Об оптимизации реакции пропорционального регулятора на типовой процесс Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ РЕАКЦИИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА

НА ТИПОВОЙ ПРОЦЕСС

© 2014 А. М. Фрумкин

ст. науч. сотрудник каф. математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук e-mail: _ frumkinam@mail. ru

Курский государственный университет

Изучаются задачи наилучшего приближения кусочно-постоянного управления с одним переключением с помощью реакции пропорционального регулятора на процесс специального вида. Этот процесс может рассматриваться как изменение регулируемой переменной при переходе некоторой системы второго порядка в состояние равновесия в соответствии с описанным управлением. Рассматриваются равномерный и интегральный показатели качества приближения.

Ключевые слова: типовое управление, типовой процесс, пропорциональный регулятор, функция ограничения, реакция регулятора, равномерный показатель качества, интегральный показатель качества, наилучшее значение.

Введение

Один из многочисленных подходов к оптимизации параметров регуляторов [Фельдбаум 1971, Абдуллаев 1985] может быть сформулирован так. Детерминированная модель объекта регулирования строится в виде обыкновенного дифференциального уравнения вида х = /(х, ст), где x - вектор состояния объекта, ст -вектор управлений [Болтянский 1969]. Модель регулятора строится в виде оператора r, который каждому процессу х, рассматриваемому на промежутке [0,7], ставит в соответствие значение вектора ст(7) в конце промежутка. Эволюция системы определяется системой уравнений

х(0 = /(х(0, ст(0) , ) = r(x[0,t]) , (1)

а также начальными состояниями объекта х0 и регулятора r0.

Функция f и оператор r зависят от некоторых наборов параметров. При этом параметры регулятора задают технические характеристики регулятора, а параметры объекта описывают не только его технические характеристики, но и медленно изменяющиеся (условно постоянные) возмущения. В практике разработки технических систем часто возникает задача определения параметров регулятора при фиксированных параметрах объекта и начальных условиях. Эти фиксированные значения характеризуют типовой переходный процесс в системе «объект-регулятор», а требуемые значения параметров регулятора должны обеспечить наискорейшее протекание типового переходного процесса (если описанная задача корректна).

Например, для автономного источника питания типовой переходный процесс -это процесс восстановления напряжения после подключения к нему номинальной нагрузки в состоянии холостого хода. Для системы регулирования температуры в химическом реакторе типовым переходным процессом может быть процесс нагревания заданного вещества в заданном количестве с заданной начальной температурой при заданной внешней температуре.

Задача определения параметров регулятора, при которых типовой переходный процесс протекает быстрее всего (обладает наилучшим показателем качества [Фельдбаум 1971]) может оказаться сложной. Поэтому возникают задачи упрощенного

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

определения параметров путем решения более простой оптимизационной задачи, косвенно связанной с задачей оптимизации типового переходного процесса. Значения параметров, полученные при решении упрощенной задачи, могут использоваться в качестве начального приближения при численном решении исходной задачи.

Например, можно рассмотреть целевое состояние покоя, к которому регулятор по возможности должен приблизить объект, описать линейное приближение системы (1) в окрестности состояния покоя и минимизировать показатель Гурвица (абсциссу) характеристического многочлена для этого приближения [Фрумкин 2008].

Возможен другой подход. Методами теории оптимального управления [Болтянский 1969] строится наискорейший процесс перехода системы из фиксированного типового начального состояния в целевое состояние. Одновременно ищется оптимальное управление a(t), которое обеспечивает такой переход. Далее ставится задача найти такой набор параметров регулятора, при котором реакция регулятора на полученный оптимальный процесс наиболее близка к a(t).

Подход оптимизации реакции регулятора может быть применен, например, в такой ситуации. Пусть приближенная модель объекта - линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Пусть характеристический многочлен этого уравнения - многочлен Гурвица [Демидович 2008] и вещественные части его корней сильно различаются между собой по модулю. Тогда можно предположить, что в основной части типового переходного процесса изменения переменных протекают согласно упрощенной модели второго порядка, которая определяется двумя собственными значениями с наименьшими по модулю вещественными частями (то есть наибольшими постоянными времени). Если для регулирования выбран пропорциональноинтегральный регулятор (ПИ-регулятор), то коэффициент пропорционального регулирования можно выбрать из условий оптимизации типового переходного процесса в рамках грубой модели второго порядка. Далее, при выбранном коэффициенте пропорционального регулирования, коэффициент интегрального регулирования выбирается уже исходя из свойств модели в окрестности установившегося процесса. Коэффициент интегрального регулирования выбирается малым, так что значение интегрального члена в течение переходного процесса можно считать условно неизменным. В предположении модели второго порядка можно предложить экспериментальный поиск оптимального переходного процесса (и соответствующего управления с одним переключением) даже без решения задачи идентификации [Фрумкин 2005], и тогда второй подход с инженерной точки зрения оказывается удобным.

