CC BY
22
Маматов М.Ш.
Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана им. М.
Улугбека, Ташкент, Узбекистан
К ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР ПРЕСЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СТАЦИОНАРНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Аннотация
Статья посвящена изучению игровой задачи преследования описываемых уравнениями Пуассона для задачи Дирихле. Поставленная задача с помощью метода конечных разностей приведена дискретную игру второго порядка, и оно решается методом матричной прогонки. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования, описываемых уравнениями эллиптического типа второго порядка.
Ключевые слова: преследования, преследующий, убегающий, управления преследования, управления убегания.
Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.
Рассматривается игровой аналог задачи Дирихле для уравнения Пуассона [1,186]
а2 2 а2 2
u(х, у) + V (X, у),
ах2 ау2
(х, у) е й , (1) 2(х,у) = ф (х,у), (х,у)е Г , й = {(х, у) : 0 < х < 1,0 < у < 1} - квадрат со сторонами, параллельными осям координат, а Г - его граница, и = и(х,у), V = V (х,у) - управляющие функции из класса ^(й )• Функцией и(х, у) распоряжается первый (преследующий) игрок, функцией V (х, у) второй (преследуемый или убегающий) игрок, и е Р , V е Q , р и Q - непустые компакты в р1. Выделено терминальное множество С Р1 .
Пусть W2k (й ) - пространство функций из ), имеющие все обобщенные
о
производные до порядка к включительно, wk (й ) - подпространство пространства
к 0 к W2 (й ), в котором плотным является множество ск (й ) - функций из С (й ), каждая
из которой обращается в нуль в некоторой полоске границы а й = Г области й .
В работах [2,5], [3,123] рассмотрены задачи преследования описываемые уравнениями параболического типа.
Определение 1. В задаче (1) возможно £ - завершение (£ > 0) преследования из
граничного положения ф (•, • ), если существуют функция и (V , х, у) е Р , V е Q ,
(х, у) е й , такие, что для произвольной функции V 0 (х, у) е Q , (х, у) е й , решение
20(х, у) задачи (4.1), где и = и^ 0(х, у), х, у),
V = V 0 (х, у), попадает на множество £ I + М1, при некотором (у ,У ),
(у,у)е й : 20(~,у)е £I + Мь где I = (- 1,1).
линий X = X = гК, h = -, г = 0,1, ..., г, у = Уу = jl, I = -, j = 0,1,...,0 , г,0 -
В области 0 выберем сеть узловых точек (X, уу) на пересечении координатных
г = 0,1,.,г, у = у,- = -I, I = -г 1 0
некоторые натуральные числа. Точки (X, уу), которые принадлежат множеству 0 ,
образуют сетку 0 ^ , являясь ее узлами. В качестве аппроксимации уравнения (1), примем следующее сеточную задачу Дирихле для уравнения Пуассона 2« + ^ =- и(ХУ) (x,У), (X,у)€ 0 ы, (2)
2(X,у) = ф (X,у), (X,у)€ Г ,
где
К
1
2 XX = ,2 [ 2г +1, - 2 2г, - + 2г - 1, - ]
[, +1 - 22-, + 2,,-1], 2г,- = 2(X,у-).
2_ = -
уу 1I,- + 1 г,- ' ,-
2
Преобразуем схему (2). Для этого умножим (2) на (- R ) и распишем по точкам разностную производную 2уу . При 1 £ ] £ 0 - 1 будем иметь
для 2 £ г £ г - 2
- 2 , - - 1 ' ^г, - 1 ^xx\^?J.>^ ^г, - + 1" 1 , - "1, -
22 2г, /-1 + [22г, - - 1 2XX (г, -)] - 2г, - +1 = 1 (и, / - и г, -);
для г = 1
12 2 - -2г,>-1 + [22г,> - (2г +1,- - 22г,- )] - 2г,- +1 = 1 (иг,- - и «,> ^
12 2 - -2г, - - 1 + [2 2г, - " 72 ( 2г - 1, - - 2 2г, - )] - 2г, - + 1 = 1 (иг, - - и г, - ),
для г = г -1
- 2г ; ! + [22г . -
К
где
_ _ 1
иг,- г,- = иг,- "« г,- + * 0,-
и (г - 1, - ) = иг - 1, - - и г - 1, - + "у * г, - .
