Метод наименьших квадратов для косых отклонений точек до прямой линии в барицентрических и аффинных координатах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:519.862.6

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ КОСЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ТОЧЕК ДО ПРЯМОЙ ЛИНИИ В БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ И АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ

Станислав Петрович Шкроба1, к. ф.-м. н., доцент Николай Витальевич Никифоров2, старший преподаватель Дмитрий Сергеевич Комшанов2, д.э.н., доцент

1 ФГБОУ ВО «Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I», Россия, филиал г. Великие Луки 2ФГБОУ ВО «Великолукская государственная сельскохозяйственная академия», Россия, г. Великие Луки

Предлагаются новые методы минимизации значения (взвешенной) суммы квадратов косых отклонений точек до искомой прямой в барицентрических и аффинных координатах относительно некоторого базисного треугольника. Поставленная задача решается для аффинных координат с помощью специальных тождеств и неравенств. После этого предлагается решение этой задачи для барицентрических координат.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, косые отклонения, аффинные и барицентрические координаты, специальные тождества и неравенства, векторная алгебра.

Построение прямой линии на плоскости в методе наименьших квадратов для данного набора точек зависит от выбора отклонений этих точек до искомой прямой линии (вертикальные, горизонтальные, кратчайшие, косые и другие отклонения), а также от выбора системы координат (прямоугольные декартовы, косоугольные, барицентрические, аффинные, полярные и другие координаты). Наиболее популярны среди практиков вертикальные отклонения и прямоугольные декартовы координаты, так как такой выбор позволяет находить аппроксимирующие функциональные зависимости любого типа. В работе [4] подробно изучены косые отклонения и прямоугольные декартовы координаты. В этой статье рассматриваются косые отклонения, барицентрические и аффинные координаты.

Мы будем опираться на монографию [3], в которой подробно изложена аналитическая геометрия на плоскости на основе барицентрических и других координат точки относительно базисного треугольника, играющего роль системы координат.

Определение. Пусть дан на плоскости треугольник ABC и T - любая фиксированная точка. Тройка вещественных чисел {u, v , w}, таких, что

u + v + w = 1и TM = uTA + vTB + wTC, называется барицентрическими координатами точки M относительно треугольника ABC, а треугольник ABC называется базисным треугольником. В фигурных скобках после точки будем указывать барицентрические координаты точки M относительно базисного треугольника: M = M{u, v, w}.

Определение. Пара чисел (v, u) называется ( v , u) - аффинными или (коротко) аффинными координатами точки M относительно базисного треугольника ABC. Другими словами, первая аффинная координата - это вторая барицентрическая координата, а вторая аффинная координата - это первая барицентрическая координата.

Барицентрические и аффинные координаты точки являются обобщением прямоугольных (декартовых) и косоугольных координат точки [3].

Пусть дан набор троек вещественных чисел {uk, vk , wk}, uk + vk + wk = 1, 1 < k < n, n - целое. Если выбран некоторый базисный треугольник ABC, то эти тройки чисел порождают точки Mk = Mk{uk, vk , wk}. Удобно ввести следующие обозначения для средних величин и некоторых параметров базисного треугольника:

n n n

u = 2tkuk, v = 2tv , w = 2fkwk;

k=1 k=1 k=1

n n n

¿i = 2 tk (uk- u )2, ^v = 2 tk (vk- v )2, &W = 2 tk(wk- w)2;

k=1 k=1 k=1

n n

°vw =2 tk (vk - v)(wk - w) , &wu = 2 tk (wk - w)(uk - u) ,

k=1 k=1 n

°uv = 2 tk (uk- u )(vk- v); ao = BC bo = CA , c0 = AB; k=1

b0 + c0 - a0 c0 + a0 - b0 a0 + b0 - c0

wA =---, wB =---, wC =---.

Как обычно, запись M(v, u) означает, что (v , u) - это аффинные координаты точки M относительно базисного треугольника ABC.