Задача оптимизации реакции регулятора на процесс формально не связана с системой уравнений объекта. В статье определяются типовые процессы управления и изменения регулируемой переменной. Их свойства характерны для оптимальных процессов в некоторых системах второго порядка с одной управляющей переменной. Далее исследуются задачи оптимизации реакции пропорционального регулятора с ограниченным выходом на процесс изменения регулируемой переменной.

1. Основные результаты

Управляющая (выходная) переменная реального регулятора всегда ограничена. При построении модели системы линейным преобразованием переменной можно всегда добиться, чтобы она принимала значения в промежутке [0,1].

Определение 1. Типовым управлением длительности T с единственным моментом переключения Ti<T назовем функцию a:[0,T]^-{0,1}, задаваемую формулой

( ) _|1, если t e[0,Ti)

° t (0, если t e[Ti,T].

(2)

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4

Фрумкин А. М. Об оптимизации реакции пропорционального регулятора на типовой процесс

Следующее определение описывает изменение управляемой (регулируемой) переменной.

Определение 2. Типовым переходным процессом длительности T с моментом переключения ^e(0,T) назовем непрерывно дифференцируемую функцию u:[0,T]^R, которая обладает следующими свойствами:

1) u(T)=u'(T)=0;

2) функция u дважды непрерывно дифференцируема на [0,T1)u(T1,T];

3) V te(0,T0 u"(t)>0 л V te(TbT] u"(t)<0.

Процесс в определении 2 назван типовым, потому что его свойства могут быть характерны для процессов наискорейшего перехода в состояние покоя при управлении a(t) в некоторых системах второго порядка, когда вектор состояния имеет вид x=(u,u').

Лемма 1. Пусть u:[0,T] ^ R - процесс длительности T с моментом переключения T1. Тогда либо u монотонно возрастает на [0,T], либо существует единственный момент T2e(0,T1), такой, что u убывает на [0, T2] и возрастает на [T2,T]. Из леммы 1 и свойства 1) следует, что всегда u(T1)<0.

Определение 3. Пусть u:[0,T] ^ R - процесс длительности T. Реакцией пропорционального регулятора с параметрами а0е[0,1], а>0 на процесс и назовем процесс r(u,t)=y( a0-au(t)), где у - функция ограничения:

10, если х < 0 х, если 0 < х < 1.

1, если х > 1

Величина а0 задает значение регулятора при нулевом отклонении, в установившемся процессе предшествовавшему переходному процессу.

Определение 4. Если u:[0,T] ^ R - процесс длительности T, a:[0,T] ^[0,1] управление той же длительности. Величину

p(a) = sup |a(t)-у(а0 - a •u(t))| (3)

te [0,Т]

назовем равномерным показателем качества регулятора относительно процессов а и u (равномерным (а,и)-показателем качества). Величину

J(a) = J0T|a(t) - у(а0 - а • u(t))|dt (4)

назовем интегральным (а,и)-показателем качества регулятора. Далее эти величины будем называть равномерным и интегральным показателями качества регулятора без упоминания пары (a,u). Параметр а0 будем считать постоянным и исследовать существование значения параметра ae[0,ro), при котором значение функции % (или функции J) минимально. Такое значение будем называть наилучшим.

Так как в формулы (3) и (4) величина u входит со знаком «минус», то далее в рассуждениях будет использоваться также величина v(t) = — u(t). Наилучшее значение параметра a в смысле равномерного показателя качества несложно вычислить аналитически.

