Самоподобие условий зарождения как средство уточнения статистических характеристик процесса нуклеации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.423.4, 531.3.001

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

В. Б. Курасов

САМОПОДОБИЕ УСЛОВИЙ ЗАРОЖДЕНИЯ КАК СРЕДСТВО УТОЧНЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА НУКЛЕАЦИИ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Определение основных статистических характеристик процесса нуклеации выполнено на основе итерационной процедуры в рамках двухстадийной модели, где в периоде интенсивного зародышеобразования выделен подпериод возникновения «первых» капель, которые ответственны за прекращение периода нуклеации. Граница данного подпериода выбирается не при помощи искусственного рецепта, а на основе некоторых экстремальных свойств модели. Влияние «первых» капель на остальные учтено на базе итерационной процедуры и с помощью свойства самоподобия условий нуклеации. Свойство самоподобия используется для учёта влияния флуктуаций не только в примитивном способе действия первой половины периода нуклеации на вторую, но и в самосогласованном варианте. Это даёт более точные значения для дисперсии полного числа капель в процессе распада метастабильной фазы. Теоретические значения сравниваются с результатом численного моделирования, которое носит универсальный характер. Библиогр. 18 назв. Ил. 4.

Ключевые слова: нуклеация, кинетика, фазовый переход.

V. B. Kurasov

SELF-SIMILARITY OF THE NUCLEATION CONDITIONS AS A WAY TO REFINEMENT OF THE STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE NUCLEATION PROCESS

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

Determination of the main statistical characteristics of the nucleation process is performed on the base of the iteration procedure in frames of the two-stage procedure where in the whole period of intensive nucleation the sub-period of appearance of the "first" droplets which are responsible for cessation of the nucleation period is extracted. But the boundary of this sub-period is determined here not with the help of an artificial recipe but on the base of some extremal properties of the model. The account of the influence of the "first" droplets on rest droplets is performed on the base of iteration procedure, but in advanced manner with the help of the property of the self-similarity of the nucleation conditions. The property of self-similarity is used here to account the influence of fluctuations in the process of nucleation not only in the primitive way of an action of the first half of the nucleation period on the second half of the process but in the self-consistent way. This gives more precise values of dispersion of the total number of droplets in the process of the metastable phase decay. The theoretical values are compared with the result of numerical simulation which has the universal character. Refs 18. Figs 4.

Keywords: nucleation, kineitcs, phase transition.

Систематическое изучение фазовых переходов первого рода проводится уже достаточно продолжительное время, начиная со знаменитых работ Вильсона [1—3]. Классическая теория нуклеации [4, 5] привела к появлению аналитических выражений для стационарной скорости зародышеобразования и времени её установления. На основе выражений в ряде работ [6-12] были построены картины глобального протекания фазового превращения. Следует подчеркнуть, что при этом были использованы некоторые модельные представления для поведения степени метастабильности системы как функции времени.

Более самосогласованная теория, не привлекающая модельных выражений, была построена в [13]. Но и в этом случае построения основывались на усреднённых значениях скорости зарождения, что, естественно, делало их приближёнными.

Очевидно, что преодоление зародышами активационного барьера нуклеации носит случайный характер. Достаточно хорошим является полностью случайное приближение возникновения капель в стационарных условиях.

Разумеется, процесс нуклеации обладает внутренней устойчивостью. Если случайно на некотором начальном этапе нуклеации зародилось капель больше обычного количества, то они интенсивнее поглощают метастабильную фазу и для зарождения остальных капель останется меньше времени. Соответственно оставшихся капель зародится в среднем меньше. Аналогично, если в начальном этапе зародилось меньше, то поглощение будет меньше и оставшихся капель будет больше. Однако, вероятно, полной компенсации в полном количестве капель не происходит, и целесообразно рассмотреть статистические свойства важнейшей характеристики процесса нуклеации — полного числа образовавшихся капель.

Результатом рассмотрения взаимного влияния флуктуаций явилось обоснование возможности изучения стохастических эффектов на основе теории с усреднёнными характеристиками (ТУХ). Наиболее точным построением в рамках ТУХ является универсальная формулировка, приведённая в [14]. После данного построения можно говорить о некоторых элементарных интервалах, на которых состояние системы практически не изменяется.

