)t]e аt,

h '(и^^) = [v _а(v + аи)^е _аt, где а = —.

2 е _аt

Если а -4Ь<0, то h(u,v,t)=----((v+au)sinоt+оucosоt),

о

е _а 2 2 (4)

^(и^Д)=-------[оvcosоt-(av+(a +о )и^то^,

о

Ь а2

где а = —, о = -> Ь _ — .

2 1 4

3 Доказательство проводится методом неопределенных коэффициентов и является типовым упражнением в курсе дифференциальных уравнений [Арнольд 1975, Шилов 1970]. 4 Обозначения, используемые в утверждении 1, будут использованы во всех дальнейших рассуждениях.

Следующее утверждение показывает, что функция т, определяемая леммой 1, всегда задает именно точку локального экстремума, а не точку перегиба.

Утверждение 2. Критическая точка решения уравнения (1) является точкой локального экстремума.

3 Пусть х(^=Ци^Д). Если и^=0, то Ци^Д)=0, то есть любое t является критической точкой и формально точкой экстремума.

Пусть и^0 или ^0 и для некоторого t х'(^=0. Для того чтобы число t не было точкой локального экстремума, необходимо условие х"^)=0. Рассмотрим три случая различных соотношений между а и Ь, пользуясь формулами из утверждения 1.

Если а2-4Ь>0, то х'(0 = Ае_а2<; _ Ве_а^, х"(^ = _а2Ае_а2t +а^Ве_аlt, где

v + а2и v + а1и _а + _а t

А = а1---------, В = а 2---------. Обозначим р = Ае 2 , д = Ве 1 . системы

а1 _ а2 а1 _а 2

Система уравнений х'(0=0, х"(0=0, превращается в систему р-д=0, а^-а^=0. Ее

1 _ 1

= а1 _а 2 > 0, поэтому р=0 и д=0. Отсюда следует, что А=0 и

а 2 а1

В=0, то есть v+a2u=0, v+a1u=0. Определитель последней системы - также а1-а2>0, откуда следует, что и=0 и v=0. И

определитель

Ее определитель

= -ш ^ 0, откуда

Если a2-4b=0, то x'(t) = (A - Bt)e at, x"(t) =-[aA + B -aBt]e at, где A=v, B=a(v+au). Система уравнений x'(t)=0, x"(t)=0 эквивалентна системе A-Bt=0, aA+B-aBt=0. Из нее следует, что B=0 и A=0, то есть v=0 и u=0. И Если a2-4b<0, то x'(t) = e-at(Acosшt - Bsin шt),

x"(t) = -ae-at(Acosшt - Bsinшt) + e-at(-шAsinшt - шBcosшt),

2 2 av + (a + ш )u

где A = v, B =-----------------------. Система уравнений x'(t)=0, x"(t)=0

ш

эквивалентна системе:

A cos шt - Bsin шt = 0, - (a cos шt + ш sin шt)A + (a sin шt -ш cos ш^ = 0 .

cos шt - sin шt

- (a cos шt + ш sin ш^ a sin шt -ш cos шt

следует, что A=0 и B=0, то есть v=0 и u=0. И

Таким образом, условие x"(t)=0 противоречит условию u^0vv^0. 4

3. Доказательства леммы 1 и теоремы 1

Доказательство леммы 1. 3 Пользуясь формулами из утверждения 1, докажем

лемму в трех случаях различных соотношений между а и b: a2>4b, a2=4b и a2<4b. Если

v=0, то h'(u,0,0)=0 при любом u и любых соотношениях между a и b, то есть в случае,

когда v=0, {t>0: h'(u,v,t)=0}}^0 л inf{t>0: h'(u,v,t)=0}}=0. Поэтому во всех случаях

рассмотрим пары (u,v)eQ : v^0.

