CC BY
37
Маматов М.Ш.
Доктор физико-математических наук, Национальный университет Узбекистана имени
Мирзо Улугбека
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ
ПРОЦЕССАМИ
Аннотация
Статья посвящена изучению игровой задачи преследования описываемая уравнениями гиперболического типа. Поставленная задача с помощью метода конечных разностей приведена дискретную игру второго порядка, и оно решается с помощью матричный полином Чебышева. Разработанные методы можно применять для решения задач преследования колебательными процессами.
Ключевые слова: преследования, преследующий, убегающий, управления преследования, управления убегания.
Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.
Рассматривается управляемая распределенная система описываемая гиперболическими уравнениями
ъ- Az = -u ' zLо =jo(xX z Lо =j1(x), z U = 0 (1)
где z = z( x, t) - неизвестная функция; x = (x1, x2,..., xn) e 1 с Rn, n > 1,
1 = {xE Rn :0£ x £ 1, 0£ x2 £ 1, ..., 0£ xn £ 1} - n -мерный куб с гранями, параллельными
координатным плоскостям, t e [0, T], T - произвольная положительная константа;
3 z 4
n 3 Az =X 3
( = 1 3 xa
aa (x)
3 xa
аа (х) - непрерывные ограниченные функции в О . Предполагается, что существует положительная константа V такая, что для произвольных х е О выполнены неравенства
аа (х) > V , а = 1,2,..., п,
и = и( х,t), и=и (x, г) - управляющие функции из класса L2(QT ), QT = {(х,г)|хе 0 , ге (0,Т)} - открытый цилиндр в Rn+1; ^0(х),^(х)е L2(0 );
= {(х, г)|х е Э О , г е (0, Т)} - боковая поверхность цилиндра QT, Э О - граница области О . Функцией и(х,г) распоряжается первый (преследующий) игрок, функцией и( х,г) второй (преследуемый или убегающий) игрок, и е Р, ие Q, р и Q - непустые компакты в R1. Выделено терминальное множество М1 с R1.
Далее, напомним, что W2 (О) - гильбертово пространство, состоящее из элементов L2 (О ), имеющих квадратично суммируемые по О обобщенные производные первого порядка; (О) - подпространство пространства Жг (О ), в котором плотным является множество всех гладких, финитных функций; Ж21,0^Т) - гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства L2(QT), имеющих квадратично суммируемые по QT обобщенные производные гХа, а = 1,2,п; w21•0(QT) -подпространство пространства Ж21,0 ), в котором плотным множеством является гладкие функции, равные нулю вблизи ST .
Известно [1,175], что при выполнении перечисленных выше условий, задача (1) имеет единственное обобщенное решение 2 = г(х,*) в классе ж^0(От ) при любых и (x, *) , и(х,?)[ L2(QT) и Фо(х),^х(х)е L2(Q ).
Функции р о ( х), р1( x), будем называть начальным положением (состоянием) системы (1) и их обозначим через р0(• ), р1(• )- Систему (1), в котором и = и(х,*),
V = V (x, *) будем называть игрой.
Определение 1. В игре (1) возможно £ - завершение (е > 0) преследования из начального положения р о р1(• ), если существуют число т - т(ро('),р1(')) и функция и (V, х, *) е Р, и е О, х ей, * е [0, т ], такие, что для произвольной функции
V 0 (х, *) е О, х ей , *е [0,т] решение 20(х, г) задачи (1), где и - и (V 0(х, *), х, *),
V -V 0(х, *), попадает на множество е1 + Мь при некотором (~), ~ е й, ~ е [0, т ]: 20 (~) е е1 + М1, где I - (- 1,1) .
Разобьем евклидово пространство л„ +1 переменных (х, *)
плоскостями а ,
h -- , ¡а- 0,± 1,...,
Г
т
и
*к - к% , % - —, к - 0,1,2, ..., на параллелепипеды в
к): 1 (И)1 (к ,(к + )- ((х-¡а К< х<, < ('а I 1)К к < *< (к + 1) }, Г,в - некоторые
натуральные числа. Точки (х■, *к ), которые принадлежат множеству От, образуют сетку Отк% , являясь ее узлами. У каждого узла имеются соседние узлы. Если все эти соседние узлы также принадлежат сетке Отк% , то узел (х,*к) - ( ¡1к,'2К■■■,¡„Кк% ) называется "внутренним", в противном случае узел (х1, *к ) называется "граничным".