Существуют достаточно простые рассуждения, которые в целом верны и которые говорят о малости стохастических эффектов. Действительно, в макроскопических системах число капель, возникших на элементарных интервалах ДЖ достаточно велико. На основе традиционных рассуждений приходим к выводу, что относительные флуктуации ЬДЖ/ДЖ малы и имеют порядок (ДЖ)-1/2.

Ранее статистические характеристики процесса нуклеации изучались в [15-18]. При этом авторы данных работ отошли от идеи монодисперсной аппроксимации и в более поздних работах предпочли рассматривать стохастические поправки в некоторых модельных приближениях для спектра размеров. Идеология данного подхода сформулирована в работе [16], которая и является предметом анализа. Подход использует следующее свойство в рамках ТУХ: «Капли, сформированные в первой половине периода нуклеации, являются основными потребителями вещества метастабильной фазы в момент прекращения нуклеации».

Данное свойство в целом верно [14], но на самом деле оно подменяется в [16] следующим утверждением: «Капли, зародившиеся в первой половине периода нуклеации, являются основным источником случайного воздействия на зарождение капель во второй половине периода нуклеации». Именно несоответствие первого и второго утверждений и является причиной неточного определения статистических характеристик.

Проблема заключается не в установлении качественного характера протекания процесса, а в установлении конкретных численных значений статистических характеристик для результатов процесса нуклеации. Применение модельных представлений в [16, 17] ведёт к определённым ошибкам. Согласно универсальности ТУХ [14] эти ошибки не могут быть слишком велики. Однако совпадения с результатами численного моделирования не наблюдается. Задача заключается в повышении точности теории. Заметим, однако, что уточнение аппроксимаций ведёт к невозможности провести аналитические вычисления. Всё же следует попытаться провести уточнения в рамках двухстадийной модели нуклеации.

Разумеется, полученная ранее универсальность процесса нуклеации как при ситуации распада, так и в динамических условиях переносится и на случай стохастических эффектов. Вновь исчезают все параметры процесса и путём однократного моделирования (при различных значениях объёма) можно установить универсальную кривую поправок к среднему числу капель в зависимости от объёма или поправок к дисперсии полного числа капель в зависимости от объёма. Коэффициенты этих зависимостей будут универсальными константами. Сказанное относится к ситуациям распада мета-стабильного состояния и динамических внешних условий. Это наблюдение достаточно очевидно, но моделирование не вскрывает причин, ведущих к изменению статистических характеристик нуклеации по сравнению с набором некоторых независимых событий. Именно аналитические построения способны в полной мере выявить эти причины, поэтому и будем придерживаться аналитических построений.

Метод [16] не подходит для получения поправок к среднему значению, поскольку в нём используется линеаризация отклонений скорости зародышеобразования от усреднённых значений, что необходимо для эффективного проведения вычислений. Эта линеаризация нивелирует отклонения в полном числе капель. К счастью, значение отклонения в полном числе капель может быть определено другими способами. Заметим, что подход из [16] даёт явное выражение для дисперсии. Поэтому целесообразно следовать вышеупомянутому подходу в вычислении дисперсии. Однако отмеченные выше недостатки требуют его пересмотра.

Характеризуем каплю линейным размером р, который равен корню кубическому из числа её молекул. Скорость роста данной величины при фиксированном пересыщении не зависит от самого значения р.

Разобьём весь интервал на много элементарных интервалов длиной Д, которая должна удовлетворять, согласно [16], двум требованиям:

1) число капель, образовавшихся на элементарном интервале, должно быть велико;

2) амплитуда спектра размеров должна быть приблизительно постоянна на элементарном интервале.

Ясно, что второе требование не может быть удовлетворено. Существенные отклонения амплитуды в силу случайного характера зарождения ведут к нарушению второго допущения.

Как будет видно из дальнейшего, первое требование также не может удовлетворяться, но в нём и не будет необходимости.

Мы будем применять второе допущение не к случайной амплитуде спектра, как это делалось в [16], а к усреднённой амплитуде. Тогда строгое требование будет таким:

Усреднённые по интервалам амплитуды спектра размеров должны мало изменяться при переходе к соседнему интервалу.