Теорема 1. Пусть u:[0,T]^R - типовой переходный процесс с моментом переключения Т1, а - типовое управление с тем же моментом переключения, а0е [0,1]. Тогда существует единственное наилучшее значение а (обозначим его amin) в смысле равномерного показателя качества. Минимальное значение показателя качества

%min=%(amin) удовлетворяет неравенству: - < Xmin < 1. При этом, в зависимости от

значений а0, v0 = — и(0) и v1 = —и(Т1) > 0, величины amin и %min вычисляются по следующим правилам:

если ст0 > ^, то amin=0 и %min=ao;

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

если а0 < \ и vo> vi, то amin = 1 2°°

2v-i

если Сто < ^ и v1> v0>0, то атЫ = ,

1

если а0 < - и vo<0, то amin=0 и Xmin=1-a0.

Согласно теореме 1 наилучшее значение зависит только от двух значений функции u: u(0) и u(T1). Кроме того, в двух случаях наилучшим является значение ноль. С точки зрения теории регулирования выбирать a=0 не имеет смысла. Пропорциональный регулятор сам по себе должен обеспечить достаточную точность стабилизации, даже если он входит в состав ПИ-регулятора. Но для обеспечения высокой точности стабилизации значение параметра a должно быть возможно большим. Теорема 1 показывает, что использовать равномерный показатель качества для оценки параметра пропорционального регулятора не эффективно.

Теорема 2. Пусть u:[0,T]^R - типовой переходный процесс с моментом переключения Т1, a - типовое управление с тем же моментом переключения, a0e (0,1). Тогда наилучшее значение a в смысле интегрального показателя качества существует.

T1 T

Если, кроме того, имеет место неравенство J u(t)dt — J u(t)dt < 0, то для каждого

VqVO + (1-Vo)Vi, Vo+V-l ’

наилучшего значения am имеет место неравенство ост>-

Согласно теореме 2, если в начальной части типового процесса отклонения больше, чем в его завершающей части, то наилучшее значение положительно. Основное содержание теоремы состоит в том, что функция J(a) при больших a обязательно начинает возрастать и этот рост определяется свойствами функции u(t) в окрестностях точек, в которых она принимает нулевое значение.

2. Доказательство теоремы 1

Сначала докажем лемму 1.

^ Согласно определению 2 V te(0,T1) w"(t)>0. Из теоремы о среднем [Шилов 1969] следует, что производная функции u(t) растет на [0,T1]. Аналогично, из условия w"(t)<0 для каждого te(T1,T] следует, что w'(t) монотонно убывает на [T1,T]. Но u'(T)=0, поэтому Vte[T1,T) u'(t)>0, в частности u'(T1)>0. Возможны два варианта.

1) u'(0)>0. В этом случае V te(0,T1) u'(t)>u'(0), то есть u'(0)>0 на всем промежутке (0,T) и, соответственно, u(t) возрастает на всем промежутке [0,T] (теорема о среднем).

2) u'(0)<0. Тогда, в силу монотонного роста u' на [0,T1] и условия u'(T1)>0, найдется единственный момент T2e(0, T1), такой, что u'(T2)=0. Соответственно, u убывает на [0,T2] и возрастает на [T2,T]. ►

Лемма 2. Если типовой процесс монотонный, то для любого a>0 x(a) = max{ y(aQ + a^), 1 - y(aQ + auj }.

Если типовой процесс немонотонный, то для любого a>0

X(a) = max{l - y(aQ + av0), y(aQ + a^), 1 - y(aQ + av-^) }.

^ Имеет место равенство:

X(a) = max { sup (1-y(a0 — a •u(t))), sup y(a0 — a • u(t))}

te[0,T1) te[T1,T]

Пусть процесс монотонный. Тогда v монотонно убывает, следовательно, V te[0,T1) v(t)>v1>0. Следовательно, в силу монотонности функции у, y(a0+av(t))> y(a0+av1)^ 1-y(a0+av(t))<1-y(a0+av1). В силу непрерывности функции v(t),

suPt<E[o,T1)(1- v(Go — a • u(t))) = 1-y(a0 + a • иг). Аналогично, supte[Tl>T] y(a0 — a •

i-o-o

1

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4

Фрумкин А. М. Об оптимизации реакции пропорционального регулятора на типовой процесс

u(t)) = у(а0 + а • v1). Отсюда следует формула определения x(a) для монотонного процесса.

Пусть процесс немонотонный. На промежутке [T1,T], так же как в предыдущем случае, функция v(t) монотонно убывает, следовательно, supte[T T] у(а0 — а • u(t)) = V(a0 + а •v1).

