CC BY
18
2014
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. Том 1 (59). Вып. 3
ФИЗИКА
УДК 536.423.4, 531.3.001 В. Б. Курасов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА РАСПАДА МЕТАСТАБИЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МОНОДИСПЕРСНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Определены основные статистические характеристики процесса распада метастабильной фазы с помощью специальной монодисперсной аппроксимации. Чтобы упростить описание, разбиение периода нуклеации на подпериоды должно производиться с учётом флуктуаций в скорости образования зародышей. В каждой отдельной попытке нуклеации граница под-периодов определяется в момент, когда достигнуты некоторые требуемые значения характеристик. Использование монодисперсной аппроксимации даёт особенно простую картину, поскольку дисперсия числа капель в первый подпериод оказывается нулевой, а дисперсия во второй подпериод — дисперсией последовательности фиксированного числа независимых событий. Начальный вариант монодисперсной аппроксимации может быть существенно улучшен за счёт толщины и эффективной координаты монодисперсного пика. Значения этих параметров выбираются на основе некоторых экстремальных свойств модели. Метод является более простым и точным, чем использованный ранее метод итераций, и может быть применён ко всем возможным степенным режимам поглощения вещества. Полученные результаты сравниваются с численными результатами моделирования. Изучены эффекты дискретного количества капель. Библиогр. 8 назв. Ил. 9.
Ключевые слова: нуклеация, кинетика, фазовый переход.
V. B. Kurasov
DETERMINATION OF STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE METASTABLE STATE DECAY PROCESS WITH THE HELP OF MONODISPERSE APPROXIMATION
St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation
The determination of the main statistical characteristics of the metastable phase decay process is carried out with the help of the special monodisperse approximation. It is shown that the splitting of the nucleation period into sub-periods in order to simplify the description has to be performed with account of fluctuations of the rate of nucleation. In every particular attempt of nucleation the boundary of sub-period is determined by the moment when the necessary values of characteristics are attained. The use of monodisperse approximation gives an extremely simple picture because the dispersion of the droplets number in the first sub-period is zero and the dispersion of the second sub-period is the dispersion of the sequence of the fixed quantity of independent events. The initial version of the monodisperse approximation can be improved with
explicit account of the thickness and effective coordinate of the monodisperse peak. The values of these parameters are chosen on the base of some extremal properties of the model. This method is more simple and more precise than the iteration method used earlier and it can be applied to all possible power-like regimes of the substance consumption. The comparison with numerical simulation is made. The effects of the discrete character of the droplets number are studied. Refs 8. Figs 9.
Keywords: nucleation, kineitcs, phase transition.
Пионерские работы Вильсона [1-3] более ста лет тому назад положили начало систематическому количественному изучению нуклеации и позволили уже в то время поднять вопрос о статистике данного процесса. После получения статистических характеристик нуклеации [4-6] можно говорить о существовании теоретических построений для определения её статистических закономерностей.
Основными статистическими характеристиками процесса нуклеации являются среднее значение числа капель Ntot, возникших в процессе нуклеации, и его дисперсия.
Среднее значение числа капель Ntot = < Ntot >, усреднённое по всем флуктуациям и их влиянию, не слишком существенно отличается от значения из теории, построенной на основе усреднённых значений. Этот эффект будет объяснён ниже. Величина
А = < (Ntot- < Ntot >)2 >,
характеризующая дисперсию в полном числе капель, и которую для простоты будем называть просто дисперсией, не может быть найдена, естественно, на основе теории, базирующейся на усреднённых характеристиках. Для определения дисперсии приходится строить определённые модели для взаимодействия флуктуаций скорости зародышеоб-разования в процессе нуклеации. При этом ошибка значения, полученного в модели [4], составляет около 10 %. Как только данная процедура применяется к ситуациям с другим показателем степени, определяющим режим поглощения вещества, так сразу же ошибка возрастает. К тому же упомянутая процедура достаточно сложна технически и говорить о её распространении на более сложные ситуации затруднительно. Задача нашей работы заключается в том, чтобы предложить простой и эффективный способ подсчёта статистических характеристик процесса нуклеации.