Случай 1: a2>4b. Согласно второй из формул (2),

v + a2u -a + v + aiu -a t

h'(u,v,t)=0oai---------e 1 -a 2-------------e 2 =0.

ai-a2 ai -a2

Если (u,v)eO и v^0, то знаки v+a2u^0 и v+a1u^0 совпадают и уравнение

1

v + a2u a1 a -a

h'(u,v,t)=0 имеет единственное решение ^ = ln(-----------•---) 1 2 . Таким образом,

v + a1u a 2

отношение т, определенное в условии, является функцией на О, которая задается формулой:

1

T(u,v) =

v + aju •aL)a, -a2, если v ^ 0 (5)

v + a1u a 2

0, если v = 0

Заметим, что если и0>0, то

Нш т(u,v) = lim т(и0^) = 0 = т(и0,0). Если и<0, то

(u,v) еО, (и^) — (и0,0) v——0+

Нш т(и^) = lim т(uo,v) = 0 = т(и0,0). Если v0>0, то

(и^) еО, (и^)—(и0,0) v—— 0_

1 а1

lim т(u,v) = lim т(и^) =-----------1п-----= т(0^), если v0<0, то

(и^) еО(и^)—(0,v0) и—0+ а1 _а 2 а 2

1 а1

1im т(u,v) = Нш т(и^) =-----------1п-----= т(0,vo). Все пределы -

(и^) еО(и^)—(0^0) и—0_ а1 _а 2 а 2

константы, но так как т(0^)^т(и,0), то в точке (0,0) функция т не является непрерывной. Случай 2: а2=4Ь. Согласно второй из формул (3),

h'(u,v,t)=0 о ve at - a(v + au)te at =0 о t = — ------------------------- . Отсюда

a (v + au)

T(u,v) =

a(v + au) ’

0, если v = 0

В нуле непрерывность снова отсутствует.

Если u0^0, то lim t(u, v) = 0 = t(u0 ,0).

(u,v) еО, (u,v) ^ (u0,0)

1

Если v0^0, то lim t(u,v) = — = t(0,v0).

(u,v) еО, (u,v) ^ (0,v0) a

Оба предела - различные константы.

Случай 3. a2<4b. Согласно второй из формул (4),

h'(u,v,t)=0 о шvcosшt-(av+(a2+ш2)u)sinшt=0.

Обозначим 9^t. Тогда в предположении v^0 имеем равенство

2 2

av + (a +ш )u 2 2

cos9=-sin9. Отсюда, с учетом равенства sin ф+cos ф=1 и совпадения

шv

знаков u и v при u^0, получаем:

ш Ivl

|sinф|=

Ближайшее к нулю справа значение ф, удовлетворяющее последнему равенству:

о Ы

ф0=аrcsin

д/ (a| v| + (a 2 + ш 2 )|u|)2 + ^v)2

a| v| + (a 2 + ш 2)|u| Соответственно, cosф0=^ =•, ^=ф0/ш,

■\j(a\v| + (a2 + ш 2)|u|)2 + (шу)2

Таким образом, t(u, v) =

1 ш |v|

— arcsin^= -, если v ^ 0

ш ^ (a| v| + (a 2 + ш 2 )|u|)2 + (0v)2 •

0, если v = 0

1 о

Если v0^0, то Нш т(и^) = — аг^п^^ = т(0, vo) .

(u,v) еО, (и^)—(0,Vo) о -у/а 2 +о 2

Если и0^0, то Нш т(и, v) = 0 = т(и0,0).

(и^) еО, (u,v)—(и0,0)

Оба предела - различные константы, и в нуле непрерывность снова отсутствует.

При любых соотношениях между а, Ь функция т в области О представляется суперпозицией непрерывно дифференцируемых в О функций, поэтому т непрерывно дифференцируема в области О.4

Доказательство теоремы 1. 3 Заметим, что согласно выражениям для

вычисления функций h и т имеют место равенства :

Н-и,-^)= -Ни,^), т(-и,^)= т(и^).

Как следствие,

д(-и,^)= -д(и^), д!|д(-и,^)= д!|д(и^), д2|д(-и,^)= д2|д(и^).

Поэтому мы можем ограничиться исследованием д^и^) и д2д(и^) при и>0,

v>0. Докажем положительность частных производных в трех случаях различных

соотношений между а и Ь: а2>4Ь, а2=4Ь и а2<4Ь.

