Задача преследования для системы эллиптических уравнений в параллелепипеде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш.

Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана имени

Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан

ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

Аннотация

Статья посвящена изучению игровой задачи преследования описываемая уравнениями эллиптического типа. Поставленная задача с помощью метода конечных разностей приведена дискретную игру, и оно решается с помощью методам Ричардсона. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования эллиптического типа.

Ключевые слова: преследования, преследующий, убегающий, управления

преследования, управления убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Рассматривается задача преследования следующего вида

р д д

^ =Хд (Аа Ь д---------) = " и +и , *(Х) = 8 (х), X 6 Г , (1)

а , Ь д Ха д ХЬ

z = г(х) = ^(х),z2(х),...,zm0(x)), х = (х1,х2,...,хр)6 I с Rp, р > 1,

I = {0 < х! I,, а -1,2,., р} с границей Г, 4 = (,ь ) - клеточная матрица размера р х р, = (аат (х)) является матрицей размера т0 х т0,

где

11 12 01 b О

An A12 A1 p aab aab

A = A21 A22 • ■ A2 p II a 21 aa b 22 aab • a 2 mo •• aab

Ap1 (N A App amo1 aa b am02 aa b a bo 3 1 0

a¡s¡ (x) = а№ (x), a^J (x) e C1(W ); u e P с Rm°, ve Q с Rm0 - управляющие функции, из

класса L2 (W). В Rm0 выделено терминальное множество М1. Игра считается оконченным, если z(~) e eS + M1, где S - единичный шар из Rm0

[см.:1,185;2,6;3,123;4,153].

Если перейти от векторной к скалярной записи, то задача (1) запишется в виде системы

(Lz)s = - us (x) +v s (x), X e W ,

zs(x) = gs(x), xe Г , s = 1,2,...,m0,

где

asm (x)

d;

3 xb

(2)

Будем предполагать, что выполнено условие сильной эллиптичности

С11 1 Х а Р£ 1 (4 Ь^а X ) £ С2 1 1 Х а Р ,

а = 1

a = 1

m

где С > 0, с2 > 0 - постоянные, зависящие от .X, \й- (£а1,£а2,...,£ат0), а = 1’2’^’ Р, -произвольные векторы,

то т0

XI2 = КИ )2, (АцХа .X, ) = I <т^т'-

* = 1 т = 1

Отметим, что левое неравенство (3) означает положительную определенность матрицы А. Построим разностную схему, аппроксимирующую задачу (1). Для этого в области

^ введем прямоугольную равномерную сетку [5,175;6,273]

Г = {X, = (/Д,..., 1рИр) е 0", 0 < 1] < Na , haNa = Iа ,а = 1,2,..., Р}

с границей У , так что 0 = 0 и у . На сетке 0 будем рассматривать векторные сеточные функции, компонентами которых являются сеточные функции р дискретных переменных, например у = (у1, у2,..., ут0), причем У* = У* (xi) = у* (гъ г2,..., ,р ).

Разностная задача Дирихле для системы (2) на сетке 0 в векторной записи имеет

вид

А" у = I 0Д(Л, Ух, )ха + (Аа, Ух, )ха ] =-и (х) + «"(х), х еа ,

а ,, = 1

у(х) = g(х), х е у .

Переходя к скалярной записи (2), получим систему

(Л-у) * = - и* (х) * (х) , X е 0 ,

у*(х) = я*(х), хе у , * = 1,2,.3т0, (4)

где

Р т0

(л-у)* = I 10дмтут; )ха + «тут, ь ].

а ,, = 1 т = 1

Введем пространство ят°Н (где Н - общее число узлов принадлежащих в 0 ) векторных сеточных функций, заданных на 0 , и определим в нем скалярное произведение

т0 ^

(z2) = I (z1*,z2), (’г2) = I (х)(х)/гЛ ••• нр ,

^, хе а

* = 1

*1 = (^\ ^•••, 22 = (z2, ^•••, г1, *2 е Н .

Определим разностный оператор Лапласа следующим образом

ку = I Ух„ х а, Ш * = I ухх

х а х а

а = 1 а = 1

В пространстве ят°Н обычным образом определим операторы С и Я :

Су =-Л- у, Яу =- Яу , у е Н, где у(х) = у(х) для х е 0 и у(х) = 0, если х е у.

Используя введенные обозначения и подправляя очевидным образом правую часть ф уравнения (4) в приграничных узлах, запишем разностную задачу (4) в виде операторного уравнения

Cz = - и + « , (5)

заданного в пространстве ят°Н . Уравнения (5) решим методам Ричардсона [см.:7,245].