Стандартный способ определения статистических характеристик на основе итерационной процедуры, применяемой в теории усреднённых характеристик, не подходит, поскольку отклонение в величине D квадрата дисперсии1 от стандартного числа
Dstandard = 2Ntot,
получаемого просто подсчётом независимых событий появления капель, не может отразить реакцию образования новых капель в более поздние моменты времени на флуктуации скорости нуклеации в предыдущие моменты времени. Именно в этом влиянии и заключается специфика статистических закономерностей процесса нуклеации. Проблема упирается в невозможность аналитического вычисления итерационных приближений высокого порядка, где подобное влияние могло бы проявиться.
Естественным способом в сложившейся ситуации было бы вычисление дисперсии на основе некоторых модельных представлений. Подходы такого типа применены в [4, 5]. В первой из упомянутых работ была предложена модель, в которой за первую половину периода интенсивной нуклеации капли образуются независимо, а капли, образующиеся во вторую половину периода нуклеации, образуются под действием капель из первой
1 Далее для простоты именуем её дисперсией.
половины периода. Данная аппроксимация использовалась ранее в [7] для обоснования малости некоторых поправок, специфичных для диффузионного зарождения, и не может являться основой для получения количественных значений статистических характеристик нуклеации.
Модель из [5] во многом близка к рассматриваемой здесь, однако с одним крайне существенным отличием. Рассматривая флуктуации скорости зарождения, необходимо рассматривать и флуктуации границ характерных областей в стадии нуклеации, а этого сделано не было. В результате модель приводила бы к изменённому значению среднего числа возникших капель.
Модели из двух характерных стадий в периоде нуклеации с фиксированной границей между ними не слишком хорошо описывают статистические характеристики нук-леации. Причина в том, что флуктуации зародышеобразования приводят к флуктуаци-ям границ характерных зон. В ситуации свободномолекулярного режима поглощения вещества между зоной зарождения основных потребителей вещества на стадии нуклеа-ции и зоной капель, на зарождение которых оказывают влияние капли из первой зоны, существует небольшая зона капель, которые зарождаются независимо и не оказывают существенного влияния на потребление пара на стадии нуклеации. Существование такой зоны можно показать аналитически. Именно её наличие приводит к тому, что погрешности методов в [4, 5] не сказались существенно на конечном результате.
Монодисперсная аппроксимация является наиболее простой из моделей для описания нуклеации. Механизм определения флуктуации границы характерных зон периода нуклеации в данном случае особенно прост — система просто ждёт момента, к которому в ней зародится достаточное число капель, неограниченно долго. Поскольку процесс носит автономный характер, подобное ожидание2 приводит лишь к сдвигу по времени, от которого ничего не зависит. И в последующих зонах произойдёт только сдвиг по времени, а число образующихся капель окажется неизменным. Число капель, управляющих потреблением пара, всегда одно и то же, оно может быть вычислено на основе усреднённых характеристик. Разумеется, любая теория с фиксированной границей между зонами не приведёт к такому эффекту.
В этой связи остановимся подробнее на модели монодисперной аппроксимации. Эволюционное уравнение может быть записано
g(z) = (z - x)3 exp(-g(x))dx, (1)
J 0
где неизвестная функция g представляет собой перенормированное число молекул в жидкой фазе. В монодисперсной аппроксимации для g используется модель, в которой все «существенные» для потребления вещества на стадии нуклеации капли имеют один и тот же размер, т. е.
g(z) ~ z3.
Число «существенных» капель Ness оказывается в данной модели параметром. Полное число капель
Ntot ~ exp(-g(x))dx.
0
Точное решение (1) даёт
Ntot = 1,28.
2 Есть слабая зависимость через посредство первого и выше моментов функции распределения
капель в начальной области.
В стандартной монодисперсной аппроксимации
g(z) = NessZ3, Ne
= 1/4,
Ntot = j exp(-x3/4)dx « 1 J 0
1,1 1,08 1,06 1,04 1,02
10
20
30
40
Численные результаты для среднего числа капель, образующихся в процессе распада метастабильного состояния, приведены на рис. 1.
