CC BY
40
Маматов М.Ш.1, Махмудова Д.М.2 ©
Доктор физико-математических наук, профессор; 2старший научный сотрудник-исследователь.
Национальный университет Узбекистана, Ташкент
РАЗВИТИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО И ТВОРЧЕСКОГО
МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ РЕШЕНИЯ ИГРОВЫХ ЗАДАЧ
Аннотация
Изучены выявления аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных игровых задач с применением информационно - коммуникационных технологий.
Ключевые слова: мышления, выявления, знания, задача, дифференциальная игра.
Keywords: thinking, identification, knowledge, task, differential game.
Вполне понятно, что на сегодняшний день кроме технологической подготовки специалиста, существенным фактором развития образования является формирование таких качеств личности, как самостоятельность, способность принимать ответственные решения, творческий подход к любому делу, умение постоянно учиться, коммуникабельность, способность к сотрудничеству, социальная и профессиональная ответственность и так далее. Формирование этих качеств возможно при широком внедрении в практику во всех ступенях образовании личностно - ориентированного образования, которое наибольшей степени удовлетворяет гуманистические цели становления будущего специалиста. Становление личностно - ориентированного образования позволит также обеспечить профессиональную самореализацию человека и поддержку его дальнейшего творческого роста[1,117].
Хорошо известно, что для плодотворной научной работы требуется не только знание и понимание, но, главное, еще самостоятельное аналитическое и творческое мышление, как одно из эффективных средств воспитания, выявления и оценки этих качеств, это решение задач при обучении молодежи. Большое значение имеет решение задач при изучении точных наук, таких, как математика, механика, физика и другие. Решение задач дает возможность не только самому студенту применять свои знания к решению практических проблем, но и для преподавателя задачи являются одним из наиболее эффективных способов проверить, насколько глубоко понимает студент предмет. Кроме того, как уже сказано при обучении молодежи с помощью решения задач можно еще, воспитывать и выявлять самостоятельное творческое научное мышление. Математика является весьма подходящим предметом для начального воспитания в юношестве творческого мышления в области естествознания[2,226;3,335]. Очевидно, что не все задачи дают возможность открыть у студента такие способности. Поэтому, надо отдельно остановиться о характере таких задач. Опыт показывает, что задачи, которые дают обычно в сборниках, ни всегда имеют тот характер, который воспитывает самостоятельность мышления. Обычно эти задачи сводятся к тому, что надо подставить заданные данные в нужные формулы, и тогда получишь определенный ответ. Здесь самостоятельность ученика проявляется только в том, чтобы правильно выбрать формулы, в которые нужно подставить данные. Такими качествами, которые мы упомянули, обладают проблемные игровые задачи. Приведем примеры:
Пример 1. В работе [2,226] рассматривается следующая задача: В пространстве Rn
рассматривается дифференциальная игра Г двух лиц, преследователя Р и убегающего E.
Закон движения R имеет вид
© Маматов М.Ш., Махмудова Д.М., 2016 г.
x = u, lUI < a, x(0) = x0, (1)
движение E описывается уравнением вида
У = u, \\v\\<P, y(0) = уо, 0<b<a. (2)
1. Пусть игрок E перемешается с постоянным управлением t и, игрок Р знает и. Найти такой закон движения игрока Р, при котором момент встречи минимален( момент встречи - момент T такой, что x(T) = у (T)). 2. Пусть игрок E выбрал программное
управление u(t) в момент t = 0 и сообщил о своем выборе игроку Р. Найти закон движения игрока Р , при котором момент встречи минимален.
3. Пусть игрок E выбрал программное управление u(t) вида
v0(t) =
V , t е [0, t],
Vv , t е (t, ¥)
и в момент t = 0 сообщил игроку Р о выбранных значениях и и t, а в момент t (если не произошло встречи) - о v. Найти закон движения игрока Р, при котором момент встречи минимален.
4. Пусть игрок E выбрал программное управление u(t) вида
V , te[0,ti],
V , tе (t,t2],
V)(t) = 1
vk-1,t е (tk-1, tk],
vk, t е (t, ¥)
и в момент t = 0 сообщил игроку Р о выбранных значениях Vt, в момент t - о
выборе ut и так далее, в момент tk - о выборе Vk (если к соответствующему моменту tj
встреча еще не произошла). Найти закон движения игрока Р , при котором момент встречи минимален.
Решение. При фиксированных u, и из уравнений (1), (2) имеем
x(t) - У(t)) = x0 - У0 +t(u- v0).