В качестве аппроксимации уравнения (1), примем следующее сеточное уравнение [смотрите:2,6;3,124;4,153],
к + 1 - 22 ¡, к + 2¡, к - 1 1
- К2 I
П =
а ,( ¡а +-)
а + 1, к
а ! + а !
а .( ¡а- 2) а 'а + 2)
а.Оа-—)
а-1,к
- -м/,к + Ч-,к
(2)
где К и % - значения шагов соответственно по х и * , ¡а - 1,2, ..., г - 1, а - 1,2 ..., „,
к - 1,...,в - 1,
2,к = ,к = 2 ( ilh,i 2 К,..., ¡„к, к% ), 2а-1,к - г ('lh,'2h,■, 'а-1к,(/а - 1)К /a + 1h,■--, '„^ к%),
2/а+1,к - 2( ¡1h, ¡2 h,■--, 'а-1к,( ¡а + 1)h, ¡а + 1h, ■ - -, /nh, к% ) ,
м/к - м (¡к /2 к,;, /„к, к% ) Vг■k - V (¡к, 12к,..., ¡„к, к% )
а
а ,(/а )
1. аа
а
а ,(/а + 2)
К аа
¡1к, ¡2к, — , 'а- 1к, /1к, /2к,., /а- 1к,
■ - 1
■ - -
К 'а + Л—, ¡„к
'а + 2
Ясно,
что условию
2 0- р 0(х)
К 'а + 1h,■,'пк
можно заменить условием
2г ,0 - 2( /lh,/2h,■, ¡пк,0) - р0( /lh,/2h,■, ¡"к), /а - 1,2,., Г - 1, а - 1,2, ..." ; 2* - 0 - ( 1(х) можно заменить условием
2/,1 - р0
(¡1к, ¡2 к,., /„к) + %р1('1к, ¡2 к,., /„к) +
%2 1 „ + м',0 + V ',0 + К2 I (Р 0,/а + 1 - 2Р 0,/а + р 0,/а -1)).
2 к а-1
2
%
+ а
Точно так же для граничных узловых точек (¡^,¡2h,...,¡^,к1) условию 2 ^ = 0, можно
заменить условием —',к = ' ,к = 0, 'а = 0,г, а = 1,2,.,п, к = °Д,...,0 .
Нетрудно убедиться [5,175], что решение —,к разностной задачи (2) сходится к решению — исходной задачи (1) и имеет место следующая оценка скорости сходимости
||(- -,к |ф йг £ Вт2 + В2Л2, (3)
где (—)- значения точного решения задача (1) в узлах сетки, ф ы - пространство сеточных функций, II' ||фт - норма этого пространства, В1, В2 - константы.
Теперь для удобства представления запишем задачу (2) в матричном виде
2к +1 С—к + 2к -1
2
2,.
т ик + Т V к , -
к> 0
9 0, - = 91
(4)
где —к, ик , ик - п(г - 1) мерное матрицы-столбцы
2к = (—1,1,...,1,к , —1,1,...,2,к , ик = (и1,1,...,1,к , и1,1,...,2,к ,
1,1,.,г - 1,к ■
¡1 ,ь,.--,г„ ,к ■
, и
(и 1,1.....1,к
2,к:
1,1,.,г - 1,к -
1,1,.,г - 1,к -
— )T
' г - 1,г- 1,...,г - 1,к / ^ ,иг- 1,г- 1,...,г- 1,к ) > •5V 11,12,;1„ ,к г- 1,г - 1,.,г- 1,к )
, и
соответственно
9 0 = (—1,1,.,1,0, —1,1,.,2,0,-
'г - 1, г - 1,., г- 1,0 )
-1,1,., г -1,0'"
9 1 = (—,2,15 — 5 —1,1.....г -1,15 — 5 —/1,/2,.,/„ ,1, — , —г - 1,г - 1,.,г -1,1) -
начальные векторы, С - п(г - 1) -мерная квадратная трехдиагональная матрица вида
0 0 0 ... 0Ч её 0 0 ... 0 е её 0 ... 0
С
где
Ту
е = 721
К
а
а = 1
а ,('а --)
0 0
0
т 2 „
е=2-¥ 1
h а = 1
ее е 0
0 ее
0 0 е 000
е 0 е е ее
а 1 + а 1
а ,0а~ 2) а ,('а+ х) 22
7 "
е = Тп 1
а = 1
а
а ,('а +-)
Пусть в Rn(г- Х) выделено терминальное множество М .