Теорема 1. (v, u) - это аффинные координаты точки M относительно базисного треугольника ABC & CM = vCB + uCA.

Доказательство.

(v , u) - это аффинные координаты точки M относительно базисного треугольника ABC & {u, v, w} - это барицентрические координаты точки M относительно базисного треугольника ABC, где w = 1 - v - u & TM = uTA + vTB + wTC, где T - любая точка & CM = uCA + vCB + wCC & & CM = vCB + uCA. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть даны следующие объекты: точка m0 =m(v0, щ); прямая

rs rs -* -

L4 с уравнением av + bu + c = 0, a + b ф 0; вектор m = m2 CB + m1CA, | m \ф 0; точка Mp =Mp(vp, up) e L4, M0Mp || m; am2 + bm1 ф 0, т.е. вектор m и прямая L4 не коллинеарны. Тогда верны утверждения:

_ - (av0 + bu0 + c)m2 _ - (av0 + bu0 + c)m1

am2 + bm1 ' p am2 + bm1

9 9

,, л (av0 + bu0 + c) | m | ,2 22 ~ 2*2

2) (M0MP )2 = -—0-0-—-, где | m |2 = m^a^ + 2m1m2wC + m12b(2.

(am2 + bm1) Доказательство.

1) Достаточно решить систему уравнений с неизвестными v — v0 = vp — v0, u — щ = up — щ и t:

v — V0 = m2t, u — u0 = m1t, a(v — v0) + b(u — u0) = —(av0 + bu0 + c).

В этой системе первые два уравнения - это параметрические уравнения прямой M0 Mp, а третье уравнение очевидно равносильно уравнению прямой L4. _^ _ _

2) (M0 Mp )2 = (M0 Mp )2 = ((vp — v0)C5 + (up — ^)СА)2 =

2 -* -" 2 2 ^ 2

(av0 + bu0 + c) | m2 CB + m1 CA | (av0 + bu0 + c) | m |

= 2 = 2 ' где (am2 + bm1) (am2 + bm1)

| m |2 =| m2CB + m1CA |2 = m2CB2 + 2m1m2CB ■ CA + m?CA2 =

9 9 9 9

= m2a0 + 2m1m2wC + m1 b0. Теорема 2 доказана.

| av0 + bu0 + c ||m |

Определение. Число d0 = -—0-0-ü—1 называется косым отклонени-

| am2 + bm11

ем точки M0 =M0(v0, u0) от прямой линии L4 : av + bu + c = 0 параллельно век* -9 9

тору m = m2CB + m1CA, где a,b, m1 m2,e ^, a + b Ф 0, | m 0, am2 + bm1 Ф 0.

Предположим, что базисный треугольник ABC—прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами a0 = b0 = 1. Тогда x0 = v0 и y0 = u0 — прямоугольные декартовы координаты точки M 0 относительно прямоугольной декартовой системы координат с центром в точке C, у которой ось абсцисс - это ось вектора CB, а ось ординат - это ось вектора CB [3]. Теперь, если d0 — это косое отклонение в последней системе координат точки M 0 от прямой линии L4: ax + by + c = 0 перпендикулярно вектору П = (n1, n2), то вектор

m = (—n2 , n1) будет очевидно коллинеарен вектору M0Mp и

V9 9

_ _ n1 + n2

d0 = "

| ат2 + Ът11 | -ап2 + Ъп1 |

так как

999 999 999

| т | = т2 а^ + 2т1т2 м>с + т1 Ъ0 = п -1 + 2т1т2 ■ 0 + п2 -1 = п + п2.

Таким образом, формула для отклонения d0 в последнем определении является обобщением формулы для отклонения d0 в прямоугольных декартовых координатах из работы [4].