Рассматриваемый здесь метод Ричардсона, основанный на оригинальном методе

Ричардсона, определяется следующим образом

2п + 1 = (1 - С)2п - ип +u П . (6)

Матрицей перехода для метода Ричардсона является просто G=I—C. Соответствующей

матрицей расцепления Q является единичная матрица. Поскольку С представляет собой

симметричную положительно определенную матрицу, то ясно, что метод Ричардсона является симметризуемым; например, W=I является матрицей симметризации.

Каждое собственное значение т матрицы итераций G=I—C метода Ричардсона равно 1 - V для некоторого собственного значения V матрицы С. Следовательно, мы имеем

Я (I - С) = тах(|1 - г (С) , |1 - г (С) ) , (7)

где Я(Т-С) - спектральный радиус матрицы I-C, г (С) и г (С) определяется из

соотношений

г (С) ° тт 1, г (С) ° тах 1, (8)

1< г < N ’ 1< г < N ’

здесь {1 г 1 - множество собственных значений матрицы С. Отсюда следует, что метод Ричардсона сходится тогда и только тогда, когда г (С) удовлетворяет условию

г (С)<2 . (9)

Однако оптимальной экстраполированный метод, основанный на методе

Ричардсона, всегда является сходящимся. Этот экстраполированный метод может быть записан в следующем виде (ср. (6)):

?п> 1 = У -1~СК Ч (- ип И п)• (10)

где

_= ________2 = 2

У = 2 - г (О) - г (О) = г (С) + г (С) . (11)

Спектральный радиус (см. (10), (11)) соответствующий матрицы итераций О[_] = I - _С равен

о,, г (С) - г (С) с (С) - 1

Я(I -_ С) =^———- = ^—------------ (12)

4 7 г (С) + г (С) с (С) + 1’ ^

где X(С) - спектральное число обусловленности матрицы С. Таким образом, скорость

сходимости этого метода можно (12) записать в виде

Я (I -_ С) =- ^ Х (С) ~ 1------— при X (С)

¥ & X (С) + 1 X (С) р •

Определение. Будем говорит, что из точки z0 е Ят0Н \ М можно завершить преследование за N шагов, если по любой последовательности и 0,и1,... ,и N -1

управления убегания можно построить такую последовательность и 0, и\,..., UN -1

значений управления преследования, что решение (z0, zl,ZN) уравнения

_ zn + 1 = ^ С) Zn -_ +_Гс , п = 0Л-. , N - 1, (13)

попадает на М: е М для некоторого г. При этом для нахождения значения ип

разрешается использовать значения и п и zn .

Всюду в дальнейшем предполагается, что М = М0 + М1, где М0 -линейное

подпространство ят°Н, М1 - подмножество подпространства L - ортогонального дополнения М0 в Ят°Н. Далее, через П обозначим матрицу ортогонального

проектирования из ят°Н на L, через X + Y и X - Y - соответственно алгебраическую

сумму и геометрическая разность множеств X, Y . В этом пункте, предполагается, что

и е р 1) е п где р = р х Рх • ••х р Q = QXQX •••х Q М1 = М\х ...х М1

ипь Г , и пь где '-----------V------' , '-----V-----р , '-------»-------',

н н т

1 < т < н .

Пусть

w (0) = w {0}, ж (п) = £ [п (I - тс Утр * п (I - тс ) то], (14)

I = 0

для п = 1,2,..., Ж (п) = м1 + Ж(п) для всех п = 0,1,....

Теорема 1. Предположим, что N - наименьшее из тех чисел п, для каждого из которых имеет место включение П (I - ТС)п z0 е Ж1(п). Тогда из точки z0 можно завершить преследования за N шагов.

Доказательство. Из (14) и условия теоремы следует существование таких

а(к) е П (I - ГС)к ТР * П (I - ТС)кТО и ь е ми ™

m - 1

П (I - fC)mZo = b +1 a(k). (15)

k = 0

Пусть u = u k = u (k), 0 < k < m - 1 - произвольное допустимое управление

убегающего игрока, управление преследующего игрока u = uk = u(k) построим как решение уравнения

П (I - fC )m- k-1 fu (k) - П (I - fC)m- k-1 fu(k) = a(k), 1 < k < m - 1.

Ясно, что это уравнение имеют решения по выбору a(k), так как u(k)е Q и u(k)е P. Подставляя u = u (k) = u к и u = u(k) = пк в (13), получаем

Z1 = (I - fC )z0 - fu0 + fu0,

Z2 = (I - fC)Z1 - f u1 + fu1 =

= (I - fC)2 Zo - (I - fC)f йо + (I - fC)f u”o - f Щ + fu],... ,

Zm = (I - fC)mZo - (I - fC)m- 1 fuo + (I - fC)m- 1 fV~o -

- (I - fC)m- 2 f u + (I - fC)m- 2 fu - ... - fum-1 + fum-1. (16)

Отсюда, применяя к обеим частям равенства (16) оператора проектирования П и из равенства (15) имеем

П Zm = П (I - fC)mZo - П (I - fC)m-1 f uo +

о

m - 1

-1*^^ гг лт тг I гг л~,-лг- гг iT

Z0 -k = 0

Значит П Zm = bе Mb т.е. Zm е M, что и требовалось доказать.