Из условия x(T) = у(T)) получаем Z0 - Tu + Tu = 0, или Z0 - Tu = -Tu, где Z0 = Х0 - У0. Для разрешимости последнего уравнения необходимо и достаточно, чтобы ||z0 - Tul < Ta. Возведя последнее неравенство в квадрат, получаем [4,325;5,234;6,2596]
T>T( Z0,v0) =
I 2 \ Г2 2 ~\2~
(Z0v0) + 4(Z0,v0) +| Z0I (a - v^| )
22 a - v0
а тогда u(t) = v0 -
Z0
T( Z0, v0)
Для того чтобы привести следующие примеры нам нужно будет понятие параллельного движения.
Определение. Стратегия игрока Р называется стратегией параллельного движения, если для всех t > 0 прямая lt, проходящая через точки x(t), y(t), параллельна прямой /0,
проходящей через точки Х0, У0, и ||x(t) - y(t)| не возрастает.
Пример 2. Пусть в игре Г законы движения игроков Р и E имеют вид (1),(2). Определить закон движения Р, если он использует стратегию параллельного сближения (предполагается, что Р использует u(t) такое, что ||u(t)|| = a для всех t > 0), при этом
а) E находится в точке, Уо то есть u(t) = 0 для всех t > 0,
б) E выбирает u(t) = b^T0—У°7 для всех t > 0,
Ро - У0Ц
в) E выбирает u(t) = bir0—-°т для всех t > 0,
||х0 - У0Ц
г) E выбирает u(t) = u0, |t>0|| = b для всех t > 0.
Решение. Пусть Z0 = Х0 - У0, тогда рассуждая точно также, как в примере 1 получаем:
а) u(t) = -атг°г,; б) u(t) = -а-^°-; в) u(t) = -а-^°- •
г) u(t) = u0
(z0,V0) + yj(z0,u0)2 +|Iz0|2 (a2 -p2)
■ zn
Пример 3. Пусть игра Г рассматривается в R2, законы движения игроков, Р и E имеют вид (1),(2). Определить закон движения Р, если он использует стратегию параллельного сближения, двигаясь с максимальной по норме скоростью, в случае, если
а) х0 = (0,0), y0 = (a,0), a > 0, E выбрал управление u(t) = (b,0) для всех t > 0,
б) х0 = (0,0), y0 = (a, 0), a > 0, u(t) = (0, b) для всех t > 0,
в) х0 = (0,0), y0 = (a, 0), a > 0, u(t) = (b cos p, psin p), для всех t > 0,
г) x0 = (0,0), y0 = (5,0), a = 2, u(t) = (0,b),b = 1 для всех t > 0.
Решение. Управление преследователя Р, порожденное стратегией параллельного преследования, имеет вид
,, ,, (Z0,u(t)) + ^0,u(t))2 +||z0|2(a2 -U(t)||2)
u(t) = u(t)------------^---:---,, '----------"---— ■ Z0
где z0 = х0 - У0 . Отсюда получаем ответ.
Определение. Говорят, что преследователь использует стратегию погонного преследования u , если u - позиционная стратегия, порождающая u (t) е U вида
z
z
z
0
0
0
2
z
0
z
0
u* (t) = a(y(t) - x(t)), a > 0,
причем a выбирается так, что для всех b> a, b(y(t) - x(t)) € U для всех t > 0.
2
Пример 4. В R рассматривается дифференциальная игра простого преследования с законами движений (1),(2).
1. Пусть E использует постоянное управление и, ||Ц) || = b, Р использует стратегию
погонного преследования. Найти траекторию движения Р и момент встречи.
2. Пусть
a = 2,b = 1, У0 = (10,0), Х0 = (0,0),
Г(0,1), t е [0,1), 1(1,0), t > 1.
v(t) = •
P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения Р и момент встречи.
3. Пусть
а = 2,0 = 1, уо = (10,0), хо = (0,0),
[(0,1), t е [0,1),
[(>/2/2,>/2/2), t > 1.
P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения P и момент встречи.
4. Пусть
а = 2,0 = 1, у0 = (10,0), Х0 = (0,0),
(0,1), t е [0,1),
v(t) = [ (02/2,02/2), tе [1,2),
(0,-1), t > 2.
P использует стратегию погонного преследования. Найти траекторию движения P и момент встречи.