Теперь покажем численные результаты в среднем значении числа капель для модели с монодисперсной аппроксимацией спектра размеров капель. В этом случае поглощение пара осуществляется монодисперсным пиком с N (Ах/4) каплями, как это предписывается монодисперсным вариантом теории на основе усреднённых характеристик. Тогда возникает маленькое отличие в постановке задачи, поскольку монодисперсный вариант теории на основе усреднённых характеристик начинается с нулевого момента времени, а здесь необходимо подождать до возникновения N101/4 = 1/4 капель (в нормированных единицах). Поскольку мы изображаем относительные величины < N > / /Ntot(V = то), то это несоответствие несущественно. Результаты показаны на рис. 2. Кривая с большим всплеском при малых х = V соответствует точному решению3, вторая кривая соответствует монодисперсной модели, при которой поведение среднего числа капель практически такое же, что и в численном решении, за исключением очень малых V.
Ошибки вычислений могут быть опознаны, если мы сравним наши результаты с моделью, где первая капля появляется стохастически, а все последующие появляются далее регулярно, согласно теории на основе усреднённых характеристик. Результаты показаны на рис. 3, где нижняя кривая соответствует последней модели, а с остальными двумя мы уже знакомы (см. рис. 2).
Рис. 1. Численные результаты для среднего числа капель в единицах значения, предсказанного теорией на основе усреднённых характеристик
1,1 1,08 1,06 1,04 1,02
10
20
30
40
Рис. 2. Численное решение и монодисперсная аппроксимация:
среднее число капель в единицах числа капель, предсказанного теорией на основе усреднённых характеристик
3 Объём и число капель в теории на основе усреднённых характеристик имеют простую связь 1,28 У = Ntot.
Очевидно, последняя модель не может дать ничего большего, чем теория на основе усреднённых характеристик (поскольку система просто ждёт появления первой капли и всегда можно положить t = 0 в момент её появления). Конечно, возникает маленький пик, соответствующий поглощению первой каплей (вот почему зависимость от V остаётся). Хвосты зависимостей невозможно проанализировать, они лежат в пределах ошибок численных процедур.
Эффекты дискретного числа капель можно увидеть из следующей простой модели: первая капля возникает стохастически, а дальше капли возникают, когда интеграл от скорости нуклеации по времени достигает целых значений. Результаты показаны на рис. 4. Мы видим, что отклонения из-за дискретного характера числа капель даже более существенны, чем другие эффекты. Но в действительности они не имеют столь важного влияния, поскольку все Neg капель возникают независимо и случайно и их сдвиги взаимно компенсируются.
Обратимся к изучению дисперсии. Результаты для дисперсий точного решения и монодисперсной аппроксимации (для каждой модели есть две дисперсии — одна в единицах < Ntot > и другая в единицах < Ntot(V = ж) >, но при больших величинах < Ntot > они
1,02
1,015
1,01
1,005
10
15
20
25 30
х
35
40
45
Рис. 3. Численное решение:
среднее число капель в единицах числа капель, предсказанного теорией на основе усреднённых характеристик
1,04 1,02 1
0,98 0,96 0,94
40
Рис. 4- Решение для дискретной регулярной модели:
число капель в единицах числа, предсказанного на основе непрерывной регулярной модели
практически совпадают) представлены на рис. 5.
Дисперсию в монодисперсной модели можно легко подсчитать аналитически. Действительно, первая группа капель, т. е. =1/4 капель, дисперсии не имеют = 0, поскольку система просто ждёт появления в точности Nд капель. Это поведение предписано отсутствием «внешнего» времени в ситуации распада. Система имеет только «внутреннее» время. Она ждёт появления достаточного числа капель, чтобы начать процесс действительного потребления пара.
В данном контексте проявляются преимущества монодисперсной аппроксимации, не имеющей длины. Действительно, для других аппроксимаций замедление зародыше-образования означает не только изменение момента окончания зарождения «первых» капель, но и изменение длины спектра. Здесь такого эффекта нет, что делает применение монодисперсной аппроксимации проще.
Эта приближённая картина более реалистична, чем картина с фиксированным моментом проявления границы между циклом появления основных потребителей пара
х
и циклом появления капель, зарождение которых уже нельзя признать случайным (цикл потребления).