+ П (I - fC)”-1 fTo - ... - П fum., + П fWm., = П (I - fC) mZo - I a(k) = b е M,.

П Zm = b е M1,

Пусть теперь

ж2(0) = м„ Ж2(1) = [Ж2(0) + П Р,]*п ТО„. 1, ••• ,

• Ж2(п) = К(п- 1) + П (I- ТС)"'1 ТР0]*П (I- ТСТ1 0 (17)

Теорема 2. Если N - наименьшее из тех чисел п, для каждого из которых имеет место включение П (I - Т С)п z0 е Ж2 (п), то из точки г0 можно завершить преследования за N шагов.

Доказательство. Пусть и 0,и 1,...,и т-1, и к е 0, 0 £ к £ т - 1 - произвольная

последовательность. Для конкретного и0, по условию теоремы и в силу (17), получим включение

П (I- Т~С)тг0 + П (I - ТС)т 1 Т~Г0 е Ж2(т- 1) + П (I - ]~С)т~1 ТР.

Теперь в качестве и о берем тот элемент из Р, для которого сохранялось последнее включение, в результате получим

П (I - ТС)тг0 + П (I - ТС)т-1 Р0 - П (I - ТС)т-1 Тй0 е Ж2{т - 1).

Из этого включения, учитывая равенство (10), имеем

П (I - ТС)т - '((I - ТС К + Т и -р-0) е Жг(т - 1). т.е. П (I -ТС )т -1 г1 е Ж2(т - 1).

Если управление и 1 становится известным, то изложенным выше способом можно построить управление и1, обеспечивающее включение П (I - уС)т-2г2 е Ж2(т - 2). Далее, рассуждая аналогично, получим П гт е ж2(0) = м 1, значит гт е м, что и требовалось доказать.

I" П -1 1

Пусть а п(■) = |а 0,а 1,.,а п-1 :а > 0, £ а = 1|, и

[ I = 0 ]

п - 1 Г !

для п = I,2, • .

n - 1 Г

W(an(■)) = I \(a,Mi + П (I- fC)fPn-1-,)-П (I- fC)fQn-1

i = 1

Положим

W3(0) = M1, W3(n) = aU ^(«я( ■)) (18)

для n = 1,2,....

Теорема 3. Если Mx - выпуклое множество и N - наименьшее из тех чисел n, для каждого из которых имеет место включение

П (I -fC) nZo е W3(n), (19)

то из точки z0 можно завершить преследование за N шагов.

Доказательство. Вместо включения (19), имея в виду (18), рассмотрим

эквивалентное ему включение П (I - fC)”z0 е W(J m ( ■ )), существование

J m () = {j 0 ,J^J2 ,..., J m - 1} следует из (18).

Отсюда получим

П (I - fC) mZo е 12\(J M + П (I - fCf f PY- n (I - fC)1 f q]+

k = 0

+ (I m - \M 1 + П Cm - f- P)-П (/-fC )m - ‘f Q . (20)

Пусть теперь U 0,U 1,...,U m-1, U k е Q, 0 £ k £ m - 1, - произвольная

последовательность. В силу (20) для u0 получим

m- 2г ____________________________________ ■

п (I - fC)mz0 + п (I - fC Г fr, е l \(b m + П (I - fC )k fP)-п (I - fC)k tq|+

k = 0

_ +I m- 1M1 +П (I -fC)1fP . (21)

Управление u 0 G P построим как решение уравнения

П (I - fC )m - 1f r3 - П (I - fC )m - 1f Щ = I m - 1*1, «1 G M .

Далее, в силу (21) имеем

П (I - fC)m \(I - fC)z0 + [F0 - Гй,)е

m - 2r _________________________________________ 1

е I \(b M + П (I -fC )k fP)-П (I - fC )k fQ\+ b m- A.

k = 1

Поэтому в силу (20) получим

m - 2r ____________________________________________ 1

П (I - fC )m " 1 Z1 G I \(b kM 1 + П (I - fC )k fP)-П (I - fCf m- 1*1.

k = 0

Точно также, если управление и1 становится известным, то изложенным выше способом можно построить управление и1, обеспечивающее включение

П (I - ТАГ" 2z2 є \ 1(| Mі + П (I - уЛ)kyP)-П (I - gA)k yQ] +

k = 0

+ b m - la1 +b m - 2 a2, a2 Є M1,

и т.д. Таким образом, имеем

П Zm : і m - 1а1 + f m - 2 a2 + - + f 0üm E f m - 1M1 + f m - 2M1 + - + f 0M1[

є (I m - 1 + 1 m - 2 + — + 1 0)M 1 = M1,

отсюда П zm є M ь значит zm є M. Теорема доказана.