Решение. Будем считать, что система координат выбрана так, что u = (0,0). Так как y(t) = (у°, у20 + 0t), то закон движения преследователя Р в координатной форме имеет вид
х1 = a
У0 - х1
х&2 = a
^[(Уi х1) + (у2 + 0t х2)
У2 +0t - х2
'^J(Уi х1) + (у2 +0t х2)
Разделив второе уравнение на первое, получаем
dx2 = У2 +0t - х2
dx,
У0 - X
0 ч dx^ 0 п
или (У1 - х1)—2 - у2 + х2 = 0t. йхл
Обозначим длину дуги P0P через s. Так как движение по погонной линии равномерное
со скоростью a, то s = at, откуда t = —. Тогда из последнего уравнения получаем
a
. 0 . dx2 0 0
(У1 - X1H---У2 + X2 = gs, где у = — < 1.
dxi
a
Продифференцировав обе части последнего уравнения по X1, получаем
dx2 . 0 4 dx2 dx2 ds
----2 + (У0 -х^ — + -^ = g .
dx1 dx1 dx1 dx1
I 2 2
Так как ds = ^dx1 + dx2 , то получаем уравнение
( у0 - х,)dX2
dXi
= -g
1 +
^ dx2 ^
^ dx1 j
знак минус справа по причине того, что с увеличением Х1 длина уменьшается. Последнее уравнение можно записать в виде
d 2 x
dx]
2 • dxi
g
1 +
( dx: ^
l dxi j
dxi.
xi - У1
Интегрируя данное уравнение, получим
gln
х - y? + C = ln dx2 — + , 1 + dx2 ^ 2
dxi \ l dxi j
В момент t = 0, xi = x°, = 0. Отсюда, считая, что xi ф y° получим C = -gln
dx,
0 0 xi - yi
Далее получаем уравнение вида
Кроме того,
(
0 У
0 V j xi - yi _ dx2
~0 0
l xi - yi j
+ ,
dxi \
i +
( dx2 ^
l dxi j
( 0 yg
xi - yi .
0 0 ' l xi - yi j
Из последних уравнений получаем
(_. _ 0 У (
dx
+
dxi \
i +
( dx2 ^
l dxi j
xi - yi xi - yi
О О О О
l xi - yi j l xi - yi j
0 Vg
= 2-
, dx2 dx,
Интегрируя последнее уравнение, получим
2x2 + C =
xi- yi0 0 0 l xi - yi j
y+i
(xi0 - yi0)
g+1
(
xi - yi0 0 0 l xi - yi j
4-g+i
(xi0 - yi0) i-g
Константу C найдем из условия xi = x°, x2 = x°. Получаем уравнение погонной линии
00(
2x2 - 2x2
0 2g(xQ -yQ) =
i-g2
xi - yi0 0 0 l xi - yi j
y+i
(xi0 - yi0)
g+1
f
xi- yi 0 0 l xi - yi j
0 ^ У о ,o
(x0 - y0)
1 -g '
Пример 5. В пространстве Rn рассматривается дифференциальная игра Г m +1 лиц: m преследователей Pi,Р2,...,Pm и убегающего E. Закон движения преследователя Рг- имеет вид[7,64;8,2;9,1541]
xi = ui, М <ai, xi(0) = x0,
движение E описывается уравнением вида
1. Пусть
y = u, Ы<b, У(0) = Уо, y0 ф xi.
max a < b, y0 ф Intco{x°, x°,..., x<m }.
Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий xi(t),x2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).
2. Пусть
m < n,
max ai < b.
i
Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий xx(t),X2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).
3. Пусть
max{a^.am—J<A am <b, Уо £ xm-l}.
Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий x0(t),x2(t),...,xm(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).
Решение. 1. Пусть Ц,|Цо || = b такой, что (U),x°- Уо) < 0 для всех i. Такой вектор Ц
существует в силу условия задачи. Полагаем v(t) = Ц,||ц| = b для всех t > 0. Пусть
1г
ui (t) — произвольное управление преследователя Рг-, обозначим ui (t) = - I ui (s)ds. Тогда
Ф J
||ui(t<ai и
xi(t) = x° +1 ui(s)ds = xi + tui(t).
Рассмотрим
Ilxi(t) — y(t)| = xi + tui(t) — (У0 + tu0)
xi — tui(t) — У0 — tu0
>
xi — У0 — tV0
a t =
xi0 — У0
— 2t (Ц, x0 — У0) +12 b2 —ait >
>
x° — У0
+12 b2 —ait > tb — at > 0.
0
2
2
Получили, что p- (t) — y(t) > 0 для всех i и t > 0 и поэтому y(t) ф xi (t).
2.Из условия m < n следует, что y0 £lntco{xi0,x°,...,x<m} и справедливость
утверждения следует из пункта 1.
Пример 6. В пространстве R2 рассматривается дифференциальная игра Г 3 лиц: 3 преследователей Ро, Р2, Р3 и убегающего E. Закон движения преследователя Рг- имеет вид
xi = uj, lu ll < 1, xi(0) = x0 = (0, —1),
x2(0) = x2 = (-1,1), x3(0) = x3 = (1,1X движение убегающего E описывается уравнением вида
y = u H< 1, у(0) = y0 = (0,1).