Ясно, что это требование гораздо слабее. К тому же данное свойство не должно выполняться для интервалов на задней стороне спектра размеров капель.

Рассмотрим некоторые несоответствия, к которым ведёт подход из [16]. Усреднённые амплитуды fi должны быть введены как

fi = Ni/Д,

где Ni являются числами капель, образованных в течение Д. В действительности, это не амплитуды спектра, а просто перенормированные числа капель. Выражение для числа молекул в каплях, образованных на интервале номер i в момент tk или zk (это означает, что мы находимся в интервале номер k), с приближённо постоянной скоростью

нуклеации будет следующим:

ГХк-г+1 1

/ /¿Р Ф = Т }г{хк_1+1 ~ Хк_.:).

ХХк-г

Именно это уравнение было выведено в [16] и составляет основу дальнейших построений. Здесь хк-г является координатой р капли, которая зародилась в момент г^, к моменту гк (это соответствует определению х = г — р). Разность в четвёртых степенях амплитуд соответствует постоянной амплитуде спектра размеров. Это, строго говоря, неверно, и тогда уравнение (12) в [16] и все последующие соотношения не имеют места. Однако, как мы покажем ниже, эту сложность можно обойти. Необходимо использовать некоторый способ учёта числа молекул новой фазы. Абсолютно достаточно взять выражение

г'Хк-г+1

/ /р3ф = NXI- « МгХ3к_+

Хк-г

с мгновенной интенсивностью /, верное при к — г ^ 1. Во всем числе молекул в новой фазе достаточно рассмотреть только капли с к — г ^ 1. Относительный вес выброшенных членов будет мал.

Тогда для полного числа молекул в каплях к интервалу к имеем

к

Як =Е Нх1-г,

г=1

где Хк— является соответствующей координатой. Данное выражение может быть переписано:

к

Як ^А3(к — г)3.

г=1

Это представление важно, поскольку теперь замечание в [16] после уравнения (15) не является необходимым. Оно устанавливало, что вероятность для отклонения числа N капель от числа N капель, вычисленных в ТУХ при пересыщении, сформированном случайным образом образовавшимися каплями на предыдущих интервалах, достаточно мала. Это замечание достаточно сомнительно, поскольку именно эти отклонения и являются основой для стохастических эффектов. Теперь в нём нет необходимости.

Следующим шагом является построение в [16] двухциклической модели для периода нуклеации. Во время первого цикла появляются основные потребители пара, и на втором цикле они управляют процессом зарождения остальных капель. В [16] предполагается, что в течение первого цикла падения пересыщения не происходит, а в течение второго цикла пересыщение полностью управляется каплями, образовавшимися на первом цикле. Проанализируем эффективность данной процедуры.

В ТУХ эволюционное уравнение будет следующим:

у(г) = (г — х)3 exp(—^(x))dx. ■ 'о

Первая итерация [14] достаточно точна и даёт число капель

1 А^ялД

ЛГ^ =--—= 1,2818.

4 Г 3/4

Модельное же решение требует, чтобы до г = р не было истощения пара, а затем только капли, образованные до г = р, истощали пар. Тогда для полного числа капель имеем выражение

N

tot аррг

= Р +

ехр

1

И—(х — р)А ) скс.

1,09:1 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03

Отношение ц = аррг/!о приведено на рис. 1.

Всегда

аррг

больше, чем

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Рис. 1. Отношение средних чисел капель

М^. Значение минимума соответствует р « 0,78, что составляет 55 % от полной длины спектра. Мы можем также отметить гладкий характер зависимости аррг от р.

Ясно, что в [16] величина параметра разделения на стадии была выбрана не совсем корректно (по крайней мере с точки зрения ТУХ). Она соответствует р = 0,64.

Изучим теперь вероятность Рь образования случайного числа N

капель на первых к элементарных интервалах. Наши построения напоминают теперь [16], но с одной существенной разницей. У нас нет необходимости линеаризовать выражение по отношению к (М — М^/М^, где N случайное число капель, образованных на интервале г, N\ среднее число капель, образованных на интервале г.