К2
Кроме того, для - = 0,0 имеем 2г,0 = * г,0, 2г,0 = * г,0 , 1 £ г £ г - 1.
Обозначим теперь через ^ вектор размерности г - 1, компонентами которого являются значения сеточной функции 21,- во внутренних узлах сетки 0 ^ на - -й строке: 2- = (21,-,22,-2г-1,-), 0 £ - £ 0 , а через
и- = (и1, -, и2, >иг - 2, >, иг - 1, > ),
и У = (ии,и 2,-г- 2, У ,и г- 1, У ), 1 £ - £0-1,
20 = *3 = 1,0,Ф 2,0,.,ф г- 1,0 ) ,
20 = 1,0 * 2,0 г - 1,0 ).
Определим также квадратную матрицу С размером, (г - 1) X (г - 1) следующим образом
CF = (Л/(1), Л / (2),..., Л / (г - 1)), F = (/ (1), / (2),..., / (г - 1)), где разностный оператор Л есть
Л/(0 = 2/(/) - 12/х,(I), 1 < / < г - 1, / (0) = / (г) = 0.
Легко видеть, что С есть трехдиагональная матрица (г - 1) X (г - 1) вида
С =
' 2(1 + а ) -а 0 0 0 0 ^
- а 2(1 + а ) - а 0 0 0
0 -а 2(1 + а ) . 0 0 0
0 0 0 2(1 + а ) -а 0
0 0 0 -а 2(1 + а ) - а
0 V 0 0 0 -а 2(1 + а ) ^
(3)
где а =
= I2
2 , причем С является матрицей с диагональным преобладанием, так как
|1 + а |> | а |, а > 0, и следовательно, не вырождена.
Используя введенные обозначения, полученные выше соотношения можно записать в виде следующей системы трехточечных векторных уравнений
- 2, - 1 + С2}. - 2, +1 = 12(и] -V ] ), 1 < ] <0- 1,
20 = ф0, 2о =фо . (4)
Пусть в рг-1 выделено терминальное множество М .
Определение 2. Будем говорить, что в игре (4) из «граничного» положения (ф 0, фо ) можно завершить преследования за N < 0 шагов, если по любой последовательности V 0^1,...^ N -1 управления убегания можно построить такую последовательность ^, ..., UN _ 1 управления преследования, что решение
{20, 21,22,., 2N -1,2N } уравнения - 2, -1 + С2,
2]+1
12(й, -Г,), 1 < ] < г - 1,
20 = Ф 0, 2о = Фо , при некотором й < N попадает на М : 2^ е М.
Пусть дискретная игра описывается уравнениями (4). Через ип (х) обозначим полином Чебышева второго рода степени п : sin(n + 1) arccos х
ип (х) =
sinarccos х 1
I х |< 1
2Vх2 - 1
х
г^—У+М г^—V (п +1)
+ V х - 1 - (х + V х - 1|
, I х |> 1
(5)
Без доказательства приведем следующую лемму.
Лемма. Пусть и - и (-) - и-, V - V (-) - V -, 1 £ - £ N - заданные конкретные
управления. Тогда решения уравнения (4) с граничными условиями 20 - ф 0, 20 - * 0 определяются формулой [см. 6]
п -1 (л \
20 + X ик - 1 к - 1
2п = и~-\
1
-С 2
\ у
и0
0- п - 1
1
-С 2
\ у
1С
2
V У
(- 12ик + 12м к )
+ и0-_11
/ 1 \ /1 \
ип - 1
1С 2
V У
1С 2
V У
2
1 (1 V 2 2 \
+ X и0-к-1 - С (-1Ч + 12и к)
к - п
-С 2
V у
(6)
лг - 1 •
Предположение 1. М - М0 + М1, где М - линейное подпространство Rr М1 - подмножество подпространства L - ортогонального дополнения М0 в Rг-1.
