Метод наименьших квадратов для косых отклонений точек до прямой линии в прямоугольных декартовых координатах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:519.862.6

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ КОСЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ТОЧЕК ДО ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Станислав Петрович Шкроба1, к. ф.-м. н., доцент Николай Витальевич Никифоров2, старший преподаватель Дмитрий Сергеевич Комшанов2, д. э. н., доцент

1ФГБОУВО «Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I», Россия, филиал г. Великие Луки ФГБОУ ВО «Великолукская государственная сельскохозяйственная академия», Россия, г. Великие Луки

Предлагаются новые методы минимизации взвешенной суммы квадратов косых отклонений заданных точек до искомой прямой. Поставленная задача решается с помощью специальных тождеств и неравенств и сведения решения основной задачи к исследованию элементарной функции одной переменной средствами математического анализа.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, косые отклонения, специальные тождества и неравенства, исследование элементарной функции одной переменной.

Построение прямой линии на плоскости в методе наименьших квадратов для данного набора точек зависит от выбора отклонений этих точек до искомой прямой линии (вертикальные, горизонтальные, кратчайшие, косые и другие отклонения), а также от выбора системы координат (прямоугольные декартовы, косоугольные, полярные и другие координаты). Наиболее популярны среди практиков вертикальные отклонения и прямоугольные декартовы координаты, так как такой выбор позволяет находить аппроксимирующие функциональные зависимости любого типа. В работе [1] (задачи 1 и 2) подробно изучены кратчайшие отклонения и прямоугольные декартовы координаты. В данной статье рассматриваются косые отклонения (в частности, вертикальные и горизонтальные) и прямоугольные декартовы координаты.

Пусть дан набор разных пар вещественных чисел (хк, ук), 1 < к < п, к -целое, п - целое, п > 1. Если на плоскости введена прямоугольная (декартова) система координат, то пары чисел (хк, ук) автоматически порождают точки

Мк -Мк( Хк, Ук) ■ _

7 2 2 п1 + п2

Определение. Число ик -- называется косым от-

|ап2 - Ьп11

клонением точки Мк —Мк(хк, ук ) от прямой линии Ьъ\ ах + Ьу + с — 0 перпен-

О о

дикулярно данному вектору п = (щ, п2), где а,Ь, пх, п2 е Я, а + Ь Ф 0,

п1 + п2 Ф 0, ап2 - Ьп1 ф 0.

Видно, что косое отклонение dk - это длина отрезка МкМр, где М р -это точка пересечения прямой линии Ьъ и прямой линии, проходящей через точку Мк перпендикулярно вектору п.

Считается также, что положительные числа (веса) ^, характеризующие

вклад квадрата отклонения dk в сумму д3, заранее заданы и выбраны так, что

п

^ ^ = 1. Если точки Мк = Мк(хк, ук) равноправны, то tk = 1/ п, 1 < к < п.

к=1

2 2

Определение. К3 = {(а, Ь, с)|(а, Ь, с) е Я3, ап2 - Ьп1 Ф 0 и а + Ь Ф 0}.

2 2

Определение. К2 = { (а, Ь) | (а, Ь) е Я2, ап2 - Ьп1 Ф 0 и а + Ь Ф 0}.

9 9 О

^ Л С/ 7 ч ntk (axk + byk +С) (Щ + Щ)

Определение. o3(a,b,c) = X—k-—- 1-— - взвешенная сумма

k=1 (an2 - bn1)

квадратов косых отклонений dk заданных точек Mk =Mk(xk, yk) до искомой прямой L3: ax + by + c = 0.

Определение. A3(a,b) = S3(a, b, - ax - by).

Задача 3 (основная). Найти все тройки чисел (a0 ,b0 ,c0) е K3, такие, что

min S3(a, b, c) = S3(a0, b0, c0).

(a,b,c)eK3

Предложен новый способ решения задачи 3, основанный на следующих приемах:

1) сведение задачи 3 к новой задаче 3.1 на нахождение наименьшего значения функции двух переменных A3(a,b) на множестве K2 с помощью специального тождества;

2) разбиение K2 на два непересекающихся множества K21 и K22;

3) сведение задачи 3.1 на множестве K21 к нахождению наименьшего значения функции одной переменной g(k) на множестве K1;

4) элементарное решение задачи 3.1 на множестве K22;

5) быстрое решение новой задачи 3.1 с помощью пунктов 4 и 5.