Определение. R2 = {(a, b)\ a, b e R }, R3 = {(a, b, c)\ a, b, c e R }

9 9

Определение. F3 = { (a, b, c) \ (a, b, c) e R3, am2 + bm1 Ф 0 и a + b Ф 0}. Задача 1. Найти все тройки чисел (a4 ,b4 , c4) e K3 (прямые линии L4: a4v + b4u + c4 = 0) такие, что min S4(a, b, c) = S4(a4, b4, c4), где

(a,b,c )eF3

2 I - i2

S4(a, b, c) = X (a>k + bUk + c\2 ^ = X (avt + buk + cY

k=1 (am2 + bm{) k=1

Предложен новый способ решения задачи 1 без использования средств математического анализа, основанный на следующих приемах:

1) сведение задачи 1 к новой задаче 1.1 на нахождение наименьшего значения функции двух переменных A4(a,b) на множестве F2 с помощью специального тождества;

2) элементарное решение задачи 1.1 с помощью точной оценки снизу минимизируемой функции числом Gi, угаданным с помощью работы [4];

3) нахождение неизвестных коэффициентов a4,b4 из условия А4(a,b) = G1;

4) переход к барицентрическим координатам для числа Gi и в уравнении искомой прямой линии.

9 9

Определение. F2 = { (a, b) \ (a, b) e R2, am2 + bm1 Ф 0 и a + b Ф 0}. Определение. Для любого (a,b) e F2 A4(a,b) = ö4(a, b, - av - bU). Теорема 3 (о сведении задачи 1 к задаче 1.1). Верны утверждения:

9 9 9 9 9

14 А / (a + 2ab< + b <и)\ m \ _

1) А4(a,b) = --v-—-г-^—— для любого (a„b) e F2;

(am2 + bmy)

_ __2 „ о

2) A4(a,b) = S4(a,b,c) - ^aV + + c \m \ для любого (a,b,c) e F3;

(am2 + bm1)

3) min S4(a,b,c) = min A4(a,b), если последнее наименьшее значение су-

(a,b,c)eF3 (a,b)eF2

ществует.

Доказательство.

Проводится так же, как и доказательство теоремы 1 из [4]. Теорема 3 доказана.

Переход от задачи 1 к задаче 1.1 говорит о том, что достаточно рассматривать прямые линии L4, проходящие через точку Ms (v , U), с уравнением a(v - v ) + b(u - U) = 0.

Вместо задачи 1 возникает задача 1.1 на нахождение наименьшего значения функции двух переменных А4 (a, b) на множестве F2.

Задача 1.1. Найти все пары чисел (a4,b4) e F2 (прямые линии L4: a4(v - v ) + b4(u - U) = 0) такие, что min A 4(a, b) = A 4(a4, b4).

(a,b)eF2

Задача 1. 1 будет решена при естественных предположениях, которые далее всюду предполагаются выполненными. Считается, что функция

г

2

\m\

о

(am2 + bm1)

n

n

9 9 9 9

h(a, b ) = a <jv + 2аЬ«ш + b <7U - это положительно определенная квадратичная

форма [2]. На языке матриц (определителей) последнее предположение равносильно тому, что верна система неравенств (критерий Сильвестра, [2]):

9 9 9 9 9

< >0,< >0,««-<v >0 ■

Так как h(a, Ь) > 0 всегда, то [2] выполнены условия (1.1), которые получаются из условий (1) заменой символа «>» на символ « > » и функция h(a, Ь) будет неотрицательно квадратичной формой. Поэтому в этом случае, возможно, существует пара чисел (а, Ь ) е R2 такая, что а2 + Ь2 ф 0 и h(a,Ь) = 0. Если дополнительно предположить, что (а, Ь ) е F, то можно для этой пары чисел (а, Ь ) е K2 написать цепочку равносильных утверждений:

ГА4(а, Ь) = 0,

h(a,Ь) = 0 _ _ ^А4(а,Ь ) = S4(a,Ь, c) = 0 ^

[ c = -av - Ьи

^avk + Ьик + c = 0,1 <к<n^все точки Mk =Mk(vk,щ ) лежат на одной прямой av+Ьи + c = 0. Естественно, поэтому потребовать выполнения условий (1), чтобы избежать этого вырожденного случая.