Случай 1: а2>4Ь. В О функция д согласно (5) определяется формулой:

v + а1и v + а2и а1 а а v + а2и v + а2и а1 а а

д^Жи^Е^-----------------------— (-2-1)а 1 _а2 ----^ (------2----1)а 1 _а2 .

а1 _а2 v + а1и а2 а1 _а2 v + а1и а2

Для того чтобы определить ее частные производные по и и v, обозначим

а 2 а 1 а 1

п^+а^, с=у+а2и, р=------------------------, а=-, с=—.

а 1 _а 2 а 1 _а 2 а 2

Тогда д(и^)=--------------[пР+^-рс-р-п^1-чс-я]. Но д-р=1^ р+1=Я ^ -р=1-д. Отсюда

а 1 _ а 2

д(и^)=---------пЯ^р(с-р-с-я). Так как а1>а2 и р<д ^ (с-р-с-д)>0, то нам достаточно

а1 _а 2

исследовать знаки частных производных функции:

1 а о _ „ п 1 п

ф(п^)=^р------_д д=пя^-р=п4^ -д.

с р _ с 4

Сначала найдем производную по v: д2ф=дпд-1д2пЕ1-д+Пд (1-д)Е-дд2Е. Так как

Гп1д Е

д2п=д2^=1, то д2ф= \ — I [д—+1-а]. Упростим выражение в скобках :

п

Е а1 v + а2и а 2 1 v + а 2и v

д—+1-д=-------------------------- ---=----[а1---------а2] =--------->0.

П а1 _а2 v + а1и а1 _а2 а1 _а2 v + а1и v + а1и

Следовательно, д2ф>0.

Далее найдем производную по и: д1ф=дпд-1д1пЕ1-д+Пд(1-д)Е-дд1Е. Но д1п=а1,

Гп1д Е

д1^=а2, поэтому д1ф= \ — I [аш —+а2(1-а)]>а2д2ф>0.

п

Случай 2: а2=4Ь. В О функция д определяется формулой:

д(и^) = [и + ^ + аи)—-—-]е (v+аи)=[и+ -]е + аи)е ^+аи).

a(v + аи) а а

v

2v + аи

^угаи ^+аи) ^

Частная производная д по и: дш = --------------е ^ ’ > 0. Для того чтобы

^ + аи)

определить производную по v, обозначим v+au=s. Частную производную по v будем обозначать штрихом, как обычную. Тогда

[(v + аи)е 0^+“^)]' = [(se 51 ]' = s'е s+se s • (_—)' =

s

v

v v __

_7 , , s_vs^ _7 , , s_vs^ е *

е s ^—— ) = е s ^ -—s—) =--------------------(s's-s+vs').

v

Но s'=1, то есть [[^ + аи)е (v+аи) ]' =-------------v>0. Таким образом, д2д(и^)>0

s

Случай 3. а2<4Ь. Функция д при и>0, v>0 определяется формулой:

e_aт(u,v) оv

д(u,v)=h(u,v,т(u,v))) =-----------[(v+au)

о д/(ал' + (а2 + о 2)и)2 + (оv)2

У

У

У

У

У

v

У

v

2 2 2 2 ау + (а + ю )и ^тГи (у + аи)у + и(ау + (а + ю )и)

+юи^^ ^=]=е —і .

д/(ау + (а 2 + ю 2)и)2 + (юу)2 -\/(ау + (а 2 + ю 2)и)2 + (юу)2

Для того чтобы упростить выражение для д(и,у), в числителе и знаменателе раскрываются скобки и выделяется слагаемое (у+аи)2. В результате приходим к формуле:

|д(и,у)=е-ах(и’у)

(у + аи)2 +ю 2и2

2 2 а + ю

Для дальнейшего анализа функции д(и,у) удобно ввести обозначения:

а юу

I—т------------------------т” I-т--т—Т є(и у) -—агсєіп——-

в = \а +ю , 8(и,у)=-\/(у + аи) +ю и . Тогда д(и,у)=—^— е ю Р8(и,у) . Частная

производная д по и:

а юу

-—агсєіп—

юу ау е ю вє

діД(и,у) = [1 + штат'^^]------------- ------ді8(и,у) > О,

рБ рБ р

потому что 51Б>0, и производная арксинуса положительна.

