Управляемая распределенная система, описываемая дифференциальными уравнениями второго порядка с нестационарными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш.

Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана имени

Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан

УПРАВЛЯЕМАЯ РАСПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА, ОПИСЫВАЕМАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Аннотация

Статья посвящена изучению игровой задачи преследования описываемая уравнениями гиперболического типа. Поставленная задача с помощью метода конечных разностей приведена дискретную игру второго порядка, и оно решается методом преследования по направлению. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования, описываемых уравнениями гиперболического типа второго порядка.

Ключевые слова: преследования, преследующий, убегающий, управления преследования, управления убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Рассматривается управляемая распределенная система, описываемая гиперболическими уравнениями

^ =- u +U , z U 0 =j o(x), Zt |/= 0 =ji(x), z U = 0, (1)

Z,

где 2 = 2(х,*) - неизвестная функция; х = (х1зх2,...,хп)е П с Rn, п > 1, П - {хе Яп :0 < х1 < 1,0 < х2 < 1,...,0 £ хп < 1} - п -мерный куб с гранями, параллельными координатным плоскостям, * е [0, Т], Т - произвольная положительная константа;

Az = £ —— aa (x, 1)-dZ- + £ ba (x, 1- c(x, t)z,

( s \

=1 д x

д x

a= 1

a д x

аа (х, *), Ьа (х, *), с(х, *) - непрерывные ограниченные функции в П х [0,Т]. Предполагается, что существует положительная константа П такая, что для произвольных (х> *) еПх [0,Т ] выполнено неравенство аа (х, *) >п , а= I,2,..., п, и = и( х, *), и-и (х, *) - управляющие функции из класса L2(QT ), дт - {(х,г)|хеП , ге (0,Т)} - открытый цилиндр в Яп+1; ^0(х),^1(х)е L2(П ) = {(х, *)|х е ЭП , * е (0,Т)} - боковая поверхность цилиндра дт , ЭП - граница области П , она считается кусочно гладкой. Функцией и ( х, * ) распоряжается первый (преследующий) игрок, функцией и( х, *) второй (преследуемый или убегающий) игрок, и е Р, и е д, р и д - непустые компакты в Я} . Выделено терминальное множество

М1 с Rl.

Далее, напомним, что Ж1 (П) - гильбертово пространство, состоящее из элементов L2 (П ) , имеющих квадратично суммируемые по П обобщенные производные первого порядка; Жг1 (П) - подпространство (П), в котором плотным является множество всех гладких, финитных функций; Ж210(дт) - гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства L2(QT), имеющих квадратично суммируемые по дт обобщенные производные 2ха , а = 1,2,.--:>п; Ж210(дт) - подпространство Ж21,0(дт), в котором плотным множеством является гладкие функции, равные нулю вблизи 5Т .

Известно [1,175] что при выполнении перечисленных выше условий, задача (1) имеет единственное обобщенное решение 2 = z( X г) в классе ж21О(0>т ) при любых и (x, г) , и(х,г)[ l2(qt) и фо(х),ф 1 (х)е L2(Q ).

Определение 1. В задаче (1) возможно £ - завершение (е > 0) преследования из начального положения ф0(•), ф1(•), если существуют число т = т(ф0(),ф1(')) и функция и (и, х, г) е Р, ие Q, х е о, г е [0,т ], такие, что для произвольной функции и0( х, г) е Q, х е0, г е [0,т] решение 20(х, г) задачи (1), где и = и (и 0(х, г), х, г), и =и 0(х, г), попадает на множество е1 + Мь при некотором (~), ~е0, ~е [0,т]: 20(~,~)е е1 + М1, где I = (- 1,1).

Разобьем евклидово пространство Н"+1 переменных ( х, г) плоскостями а ,

1 т

h = —, /а = 0,± 1,..., и гк = кт , т = —, к = °Д,2,..., на параллелепипеды г в

кт < г< (к + 1)т}, Г, в - некоторые натуральные числа. Точки (х/, гк), которые

принадлежат множеству Qт , образуют сетку ^йт , являясь ее узлами.