Основные обозначения: R - множество вещественных чисел,

n n _ n

x = X tkxk , y = X hyk , xy = X tkWk ,

k=1 k=1 k=1

- n - n n

x2 = Xtkxk , y2 = Xhyl ^xy = X fk(xk - x)(yk - y),

k=1 k=1 k=1

n n

= S fk (xk - x)2 ' а), = S tk (Ук - y )2 •

к=1 к=i

Определение. R3 = { (a, b, c) | a, b, c e R }, R2 = { (a, b) | a, b e R } Определение. A3(a,b) = S3(a, b, - ax - by) •

Лемма 1. Верны равенства:

2 2 2 2 2 2 -

a = x - (x) , a^2 = y - (y) , axy = ХУ - x ■ У •

Доказательство.

n n

n

n

• x2 - 2x ■ x + S tk ' (x)2 = x2 - (x)2

к=1

Аналогично доказываются и другие равенства. Лемма 1 доказана. Теорема 1 (о сведении задачи 3 к задаче 3.1). Верны утверждения:

1) для любой пары (a, b) e K2

Л / ^ (a^ + 2aba + b1a1y)(n1 + n\)

Aз(a, b)=-, . J 1-;

(an2 - bn1)

2) для любой тройки (a, b, c) e K3

_ __9 9 9

(ax + by + c) (n + n2)

A 3(a, b) = S3(a, b, c)---;

(an2 - bn1)

3) min S3(a,b,c) = min A3(a,b).

(a,b,c)eK3 (a,b)eK2

Доказательство.

(n2+n2)

Пусть / =-1-2 •

(an2 - bn1)

1) A3(a, b) = S3(a, b, - ax - by) =

n n

= / Sfk (axk + byk - ax - by)2 = / S tk(a(xk - x) +(yk - y))2 =

k=1 к=1 n

X—^ 9 9 9

= / S fk(a (xk- x) + 2a(xk- x)(yk- y)+(yk- y) ) =

к=1

= /

f n n n \

a2 S h(xk - x)2 + 2a S fk(xk - x)(yk - y) + S h(yk - y)2

V к=1 к=1 к=1 У

2_2 , , _2V„2 , „2-

( 2 2 2 V 2 2

a СТ^2 + 2aaxy 2 + n2)

/ 2 2 2 \ a а x = + 2aaxy + ayj=- (аи ¿И )2

n

n

2) Применяется первое утверждение и лемма 1.

о

63(а, Ь, с) - I(ах + Ьу + с) =

п

= IX ь(а 2( хк)2+ь2( Ук)2+с 2 + 2аЬхкУк + 2асхк + 2ЬсУк)

к=1

_ _ 2 2 2 2 2 2 — _ _

-1(ах + Ьу + с) = I(а х + Ь у + с + 2аЬху + 2асх + 2Ьсу) -

о _ о о _ л о _____

-1(а (х)2 + Ь (у)2 + с + 2аЬху + 2асх + 2Ьсу) = А3 (а, Ь).

3) Вытекает из равенства во втором утверждении. Теорема 1 доказана.

Вместо задачи 3 возникает сложная задача 3.1 с пятью параметрами ах , ау , аху , п1, п2 на нахождение наименьшего значения функции двух переменных А3(а,Ь) на множестве К2.

Лемма 2 (неравенство Коши-Буняковского). Пусть верны неравенства: ах > 0 , ау > 0 . Тогда верны утверждения:

1) ахау -аху ^ 0; ахау - аху = 0 о все точки Мк =Мк(хк, ук), 1 < к < п,

„ „ х - х у - у лежат на одной прямой---—— = 0;

ах ау

п

2) ахау +аху ^ 0; ахау +аху = 0 0 все точки Мк =Мк(хк, ук ) > 1 < к <

„ „ х - х у - у лежат на одной прямой--+ -—— = 0;

ах ау

3) -ахау <аху <ахау 0 а2а2-а% ^ 0 .

Будем считать, что всюду далее выполнено естественное предположе-

ние:

2 2 2

ахау -аху > 0 0-ахау <аху <ахау

В частности, отсюда вытекает, что одновременно

а2 > 0, а2 > 0.

Разобьем множество К2 на два непересекающихся множества К21 и К22.

2 2

Определение. К21 = { (а, Ь) | (а, Ь) е Я2, Ь Ф 0, ап2 - Ьп1 Ф 0 и а + Ь Ф 0}.

2 2

Определение. К22 = {(а, Ь)1(а, Ь) е Я2, Ь = 0, ап2 - Ьп1 Ф 0 и а + Ь Ф 0}. Решим задачу 3.1 отдельно на множествах К21 и К22. После чего будет решена и основная задача 3.1 (на множестве К2).