Определение. G = 2 1Г1 («v«u -<U<v\ 2 ■

m<v - 2m1m2«uv + m<2

Теорема 4 (о решении задачи 1.1 в аффинных координатах).

2 2 9 9 9

Пусть > 0,<2 > 0 <2<2 - <yuv > 0. Тогда верны утверждения:

1) H(m1, m2) = mf« - 2m1m2«uv + m2«U > 0 для всех (mi, m2) е R2 таких, что

9 9

mf + m2 Ф 0;

2) А4(а,Ь) - Gi = f[ a(-m2«uv + m«Z) + Ь(m« - m2«u2)]2 для любого(а,Ь) е ^

2 2

и для всех (mi, m2 ) е R таких, что m1 + m2 Ф 0, где

о

f =_G1_=_m_> 0 ■

J О О О О о ?

(am2 + Ьг1 ) («v «U2 - «u.v ) (am2 + Ьг1 ) H (m1 , m2 )

3) А4 (а, Ь) > G1 для любого (а, Ь) е F2;

.2_2

А / ^ I m | («v«u ) min А4(а, Ь) = G1 - v 2

1 22 2 2 ?

(а,Ъ)6^2 т1 ^ - 2т1т2^Му +

4) существует единственная прямая линия ЬА, дающая решение задачи 1.1, с уравнением в аффинных координатах

о __о _

(т1°м - т2°2 - V) - (-т2^ыу + т1°2 )(и - и) = 0.

Доказательство.

1) Н(т1, т2) - положительно определенная квадратичная форма в силу критерия Сильвестра [2].

2) После аккуратных элементарных преобразований правая часть тождества преобразуется в левую часть. Это тождество было найдено с помощью компьютерной алгебры.

3), 4) Вытекает из тождества во втором утверждении и [1].

9 9

А4 (а Ъ) - Ох = 0 ^ а(—т< + т^ ) + Ь(т1аиу - т1аи) = 0 ^

9 9

^ а = а4 = ^(т<<ш - т2<уи) и Ъ = Ъ3 = — (-т2аиу + т<«у ), где IФ 0 и ^ е Я. Теорема 4 доказана.

Уравнение из четвертого утверждения теоремы 4 можно также рассматривать совместно с уравнением связи и + V + w = 1. Такая система описывает прямую линию Ь4 в барицентрических координатах [3]. Эту систему, а также параметр 01 удалось привести к интересному симметричному виду. Обычно уравнение связи и + V + w = 1 при формулировке теорем опускается.

Теорема 5 (о решении задачи 1.1 в барицентрических координатах).

2 2 2

Пусть <2 > 0> < > 0, < > 0 и + « + «и > 0. Тогда верны утверждения:

9 9 9

1) а0 = wB + wC, Ъ0 = wC + wA, с0 = wA + wB;

2 2 2

2)< =—< — < < = — < — < < =—< — <

/ и ш wu^> V и^ w WU V

u uv wu? v vw uv > w wu vw '

er — CT C C , C C

v u uv wu uv uv vw vw wu '

3) Cv C — Cv = CwuCuv + CuvCvw + CvwCw

4) m = m2 CB + m1CA = mlTA + m2 TB + m3TB, где m3 = —m1 — m2, T — любая точка;

9 9 9 9

5) | m | = wAmx + wBm2 + wCm3 ;

2 2 о ,2 2 2 2 2

m с — 2mm2cuv + mCu = —Cvwm — Cwum2 — Cvm;

7) min A4(a,b) = G1, где

(a,b)eF2

9 9 9

r = (wAml + wBm2 + wCm2 )(cwucuv + auvavw + CvwCwu ) . G1 2 2 2 ; — Cvwml — Cwum2 — Cuvm3

8) существует единственная прямая линия L4, дающая решение задачи 1.1, с уравнением в барицентрических координатах

mCvw (u — u) + m2Cwu(v — v) + m3Cuv (w — w) = 0.

