Конфликтно управляемые процессы при взаимодействии групп управляемых объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© Н.Н. Петров

npetrov@udmnet.ru

КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГРУПП УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ 1

Ключевые слова: групповое преследование, поимка, убегание.

Abstract. Result’s review pursuit problem and evasion problem in differential games with many players was made.

Введение

В данной работе предпринимается попытка сделать обзор результатов по задаче преследования и задаче уклонения в дифференциальных играх качества между группой преследователей и группой убегающих.

Подбор материала не претендует на полноту и отражает, в первую очередь, научные интересы автора статьи.

1. Линейная задача взаимодействия групп управляемых объектов

В пространстве Rk( k ^ 2) рассматривается дифференциальная игра n + m лиц: n преследователей Pi,..., Pn и m убегающих E\,..., Em.

Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид

±i = Axi + Ui, Ui € Ui, xi(0) = xi. (1.1)

1 Работа поддержана грантом РФФИ (03-01-0014) и программой ’’Университеты России” (грант 34126).

Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид

Уз = АУ7 + vj, vj € V, у,(0) = у°, (1.2)

где А—квадратная матрица порядка к, Щ,У выпуклые компакты, такие, что и г С V.

Пусть г° = (х\,... ,х°п,у®,..., у^)• Обозначим данную игру через Т(п,т,х°).

Цель группы преследователей состоит в том, чтобы г'пере-ловитьб всех убегающих. Цель группы убегающих — помешать этому, т. е. предоставить возможность по крайней мере одному из убегающих уклониться от встречи. Допустимыми управлениями игроков являются измеримые функции, при этом убегающие используют информацию о текущей позиции.

Определение 1.1. В игре Г(п,т,г0) происходит уклонение от встречи, если существуют стратегии убегающих, такие, что хг( ¿) ф у7( ¿) для всех % € {1 ,...,п}, £ € [0, то) при некотором в при любых управлениях преследователей.

В работах [1-3] были получены следующие результаты.

Теорема 1.1. Пусть V — строго выпуклый компакт и выполнено по крайней мере одно из условий:

а) п ^ к + 1, т ^2,

б) п ^2к — 1, т ^ к.

Тогда в игре Т(п,т, г°) происходит, уклонение от встречи при любом векторе г°.

Теорема 1.2. Пусть V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, и выполнено по крайней мере одно из условий:

а) п ^ к + 2, т ^2,

б) п ^2к, т ^ к.

Тогда в игре Г(п,т, г°) происходит уклонение от встречи при любом векторе г°.

Теорема 1.3. Пусть V — строго выпуклый ком-

пакт с гладкой границей и выполнены следующие условия

п ^2, ш ^ (д + 1 )29+1 + 2, д = [к^2(п — 1)]•

Тогда в игре Г(п,ш, г°) происходит уклонение от встречи при любом векторе г°.

Теорема 1.4. Пусть А = О, Пі = V = ^і(О),

ш = 2. Для того чтобы в игре Г(п,ш, г°) происходило уклонение от, ест,речи из любых начальных позиций, необходимо и достаточно, чтобы п ^ 2к. (Здесь Dl(0) — шар радиуса единица с центром в начале координат,).

Теорема 1.5. Пусть А = 0, иі = V = ^і(0),ш = 3

и выполнено хот,я бы, одно из условий:

а) п ^6, к ^2,

б) п ^7, к ^ 3.

Тогда в игре Г(п,ш,г0) происходит, уклонение от ест,речи любом векторе г°.

По-видимому, впервые указанная задача обсуждалась в статье [4], а далее в работе [5], где рассматривался случай простого движения (А = 0, иі = V = ^і(О)). В указанных работах была введена функция / : N ^ N

/(п) = тіп{ш : в игре Г(п, шг°) происходит уклонение от встречи из любых начальных позиций}

и получены следующие результаты

Теорема 1.6. Существуют константы С\,С2 т,акие, что для всех п Є ^ п ^ 1 справедливо неравенство

Сі 1пп ^ /(п) ^ С2 1п п.

В работе [6] дополнительно предполагалось, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества

где рі,... ,рг — единичные векторы, ... ,у,г — вещественные

числа, такие что ІюіБ ф 0.

Была доказана

Теорема 1.7. Существуют константы С\,С2 т,акие, что для всех п Є ^ п ^ 1 справедливо неравенство

Следствие 1.1. Для любого натурального числа I существуют натуральные числа п, т, вектор г° такие, что т — п > I и в игре Г(п,т, г0) происходит, поимка.

Следствие 1.2. Для любого натурального числа I

п, т

Т(п,т, г°) происходит, уклонение от ест,речи из любых начальных позиций, а в игре Г(п + 1,т,г®) происходит поимка при некотором г®.