2 2

Не умаляя общности можно считать, что п2 ф 0, так как пх+ п2 Ф 0. Если п1 ф 0, то ввиду симметрии А3(а, Ь) аналогичные рассуждения приводят к тем же результатам.

2) min A3(a,b) = min g(к), где K1 = { к | к g R , к Ф кп }.

(a,b)GK2i kGKj

Теорема 2 (о сведении задачи 3.1 к задаче о нахождении наименьшего значения функции одной переменной g(к) на множестве K).

Пусть п2 ф 0, к = — и кп = —. Тогда верны утверждения:

b п2

(к2+ 2к^ + )(к2 +1) ^ , 7Ч 1) A3(—, b) = g(к) = --x-^—^^—- для любой пары (a, b) g K21;

(к - кп )2

) = min g (к

kGK1

Доказательство.

1) Достаточно в последнюю дробь подставить равенства к = —, кп = — и

b п2

преобразовать полученное выражение в выражение A3(—, b).

2) Вытекает из первого утверждения. Теорема 1 доказана.

Ясно, что переход от задачи 3 к задаче 3.1 фактически говорит о том, что при решении задачи 3 достаточно рассматривать прямые, проходящие через точку Ms(x, y) (так как c = -ax - by) и неколлинеарные вектору п = (п1, п2) (так как ап2 - Ьп1 ф 0). Уравнение искомой прямой будет выглядеть так:

—(x - x ) + b( y - y) = 0. Обозначения новых параметров кп , ка , к0 , G0 , g0:

кп = iL, К = Z^L, к0 = - , К = ^, g0 = £tf +1),

xy п^ x

.1 , „2 \/ _2 _2 _2 \ / 7 2 . 1 \ /_2_2 _2

^ _ ,, (^1 + п^а^у ) _(К +^(ад д) - £ (к0)- 2 2 , 0 , 2 2 - ,2 2 , 07 ! Г'

п1 ^^ + 2п1п2 аху + «2 ^^ ки ^^ + 2кп аху + ау

Лемма 3 (о свойствах новых параметров кп , ка , к0 , ку , , ). Верны утверждения:

9 9 9

1) й(к) - к + 2калу + оу > 0 для всех к е ^;

2) если кп > ка, то ка < к0 < кп и ку < к0;

3) если кп < ка, то кп < к0 < ка и ^ > к0;

4) если кп ф кст, то а0 < Я0;

5) если кп - ка> то О) - Я0.

Доказательство.

2 2 2 2

1) Так как дискриминант к(к) равен (-4(ахау -а^)) < 0 и а2 > 0, то

9 9 9

к(к) - к а2 + 2каху + ау > 0 для всех к е ^.

9 9 9 9 9

2) Так как аху + Ка2 -аАкп - ка ) > 0 > то ка < к0 ^ аха.у - > 0 > а это

9 9

неравенство верно. Так как а + кпа^ - ах (кп -ка)> 0, то к0 <кп ^к(кп) > 0, а это неравенство верно в силу первого утверждения.

- к0 = к) < 0, так как к0 < кп .

3) Доказывается так же, как и второе утверждение.

4), 5) Легко доказывается тождество, из которого вытекают четвертое и пятое утверждения:

^ _ а )(к1 + 1)(кп - ка)2

%0 - и0 - —1--¡—¡—--

КК )

Лемма 3 доказана.

Теорема 3 (решение задачи 3.1 на множестве К21). Пусть кп = ка. Тогда верны утверждения:

(к2 + 1)(а2ха2у -а2^) 1) g(к) - g0 =-ö-\—— на множестве K ;

0 а2(к - кп )2 1

2) g(к) > g0 = G0 на множестве K1;

3) A3(a,b) > g0 = G0 на множестве K2l. Теорема 4 (решение задачи 3.1 на множестве K2l). Пусть кп ф ка. Тогда верны утверждения:

1) g(к) > G0 = g(k0) на множестве K1, g(к) = G0 на множестве K1 ^ к = к0;

2) A3(a,b) > G0 = A3(a0,b0) на множестве K2l, A3(a,b) = G0 на множестве K21(a,b) = (ao,bo), где ao = коЬо;

3) min A3(a, b) = min g (к) = G0.

(a,b)eK21 ке^

С помощью леммы 3 средствами элементарного математического анализа был построен график функции g(к), а после этого было найдено наименьшее значение функции одной переменной g(к) на множестве K1, если min g (к) существует. Теоремы 3 и 4 после этого будут доказаны. Предлагается

кеЩ

краткое изложение этой процедуры.

Исследование функции одной переменной g(к).