Через П обозначим операцию ортогонального проектирования из Rг-1 на L.
М11 + М12 = М1
п - 1
-1
Пусть М 1,1 + М12 - М1 и
WlЛ(n) - X П и0--11
к -1
0 -1 ( 1 Wla(n) - X П и~-\
1
-С 2
V у
и
0 - п -1
1
-С 2
V у
ик -1
/ 1 \
здесь ип
к- п 1
-С 2
V у
-С 2
/ 1 \
1С 2
V У V У
ип - 1
и
0 - к - 1
1
-С 2
V У 1
-С 2
V У
(12 Р * I ^)- М1,1; (12 Р * I ^)-М1,2, (7)
- матричный полином Чебышева.
- П -П
Предположение 2. Пусть существует такое п - п0, что
/ 1 \ / 1 \
иД
и--1!
1С 2
V У 1
-С 2
V У
и
0- п0 - 1
1С
2
V У
2,
€ ^1,1 (п0 )
и
ип0 -1
1
-С 2
V У
2
€ (п0 ) . (8)
Теорема1. Если выполнены предположения 1, 2, то в игре (4) из «граничного» положения (20, 20 ) возможно завершение преследования за N(20, 20 ) £ п0 шагов. Доказательство. Из (7) и (8) следует существования таких
11
~ ик -1
а(к) €
П П и0--11
и (к )€ е
1С 2
V У
и
0 - п0 - 1
-С 2
V у
-С 2
V У
(12Р - 12и (к)), 1 £ к £ п0 - 1,
П п и0-_11
и (к)е е
1
-С 2
V У
ип0 -1
1
-С 2
V У
и
0- к -1
1
-С 2
V У
(12Р - 12и (к)), п0 £ к £ 0 - 1,
¿1 € М11, ¿2 € М1, 2 , что
/ 1 \ / 1 \
П П
и0--11
иД
1С 2
V У
/1 х -С 2
V у
и0
0 - п0 - 1
и„„ -1
1С 2
V У 1
-С 2
V У
2
п0 - 1
2,
X а(к) - ¿1,
к -1
-1
X а(к) " ¿2 . (9)
к - пп
Пусть V = V (к), 1 < к <0 - 1 - произвольное допустимое управление убегающего игрока; управление преследующего игрока и = и (к) построим как решение
следующего уравнения
п ц-.1/1 '
а(к):
IС 2
V У
ц
0- п0 - 1
1
-С 2
\ у
ик -1
1
-С 2
V у
(12й(к) - I
п и;-1!
1
-С 2
V у
Цп0 -1
1
-С 2
V у
1 < к < п0 - 1;
(10)
ц
0- к -1
1
-С 2
V у
(12и(к) - I
V
Ясно, что эти уравнения имеют решения по выбору а(к), так как V (к) е Q и и (к) е Р . Подставляя V = V к = V (к) и и = ик = и (к) в (4.4) и применяя формулу (7), получим
2 (п0) = и0 -11
1
-С 2
V у
ц
0 - п0 - 1
1
-С 2
V У
п0 - 1
20 + X ^ -1 к = 1
1
-С 2
V У
(-1 \ +12v к)
+ и-0\
1
-С 2
\ у
цп0-1 п -1
1
-С 2
\ у
-1
2
+ X ц0-к-1
к = пп
1
-С 2
V у
(- 1 \ + 1 ^ к)
Отсюда, применяя, к обеим частям равенства оператор проектирования п и из равенства (9), (10), имеем
/1\ /1\ п0 -1 /1\ /1\
и0"-11
1
-С 2
V У -1
+ п
п 2(п0)= п •Цк -1
+ X- и;-1
=п
цп0-1
1С 2
V У
и0
- п0 - 1
1С
2