Вычислим частную производную д(и,у) по у, считая б только функцией у. Непосредственным вычислением получаем:

а . юу

( а юу ^ — агсБіп—

• е ю Рб

д2Д(и,у)=

в -—агсєіп—

_. е ю Рє

V

в

__________[§,_ а0 - у) ]

в 8 л/св»)2 - (юу)2 .

( // \2 ^2^1' 2(у + аи)

Далее вычислим є є- 1\(у + аи) +ю и I =—■ ==

у + аи

2-у/ (у + аи)2 +ю 2и2 8

2

є - (у + аи)у 2

Отсюда є—є?у=------------------------------. Раскрыв є и упростив выражение в числителе,

получим:

22 и(а (у + аи) + ю и) и(а (у + аи) + ю и)

8-є'у=-----------------------^а(є-8'у)=а -

Б Б

2 2

а^ _ s'v) 1 и(а(v + аи) + о и

Следовательно, sf- ■---- - =—(v+au-a---------------------. —).

д/(Ps)2 _ (оv)2 s ур2s2 _ о 2v2

Для того, чтобы упростить выражение в скобках, преобразуем выражение под знаком радикала:

р¥-о\2 = (о2+a2)[(v+au)2+о2u2]-о2v2=о2(2avu+a2u2)+a2(v+au)2+(о2+a2)о2u2 . Далее, представим последнее произведение как а2о2и2+о4и2. Первый член объединим со слагаемым о2(2avu+a2u2) и увидим, что выражение является полным

г>2 2 2 2 [ (| ч, 2 ]2 и(а(v +аи) +о и О

квадратом: р s -о v ^а^+аи^+о и] , то есть а-----------■ ==— =аи. Отсюда

Vp2s2 _ о 2v2

а оv

_—arcsin—— е о Ps

д2д(и^)=------- ------v>0. 4

4. Доказательства леммы 2 и теоремы 2

Доказательство леммы 2. 3 Если u=0лv=0, то inf{t>0: h(u,v,t)=0}}=0.

- at ^ v + au . ч v .

Если u=0лv^0, то уравнение e (-----------sinшt+ucosшt)=0о — sinшt=0 имеет

ш ш

решение t=0, поэтому inf{t>0: h(u,v,t)=0}}=0.

Покажем, что для любой пары (u,v)eR2: u^0 уравнение

_at/v + au .

e (-------sinшt+ucosшt)=0 имеет единственное решение в промежутке (0,п/ш).

ш

t v + au v + au

Имеем: e (-------sinшt+ucosшt)=0 о ------sinшt+ucosшt=0. Обозначим ф=шt.

шш

v + au v + au

Если ф - решение уравнения -----sinф+ucosф=0, то, в силу u^0, cosф= ------s^.

ш шu

2 (v + au^2 2 2 ш 2u2

Отсюда sin ф+1------I sin ф=1 ^ sin ф=--------2----. Если фе(0,п), то sinф>0,

^ ш ' (v + au)2 +ш2u2

. ш |u|

поэтому, если решение существует, то sin ф =

cosф=

V(v + au) sgn(u) • (v + au)

2 2 2 2 +ш 2u2

V(v + om)

2 2 2 2 + ш 2u2

. ш |u|

Если (v+au>0лu>0)v(v+au<0лu<0), то cosф<0 и ф=п- arcsin

1 I--------------

V(v + au)

2 2 2 2 + ш 2u2

. ш lul

Если (v+au<0лu>0)v(v+au>0лu<0), то cosф>0 и ф= arcsin

I

V(v + au)

2,^2 2 + ш u

П

Если v+au=0 и и^0, то cosф=0 и ф = arcsin(1) = п _ arcsin(1) = —.