На промежутке [0,T1] функция v(t) сначала монотонно не убывает, затем не растет. При этом в окрестности нуля v(t) растет строго монотонно, а в окрестности T1 убывает строго монотонно. Это означает, что V te[0,T1) v(t)>min{v0,v1}>0. Следовательно, в силу монотонности функции у,

y(a0+av(t))>min{y(a0+av0),y(a0+av1)}. Из этого неравенства следует, что

1-y(a0+av(t))<1+max{-y(a0+av0),-y(a0+av1)}=max{1-y(a0+av0),1-y(a0+av1)}

В силу непрерывности функции v(t),

supte[0,Tl-)(1-у(а0 — a • u(t))) = max{1-у(а0 + a • v0), 1-у(о0 + a • v1)}. Отсюда следует формула определения x(a) для немонотонного процесса. ^ Перейдем к доказательству теоремы 1.

^ Согласно лемме 2 x(0)=max{a0,1-a0}. Рассмотрим все случаи, указанные в заключении теоремы.

Если Сто > - то x(0)=a0 и при a>0 %(а) >у(а0 + a • vt) > о0, то есть amin=0 и

Xmin=^0.

Пусть о0 <- и v0> v1. Тогда имеет место неравенство y(a0+av0)> y(a0+av1), поэтому, даже если процесс немонотонен, функция x, согласно лемме 2, вычисляется по формуле: x(a) = max{ у(а0 + avt), 1 — у(а0 + avt) }. При a>^-^- имеет место

неравенство a0+av1>1 ^ x(a)=1. В промежутке 0<a <

i-pp

Vl

имеет место неравенство

o0+av1<1, поэтому x(a)=max{o0+av1,1-o0-av1}. В промежутке

0<a<^° < lz££

2v-i v1

имеет место неравенство o0+av1<1-o0-av1, поэтому x(a)=1-o0-av1, то есть x монотонно убывает. Соответственно, в промежутке

1-2ст0 1-ор

<a<------ имеет место

2 v1 v1

равенство x(a)=o0+av1, то есть x монотонно возрастает. Следовательно, в точке

arj

1—2 о-p

2Ui

функция x имеет минимум х

Пусть <г0 < -, v1> v0>0. В этом случае u - немонотонна и имеет место неравенство y(a0+av0)<y(a0+av1), поэтому функция x, согласно лемме 2, вычисляется по формуле x(a) = max{ у(а0 + a^i), 1 — y(aQ + av0) }. При a>^-^- имеет место

неравенство a0+av1>1 ^ x(a)=1. В промежутке 0<a <

l-Qp

Vi

имеет место неравенство

a0+av1<1, поэтому x(a)=max{a0+av1,1-a0-av0}. В промежутке

0<a<^° < ^

V0 +V1 V1

имеет место неравенство a0+av1<1-a0-av0, поэтому x(a)=1-o0-av0, то есть x монотонно убывает. Соответственно, в промежутке

1-2о0 1-ор

<a<----- имеет место

V0 +V1 V1

равенство x(a)=o0+av1, то есть x монотонно возрастает. Следовательно, в точке

1-2 О0 , Q0v0 + (1-Q0)v1

Опт = — функция x имеет минимУм, хт1п =---------—-------.

1

Пусть а0 < - и v0<0. В этом случае u - немонотонна и при a>0 a0+av0<a0 ^

y(a0+av0)< a0. Следовательно, согласно лемме 2, x(a)>1-y(a0+av0)>1-a0

Но x(0)=max{a0,1-a0}=1-a0. Следовательно, в точке amin=0 функция x имеет минимум, xmin=1-O0. ^

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

3. Доказательство теоремы 2

При формулировке и доказательстве леммы 3 и леммы 4 используются обозначения, не связанные с формулировками теорем 1 и 2.

Лемма 3. Пусть функция f непрерывно дифференцируема в нуле, f(0)=0, f(0)=A^0 и s^0. Тогда для любого 0<s<|A| найдутся такие 5>0, C>0, что при a>C имеют место следующие свойства f:

1) в промежутке (-5,5) существует единственное решение уравнения af(x)=s, которое обозначим x(a);

2)

x(a )

J f(t)dt

0

AT2(a) 2

3 S-T2(a), где T(a)=s/(aA). (1 -s / |A|)2 2

(5)

^ Пусть A>0, s>0, 0<s<A. По условию непрерывной дифференцируемости найдем такое 5>0, что при |t|<5 имеет место неравенство |f(t)-A|<s. Из этого неравенства следует, что при 0<t<5 также |f(t)-At|<st, в частности f(t)>(A-s)t.