Капли, возникающие во время цикла потребления, зарождаются при известном пересыщении, определяемом предыдущим циклом, и, таким образом, при известном поведении пересыщения. В этом и заключается все воздействие на капли в цикле потребления. Таким образом, имеем появление капель за известный по продолжительности период, причём происходит это случайным образом. Тогда дисперсия оказывается равной дисперсии возникно-
< N>=< Ntot - ^в >= 1,28 - 0,25 = 1,03
и
Drest = 2 < Nrest >,
а полная дисперсия
А^а1 = ЕеВ + Drest = 1,03.
Будучи отнесённой к стандартному значению В, которое равно двум полным значениям числа капель ^^¿¡аы = 2Nt0t = 2 • 1,28, для относительной дисперсии согласно
Д.е1 = 1,03/1,28 = 0,75.
Мы видим, что результат для дисперсии в монодисперсной аппроксимации не слишком близок к истинному. В чём причина расхождения? Использованное монодисперсное приближение (назовём его стандартным) имеет ряд недостатков. Так, уже все существенные капли зарождаются в начальный момент времени. Это ведёт к очевидному расхождению между числом существенных капель в действительности и числом существенных капель в монодисперсном пике. Кроме того, необходимо поддерживать баланс вещества, но поскольку средняя координата (размер) эффективно действующих капель меньше, чем координата монодисперсного пика, то число капель в стандартном монодисперсном пике должно быть меньше, чем число реально действующих эффективных капель. Это показывает, почему реальная дисперсия меньше, чем результат стандартной монодисперсной модели.
Чтобы исправить выявленные недостатки, мы должны положить координату монодисперсного пика равной реальной средней координате «существенных» капель. Таким образом, приходим к следующей модели:
— при г = I формируется монодисперсный пик. Он содержит N<5^ = 1 • I +1 • I капель. Учтено, что амплитуда спектра является невозмущённой потреблением пара и равна 1, причём пик имеет достаточно симметричную форму (чего не скажешь о подынтегральной функции для числа молекул в жидкой фазе);
Рис. 5. Дисперсии для точного решения (верхние кривые) и для монодисперсной аппроксимации (нижние кривые)
вения свободных капель со средним значением
— полное число капель подсчитывается:
р ж
Мо « Мо 1 = I + ехр(—2/х3)йх J о
гж
Ntot « Ntot 2 = 21 + у ехр(—2/х3)^х.
Назовём эту модель примитивной монодисперсной моделью.
К сожалению, она не может дать правильного значения для полного числа капель. Величина Nt0t как функция I показана на рис. 6. Здесь изображены две кривые — для М^ 1 и для М^ 2. Взяты относительные величины, отнесённые к точному значению М^ = 1,28. Они настолько близки, что их невозможно различить. Только на конце общей кривой можно заметить некоторое раздвоение линии, соответствующее отличию М^ 1 от М^ 2.
Мы видим, что результат больше 1,1 даже в минимуме, соответствующем I = 0,33. Именно эта величина является наиболее пригодной величиной параметра I в примитивной монодисперсной модели.
Величина минимума в числе капель важна не только потому, что это ближайшее значение к точной величине 1,28, но и потому, что это минимум, а минимум в числе капель соответствует минимуму свободной энергии полной системы. Это свойство мы ещё используем далее.
Очевидная слабая черта данной модели заключается в том, что позиция монодисперсного пика находится как раз посередине периода возникновения всех «эффективных» капель. Это предполагает относительную симметрию потребления пара всеми эффективными каплями, что, конечно, не является справедливым, в чём можно убедиться на основе первой итерации, где подынтегральная функция напоминает (г — х)3 и совсем не является симметричной.
Предложим теперь произвольный сдвиг позиции монодисперсного пика и определим следующую модель:
— длина монодисперсного пика составляет 2 = 2 • I, он содержит = 1 • I + 1 • I капель (учтено, что амплитуда не является изменённой и равна 1);
— положение пика формируется при 2 = 2 • I — Ь с параметром Ь (ранее было Ь = I);
— полное число капель вычисляется согласно
/• ж
Мо « М^ 1 = 21 — Ь + / ехр(—2/х3)^х (2)
о
/•ж
Мо « М^ 2 = 21 + / ехр(—2/х3)^х; (3)
— величина Ь определяется так, чтобы коснуться значения 1,28 в минимуме по I.