Таким образом, фе(0,п) существует и единственно, соответствующее значение

^=ф/ое(0,п/о) также единственно, и потому ^=т1^>0: h(u,v,t)=0}}. Следовательно, на

множестве {(u,v)еR2: и^0} определена функция т1, которая задается формулой:

1 , . о |и| , ч , ч

— (п _ arcsin^^ ), если ( + аи > 0 л и > 0) v(v + аи < 0 л и < 0)

о + аи)2 'о2и2

T1(u,v) =

+ о и

п

—, если v + аи = 0

2о (6)

1 . о|и| , . , ч

— arcsin^= , если ( + аи < 0 л и > 0) v(v + аи > 0 л и < 0)

о у]( + аи)2 + о 2и2

На R2 определена функция:

т={((и^),Е): (u,v)еR2л ( (и=0лЕ=0Ми^0лЕ=т1(и^)) )}. 2 (7)

Множеством точек разрыва этой функции является множество {(u,v)еR : и=0}. Действительно, пусть ^0, например v>0. Тогда, если и достаточно мало по модулю, то v+au>0 и, в зависимости от знака и, ^и^^т^и^) вычисляется по разным

п

формулам. Поэтому Нш т(и^) = 0 = т(0^), а Нш т(и^) = —. Если v<0, то

и—0_ и—0 + о

п

lim t(u, v) = 0 , а lim t(u, v) = —. Как следствие в любой окрестности нуля найдется u^0+ u^0- ш

п

такая пара (u^^to t(u,v) близко к — и поэтому точка (0,0) является также точкой

ш

разрыва.

Рассмотрим теперь пару (u0,v0): u0^0. В некоторой окрестности (u0,v0) т=т1. Если

v0+au0^0, то т непрерывна в (u0,v0) как суперпозиция функций, непрерывных в

окрестности (u0,v0). Если v0+ u0=0, то имеем:

1 ш |u| п

lim —arcsin-

2 2 2ш

11111 ail/dill I----------------

(u,v)^(U0,v0) ш y(v + au)2 + ш2u

,i 1 ( i ш М ч п

и lim — (п - arcsin —j= ) =-,

(u,v)^(u0,v0) ш ^(v + au)2 +ш2u2 2ш

п

откуда следует, что lim t(u, v) =----= t(u0 , v0 ).

(u,v) ^(u0 ,v0) 2ш

Рассмотрим сужение функции т на множество 0={(u,v)eR2:

(u>0лv<0)v(u<0лv>0)}.

Пусть v0>0. Тогда в малой окрестности W точки (0,v0) выполняется неравенство: v+au>0. Если (u,v)eWnO (u<0), то, согласно (6) и (7), функция т вычисляется по

1 ш |u|

формуле: ^u,v) = — arcsin —■= . Следовательно,

ш V(v + au)2 +ш 2u2

lim т(u,v) = 0 = т(0,vo),

(u,v)еО, (u,v)^(0,v0)

то есть функция т непрерывна по множеству О на луче {(u,v): u=0лv>0}. Аналогично доказывается непрерывность на луче {(u,v): u=0лv<0}.

На лучах {(u,v): u>0лv=0} и {(u,v): u<0лv=0} функция т непрерывна, потому что u^0. Вычислим, согласно (6), т(^0) при u^0:

1ш т(u,0) = lim т(^ v) = — (п - arcsin —■= ) .

(s,v) ^ (u,0) ш -\/a2 +ш 2

Таким образом, т(u,0) и т(0^) - различные константы, поэтому в точке (0,0) непрерывность отсутствует, то есть т непрерывна в О\{(0,0)}. 4

Доказательство теоремы 2. 3 Согласно лемме 2, в О\{(0,0)} функция п непрерывна. Заметим, что, согласно (6) и (7), имеет место равенство т(-u,-v)=т(u,v),

поэтому n(-u,-v)=-n(u,v). Так же как при доказательстве теоремы 1, мы можем

ограничиться исследованием функции п на множестве Q0={(u,v): u>0лv<0}. Если u>0 и v<0, то, согласно (6), имеют место формулы:

^u,v) =

1 ^ (Bu

—(п - arcsin—j= ), если v + au > 0

ш -\/(v + au)2 + ш 2u2 (g)

1 шu ,

—arcsin, если v + au < 0

ш -\/(v + au)2 + ш 2u2

sin(ш •т(u,v)) =

-\/(v + au)2 + ш 2u2

юф • т(иv)) = _ . V + аи 2 .