Определение 2. Будем говорить, что в игре (4) из точки —0 = 9 0, —1 = 91 можно завершить преследования за N(—0, ¿1) <9 шагов, если по любой последовательности V1, V 2,. * *, V ^^_ 1 значений управления убегания можно построить такую последовательность и1, и 2,..., uN -1, управления преследования, что решение (z05^ —2,.• •,) уравнения —к + х - С—к + —к_х =-т 2йк + т Vк, —0 = 90, — = ¥1, к = l5•5N - 1 при некотором d < N удовлетворяют условию: е М .
Пусть дискретная игра описывается уравнениями (4). Через (>") обозначим полином Чебышева второго рода степени „ [6,273]:
V
к
и„ (у) -
мп(ш + 1)агга у sinarccos у
1
2д/УМ
I у 1< 1,
ш + 1
у +Ъ2 -1 -у + '-2
1УГ1
■ (ш + 1)
(5)
, I у 1> 1
Отсюда можно получить следующее: и_2(у) -- 1, и-1(у) - 0, и0(у) - 1, и1(у) - 2у, и т.д. Известно следующие рекуррентные соотношения для иш (у) : иш+ 2(у) - 2уиш+ 1(у) - иш (у), ш > 0, и0( у) - 1, ^(у) - 2у. (6) Далее через иш (У) обозначим матричный полином Чебышева от матрицы У, определяемой по рекуррентным формулам (6). Отсюда видно, что и- 2(У) -- Е, и_ 1(У) - 0 , и0(У) - Е, и1(У) - 2У , где Е - единичная, а 0 - нулевая матрица.
Лемма. Пусть и - ик - и (к), V - V к - V (к), 1 < к < N - заданные управления. Тогда решение уравнения (4) с начальными условиями 20 - 2(0) - р 0, 21 - 2(1) - р 1 определяется формулой
2ш - 2(ш) - иш 2
ш V У ш - 2
ш - 1
' 1 4
-с 2
Р 0 - иш - 1
0 ш -
(л \
1
-с 2
р1 +
ш- 1
+ 1 иш- к-1 - с%2 (- и (к) +Г(к)), V /
(7)
к -1
Доказательство. Подставляя (7) в уравнение (4) и учитывая равенство (6), получим
и
ш - 3
' 1 ' -с 2
20 иш - 2
1
-с 2
ш- 2
' ш - к - 2
с
и
ш - 2
+ иш - 1
' 1 ' -с 2
V /
1 1 ' -с 2
20 - иш -1
20 - иш
1
-с 2
\ У 1
-с 2
1
-с
2
\
/ 1 \
% 2 (- и (к) + V(к))-
1 +1 и к -1
ш -1 1
1 + I ит- к-1 - с %2(- и (к) +Т(к))
к -1
2
V У
21 +1 иш
к -1
1
-с 2
% 2 (- и (к) + V(к))
и
ш - 3
и
' 1 ' -с 2
V / '1 '
си
ш- 2
1
-с 2
V /
+ иш - 1
1
-с 2
V /-1
ш - 2
+ 1
ш - 2
I
к -1
и
ш- к- 2
' 1 4 -с 2
-с 2
V /
- си
- сиш-1
/ 1 \ / 1 \ + и,
1 с
2
V /
1 с
2
V )л
21 +
ш - к - 1
1
-с 2
+и
ш- к
1
-с 2
% 2 (- и (к) + V(к))-
си,
(1 л -с 2
' 1 л
% 2 (- и (ш - 1) + V (ш - 1))+ и1 2 с % 2 (- и (ш - 1) + V (ш - 1)) +
+ и0
( 1 4 -с 2
% 2 (- и (ш) + V (ш)) - % 2 (- и (ш) + V (ш)).
Лемма доказана.