В этом пункте считается, что

X І", \£-Р‘, XU il'**'.

i = 0 i = 0

где a (^ 1), I , P (> 0) и s 0) - некоторые фиксированные числа (случай

интегральных ограничений).

Предположение. Пусть р > s , через W(n) обозначим множество

(22)

n -1

zє L : z = П (I- уC) n- 1y w + — + П у wn_ 1, î

w;

£

P

n- 1

-\a

î

i = 0

u

(23)

,-П\п - 1,-

У0 + • + П I пп-1, и I"г г = 0

V /

через ж4(0) - множество М1, через Ж4(п) - множество М1 + Ж(п), где п=1,2,... .

Теорема 4. Пусть выполнены предположения, кроме того, N - наименьшее из тех чисел п, для каждого из которых имеет место включение

П (I -ТС) ^0 е Ж4(п), (24)

то где в игре (10) из точки г0 можно завершить преследование за N шагов.

Доказательство. Пусть имеет место включение (24). Тогда из (23) получим следующие включение

П (I - ТС) пг0 е М1 + Ж(п) = М1 + П (I - ТС)п - 1Т ^0 + ... + П Т -1.

Отсюда получим

П (I - ТС)пг0 - П (I - ТС)п - 1Т ™0 е М1 + (I - ТС)п - 2Т м>1 + • •• + ПТ ™п-1, далее в силу (10) имеем

П (I - ТС)п- Ч(! -ТС) ^ - Т ^) е М1 + (I -ТС)п- 2Т ^ + ... + П Т ™п-1. (25)

Пусть и0 - произвольное управления убегающего игрока тогда и0 - управление преследующего игрока построим как решение следующего уравнения

и0 0 = ^0, и0 = и0 + w0.

Тогда из (25) имеем

П (I - ТС)п-1 е М1 + П (I - ТС)п-2м>1 + ... + П Т™п_ 1.

Отсюда перенося П (I -Т С)п- 2 w1 в левую сторону включения и в силу (10)

получим

„ТУ'-ТЧП - 1 _ ГГ / Т іЇГҐ'1\П - 2

П (I- gC)n-1Z1 - П (I- gC)n-2w1 є M1 + П (I- gC)n-2((I- TC)z1 - Tw1)є M1 +

+ ( I -yC )n - 3 w2 + — + П у Wn -1.

(26)

Пусть теперь и1 - произвольное управления убегающего игрока, тогда и1 -управление преследующего игрока построим как решение уравнения

"1 - V 1 = W1, "1 = V 1 + W1.

Тогда точно так же как в первом случае, имеем

П (I -gC)n - 2 z2 е M1 + (I -gC)n-3 w2 + ... + П g wn_ 1s

и т.д.

И в последном шаге по произвольной ип -1 управления убегающего построив ип -1 как решение уравнения

Un- 1 -V „ - ! = wn - Un- 1 = V„- ! + Wn-

имея в виду равенства (10) получим следующие включение

П (I- ТС)п-2г„_ 1 - П Т™п-1 = П [(I- ТС)гп_ 1 - йп_ 1 + Гп_ 1 ]е М1.

Отсюда получим П е М1 и значит гп е М.

Теперь осталось доказать допустимости управлении иг. По выбору иг, иг = и г . г = 0, п - 1. С другой стороны (см. (26)) используя неравенство Минковского имеем

п - 1 п - 1

i u a = iv~+w a<

i = 0

i = 0

i 1 \ 1/“ i 1 \ 1/“

1 n -1 \ n -1 '

i

i = 0

i

i = 0

w,

< [s + p-s ]“ = p “ .

Отсюда следует допустимости управлении ui.

Литература

1. Авдонин С.А., Иванов С.В. Управляемость систем распределенными параметрами и семейства экспонент. Учеб. пособие для Вузов. - Киев: УМКВО, 1989. - 244 с.

2. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. -№ 1. - С. 5-14.

3. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика.

- Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.

4. Маматов М.Ш., Тухтасинов М. О задаче преследования в распределенных управляемых системах // Кибернетика и системный анализ. - Киев. 2009. - Т. 45. - № 2. - С. 153-158.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.

6. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 570 с.

7. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. - М.: Мир, 1986. - 448 с.

“

+