V У
20 + X и0_-1
(- 1 \ + 1 "V к)
+ п
ц0--11
к = 1 1
п0 - 1
г- 1 1 С 2
V У
ц
0- п0-1
1С
2
V У
-С 2
к = пп
1
-С 2
V у
и0"-11
ип 1
п0 - 1
/ 1 \
1
-С 2
\ у
ц
0 - к - 1
V У 1
-С 2
V У
1
-С 2
V У
1С
2
V У
ц
ц0--11
1
-С 2
V У
1
-С 2
V У
2
0 - п0 - 1
-1
1
-С 2
V У
2
цп0-1 п0 - 1
(12"к +12^к) п0 -1
+ X а(к)+
20 +
+ X а(к) = п
к = п0
ц0--11
п
ц0--11
1
-С 2
V у
ц
0- п0 -1
-п
ц0--11
1
-С 2
цп0-1 п -1
1
-С 2
V У 1
-С 2
2
+ ь1 + п
ц0--11
к = 1 1
-С 2
V у 1
-С 2
V у
ц0
0 - п0 -1
1
-С 2
V У
2
цп0-1
1
-С 2
\ У
2
2
+ Ь2 = Ь1 + Ь2 е М11 + М12 = М1.
V _ У V _ У -
Из этого включения получим, что п 2(п0 ) е М1 и, значит, 2(п0 ) е М . Что и требовалось доказать.
Пусть 1 < п < 0 - 1, ^ц(0) = - М1Д , W2,2 = - М1>2,
W2Л(n)= п
V (к )е д
1 < к < п - 1,
W2a(n) = п
V (к )е д
Жм(п - 1) + п Uо--1l
1
-С 2
V У
ц
0 - п - 1
1
-С 2
V У
^ -1
1
-С 2
V У
(12 р -
^^2,2 (п - 1) + п Uо--1l
1
-С 2
V У
цп - 1
1
-С 2
V у
ц0
0- к -1
1
-С 2
V у
(12Р -V (к))
п < к < 0 - 1.
Предположение 3. Пусть существует такое п = п0, что
-п -п
ц-.1!
1
-С 2
V У 1
-С 2
V У
ц
0 - п0 -1
1
-С 2
V У
2
е ^^2,1(п0)
и
цп 1 п0 - 1
1
-С 2
V у
2
е ^^2,2 (п0 ) .
Теорема 2. Если выполнены предположения 3, то в игре (4) из «граничного» положения (20,20 ) возможно завершение преследования за N(20,20 ) < п0 шагов. Теорема 2 доказывается точно также как теорема 1.
п -1
Пусть ап(•) = {а 1,а2,.,ап-1 :ак >- 0, X а (к) = 1},
к = 1
0 -1
Ьп(•) = {Ьп,Ьп +1,.,?0-1: Ьк * 0, XV (к) = 1} и
к = п
Щ(а п (•)) =X
п - 1
X
к = 1
а кМ1,1 + п ц0"-11
/ 1 \
- п -1
*п ц,-1
1
-С 2
V у
ц
0- п -1
I-1
W2(b п О) = X
к = п
1 V
* п ц-1!
ь кМ 12 + п Uо--1l цп - 1
'1 ^ -С ц0 2
V у 1
-С 2
V у V у
/ 1 \ /1 \
1С
2
ц -1
цп - 1
1С 2
V у 1
-С 2
1С
2
V У V У / 1 \ / 1 \
1С
2
V У
1 С
2
ц
0- к -1
V У
1
-С 2
V У
^ -1 12д
ц0 - к - 1 12д
' 1 ^ -С 12Р 2
V У у
' 1 ^ -С 12Р 2
V У У
Положим
Жн(0) = М11 ^3,1(п) = Ц^ Wl(а к(•)) 1 < к < п - 1
' ' а к(0 ' '
Wз,2(0) = М12, ^^3,2(п) = ^ к()), 1 < к < 0 - 1,
Предположение 4. Пусть существует какое п = п, что
-п -п
ц0--11
ц0--11
1
-С 2
V у 1
-С 2
V У
0 - п0 -1
ц цп0-1
1
-С 2
V У
2
1
-С 2
V У
2
е WзД(ио),
е ^5,1 (п0).
