Об одной дискретной игровой задаче преследования с интегральными ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш. ®

Доктор физико-математических наук,

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека,

Ташкент, Узбекистан

ОБ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Аннотация

Работа посвящена изучению одного класса дискретных игр, который описывается системами уравнений высокого порядка. Решается игровая задача с граничными условиями.

Ключевые слова: преследование, преследующий, убегающий, управление преследования, управление убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Рассматривается дискретная игра, описываемая в евклидовом пространстве Rm уравнениями (см. [1])

Zn+i =(I-7C)zn-уип + gvn, n = 0,1,к,N -1 (1)

где I - единичная, C - квадратная матрица mxm, g- число, un ,un - управляющие параметры, un - управление преследующего игрока, vn - управление убегающего игрока.

un ,un - удовлетворяют следующее условие

¥ ¥

IК|“<р“. £ |u| US. (2)

i=0 i=0

где a(> 1), p , r(> 0) и s(> 0) - некоторые фиксированные числа. Кроме того в Rm выделено терминальное множество M .

Задачам преследования различных классов дискретных игр посвящены многочисленные исследования (см.:[1]-[4]). Общие вопросы теории дискретных игр рассмотрены в [1], задачи преследования и убегания для линейных игр с линейно входящими управлениями изучены в работах [2], [3], задача убегания для линейных и нелинейных игр в [4]. В этих работах движение точек описывается разностными уравнениями первого порядка на евклидовом пространстве. В работах [5], [6] изучена связь между одношаговых и многошаговых игр с дифференциальными играми, распределенными параметрами. Здесь с помощью дискретных игр получены достаточные условия для возможности завершения преследования в дифференциальных играх описываемых уравнениями с распределенными параметрами ( см. также[7-9]).

Данная работа посвящена изучению игровой задачи преследования описываемых системами разностных уравнений. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования, описываемых уравнениями эллиптического типа.

В дальнейшем предполагается, что M = M 0 + M1, где M 0 -линейное

подпространство Rm, M1 - подмножество подпространства L - ортогонального дополнения M0 в Rm. Далее, через П обозначим матрицу ортогонального проектирования из Rm на L . Предположение. Пусть р > S, через W(n) обозначим множество

® Маматов М.Ш., 2015 г.

< z e L : z = П(I -gC)n 1 g Wo + к + П gwn-x

n-1 f n-1 „ > а

Z k- \а< Р-а M c

i=o V V i=o j

(3)

через W(0) - множество Mг, через W(n) - множество M1 + W(n), где n=l,2,...

Теорема. Пусть выполнены предположения, кроме того, N - наименьшее из тех чисел п, для каждого из которых имеет место включение

П(1 _gC)nZo eW(п), (4)

то где в игре (1) из точки z0 можно завершить преследование за N шагов.

Доказательство. Пусть имеет место включение (4). Тогда из (3) получим следующее включение

П(1 - gC)п z0 e M1 + W(n) = M1 +П (I - gC)n-1 gw0 + ... + П gwn-1.

Отсюда получим

П(1 - gC)n zo - П(I - gC)n-1 gwo e M + (I - gC)n-2 gw1 + к + П gWn-1, далее в силу (1) имеем

П(/ - gC )n-1 ((I -gC )nZo -gwo) e M1 + (I - gC )n-2 g W1 + к + П g Wn-1. (5)

Пусть Ц - произвольное управление убегающего игрока, тогда u0) - управление преследующего игрока построим как решение следующего уравнения

uo-uo = uo = uo + Wo.

Тогда из (5) имеем

П(I - gC)n-1 z1 e M1 + П(I - gC)n-2 w1 + к + П gwn-1.

Отсюда перенося П( I -gC )n-2 w1 в левую сторону включения и в силу (1) получим П(! - gC)n-1 z1 - ПОТ - gC)n-2 w1 e M1 + П^ - gC)n-2 ((I - gC)z1 -gw1) e M1 +

+(I -gC )n-3 W2 + к + П gWn-1.

Пусть теперь Ц - произвольное управление убегающего игрока, тогда Щ -управление преследующего игрока построим как решение уравнения

щ - Ц = Wj, щ = Ц + Wj.

Тогда точно так же как в первом случае, имеем

П(I - gC)n-2 Z2 e M1 + (I - gC)n-3 W2 + к + П gWn-1,

и т.д.

И в последнем шаге по произвольному Ц-1 управление убегающего построив un-как решение уравнения

un-1 -un-1

= W

n-1 ’

u

n-1

= Un-1 + Wn-^

имея в виду равенства (1) получим следующее включение П(/-gCr!z_t -U/Wn-, =П[(I-gCK-, Отсюда получим Пzn e Mx и значит zn e M .

Теперь докажем допустимости управлении Щ.

- un-1 +Ц-1 ]e M1.

По выбору Щ,

Ui = Ц + W-,

i = o, n -1. С другой стороны используя неравенство Минковского имеем

n-1 n-1

i— a U

Zi а I— a .

W = Zlu + Wi\ <

i=o

i=o

gn-1 Л1/а An-1

Л/а

I____________________а

Z Ц

V i=o J

+

а

Z lWi

V i=o

< \о + р-о\а =ра.

Отсюда следует допустимости управлении Щ.

Литература

1. Хейгеман Л., Янг Д. -Прикладные итерационные методы // Мир, -Москва, 1986. - 448 с.

2. Айзекс Р. -Дифференциальные игры // Мир, -Москва,-1967.-500 с.

3. Дзюбенко Г.Ц., Пшеничный Б.Н. -Дискретные дифференциальные игры с запаздыванием информации // Кибернетика. - 1972.-№6.-С.65-71.

4. Чикрий А.А., Чикрий Г.Ц. -Об информированности в дискретных игровых задачах // Кибернетика. - Киев, 1979. - № 5. - C. 126-128.

5. Сатимов Н., Азамов А. -Нелинейные дискретные игры убегания // Кибернетика.- Киев,1976. -№4.- С.79-74.

6. Маматов М.Ш. - К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига, 2009. - № 1. - С. 5-14.

7. Маматов М.Ш. - О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва, 2009. - № 8. - С. 123-132.

8. Рябенький В.С. -Метод внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач // УМН.-1971 - вып.3.-С.105.-160.

9. Годунов С.К., Рябенький В.С. -Разностные схемы//Наука.- Москва, 1977.-440 с.