Доказать, что существует кусочно-программная стратегия убегающего E такая, что для всех t > 0, i и любых траекторий x^t),x2(t),x3(t) справедливо неравенство y(t) ф xi(t).
Решение. Введем обозначение zt (t) = y(t) — xi (t) и пусть ui = ui (t), t > 0 произвольные управления преследующих игроков. В качестве управление убегающего игрока положим V = v(t) = (0,1). Тогда имеем
t t
zl(t) = y(t) -xl(t) = y 0-x° + Ju(t)dt- Jul(f)dT,
0 0
tt
z2 (t) = y(t) - x2 (t) = y 0 -x2 + J v(t)dt - J u2 (t)dt,
00
tt
z3(t) = y(t) -x3(t) = y 0-x30 + Ju(t)dt- Ju3(t)dt.
00
Теперь подставляя все данные, имеем
( 0 1 ( 0
0 1
zi(t) = y(t) -xi(t) = |х J- -х J + J | х dt- Jui(t)dt =
(0
0 W
2 +1
t
t
t
J ux(t)dt,
0
( 0 1 (-х1 t ( 0
V1J
(0 1
(1N
z2(t) = y(t) - x2(t) = х - х J + JLJdt-Ju2(t)dt= tJ- Ju2(t)dt,
(1
z3(t) = y(t)-x3(t) = VхJ-ViJ + JVхJdt-Ju3(t)dt = V t J-Ju3(t)dt.
V J 0
-хЛ t
t
t
t
t
t
Вводя обозначение
- х г - х г - х г
Ul = - I udt)dt, u2 = - I u2(t)dt, щ = - I u3(t)dt , получим t t t
0
0
(0
t
( 0 1
Zl(t) = I - J u!(t)dt= - tUl(t) +
V2+t J 0 V2 J
(01
v х J
t
(х
(х 1
z2(t) = I - J u2(t)dt= - tu2(t) +
(01
VtJ 0
V0J
v х J
z3(t) = I t J-Ju3(t)dt = I 0 J-tu3(t) +
(01 v х J
t.
Ясно, что при всех t > 0,|)|| < х, ||u2(t)|| £ х, ||u3(t)|| < х , значит
t
t
llz!(t )11
>
( 01 01
I I + 11
V2J ,х J
-t llu(t)|| > л]4 + 4t +1 -1 — 2 +1-1 — 2 > 0,
Ы> )||
>
llz3(t )ll
>
(х 1 (01
+ t
V0 j Vх J
(-х1 (01
+ t
V 0 J Vх J
- t||u2(t>J
х+12 -1 > 0
-1 ||u3 (t)|| >-\J! +12 -1 > 0.
Таким образом, ни один из векторов z^t) = y(t) - x^t), z2(t) = y(t) - x2(t),
z3(t) = y(t) - x3(t) не обращается в нуль на отрезке 0 < t < ¥ . Что и требовалось доказать.
Характерной чертой таких задач является то, что они не имеют определенного законченного ответа, поскольку студент может по меру своих склонностей и способностей неограниченно углубится в изучение поставленного вопроса. Самостоятельное решение такого рода задач дает студенту тренировку в научном мышлении и вырабатывает в нем любовь к научным проблемам.
Литература
1. Брушлинский А.В. Избранные психологические труды. Москва: Институт психологии РАН, 2006.
2. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Сборник задач и упражнений по теории игр. Санкт-Петербург: Лань, 2014.
3. Капица П.Л. Эксперимент, теория, практика. Серия: "Наука, мировоззрение, жизнь". Москва, Наука, 1987.
4. Makhmudova D.M. On the role of problem tasks in the development of independent analytical and creative thinking of students. American Journal of Scientific and Educational Research. 2014.-№1(4).-P.325-330.
5. Маматов М.Ш., Темуров С.Й., Махмудова Д.М., Куницын А.З.О применении информационнокоммуникационных технологий при развитии самостоятельного творческого мышления молодежи. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. Москва. - 2012. - №3. - С. 234 - 241.
6. Маматов М.Ш., Махмудова Д.М., Темуров С.Ю. Выявление аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных геометрических задач. Вестник Тамбовского Университета. - Тамбов. 2013. - Том 18, вып. 5. -С. 2596 - 2597.
7. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных игр преследования и убегания. Труды Таш ГУ. -Ташкент. 1981.- №670.-С. 64-75.
8. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих. ДАН УзССР.-Ташкент. 1983.- №4. -С.2-5.
9. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих.. Дифференц.уравнения. -Минск.1990.- Т.26.- №9.-С. 1541-1551.