Пункт 1. Область определения функции. K1 = { к\к е R , к Ф кп } = (-», кп ) и (кп , + . Пункт 2. Непрерывность функции.

Функция g(к) непрерывна на множестве (-да, кп ) и (кп , + . Пункт 3. Поведение функции на границе области определения.

lim g(к) = go, \im g(к) =.

к к ^кп

Пункт 4. Асимптоты.

Прямая к = кп - вертикальная асимптота.

Прямая y = g0 - горизонтальная асимптота.

_

Пункт 5. Промежутки знакопостоянства функции

g(к) > 0 всюду на (-да, кп ) и (кп , + да), график функции всюду лежит

выше оси абсцисс.

Пункт 6. Промежутки монотонности и точки экстремума функции. Случай 1. кп = ка.

Функция g (к) возрастает на промежутке (-да, кп ). Функция g (к) убывает на промежутке (кп, + да). Точек экстремума нет. Случай 2. кп > ка.

Функция g (к) убывает на промежутке (-да, к0). Функция g (к) возрастает на промежутке (к0, кп ). Функция g (к) убывает на промежутке (кп, + да).

, , (к2+1)(^2 ) к = к0 - точка локального минимума, g(к0) =---— = О0.

КК)

Случай 3. кп < ка.

Функция g(к) возрастает на промежутке (-да, кп ) . Функция g (к) убывает на промежутке (кп, к0). Функция g (к) возрастает на промежутке (кп, + да).

, , (к2 + ) к = к0 - точка локального минимума, g(к0) =---^ = 00.

КК)

Пункт 7. Промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба. Случай 1. кп = ка. Поэтому функция вогнута и на промежутке (-да, кп), и на промежутке (кп, + да). Точек перегиба нет. Случай 2. кп > ка.

Функция g (к) выпукла на промежутке (-да, ку ). Функция g (к) вогнута на промежутке (ку, кп ). Функция g (к) вогнута на промежутке (кп, + да). к = ку - точка перегиба. Случай 3. кп < ка.

Функция g(к) вогнута на промежутке (-да, кп ) . Функция g (к) вогнута на промежутке (кп, ). Функция g (к) выпукла на промежутке (ку, + да). к = - точка перегиба.

Теорема 5 (решение задачи 3.1 на множестве К22). Верны утверждения:

1) если kn = ка, то A3(a,b) = G0 = A3(a0,b0) на множестве K22, где a0 -любое ненулевое число и b0 = 0;

2) если kn ф ка, то A3(a, b) > G0 на множестве K22. Доказательство теоремы 5 элементарно.

Теорема 6 (решение задачи 3.1 на множестве K2). Верны утверждения:

1) min A3(a,b) = G0 = A3(a0,b0);

(a,b)eK2

2) существует единственная прямая L3, дающая решение задачи 3.1, с

о __о _

уравнением (n^ + ^О^ )(X - X) - n^xy + П^Хy - У) = 0 .

Доказательство теоремы 6 легко следует из теорем 3, 4 и 5.

Вывод. Основная задача 3 решена, в теореме 6 указано уравнение прямой, дающее решение задачи 3. Частные случаи.

Возможность 1. n1 = 1, n2 = 0, вектор n = (n1, n2) = (1,0) = i перпенди-

кулярен оси ординат. d =

I ax к + ЬУ к + c I ■1

ax7j, + c

Ук

_ b

_ вертикальное от-

I -Ъ |

клонение точки Мк =Мк(хк, ук) от прямой линии Ьъ, так как при Ъ ф 0 урав-

ах + с

нение ах + Ъу + с = 0 равносильно уравнению у =-.

- Ъ

Возможность 2. п1 = 0, п2 = 1, вектор п = (п1, п2) = (0,1) = j перпендикулярен оси абсцисс. , _ | ах к + Ъук + с | -1 _ Ъук + с горизонтальное от-

& к — — Хк

|—а| — а

клонение точки Мк =Мк(хк, ук) от прямой линии Ь3, так как при а ф 0 урав-

7 У-Л Ъу + с

нение ах + Ъу + с = 0 равносильно уравнению х -

а

Библиографический список

1. Шкроба С.П. Метод наименьших квадратов для кратчайших отклонений точек до прямой линии в прямоугольных декартовых координатах и тригонометрические функции / С.П. Шкроба, Н.В. Никифоров, Д.С. Комшанов // Известия Великолукской государственной сельскохозяйственной академии. - 2017. - №3. - С.64-70.

E-mail: [email protected]

182112 Псковская область, г. Великие Луки, пр. Ленина д. 2, ФГБОУ ВО Великолукская ГСХА

Тел.: +7 (81153) 7-17-72