В качестве аппроксимации уравнения (1), примем следующее сеточное уравнение [2,5], [3,124]

2/,к + 1 2 2/, к + 2/, к - 1 = 1V

т2 = й2 1

а

+ а

„ ,(/а + 2),к

К , 2/а + 1, к

а ,(„ --),к

1

1Ч , /а - 1, к

а 1 + а 1

„ ,(/а- „ ,(/а +

22

+ 2й I Ьа ,/,к (2/а + 1,к 2/а- 1,к ) С/,к2/ ,к и/,к + и /,к , (2)

2й а = 1

где й и Т - значения шагов соответственно по X и г , „ = 1,2,..., г - 1, „ = I,2,...,", к = 1,...,0 - 1,

2/,к = 2н,12,..,1„,к = 2(\й,/Д...,/„й,кт ), 1,к = 2(/'Л/2а 1й,(/а - 1)й.а + А--¿Акт),

2/а +1,к = 2(/'А ., 4 - lh, (/'„ + 1)h, а + А • • •, '"К кт ), и1к = и(г1й, /2й,.., /"й, кт ) и / к = V (/1й, /2й,..., /"й, кт )

а

„ ,(/а " 2),к

К , а„

а

„ ,(/а + 2),к

К , а„

/1й, /2й,..., !„- 1й,

/1й, Í2й,., „- lй,

1

/а - 2

v /

1

/а + ^

й /„+ lй,., /"й, кт

й, /а + 1й,., /«й, кт

а ,/,к а

Ь„ (/1й, /2й,., /"й, кт ) с/=к = с(/1й, /2й,.., /пй, кт ) а = 1,2,.,".

Ясно, что условию г |г = 0 =ф 0(х) можно заменить условием 2/,0 = 2(/lй,/2й,./"й,0) = Ф0(/А/2й,./"й), /а = 1,2,., Г - 1, а = 1,2,."; = 0 = х)

условием = ф 0 (/1й, /2 й,., /"й) +

можно

'0

заменить

2

т ~ 1 "

+ т^1(/1й,/2й,.,/"й) + у(-и/,0 + и/,0 + I (ф0,га +1 - 2Ф0,га+ф0,/в-1)). Точно так же для

а = 1

граничных узловых точек (/1й, /2й,..., /ий, кт ) условию 2 Ьт = 0, можно заменить условием

2/,к = 2Н,1ъ..,1п,к -- 0, /а = 0, Г, а = 1,2„.." , к = 0,1,.,в .

к +

Нетрудно убедиться [4,407], что решение zi,к разностной задачи (2) сходится к решению Z исходной задачи (1), и имеет место следующая оценка скорости сходимости

||(^ - ^к||ф ^ £ Вхт2 + В2Й2, (3)

где (г)Их - значения точного решения задача (1) в узлах сетки, ф Ит - пространство сеточных функций, || ||ф х - норма этого пространства, В1, В2 - константы.

Теперь для удобства представления, запишем задачу (2) в матричном виде Гк+! - Лкхк + гк_ 1 = -т 2Щ + х 2ик , к = 1,2, ...,в - 1, Го = фо, г! = 4)

где гк, ик, ик - Н -мерные матрицы-столбцы, Н - общее число узлов, принадлежащих одному слою, т.е. при данном I = кх , при этом

гк = ( г1,1,___,1,к, г1,1,.,2,к ,., г1,1.....г - 1,к ,., г/1,/2,_,/п ,к,■ ■ ■, гг - 1,г- 1,_,г - 1,к ) ,

ик = (и1,1,_,1,к , и1,1,_,2,к , _, и1,1.....г - 1,к , _, и1,12 ,_,г„ ,к , _, иг - 1,г - 1,_,г - 1,к У ,

и к = (и 1,1,_,1,к ,и 1,1,_,2,к , _ ,и 1,1,_,г - 1,к ,_ ,и 1 ,г2,_,г„ ,к , _ ,и г - 1,г - 1,_,г - 1,к ) ,