Эта модель будет названа сдвинутой монодисперсной моделью.
Рис. 6. Полное число капель как функция параметра I в примитивной монодисперсной модели
1,3 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05
Рис. 7. Полное число капель как функция параметра I в сдвинутой монодисперсной модели при Ь = Ь0 = 0,33 ь
/ Р3Ф
Вычисления дают Ь = 0,33, и функция от I при Ь = 0,33 показана на рис. 7, где также совпадают две кривые с одинаковым смыслом. Число эффективных капель здесь равно N<5^ = 0,4.
Результатом применения монодисперсной аппроксимации внутри начального периода длиной 21 будет
Ь = 21 - (1/4) • 21 = 0,3.
Здесь 1/4 — то же самое, что и в первой модели.
Проясним смысл аппроксимации (2), (3). Заметим, что
Г21 3
/ р3с!р.
Можно потребовать, чтобы количество вещества в правой части монодисперсного спектра (в каплях до координаты монодисперсного пика) равнялось количеству вещества в левой части монодисперсного спектра (в каплях после координаты пика). Это приводит практически к тем же результатам, что ив (2), (3).
В этой модели очень просто получить результат для дисперсии. Имеем
< Nrest >=< Ntot - >= 1,28 - 2 • I = 0,88. Дисперсия находится из = 2 < N1-^ >. Полная дисперсия
= DeS + Drest = Drest = 0,88.
Отнесённая к стандартному значению, которое равно двум полным значениям числа капель, получим относительную дисперсию согласно
у = 0,88/1,28 = 0,68.
1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1
Рис. 8. Среднее число капель как функция объёма системы
Это значение уже достаточно близко к точному. Далее можно выполнить преобразования, основанные на приближённом самоподобии условий нуклеации, и уточнить результат.
Перейдём к численному моделированию последней модели. Среднее число капель показано на рис. 8, дисперсии приведены на рис. 9. Численные результаты этой модели практически такие же как результаты численного моделирования процесса в начальной формулировке.
Использование монодисперсной аппроксимации в исследовании статистических за-
кономерностей нуклеации имеет ряд преимуществ. Первое преимущество — это относительная простота метода. Два сложения и умножения ведут к результату. Но эта простота заключается не только в уменьшении объёма вычислений. Позади этой простоты
1
о
ь
Рис. 9. Относительные дисперсии как функции объёма системы
лежит реальная природа процесса и проявления статистических эффектов в кинетике распада метастабильного состояния.
Процесс распада теперь качественно описывается следующим образом. Система ждёт образования необходимого числа капель, которые будут основными потребителями пара во всем процессе зародышеобразования. Абсолютно все образовавшиеся капли станут активными потребителями вещества позднее, при значениях времени, отвечающих интенсивному потреблению всего избыточного вещества, а не только прекращению интенсивной нуклеации.
Процесс фазового превращения имеет трёхчастную структуру. В общем периоде всего фазового превращения можно выделить период интенсивной нуклеации.
В периоде нуклеации можно выделить подпериод образования основных потребителей пара, т. е. начальный период. Дальнейшая детализация не имеет места или же осуществляется по принципу самоподобия. Главное свойство заключается в изменении границ стадий. Как уже было показано, система просто ждёт появления необходимого числа капель.
Конечно, данная картина достаточно приближённая, и в некоторых случаях она может нарушиться. Возможно, что и полное количество капель окажется меньше Же88. Но поскольку Же88 существенно меньше, чем Ы^, вероятность такого события крайне мала.
Для получения высших моментов случайной функции полного количества капель следует воспользоваться той же процедурой.
Обратимся теперь к изучению диффузионного режима поглощения вещества, которое достаточно формально, поскольку кинетика в данном режиме основывается на других свойствах [8]. Но мы все же выполним вычисления, чтобы увидеть специфические черты статистики в этом случае.
Для получения монодисперсной аппроксимации рассмотрим уравнение
д(г) = / (г — х)3/2 ехр(—д(х))йх.
Jo
Масштабирование, приведшее к отсутствию коэффициентов, соответствует выбору более естественной шкалы.