Выберем С>0 так, чтобы решение TC уравнения C(A-s)TC=s не превосходило 5, то есть С = . При a>C af(TC)>a(A-s)TC> C(A-s)TC=s. В силу s<A при |t|<5 имеет

место неравенство f(t)>A-s>0, следовательно, f монотонно возрастает на (-5,5). Поэтому, в силу непрерывности f, в промежутке (0,TC) существует единственное x(a), -решение уравнения af(x)=s. Обозначим 9(t)=f(t)-At. При a>C, в силу x(a)<TC<5, для каждого te[0,x(a)] |9(t)|<st, в частности |9(x(a))|<sx(a). Тогда из равенств

А • т(а) + (р{^т(о)) = = — = А - Т(а)

x(a)

(6)

следует оценка - т(а) < —— . Оценим интеграл /0 f(t)dt.

/0x(a)/(t)dt = A ф + /0x(a) q(t)dt = A

с учетом (6). Имеем:

x (a)

ЛГТ2/^Ч x(a)

l!(a) + a т2(д)-т2(д)

+ J0x(a) ф(t)dt

Jf(t)dt - ATita) = x(a) + T(a) ф(, (a)) + x^(t)dt.

(7)

Подставив оценки ф^) и x(a) в (7), получаем:

x(a)

J f(t)dt

0

AT2(a) 2

<

2 x(a) + T(a) 2

sx(a) <

3-s/A -t2 (1 -s/A)2 2

(a).

При других комбинациях знаков A и s рассуждения проводятся аналогично. ^

Лемма 4. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в нуле, f(0)=f(0)=0, f'(0)=B>0 и s>0. Тогда для любого 0<s<B найдутся такие 5>0, C>0, что при

a>C:

1) в промежутке (0,5) существует единственное решение уравнения af(x)=s, которое обозначим x(a);

2)

x (a)

J f(t)dt

BT3(a)

6

<

2 + V1 -s/B s з

(1 -s/B)2 6

T3(a), где T(a) =

aB

(8)

^ Пусть B>0, s>0, 0<s<B. По условию непрерывной дифференцируемости найдем такое 5>0, что при |t|<5 |f'(t)-B|<s, откуда следует, что при 0<t<5 также |f(t)-Bt|<st и |f(t)-Bt2/2|<st2/2. Выберем С>0 так, чтобы решение TC уравнения C(B-s)Tc2/2=s не превосходило 5, то есть C=2s/(B-s)52. При a>C af(TC)>a(B-s)TC2/2=s. В силу s<B при 0<t<5 f(t)>0 и f монотонно возрастает на (0,5). Поэтому, в силу

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4

Фрумкин А. М. Об оптимизации реакции пропорционального регулятора на типовой процесс

непрерывности f, в промежутке (0,TC) существует единственное т(а), решение уравнения af(x)=s. Обозначим 9(t)=f(t)-Bt2/2. При а>С, в силу x(a)<TC<5, для каждого

te[0,x(a)] |ф(1)|<8Г/2, в частности |ф(т(а))|<вт2(а)/2. Тогда из равенства

следует оценка x(a) < TS-)- . Далее

Bx2(a)/2+ф (x(a))=B T2(a)/2

(9)

I'-B

x (a) B B , , х (a)

Jf(t)dt- BT3(a) = B(x3(a)-T3(a)) + Jф(г)аг.