Данная линеаризация вряд ли возможна, поскольку отношение (N1 — М)/М может принимать достаточно большие и почти нулевые значения. Более просто и оправданно линеаризовать выражение по ^ 1 р^! — N^/N1, где р^ является линейным размером капель, образованных на интервале г. Действительно, в силу суммирования, относительные изменения ^ 1 р3(!г — И^^/И^ гораздо меньше, чем вариации — Nj)/Nj. Конечно, при малом числе членов суммы относительного уменьшения эффектов не будет, но количество таких ситуаций станет относительно мало.

Вариации (! — N^/N1 будут малы только при чрезвычайно больших числах капель Ntot. Можно получить

N — l^гi)/lvi ~ N

-1/2

ос

4

--X

Р

Ntot - MNi,

где М является числом элементарных интервалов. Таким образом, теория с линеаризацией, предложенная в [16], будет хорошо обоснована только в области, где результат и так может быть получен на основе ТУХ. Внутреннее противоречие между большим числом М и малостью флуктуаций на элементарном интервале в [16] является очевидным.

Предлагаемая здесь линеаризация гораздо слабее, чем предложенная в [16]. Но она ведёт к тем же численным эффектам, что и в [16]. Таким образом, ограничения из [16] не являются необходимыми.

Для дисперсии полного распределения результат, предложенный в [16], является следующим:

= - ^ ,

где

в = Р1 — Р2,

р то {' 1/2

р1 = 8/ 3т(= — т)3 ехр(—%4),

■11/2 -)0

С то г то г 1/2

р2 = 16 / ¿п ¿т(т — %)3(т — п)3 ехр(—%4) ехр(—п4),

./1/2 ./1/2 ./0

то

а = / 3х ехр(—х4).

0

В двухциклической конструкции величина а, которая пропорциональна полному числу капель, должна быть пересмотрена и пересчитана на основе модели с двумя циклами. Тогда мы должны использовать вместо прежнего а = ао новое значение

С то

а = а1 = 1/2+1 ехр(—х4 + (х — 1/2)4)с1х.

1/2

В данном подходе будем использовать параметр к разделения1 на два цикла и вычислять а1:

то

а1 = к + ехр(—х4 + (х — к)4)3х. (1)

к

Тогда на рис. 1 мы видим, что отношение а0/а1 больше 1 и а1 больше а0 и что двухцик-лическая конструкция является приближённой. Тогда результат для Пто отличается от числа, полученного в [16], и будет (здесь надо положить к = 1/2)

Вто = 2Жто0,68

вместо

Вто = 2^ то0,67.

Но численные расчёты показывают, что , вычисленная выше, на одну десятую больше реального результата. Таким образом, необходима более совершенная теория.

Теперь необходимо решить, какое значение к будет выбрано. При произвольных к выражение для Р будет прежним, а вот для Р1 и Р2 получим

г то г к

р1 =8/ ¿т(% — т)3 ехр(—%4),

к0

г то г то г к

р2 = 16 / ¿п 3т(т — %)3(т — п)3 ехр(—%4) ехр(—п4).

кк0

Мы должны также пересмотреть выражение для а.

После вычислений по формулам мы получаем для дисперсии как функции к зависимость, изображённую на рис. 2

1 Для простоты используем к вместо (р/4)1/4.

2. Относительное отклонение в дисперсии как функция к

Минимальная дисперсия будет при к = кт = 0,61. Это число приблизительно соответствует к = 0,55, обеспечивающему минимум а1, и результат наиболее близок к реальному значению числа капель. Можно также добавить, что это действительно правильное значение к, потому что именно оно отвечает смыслу минимальной работы, когда мы имеем низкую дисперсию. Это соответствует минимальной энтропии, и в дальнейшем мы можем получить дополнительную работу из возрастания энтропии.

Дисперсия при к = кт

Doo = 2Nto0,67, Df = 2Nf 0,66.

Теперь подсчитаем дисперсию более точно. Согласно принципу самоподобия условий нуклеации, который следует из анализа первой итерации, первый цикл подобен всему периоду. Действительно, в первом приближении количество вещества в жидкой фазе представляет собой степенную функцию, не имеющую выделенного масштаба. Функция ß для первого цикла

ß = ßl - ß2, к ki

ßl = 8/ d£ - т)3 exp(-^4),

Jh i J 0 f к f к f hi

ß2 = 16/ dil dn dT(T - 1)3(т - n)3 exp(-^4) exp(-n4). Jhi Jhi J 0

Вычисления для к1 = 0,6 • 0,6 = 0,36 и к = 0,6 дают ß = ß' = 0,0255.