Предположение 1. М - М0 + М1, где М0 - („(г- 1) -у )-мерное линейное подпространство Л„(г-1); М1 - подмножество подпространства L - ортогонального дополнения М0 в л„(г-1). Через П обозначим операцию ортогонального
+
к
2
0
проектирования из (г 1) на L, а через А + В и А * В алгебраическую сумму и
геометрическую разность множеств А,В соответственно. Пусть
Р - РхРх ...хР О - 0хО~х ...хр М1 - М1 х А^х.х МР1
„(г -1)
„(г -1)
1 < у < „(г - 1)
ад -I п п иш. к-1
к - 1« (к )е О
' 1 ' -с 2
% 2(- РIV (к))- М1:
Предположение 2. Пусть существует такое ш - ш0, что
П
и
шл - 2
' 1 ' -с 2
V у
Р 0 - и„„ - 1
1 с
2
Р1
е ^К).
(8)
(9)
Теорема 1. Если выполнены предположения 1, 2, то в игре (4) из начального положения (р0,р1) возможно завершение преследования за N(р0,р1) < ш0 шагов. Доказательство. Из (8) и (9) следует существования таких
а(к) е П П ито _ к_ 1
V (к)е О(к) 0
1 с
2
12(- Р + V (к))
и
I е Мь что
П
и
ш0 - 2
1 с
2
20 - и
ш0 - 1
1 с
2
ш0 - 1
I а(к) - I.
(10)
к - 1
Пусть V - V 0(к), 1 < к < ш0 - 1 - произвольное допустимое управление убегающего игрока; управление преследующего игрока и - и0(к) построим как решение следующего уравнения
П и
шп- к - 1
' 1 Л -с 2
% 2 (- и 0(к) + V 0(к))- а (к).
(11)
Ясно, что эти уравнения имеют решения по выбору а(к), так как « 0(к) е О и и0 (к) е Р .
ш0 - 2 /
20 - иш0 - 1
21 +
Подставляя и - и (к) и и - и (к) в (4) и применяя формулу (7), получим
2ш0 - 2 (ш0) - иш
ш0 -1 + I иш0 - к - 1
' 1 Л -с 2
' 1 Л -с 2
к - 1
1 с
2
% 2 (- и°(к) + V °(к)).
Отсюда, применяя к обеим частям равенства оператор проектирования П и из равенств (10), (11), имеем
П 2(ш0):
и
ш0 - 2
1 с
2
20 - иш0 - 1
ш0 - 1
I П и
ш0- к -1
к -1
' 1 '
1 с
2
ш0 - 1
%2(- и0(к) + V 0(к))- П
и
ш0 - 2
1 с
2
1
1 с
2
20 - иш0 - 1
1 с
2
+ I а(к)-П
к -1
- П
и
ш0 - 2
V
1 с
2
20 иш0 - 1
У
1 с
2
и
ш0 - 2
'
-с 2
V У
20 - И
ш0 -1
1
-с 2
\ у
+ I - I е М1.
Из этого включения получим, что П 2(ш0) е М1 и, значит, 2(ш0) е М . Что и требовалось доказать.
Пусть 1 < к < ш - 1, W2(0) --М19
у
2
+
+
+
2
1
2
г
ш2(к)- п
V (к)Е Q(k)
^2(к - 1) + П ит - к -!
1 с
2
Предположение 3. Пусть существует такое т - т0, что
П
и,
то - 2
1 с
2
и
то - 1
V
1 с
2
€ ^2 (то - 1).
х2 (- р +1 (к))
(13)
(12)
Теорема 2. Если выполнено предположения 3, то в игре (4) из начального положения (z0, г1) возможно завершение преследования за N(-0, г1) < т0 шагов.
Доказательство. По условию теоремы существуют (см. (13)) такие векторы
а (к) е П и,
т0- к - 1
1 с
2
х 2(- р +1 (к)), 1 < к < т0 - 1 и I е М
что
- П
и
т0 - 2
1 с
2
-0 - и,
т0 -1
1 с
2
+ а (т0 - 1) + а (т0 - 2) + ... + а (к), Отсюда получим, что
П
и,
т0 - 2
1 с
2
-0 - ит0 - 1
1 с
2
е ^(к) +
1 < к < т0 - 1
т0 -1 _ е £ а (к) - I.