Для x>0, T>0 |t3-T3|=|t-T|(t2+tT+T2)<|t-T|(t+T)2=|t2-T2|(t+T). C учетом (9) и оценки для

^(x(a))| имеем:

|x3(a)-T3(a)|<2^(x(a))|(x(a)+T(a))/B<sx2(a)(x(a)+T(a))/B.

x(a)

Из оценки ф^) следует, что J ф(t)dt < — x 3(a) . Отсюда

0 6

| f^(“>f(t)dt - ВТ6<'“> <|(2j(a) + T(a)) • т2(а) < (1_£)i/° • ^X3(a) . *

Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 2, v = —и, vmax = maxte[0 Ti] v(t), v0 = v(0) = —u(0). Тогда:

если vQ > 0 или выполнены два условия vQ < 0 и----->------, то в промежутке [0,---J

v0 vmax vmax

функция J(a) линейна по a с коэффициентом пропорциональности /'(0) = / v(t)dt —

* 1

J07’1n(t)dt;

если v0 < 0 и — — < х O0, то в промежутке [0, — —] функция J(a) линейна по a с тем же

v0 vmax v0

коэффициентом пропорциональности ]'(0), а в промежутке [— —,——] функция J(a)

v0 vmax

дифференцируема и Vae[— f£,l_f£] j (а) < J '(0).

v0 vmax

^ Если v0 > 0, то при любом характере монотонности функции v Vte [0, Г] a0 + an(t)>0. Если a< i-22-, то Vte [0, Г] a0 + ar(t)< a0 + avmax <1.

vmax

Следовательно, Vte [0, T] y/(o0 + av(t)) = o0 + av(t), поэтому

](a) = J0Tl(1 — a0 — a • v(t))dt + /^(oq + a • v(t))dt=

l-Oo

O> n

= ^(l — 2o0) + To0 + [/Ti r(t)dt — /1 r(t)dt] • a.

Если н0 < 0, то н0 = minter0Ti n(t). Если — , то при a<

L , ] Vr\ V-mar

(10)

l-a0

сохраняется условие Vte [0, Г] a0 + an(t)>0 и потому сохраняется равенство (10).

Если v0 < 0 и — — < 1 °°, то равенство (10) сохраняется лишь в промежутке

v0 vmax

0, — — I. В промежутке [— 2£,1_2£] выражение для J(a) такое:

vq* vo vmax

J(a) = x(a) + /^(1 — oQ — a • v(t))dt + /^(a0 + a • v(t))dt,

где x(a) - единственное решение уравнения o0 + av(z) = 0. Так как v'(x(a)) Ф 0, по

теореме о неявной функции [Шилов 1972], функция x(a) дифференцируема. Согласно правилам дифференцирования интегралов, зависящих от параметра [Шилов 1969],

J,(а) = x,(a) — (l — а0 — а • n(x(a))) x,(a) — v(t)dt.

В силу определения x(a) имеем: — а0 — а • n(x(a)) = 0, поэтому

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

/'О) = - v(t)dt + v(t)dt.

В промежутке [0,т(а)] v(t)<0, поэтому v(t)dt > JQ v(t)dt. Отсюда следует, что

J'(a)<J'(0). ►

Перейдем к доказательству теоремы 2.

^ В наиболее типичном случае и(0)<0. Обозначим

a =(1 - °0) •max(--;k'-^} =(1- По) • > °

Независимо от того, монотонный процесс и или нет, при a>ai Vte[0,Ti) a0-au(t)>1 ^ a(t)=y(a0-au(t))=1. В силу возрастания и на [T1,T], существует и единственное x(a) -решение уравнения au(x)=o0-1. Поэтому

J(a) = i(a) + /xT(a)(o0 - a • u(t))dt = x(a) + o0(T - т(а)) - a JT(a) u(t)dt. Согласно правилам дифференцирования имеем:

т

J,(a) = x,(a) - a0 • т,(а) - (a/x(a) u(t)dt)’.

Производная интеграла в правой части

(a £) u(t)dt^j ' = J(a) u(t)dt - a • и(т(а)) • x'(a),

Поэтому J'(a) = [1 - a0 + а • u(r(a))] • т'(а) - J(a) u(t)dt.

Величина в квадратных скобках есть ноль в силу определения .(a), то есть T

J '(a) = - J u(t)dt > 0 и J возрастает при a>ab

х (a)

Пусть u(0)>0. В данном случае функция u не может монотонно убывать и согласно лемме 1 существует единственный момент T2e(0,T1), такой, что u убывает на [0, T2] и возрастает на [T2,T]. При этом u(T2)<0, поэтому существует такое единственное T3e[0,T2), что u(T3)=0, причем u'(T3)<0. Дальнейшие рассуждения основаны на леммах 3 и 4.