В наиболее грубой аппроксимации следует добавить ß' = 0,0255 к предыдущему значению ß = 0,305, что ведёт к ß = 0,32 + 0,33. Малость ß' в сравнении с ß позволяет использовать линейную аппроксимацию. Для этого значения ß дисперсия

Df = 2Nf0,64, Df = 2Nf0,65.

Интересно, что этот результат можно получить и другим образом: предполагаем, что ßi и ß2 являются первыми двумя членами некоторого ряда. Мы не знаем остальных членов, но предполагаем, что ряд напоминает геометрическую прогрессию со знаменателем ß2/ßi. Это ведёт к дисперсии

= 2Жто0,64, = 2№0,65. На рис. 3 видно поведение дисперсии, значение экстремума остаётся при к = 0,6. 220

Отсутствие сдвига экстремума важно и необходимо для самосогласованности этого подхода.

Посмотрим, приводят ли другие подходы к существенному пересмотру результата для дисперсии.

Способ сделать результаты более точными заключается в том, чтобы учесть сдвиг в дисперсии уже в начальных формулах. Записав для поправки к дисперсии на первом цикле

0то = тоу

с параметром у, получим для окончательного распределения

Рис. 3. Дисперсия

Р(к) - [ сЖ^,^ ... dNp Р ехр (—

-то .4 V

(Ж — Ж^1)5

2уЛг1 х ехр

.=1

[Ж(к) — Ж(к) — £Р=1 ajk)(Ж — )]2

2(Ж(к) — РЛТ1)

где Р является числом элементарных интервалов до аргумента к; N(k) — числом капель, возникших на основе ТУХ; N. — средним числом капель, образованных на интервале номер г с учётом флуктуаций от предыдущих интервалов. Величины а.к) даются посредством

«¡" = 1- Е ад-)3-

3 = Р +1

где М является полным числом интервалов.

Выполнив интегрирование ¿N¿N2 ... сЖр, получим для предельного значения дисперсии

к(1 — у) УРЧ

Вто = 2Жто 1 -

Приближённое самоподобие спектров ведёт к уравнению на у, которое может быть легко решено:

1-*

а

аа

Здесь и в дальнейшем, в связи с использованием свойства подобия условий зарождения, следует вычислять число капель по приближению, в котором указанное свойство выполняется точно, а именно по первой итерации. При этом формула (1) более уже не используется. Вычисления приводят к

у(к = 0,6) = 0,51.

Этот результат существенно отличается от предыдущего. Причина погрешности заключается в том, что длительность первого цикла ограничена к. Величина к имеет

х

а

смысл к-й доли временного интервала. Предел продолжительности всего интервала, очевидно, « 1.

Предел интегрирования соответствует текущему моменту времени. Таким образом, вместо то верхний предел интегрирования следует взять равным 1. После этого мы должны пересчитать в:

втШа1 = в1 — в2,

в1 =8 /1 ¿1 [* ¿т(1 — т)3 ехр(—14), ■>к

/*1 /*1 гк

в2 = 16/ ¿1 ¿п ¿т(т — 1)3(т — п)3 ехр(—^4)ехр(—п4). 3к ^ к J0

Теперь величину в следует положить равной втшаь

Покажем зависимость втша1 от к на рис. 4.

Вычисления дают втша1 = 0,18 в точке экстремума к = 0,55 числа капель по двухчастичной модели и для окончательной дисперсии

= 2Ц°0,65.

Эта величина практически совпадает с той, что была показана в предыдущем подходе.

Заметим, однако, что после использования свойства одинаковости условий нуклеа-ции нет смысла говорить о двухцикличной Рис. I РтШа! как функция к модели и использовать к = 0,55.

Необходимо подчеркнуть, что нельзя напрямую использовать экстремальные свойства у, чтобы получить р, обеспечивающее экстремум у в.

В действительности окончательной величиной является у, но вычисления показывают, что у у нет экстремума. Конечно, это слабое место подхода, основанного на экстремальных свойствах.

Теперь в качестве к следует взять значение кт, обеспечивающее максимальное уменьшение дисперсии. Именно это значение выбирается за настоящее к и это ведёт к формуле

= 2N о0,62.