к - 1
Пусть теперь V - V0 (к), 1 < к < т0 - 1 - произвольное допустимое управление убегающего игрока; управления преследующего игрока и - и0(к), и0(к) е Р строятся как решения следующего уравнения
/ 1 4 -с 2
П
к - 1
х 2 (- и(к) +1 0(к)) - а (к), 1 < к <
т
Подставляя и - и0(к), I - V0(к) в (3.4) и одновременно применяя формулу (7) и оператор проектирования П , имеем
П z(m0) - П
и
т0 - 2
1 с
2
z0 - и,
т0 -1
-с 2
т0 - 1
+ I п и к - 1
т0- к - 1
1 с
2
т0 -1 т0 -1
х 2 (- и 0(к) +1 0(к))- I а (к) - I а (к) + I - I е М1 .
к - 1 к - 1
Отсюда получим z(m0) е М . Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть (3) Вхх 2 + В2Л2 < е и в игре (4) из точки р0,ф1 возможно завершение преследования в смысле определения 2. Тогда в игре (1) из начального положения р0(, Ф 1(х) можно завершить преследования в смысле определения 1.
Доказательство. Пусть в игре (4) из точки р0,р1 можно завершить преследования за N <9 шагов. Тогда из определения 2 следует, что по любой последовательности I1,I2,...,IN-1 управления убегания можно построить такую последовательность
(Z0, Z1, z2>•••> ZN )
,и
N -1
уравнения —
к + 1
управления
с2к + -к - 1
преследования, что решения
к + х I к , Z0 - ф 0, - ф1,
2_ 2_
- -х и, + х V
к - 1,..., N - 1 при некотором d < N удовлетворяют условию е М . Пусть теперь в игре (1) 1-и(х,г)е Q, (х,г)е QT - произвольное управление убегающего игрока из класса L2 (Ят). Зная управление убегающего 1-1 (х,г), мы можем определить
V" к - К
¿,к - 1 г1,г2,.,ги,к как значение этой функции в узловых точках сетки Qт нх , т.е.
1 к - 1 к - (| 1,1,.,1, к 1,1,.,2, к 1,1,., г - 1, к г1,г2,.,ги ,к, ••• 51 г - 1,г - 1,., г - 1, к
Отсюда, в силу условии теоремы, можно построить управление преследователя в игре (4), обеспечивающее завершение преследования
0
г
1
г
+
г
1
Uk — Uk — (ul,l,...,l, k, ul,l,...,2,k, — , ul,l,..., r- 1, k>"•> uil,i2,.,in, k>"•> Ur- 1, r- 1,..., r- l,k )•
Теперь в игре (l) управление преследующего игрока u — u(x, t) построим следующим образом:
U (x,t ) - (Û ,k = U^,...Л, k : h £ XiB < (i« + l)h , ia - 0Д,..., r - l, a - l,2,., n ,
kT < tk < (k + i)t , k - 0,1,...,1 ■ l}. Ясно, что u î P и U(x, t)
î L2(Qt)• Подставляя u — u(x,t), u — u(x,t) в (l) получим дифференциальное уравнение, точно также подставляя ui,k, ui,k в (4) получим сеточное уравнение, аппроксимирующее уравнения (l).
Пусть (z)hT - значение точного решения, соответствующее управлениям u — u(x,t), u — u(x,t) задачи (l) в узлах сетки QTht, zi,k - решение, соответствующее управлениям u ¡,k — u il,i2,.,in,k, ui,k — uiui2,..,in,k разностной задачи (4), тогда из (3), и из условия теоремы имеем
||(z)ht- z,, < BT 2 + B2h2 < e . Отсюда, и из того, что zi,k 6 Mi, при k — d и некоторых i — (il,i2,---,is), получим (Z)ht - Zi ,k 6 e 1, (z)hT î e I + Ml, что и требовалось доказать.
Литература
1. Авдонин С.А., Иванов С.В. Управляемость систем распределенными параметрами и семейства экспонент. Учеб. пособие для Вузов. - Киев: УМКВО, l989. - 244 с.
2. Маматов М.Ш. К теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. - Рига. 2009. -№ l. - С. 5-l4.
3. Маматов М.Ш. О применении метода конечных разностей к решению задача преследования в системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - Москва. 2009. - № 8. - С.123-132.
4. Маматов М.Ш., Тухтасинов М. О задаче преследования в распределенных управляемых системах // Кибернетика и системный анализ. - Киев. 2009. - Т. 45. - № 2. - С. 153-158.
5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.
6. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 570 с.