-\/(v + аи) + о и

Заметим, что, в силу непрерывности т на луче v+au=0, значения т на этом луче можно вычислять по обеим формулам, указанным в (8), то есть знак нестрогого неравенства можно перенести из условия в верхней формуле в условие в нижней формуле. Соответственно, пи^^^и^^и^)) =

= ^(и,^, _ v + аи )- ^ + (а 2 +о 2)и ___________________°и_]

•\/(v + аи)2 + о 2и2 о д/( + аи)2 +о 2и2

После преобразований имеем: п(и^)= _ е(V + аи)2 +о 2и2 ,

или

п(и, V) = _

а ои

—(ап^т^ _п)

о '' "

е

+аи) +о и + аи)2 + о 2и2 , если V + аи > 0

а ои

_—arcsin

о

е

у](\+аи) +о и + аи)2 + о 2и2 , если V + аи < 0

Вычислим частную производную п по V в О0. В дальнейших рассуждениях будем аргумент и считать параметром и опускать его в обозначениях функций.

а ои

_—штат

Обозначим: п0^) = _е +аи) +о и л]( + аи)2 + о2и2 ,

а ои

—(arcsш^ _п) __

n1(v)=_ео ^+<ш)2 +о2и2 .

N0^), если V < _аи Тогда п^) = \ ( ) > .

[ пl(v), если V > _аи

Введем вспомогательную функцию: 7^)=-^(V + аи)2 +о2и2 . Ее производная V + аи

г'= I--- . С учетом определения 7 имеем:

•\/(v + аи)2 + о 2и2

а ои а ои

_—ancsin— —(arcsin— _п)

no(V) = ф0(7) = _е о 7 ^ п1(7) = ф1(7) = _ео 7 7.

Рассмотрим сначала случай v+au<0. Тогда п,(v)=п0,(v)=ф0,(z)z,.

а ои а ои

_—arcsin— _—arcsin— а ои

ф'(7)= - [е о 7 +е о 7 7 — (_ arcsin—)' ]=

о7

а ои

—arcsin— аи

- е о 7 [1+ , 2 2 ].

V 7 _ (ои)

Но 72-о2u2=(v+аu)2 и, в силу v<-au, -у/72 _ (ои)2 =-(v+au), то есть

а ои а ои

_—arcsin— V __ arcsin— V

ф'(7)= _ е о 7 ------------. Отсюда п'С^ _ е о 7 , ^=>0, так как

v + аи V(v + аи)2 + о 2и2

v<0.

Теперь рассмотрим случай v+au>0.

а юи а юи

—(агсБш—-п) — (агс8ш—-п) а юи

Л,(у)=Л1,(у)=ф1,(2)2,= -[ею 2 +ею 2 2—(агсБт—-п)' ]2'=

ю ъ

а юи а юи

—(агсБш—-п) а 1 юи — (агсБш—-п) аи

ею 2 [1+2----■ -(-~^т) ]ъ' = ею 2 [1- <--- ]ъ'

1 ю г^тт' ъ1П 1 л/ъ2 - (юи)2

Г- ^

7 2 2

ъ - (юи) =у+аи.

а юи

—(агсБш—-п) аи

Поэтому - ею 2 [1- ■---- ]ъ'=

-у/ъ2 - (юи)2

а юи

—(агсБш—-п) у

- ею 2 I--- =>0.