соответственно,

9 0 = (г1,1,_,1,0, г1,1,_,2,0' _, г1,1,_, г - 1,0, _, г11,12,..,1п ,0' _, гг - 1, г - 1,_, г - 1,0 ) , 9 1 = (г1,1, _,1,1, г1,1,_,2,1, _, г1,1,_, г - 1,1, _, 211,12,_,1п ,1, _, гг - 1, г - 1,_, г - 1,1) -

начальные векторы, п(г - 1) = Н, Лк - Н -мерная квадратная трехдиагональная матрица вида:

Лк =

е ек 0 0 0 0

ек е ек 0 0 0

0 ек е ек 0 0

0 0 ек е ек 0

0 0 0 ек е ек

0 0 0 0 ек е

где

^к

- У

7-2 Ц

и

а 1 - у 1 а,(а- т),к 2Иа = 1

Ьа ,к;

„ х Т

е =2 - И2 У

и а = 1

2

2 х + а х

а ^а- 2),к а ^а + 2),к

т 2С,.

,к'

ек = У

7 2 х- , К. + >-. 7 У Ьа к .

И2 х а ,0а + 2),к 2И 1 "

Пусть в выделено терминальное множество М .

Определение 2. Будем говорить, что в игре (4) из точки 90 , 91 можно завершить преследования за N £9 шагов, если по любой последовательности U1'U2'_'U^_ 1 управления убегания можно построить такую последовательность и1, и2,_, uN -1

2

а

управления преследования,

что

решение

г0, г1, г2,_, zN - 1)

уравнения

гк +1 - Лкгк + гк_ 1 =-т ик + т ик, к = l'_'N- 1, при некотором ^ £ N попадает на

М : гл е М .

Предположим что в игре (4) терминальное множество имеет вид М = М0 + Мх, где М0 - (Н -у)-мерное линейное подпространство RH, М1- подмножество подпространства L - ортогонального дополнения М0 в RH . Далее, через П обозначим

матрицу ортогонального проектирования из RH на L, а через A + B и A B

алгебраическую сумму и геометрическую разность множеств A,B соответственно. Пусть

P = MxPx ...хР Q = QxQx ...xQ M1 = Mix mi ...x Mi 1 <y< h

1 4-v-' 5 ^ v ' , /

H

2 * 2

Предположение1. Множество Ж = П т Р -П т Q непусто.

Предположение2. Для позиции ф0, ф1 существуют векторы У к е М1 и а (к) е Ж, к = к0, к0 < Н, такие что

||5 (к°)||+зир!#) < 0 (5)

где

5 (к) = П (Лк2к - 2к-1) - У к0 + а (к), 11(к) - скалярная функция, определяемая соотношением

{Пт 2Р- Пт 2и - а (к)}П1 (к),1 < 0} = 1 (к),Я1(к)< 1 < 0},

5 (к)

h (k):

£ (k) # 0

115 (к )1

0, при 5 (к) = 0.

Теорема 1. Пусть для игры (4) и начальных положений 20 = ф0, 21 = ф1 выполнены предположения 1, 2, через к0 обозначим минимальное значение к, для которого предположения 1, 2 выполнены. Тогда для позиции ф0, ф1 разрешима задача преследования.

Доказательство. Уравнению (4) можно разложить в следующем виде

22 = Л121 - 20 - т 2и1 + т 2и 1,

23 = Л.2 22 - 21 - т и2 + т и 2,

24 = Л323 - 22 - т Щ + т из, (6)

••• ••• ••• ••• ••• •••

2к0+1 = Лк0 2к0 - 2к0 -1- т 2щк0 +т 2ик0. Ясно, что если нам известно ик , ик то из (6) можно будет выразить П (Лк0 2к 0 - 2к0 -1) индуктивно через 20 , 21, Лк , ик, ик , 1 < к < к0 - 1.