V
*
*
Теорема 3. Если выполнены предположения 4, то в игре (4) из «граничного»
положения (20,20 ) возможно завершение преследования за N(20,20 ) £ п шагов.
Теорема 3 доказывается точно также как теорема 1.
Нетрудно убедиться [4,407], [5,376], что решение 2г,- разностной задачи (2)
сходится к решению 2 исходной задачи (1), и имеет место следующая оценка скорости сходимости
||( 2) ы - 2г, -Уф ы £ КХЫ2 + К 4 2, (11) где (2)ы1 - значения точного решения задача (1) в узлах сетки, Ф ы - пространство
сеточных функций, 11 ' ||ф ы - норма этого пространства, К, К2 - константы.
22
Теорема 4. Пусть в неравенство (11) К1Ы + К21 < £ , и в игре (4) из точки 20 - * 0 , 20 - *0 возможно завершение преследования в смысле определения 2. Тогда в игре (1) из начального положения 2(X,у) - * (X,у), (X,у)€ Г можно завершить преследования в смысле определения 1.
Доказательство. Пусть в игре (4) из точки 20 - * 0, 20 - * 0 можно завершить преследования за N £ 0 шагов. Тогда из определения следует, что по любой последовательности V 0^1,.. N-1, V к € е, 0 £ к £ N - 1 управления убегания можно построить такую последовательность и0, и1,..., UN -1, ик € Р , 0 £ к £ N - 1 управления преследования, что решение (20,21,.,zN) уравнения - 2--1 + С2- - 2- +1 - 12и- - I^ -, 1 £ - £ 0 - 1, при некотором d £ N попадает на М : 2^ € М. Пусть теперь в игре (1)
V - V (X, у) € е , (X, у) € 0 произвольное управление убегающего игрока из класса L2(W ). Зная управления убегающего V - V (X,у), мы можем определить V г,- как значение этой функции в узловых точках сетки 0 ы, т.е.
V- --V]- оч-,1Г2,-—л--2,-д;-1,-).
Отсюда, в силу условия теоремы, можем строить управление преследователя в игре (4), обеспечивающее завершение преследования
и- - U] - (и1, -, и2, - иг - 2, -, иг - 1, - ).
Теперь в игре (1) управление преследующего игрока и - и (X, у) построим следующим образом:
и (X, у) - [ии] : гы £ X £ (г + 1)Ы, г - 0,1,..., г - 1, -1 £ у £ (- + 1)1, - - 0,1,. ,0 - 1}. Ясно, что и € Р и и (X, у) € L2(W ). Подставляя V -V (X, у), и - и (X, у) в (4.1) получим дифференциальное уравнение, точно также подставляя V - - V г,-, иг,- - иг,- в (2) получим сеточное уравнение, аппроксимирующее уравнения (1).
Пусть (2) ы1 - значение точного решения, соответствующее управлением
V - V(X,у), и - и(X,у) задачи (1) в узлах сетки 0 ы, 2г,- - решение, соответствующее
управлениям V - - V г,-, иг,- - иг,- разностной задачи (2), тогда из (20) , и из условия теоремы имеем
||(2)ы - 2- - ||ф ы £ КЫ2 + К212 < £.
Отсюда, и из того, что zi, j e M1 получим
(z)ы - je e 1, (z)hie eI + Z', j, (z)hi e e I + M1,
что и требовалось доказать.
Литература
1. Авдонин С.А., Иванов С.В. Управляемость систем распределенными параметрами и семейства экспонент. Учеб. пособие для Вузов. - Киев: УМКВО, 1989. - 244 с.
2. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. -№ 1. - С. 5-14.
3. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.
4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.
5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 570 с.