-\/(у + аи)2 +ю 2и2

Наконец рассмотрим случай у=-аи. Воспользуемся следующим следствием

теоремы о среднем значении. Если функция £[а,Ь)—Я непрерывна на [а,Ь), непрерывно

дифференцируема на (а,Ь) и существует Нш Г'(1) = А, то существует производная Г

1 — а+

ап

а - 2

справа в точке «а» Г+'(а)=А. В данном случае Нш п0^) = 1^ш П1^) = —е 2ю >0,

w — у - w —— у + ю

то есть производная функции п существует и положительна.

►

5. Доказательства леммы 3, леммы 4 и теоремы 3

Доказательства леммы 3 и леммы 4 ведутся по одной схеме. Они различаются тем, что в доказательстве леммы 3 мы используем групповое свойство решений уравнения (1) для функции И', а в доказательстве леммы 4 - для функции И. Поэтому приведем только доказательство леммы 3. При этом опустим индекс в обозначении функции т.

Доказательство леммы 3. 3 в силу равенств т(-и,-у)= т(и,у) и д(-и,-у)= -д(и,у) рассмотрим только случай положительных и, у. Если и>0, у>0, то, в силу непрерывности И и И' по 1, в некоторой окрестности нуля I выполняются условия И(и,у,1)>0, И'(и,у,1)>0, то есть в ней пара (Ь(и,у,1),Ь'(и,у,1)) принадлежит области определения функции т и поэтому возможно определение суперпозиций 9, у. Далее будем опираться на групповое свойство решений дифференциального уравнения [Арнольд 1975, Шилов 1970]. Пусть 1е1 и 9(1)=т(к(и,у,1),Ь'(и,у,1)). Тогда Ь'(к(и,у,1),к'(и,у,1),9(1))=0 ^ И'(и,у,1+9(1))=0. Покажем, что 1+9(1)>0 л У£е[0,1+9(1)) Ь'(и,у,£>*0.

Сначала рассмотрим случай 1>0^1+9(1)>0. Если £е[0,1], то £е1 и, по выбору I, Ь'(и,у,^)>0. Если £е(1,1+9(1)), то к'(и,у£)=к'(к(и,у,1),к'(и,у,1),^-1). Но 0<£-1<9(1), поэтому равенство Ь'(к(и,у,1),к'(и,у,1),^-1)=0 противоречит определению функции 9(1).

Пусть 1<0. Из 1+9(1)<0 следует, что 1+9(1)е1, то есть Ь'(и,у,1+9(1))>0И. Поэтому 1+9(1)>0. Пусть 0<£<1+9(1). Тогда 0<-1<£-1<9(1). Отсюда Ь'(к(и,у,1),к'(и,у,1)£-1)^0^ Ь'(и,у,£)*0.

Итак, 1+9(1)>0лУ£е[0,1+9(1)) Ь'(и,у,£)^0лЬ'(и,у,1+9(1))=0, то есть, по

определению, т(и,у)=1+9(1) ^ 9(1)= т(и,у)-1.

Отсюда у(1)=Ь(Ъ(и,у,1),Ь'(и,у,1),9(1))=Ь(Ь(и,у,1),Ь'(и,у,1),т(и,у)-1)=

= Ь(Ъ(и,у,0),Ь'(и,у,0),т(и,у))=Ь(и,у,т(и,у))=^(и,у). ►

Доказательство теоремы 3. 3 Пусть 0<11<12<Т. По теореме о среднем ф(12)-ф(11)=ф'(^)(12-10, где ^е(1ь12), то есть ^е(0,Т). Так как У1е(0,Т) (х(1),х'(1))еО, то

ф'(Е)=д19(х(Е),х'(Е))-х'(Е)+д29(х(Е),х'(Е))-х''(Е).

Обозначим и=х(^), у=х'(^) и рассмотрим функцию у:1—9(Ь(и,у,1),Ь'(и,у,1)). Эта функция дифференцируема в нуле (как суперпозиция дифференцируемых функций): у'(0)=д19(к(и,у,0),к'(и,у,0))-к'(и,у,0)+д29(Ь(и,у,0),к'(и,у,0))-к''(и,у,0).

В силу определения функции И имеем:

И(и,у,0)=и, И'(и,у,0)=у, И''(и,у,0) = -а-у-Ь-и,

то есть у'(0)=519(и,у)-у+529(и,у)-(-ау-Ьи).