Число капель в приближении первой итерации
2
/то 2
ехр(-^ж5/2)с1г- = 1,27.
Традиционная монодисперсная аппроксимация требует рассмотреть монодисперсный пик при 2 = 0. Число капель выбирается так, чтобы удовлетворить первой итерации:
(2/5)г.
Оно соответствует значению границы p = 0,4 • 1,25 между зоной образования основных потребителей пара в период нуклеации и остальными каплями. Здесь 1,25 представляет характерную длину спектра при данном типе масштабирования.
В данной аппроксимации дисперсия вычисляется как
D = 2(1,27 - 0,4)/1,27 • N, где N является средним числом капель. Тогда
Y = (1,27 - 0,4)/1,27 = 0,685.
Это значение достаточно далеко от истинного значения 0,45 дисперсии, но всё же гораздо ближе, чем прямое применение рецепта из [4].
Повторим прежние построения. Вновь задаём вопрос, почему спектр должен быть расположен при z = 0, и вновь приходим к возможности улучшения результата.
Предполагаем, что в монодисперсном пике 2 • l капель, и поскольку l мало по сравнению с длинной 1,25, можно считать, что капли образуются при идеальном пересыщении. Предполагаем, что монодисперсный спектр возникает при 2l — b. Здесь b является свободным параметром.
Полное число капель определяется как
Ntot = 2l +/ exp(—2lz3/2)dz.
Jb
Предложим рецепт определения b. Для произвольного 0 < b < 2l величина Ntot как функция l имеет один минимум.
Этот минимум соответствует минимуму термодинамической работы образования и наиболее выгоден. Таким образом, истинная эволюция соответствует выбору l, b дающему минимум Ntot.
Требуем, чтобы результат в этом минимуме соответствовал реальному числу капель или же числу капель в первой итерации.
Расчёт даёт l = 0,35, b = 0,65. Дисперсия будет
Y = (1,27 — 2 • 0,35)/1,27 = 0,448,
что весьма близко к реальному значению.
Заметим, что Ntot = 1,27 соответствует самоподобию спектра. Именно самоподобие уже использовалось ранее для уточнения результатов. Величина 2l, представляющая длину спектра «эффективных потребителей», занимает около 60 % от полной длины спектра. Это говорит о несколько другой структуре стадии нуклеации. Именно эта другая структура и рассматривалась в работе [8] по исследованию нуклеации в диффузионном режиме.
Литература
1. Wilson C. T. R. Condensation of water vapour in the presence of dust air and other gases // Phil. Trans. 1898. Vol. 189A, N 11. P. 265-307.
2. Wilson C. T. R. On the condensation nuclei produced in gases by the action of Roentgen rays, uranium rays, ultraviolet rays and other agents // Phil. Trans. 1899. Vol. 192A, N 9. P. 403-453.
3. Wilson C. T. R. On the comparison efficiency as condensation nuclei of positively and negatively charged ions // Phil. Trans. 1900. Vol. 193A, N 11. P. 289-308.
4. КуниФ.М., ГрининА. П., Караченцев А. В., Свешников А. М. Статистика процесса нуклеации в условиях мгновенного создания начального пересыщения пара // Коллоид. журн. 2000. Т. 62, № 1. С. 39-45.
5. Гринин А. П., Караченцев А. В., Яфясов Э. А. К вопросу о статистике нуклеации после мгновенного создания пересыщения пара // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1998. Вып. 4. C. 13-18.
6. Гринин А. П., КуниФ.М., Свешников А. М. Статистика процесса нуклеации в условиях постепенного создания пересыщения пара // Коллоид. журн. 2001. Т. 63, № 6. С. 747-754.
7. Kurasov V. B. Universality in kinetics of the first order phase transitions. St. Petersburg, 1997. 400 p.
8. Kurasov V. B. Density profiles in the theory of condensation // Physica (A). 1996. Vol. 226, N 1. P. 117-136.
Статья поступила в редакцию 26 марта 2014 г.
Контактная информация
Курасов Виктор Борисович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: victor_kurasov@yahoo.com
Kurasov Victor Borisovich — Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: victor_kurasov@yahoo.com