2. Преследование группы убегающих,

использующих программные стратегии

пт

лиц: п преследователей Р\,..., Рп и т убегающих Е,... Ет. Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

(1.3)

Сі Іпп ^ /(п) ^ С2 1п п.

Х,^ = иі, 11^11 ^ 1, хДО) = Xі.

(2.1)

Закон движения каждого из убегающих Еу имеет вид

уз = ^з, ЬіII < 1> УМ = У°.

(2.2)

Цель группы преследователей — г'пойматьб не менее ц убегающих (1 ^ ^ т). Дополнительно предполагается, что убе-

гающие выбирают в момент £ = О свои программые управления для всех £ € [О, ТО, а затем преследователи определяют свои движения на основе информации о выборе убегающих, и, кроме того, каждый преследователь ловит не более одного убегающего.

Определение 2.1. В игре Г происходит поимка, если существует момент Т такой, что для любой совокупности траекторий убегающих

{уЛ¿М € [0,^'(О) = у',.1 = 1,...т}

найдутся траектории преследователей

{хг( £),г € [0, ТО, Хг(0) =х° ,% = 1,...,п},

обладающие следующим свойством: существуют множества индексов

N С {1,... ,п}, М С {1,... ,т}, \М| = \N\ = ц,

такие, что каждый убегающий Е',] € М г'ловитсяб не позднее момента Т некоторым преследователем Рг,% € N, причем если преследователь Рг ловит убегающего Е', то остальные

Рг

витб Е' означает, что существует момент т' € [0, Т] такой, что хг{тг') = уАтг').

Условие 2.1. Для каждого р € {0,... ,ц — 1} выполнено следующее: для всякого множества N С {1 ,...,п},\N\ = п — р найдется множество М С {1,... , т}, \М\ = ц — р, что для всех ] € М выполнено

у' € 1^со{х°, % € N}.

Была доказана

Теорема 2.1. Для того чтобы в игре Г происходила поимка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось .

В работах [8-10] данная теорема была обобщена на дифферен-пт

Рг

х^Р + а1х(гг_1) +-----Ь щхг = иг, иг € V, (2.3)

а закон движения каждого из убегающих Е' имеет вид

у(р + а\у'~1) + ■■■ + агу' = V', V' € V. (2.4)

Здесь хг, у' € Кк ,а\,...,аг € К, V— строго выпуклый компакт

Кк с непустой внутренностью. При £ = 0 заданы начальные

условия

хг(0) = х%,х*(0) = х0ц,..., х\г_1^(0) =х0а_1, уМ = у%, уМ = у°л,..., у'^Ч®) = у%_1,

причем х^о ф у'0.

Дополнительно предполагается, что каждый из убегающих не покидает пределы выпуклого многогранного множества вида

(1.3).

Определение 2.2. В игре Г происходит поимка,

Т

траекторий убегающих

{уА£),у?(°) = у0'а,а = °,...,1 —1 ,уЛ*) € о,г € [о,ТО}

найдутся траектории преследователей

{хг{г),х^ = х xl0},

обладающие следующим свойством: существуют множества индексов

N С {1,... ,п}, М С {1,... ,т}, \ М\ = \N\ = ц,

такие, что каждый убегающий Е',] € М г'ловитсяб не позднее момента Т некоторым преследователем Рг,% € N, причем если преследователь Рг ловит убегающего Е', то остальные

Рг

вит€ Е' означает, что существует момент т' € [0, Т] такой, что хг{тг') = уАтг').

Обозначим через (рд, д = 0,... ,1 — 1 решения уравнения

+ ахШ+ ■ ■ ■ + а= О с начальными условиями

Ш^(0) = 0, в = 0,... ,ц — 1 ,ц + 1,.. .1 — 1 ,Ш^(0) = 1.

Предположение 2.1. Все корни характеристического уравнения

Л1 + агЛ1_г + ■■■ + щ = 0 (2.5)

вещественны и неположительны.

Считаем далее, что предположение 2.1 выполнено и обозначим через Лх,..., Л5 попарно различные корпи уравнения (2.5), а их кратности — к\,... ,к3. Пусть далее

&( ¿) = Vo(t)x?o + ¿)х°ц + ■ ■ ■ + VI— {¿)х°и_1,

П' (¿) = Ы£)у% + <Рг( %°х + ■ ■ ■ + VI—{£)у°л_1,

' ¿) = &( ¿) — ' г).

Так как

ы г) = ^2ех^ *р113{ ¿к

7=1

где Р^в -- многочлены степени Не выше к7 — 1, ТО ¿),П' (¿)

представимы в виде

£ £

&(¿) = XX7 *¿к '¿) = XX7 ¿).