Так как, по условию утверждения, у(1) постоянна в окрестности нуля, то у'(0)=0. После подстановки значений и, у получаем равенство:

д19(х(Е),х'(Е))-х'(Е)+д29(х(Е),х'(Е))-(-ах'(Е) -Ьх£))=0.

С учетом этого равенства имеем: ф'(Е)=529(х(Е),х'(Е))-(х''(Е)+ах'(Е)+Ьх(^)).

По условию 529(х(^),х'(^))>0, поэтому знак ф'(Е) (то есть знак разности ф(12)-ф(11) ) определяется знаком $(^)=х''(Е)+а-х'(Е)+Ь-х(Е). Например, если $(^)>0, то ф'(^)>0 ^ ф(12)>ф(11) 4 .

6. Решения задачи 1 и задачи 2

Для решения задачи 1 в первом варианте заметим, что функция 9=д на множестве 0={(и,у): и>0 л у>0} и функция х(1) из условия задачи удовлетворяют всем условиям теоремы 3. Поэтому д(х(0),х'(0))>д(х(Т),х'(Т)). Но х(0)=0 и х'(Т)=0 ^ д(х(Т),х'(Т))=д(х(Т),0)=х(Т). Таким образом, х(Т)<д(а,Ь,0,х'(0)). Во втором варианте задачи рассматривается функция д в множестве 0={(и,у): и<0 л у<0}.

Для решения задачи 2 в первом варианте устанавливаем, что функция 9=п на множестве 0={(и,у): и>0 л у<0} и функция х(1) из условия задачи удовлетворяют всем условиям теоремы 3. Поэтому п(х(0),х'(0))<п(х(Т),х'(Т)). Но х'(0)=0 и из х(Т)=0 следует, что п(х(Т),х'(Т))=п(0,х'(Т))=х'(Т). Таким образом, х'(Т)>п(а,Ь,х(0),0). Во втором варианте задачи рассматривается функция п на множестве 0={(и,у): и<0 л у>0}.

Автор благодарит профессора С.М. Гутмана (университет Оклахомы) за внимательное чтение статьи и замечания по ее улучшению.

Библиографический список

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

240 с.

Белых В.Н. Метод двумерных систем сравнения в качественной теории конкретных динамических систем: дис. ... докт. физ.-мат. наук : 01.01.02. - Горький, 1983. - 340с.

Бутенина Н.Н., Метрикин А. В. Об особенностях поведения фазовых траекторий в математической модели прокладки глубоководного трубопровода ^методом // Сб. научных трудов. Нижегородский филиал института машиноведения РАН, Н. Новгород, 2005, с. 9-19.

Бутенина Н.Н., Метрикин А. В. Применение методов качественной теории управляемых динамических систем к исследованию неавтономных дифференциальных уравнений //Нелинейная динамика, 2010, Т. 6, №1, с. 143-150.

Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1990. - 224 с.

Ельшин М. И. Метод сравнения в качественной теории неполного дифференциального уравнения второго порядка. //Математический сборник, 1954, том 34(76), №2, стр. 323-330.

ДьедоннеЖ. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 431 с.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

Лакшмикантам В. и др. Устойчивость движения. Метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 244 с.

Мамедов Я. Д., Аширов С., Атдаев С. Теоремы о неравенствах. Ашхабад: Ылым, 1980. 232 с.

Мышкис А. Д. Дифференциальное неравенство // Математическая энциклопедия. Т. 2. М:. Советская энциклопедия, 1979. С. 279-280.

Тонков Е. Л. Сравнения теорема // Математическая энциклопедия. Т. 5. М:. Советская энциклопедия, 1985. С. 158-159.

Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М.: Мир, 1966.

272 с.

Чаплыгин С. А. Основания нового способа приближенного интегрирования дифференциальных уравнений // Чаплыгин С. А. Избр. тр. М.: Наука, 1976. С. 307-322.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. М.: Наука, 1970. 352 с.