Последняя величина совпадает с результатами численного моделирования, находясь в пределах погрешности из-за дискретности числа капель для характерных значений порядка ста зародившихся капель.

В развитом здесь подходе свойство самоподобия условий нуклеации обеспечило возможность преодолеть ограничения двухциклической модели. В результате получено сравнительно точное значение для дисперсии полного количества капель — важнейшей статистической характеристики процесса нуклеации.

k

Литература

1. Wilson C. T. R. Condensation of water vapour in the presence of dust air and other gases // Phil. Trans. 1898. Vol. 189A, N 11. P. 265-307.

2. Wilson C. T. R. On the condensation nuclei produced in gases by the action of Roentgen rays, uranium rays, ultraviolet rays and other agents // Phil. Trans. 1899. Vol. 192A, N 9. P. 403-453.

3. Wilson C. T. R. On the comparison efficiency as condensation nuclei of positively and negatively charged ions // Phil. Trans. 1900. Vol. 193A, N 11. P. 289-308.

4. BeckerR., Doring W. Kinetische Behandlung der Keimbildungin ubersattigten Dampfen // Annalen der Physik. 1935. Bd. 24. S. 719-759.

5. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1945. 424 с.

6. ReissH.J. The growth of uniform colloidal dispersions // J. Chem. Phys. 1951. Vol. 19, N 4. P. 482-487.

7. Warren D. R., Seinfeld J. H. Nucleation and growth of aerosol from a continuously reinforced vapor // Aerosol Sci. Tech. 1984. Vol. 3, N 2. P. 135-153.

8. Warren D. R., Seinfeld J. H. Simulation of aerosol size distribution evolution in systems with simultaneous nucleation, condensation, and coagulation // Aerosol Sci. Tech. 1985. Vol. 4, N 1. P. 31-43.

9. Clement C. F. Aerosol formation from heat and mass transfer in vapour-gas mixtures // Proc. R. Soc. Lond. (A). 1985. Vol. 398, N 1815. P. 307-339.

10. Warren D. R., Seinfeld J. H. Prediction of aerosol concentration resulting from a burst of nucle-ation // J. Colloid Interface Sci. 1985. Vol. 105. P. 136-142.

11. Barrett J. C. Timescales for nucleation and growth in supersaturated vapour-gas mixtures //J. Aerosol Sci. 2000. Vol. 31, N 1. P. 51-64

12. Barrett J. C., Baldwin T. J. Aerosol nucleation and growth during laminar tube flow: maximum saturations and nucleation rates // J. Aerosol Sci. 2000. Vol. 31, N 6. P. 633-650.

13. КуниФ.М., Гринин А. П., Курасов В. Б. Гетерогенная нуклеация в потоке газа // Механика неоднородных систем: сб. статей / под ред. Г. М. Гадияк. Новосибирск, 1985. С. 86-110.

14. Kurasov V. B. Kinetics of heterogeneous condensation under dynamic conditions // Phys. Rev. (E). 1994. Vol. 49. P. 3948-3956.

15. Гринин А. П., Караченцев А. В., ЯфясовЭ.А. К вопросу о статистике нуклеации после мгновенного создания пересыщения пара // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1998. Вып. 4. C. 13-18.

16. КуниФ. М., Гринин А. П., Караченцев А. В., Свешников А. М. Статистика процесса нуклеации в условиях мгновенного создания начального пересыщения пара // Коллоид. журн. 2000. Т. 62, № 1. С. 39-45.

17. Гринин А. П., Куни Ф. М., Свешников А. М. Статистика процесса нуклеации в условиях постепенного создания пересыщения пара // Коллоид. журн. 2001. Т. 63, № 6. С. 747-754.

18. КуниФ.М., Гринин А. П., ЖувикинаИ.А. Вероятностно-статистические закономерности процесса гомогенного вскипания пересыщенных газом жидких растворов // Коллоид. журн. 2002. Т. 64, № 6. C. 769-774.

Статья поступила в редакцию 26 марта 2014 г.

Контактная информация

Курасов Виктор Борисович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: victor_kurasov@yahoo.com

Kurasov Victor Borisovich — Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: vict.or_kurasovCsyahoo.com