Доказательство.

2 2 j 2 2 J 2 2

1 \ co + ao — bo ao + bo — Co 2 ^

1) wB + wC =—--— + ——-- = aQ . Остальные два равенства доказываются аналогично.

2) Используются следующие равенства:

uk + vk + wk =!; u+v+w=1; (vk— v)+(wk—w)=—(uk—u).

n

Cuv + Cwu = Z tk [(uk — u )(vk — v) + (wk — w)(uk — u )] =

k=1

n n

= Ztk (uk — u )[(vk — v) + (wk — w)] = — Ztk (uk — u )2 = .

k=1 k=1

Остальные два равенства доказываются аналогично.

3) Из второго утверждения следует, что

2 2 2 ~ 2 Я Яи -яш = (ялм + Я«к )(яш + Ями ) = Ям«^ + + ЯмЯм« .

4) т = т2СВ + т1СА = т2(ТВ - ТС) + т1(ТА - ТС) = ш{ТЛ + ш2ТВ + т3ТВ.

5) Из первого утверждения следует, что

9 9 9 9 9 9 9

| т | = т2а0 + 2т1т2мС + т^Ъ^ = т2(мВ + мС) + 2т1т2мС + тх (мС + мА) =

9 9 9 9 9 9

= мАтх + мВт2 + мС (т1 + т2) = мАтх + мВт2 + мСтъ .

6) Из второго утверждения следует, что

9 9 9 9 9 9

т1 Я - 2т1т2яш + т2Яи = -т1 (яум + Яиу ) - 2т1т2Яиу - т2 (я«у + Ями) = 2 2 / , ч2 2 2 2 = -ЯумШ - Ямит2 - Яиу (т1 + т2) = -ЯумШ - Ямит2 - Яиут3 .

7) Достаточно применить теорему 4 и равенства из третьего, пятого и шестого утверждений.

8) Используются следующие равенства:

и + V + м = 1; и + V + м = 1; (и - и) + (у - V) = -(м - М); т3 = -тх - т2. После этого из четвертого утверждения теоремы 4 и второго утверждения теоремы 5 следует цепочка равносильных уравнений:

9 9

(т1ЯиУ - т2Яи )(у - у) - (-т2Яиу + т1Яу )(и - и) = 0 ^

(ш1я«у + т2 (я«у + Ями ))(У - У) - (-Ш2Я«у - Ш1(ям + Я«у ))(и - и) = 0 ^ т1Ям (и - и) + т2Ями (у - У) +

+ Я«у [(и - и)(Шх + т2 ) + (V - V )(ШХ + т2 )] = 0 ^ т1яум (и - и) + т2ями(у - V) + т3яиу (м - М) = 0. Теорема 5 доказана. Вывод. Задача 1 решена. Получены уравнения искомой прямой линии в аффинных и барицентрических координатах при естественных предположениях.

Библиографический список

1. Лизунова Н.А. Матрицы и системы линейных уравнений / Н.А. Лизунова, С.П. Шкро-ба. - М.: Наука, 2007.- 352 с.

2. Мишина А.П. Высшая алгебра. СМБ. / А.П. Мишина, И.В. Проскуряков. - М.: Наука, 1965. - 300 с.

3. Шкроба С.П. Векторно-координатная геометрия относительно треугольника / С.П. Шкроба. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 396 с.

4. Шкроба С.П. Метод наименьших квадратов для косых отклонений точек до прямой линии в прямоугольных декартовых координатах / С.П. Шкроба, Н.В Никифоров, Д.С. Ком-шанов // Известия Великолукской государственной сельскохозяйственной академии. - 2018. - №2. - С.38-45.

E-mail: [email protected]

182100 Псковская область, г. Великие Луки, проспект Гагарина д. 95 ФГБОУ ВО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I», Великолукский филиал

Тел.: (81153) 9-62-80