Рассмотрим случай общего положения и(0)>0. Будем использовать функцию v(t) = -u(t). Выберем a0 = max{-При a>a0 имеем следующие

неравенства: av(0) < a0v(0) < -a0 (заметим, что v(0)<0) и av(T2)>av(T1)>a0^v(T1)>1-a0 (заметим, что v(T2) - максимум v на [0,T]). В силу возрастания v на (0,T2) существуют единственное в (0,T3) решение уравнения a-v(rj)=- ст0 и единственное в (T3,T2) решение уравнения av(^)=1-a0, которые обозначим ^0(a) и ^(a) соответственно. В силу убывания v на (T2,T) существует единственное в (T2,T) решение уравнения a-v(9)=1-a0, которое обозначим 91(a). Следовательно,

r1(a) т

](а) = r0(a) + j (1 - av(t) - a0)dt + 0г(а) - + j (av(t) + a0)dt.

r0(a) 01(a)

Дифференцирование J(a) осуществляется по методике, уже показанной в начале доказательства:

T 41(a) ^1(a) x1(a)

J '(a) = J v(t)dt - J v(t)dt = J f0 (t)dt - J ^(t)dt,

91(a) 40(a) 0 х 0(a)

где f0(t)=v(T-t), f1(t)=v(t+T3), X0(a)=^0(a)-T3, .1(a)=^(a)-T3, ^(a)=T-91(a).

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4

Фрумкин А. М. Об оптимизации реакции пропорционального регулятора на типовой процесс

^j(a) x^a)

Обозначим B=f/'(0)=v''(T)>0, A=ft'(0)=v'(T3)>0, I = J f0(t)dt, ^ = J ^(t)dt, I0

x 0(a)

J f1 (t)dt. Равенство (5) для функции f1 и констант s0 = — ст0, s1=1-o0 можно записать

0

соответственно как

где Q0

Л

s0

2Аа2

Qi

2 Аа‘

г, ф(4)

|М0|<ф(4А и |М1|<ф(4А,

3— 4

Л

4 , * = ?

(1 — 4)

Равенство (8) для f0 и s=1-a0 можно записать как

|I-QI<a(4)Q,

Q s3/2V2 (е) 2 + ЛД—Р ,

где Q = . „/о ^ ®(4) =...........3/2 4,£ = ц-

3a 3/VB

(1 -4)

Найдем такое 0<4<1, чтобы выполнялись неравенства ш(4)<1/2, ф(4)<1/2. Для s=4A найдем такое С1>0, чтобы при a>C1 выполнялись неравенства

Uo — Со1 < “ Со и Ul — Cl1 < “ Ci.

Далее, для s=4B найдем такое С0>0, чтобы при a>C0 выполнялось неравенство |/ — QI<^Q. Выберем a>max(Q)A,a0}. Тогда I0>^Qo, /i<|Ci, 1>\Q. Отсюда

J '(a) = I-I1+I0>1 (Q-3Q1+Q0 ) = Aj-

2 2a

1 2as 3sx — So

v 3 V B 2A j

то есть при

a> a-i = max

(9( З52_В ^

( ^ 8s3a?—' Cq> Ci' ao f имеет место неравенство J'(a) > 0.

Случай w(0)=0 рассматривается аналогично. Здесь a0 =

i-gp

v(Ti)

и не рассматривается

функция ц0.

Таким образом, в любом случае при достижении определенного значения a1 J начинает возрастать. Интеграл качества J непрерывен при любом значении a, потому что является суммой двух интегралов от непрерывной по a функции. Следовательно, в промежутке [0,a1] функция J имеет минимум.

я Т"^

Если ](0) = JT v(t)dt — J0 v(t)dt < 0, то, по лемме 5, функция убывает в

промежутке [0,1 °°], поэтому минимум достигается в промежутке [* °°, a^J. ^

vmax vmax

Библиографический список

Абдуллаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб.: Лань, 2008. 480 с.

Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Фрумкин А. М. О задаче оптимального быстродействия для двумерного бинарно управляемого объекта // Ученые записки: Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2009. № 1. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/009-02.pdf

Фрумкин А. М. Синтез законов управления автономным синхронным генератором в системе автоматизированных испытаний. дис. ... канд. техн. наук. М., 2005. 225 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного: ч. 1, 2. М.: Наука, 1969. 528 с.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных: ч. 1, 2. М.: Наука, 1972. 624 с.

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4