Пусть теперь величины Ук , а (к), 00 таковы, что для них выполнены

предположения 1 и 2. Предпишем преследователю, в к -том шаге строить свое управление следующим образом. Если

||5 (к)|| + 11(к,и (к)) > 0,

то и (к) - решение уравнения

П (- т 2и(к) + т 2и (к)) = а (к) + 11(к(к)>? (к). Если к0 - первый шаг значения к , когда

|| 5 (к0) 11 + 11(к0,и (к0)) = 0, то для к > к0, и(к) решение уравнения

П (-т 2и(к) + т 2и (к)) = а (к) . Согласно выбору управления в к0 + 1 шаге игра заканчивается. Действительно

П 0 +1 = П (Лк 0 2 к 0 - 2к 0 - 1) -т 2 и (к0) + т 2и (к0) =

k0 +1 v k0 k0 = П (Ak0zk0 - zk0_ 1) + a (k0) + Ai(k>(k0))h (k0).

Следовательно

H

r

П гк0 +1 - 7к0 = П (Лк0 гк0 - гк0-1) - ук0 + а (к0) + Я1(^V (Г ))? (Г ) = = (|| X (к0)|| + Х,(к0,и (к0т (к0) = 0.

Отсюда П гк0 +1 - 7 к0 = 0, П гк0+1 = 7 к0е М1, значит гк0 +1 е М . Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть в неравенстве (3) Вхх 2 + В2И2 < е , и в игре (4) из точки (0, ( возможно завершение преследования в смысле определения 2. Тогда в игре (1) из начального положения (0(х), (1(х) можно завершить преследования в смысле определения1.

Доказательство. Пусть в игре (4) из точки г0 = (0, г1 = (1 можно завершить преследования за N £9 шагов. Тогда из определения следует, что по любой последовательности V1'V2'...'VN -1, V к е Q, 1 £ к £ N - 1 управления убегания можно построить такую последовательность и1, и2,_, uN -1, ик е Р, 1 £ к £ N - 1 управления преследования, что решение (г0, г1, г2 _ ZN) уравнения гк +1 - Лкгк + гк-1 = -т 2ик + т 2ик, к = 1,_ N - 1, при некотором d £ N попадает на М : Zd е М . Пусть теперь в игре (1)

V = V (х ?) е Q , (х, I) е QT - произвольное управление убегающего игрока из класса

). Зная управление убегающего и = и (x'г), мы можем определить и ¡ь¡2'_'¡n,к как значение этой функции в узловых точках сетки QTИт , т.е.

V к = V к = (V 1,1,_,1,к ,и 1,1,_,2, к ,_,и 1,1,_, г - 1,к г1,г2,_,гп , к г - 1, г - 1,_,г - 1,к ). Отсюда, в силу условия теоремы, можем строить управление преследователя в игре (4), обеспечивающее завершение преследования

ик = ик = (и1,1,_,1, к, и1,1,_,2, к, _, и1,1,_, Г -1, к, _иг1,г2,_,гп, к, _, иг -1, г -1,_, г -1, к ) .

Теперь в игре (1) управление преследующего игрока и = и (х, г) построим следующим

и= и. . . ,:. И < х . (. +1) И

1 2 п

образом: , .а = 0,1,_,г - 1, а = 1,2,п, кт £ г £ (к + 1)т ,

и (х,г )=

к = (^Л ■ 1}

. Ясно, что ие Р и и(х,г)е Ь2^т). Подставляя V =v(X'г), и = и(х,г) в

(1) получим дифференциальное уравнение, точно также подставляя V .= V 1■1,12,_,1n, и.к = и^,,..^,к в (2) получим сеточное уравнение, аппроксимирующее уравнения (1).

Пусть (г) Ит - значение точного решения, соответствующее управлениям

V = V (х, г), и = и(х, г) задачи (1) в узлах сетки QTИт , к - решение, соответствующее управлениям V к = V lьl2,.,ln,к, и.,к = Ulъl2,..>ln,к разностной задачи (2), тогда из (3), и из условия теоремы имеем

|(г)Ит - г.,к II £ В1т 2 + В2И2 < е

1 ||ф Ит

Отсюда, и из того, что г.,к е М1 получим (г)Ит - г.,к е е/, (г)И е е/ + , (г )Ит ее/ + М1, что и требовалось доказать.

Литература

1. Авдонин С.А., Иванов С.В. Управляемость систем распределенными параметрами и семейства экспонент. Учеб. пособие для Вузов. - Киев: УМКВО, 1989. - 244 с.

2. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. -№ 1. - С. 5-14.

3. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.