7=1 7=::1

Предположение 2.2.

deg Qsг = deg К£' = deg Рз1_\ = кг — 1 = V.

Обозначим

ж0 = ц ОэгМ уО = Ит КМ,

г ¿V ’ у' ¿V

Условие 2.2. Для каждого р € {0,... ,ц — 1} выполнено следующее: для всякого множества N С {1 ,...,п}, ^ \ = п — р найдется множество М С {1,... , т}, \М\ = ц — р, что для всех 7 € М выполнено

О € Мсо{х^ — ув,а € N^1,... ,рг}.

Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения

2.1.2.2, V = ЩО), п ^ к, Л£ < О, ^ = ■■■ = ^ = 0. Для того чтобы в игре Г происходила поимка, достаточно выполнения условия (2.2). При I = 1, а > 0 условие (2.2) является необходимым.

Теорема 2.3. Пусть выполнены предположения

2.1.2.2, V = ^х(О), п ^ к, Л5 = 0. Для того чтобы в игре

..

При I = 1, ах = 0 условие (2.2) является необходимым.

Предположение 2.3. Все корни характеристи-.

Обозначим через Н' кривые

Нг' = {'г), г € [0, то)}.

Условие 2.3. Для каждого p € {0,... ,q — 1} выполнено следующее: для всякого множества N С {1 ,...,n},\N| = n — p найдется множество M С {1, ■ ■ ■ , m}, \M\ = q — p, что для всех y € M выполнено условие

О € lntco{Ha,Y, а € N}.

В работе [10] были получены следующие результаты.

Теорема 2.4. Пусть выполнено предположение

(2.3), D = Rk. Для того чтобы в игре Г происходила поимка,

..

Теорема 2.5. Пусть выполнено предположение

(2.3), m = n = q = l,k = 2,D = R2. Тогда в игре Г происходит поимка из любых начальных позиций.

Условие 2.4. Для каждого p € {0,... ,q — 1} выполнено следующее: для всякого множества N С {1 ,...,n},\N\ = n — p найдется множество M С {1,... , m}, \M\ = q — p, что для всех y € M выполнено

0 € Intco{#ao — y?(0, а € N}.

Теорема 2.6. Пусть выполнены предположение

(2.3), условие (2A),D = Rk. Тогда в игре Г происходит поимка из любых начальных позиций.

В работе [11] рассматривалась дифференциальная игра, описываемая системами вида

zij — Azij ui vj, ‘Мп? vj € R , zij(ty — zij i (^’^)

где zij,ui,Vj € Rk, A — квадратная матрица порядка k.

Предположение 2.4. Все корни характеристического уравнения

det(A — XE) = 0 простые и чисто мнимые.

Условие 2.5. Для каждого р € {0,... ,ц — 1} выполнено следующее: для всякого множества N С {1 ,...,п}, ^ \ = п — р найдется множество М С {1,... , т}, \М\ = ц — р, что для всех 7 € М выполнено

О € 1!йсо{гаг(, а € N}.

Была доказана

Теорема 2.7. Пусть выполнено предположение

(2.4), Б = Як. Для того чтобы в игре Г, описываемой систе-.,

..

3. Преследование группы жестко скоординированных убегающих

,

описываемая системой вида

Х] = Л]Х] — Пг + V, ¿¿¿(0) = г], ||и || ^ 1, |Н| ^ 1,

где Х] € Ек, Л] € Я,г = 1,... ,п, j = 1,... ,т.

Данную игру можно рассматривать как дифференциальную п т п т

вии, что убегающие используют одно и то же управление. Цель группы преследователей — поймать хотя бы одного убегающего. Пусть г0 = (г]).

Определение 3.1. В игре Г происходит поимка, если существует Т > 0 и по любой измеримой функции ^¿),г € [О,Т] существуют измеримые функции

и(г) = иг{г, г°, v(s),o ^ 8 ^ г), номера а, в, момент т € [О ,Т) такие, что гав( т) = 0.

Определение 3.2. В игре Г происходит уклонение от встречи, если существует измеримая функция v(t) = v(t,Zij(t)) такая, что для любых измеримых функций щ{t) для любых i, j справедливо Zij(t) ф 0 для всех t € [0, ТО•

Были получены следующие результаты.

Теорема 3.1. Пусть существует отображение у. {1,2,...,n} ^ {1 ,...,m}

такое, что

О € Intco{zJp(1), 4<р(2) ’•••, zl^n) } •

Тогда в игре Г происходит, поимка.

Теорема 3.2. Если

О € Inte({^^^^•••^Пт},

то в игре Г происходит, уклонение от ест,речи.

Теорема 3.3. Пусть

n < k, \j = Xi, min \\zia - ziß\\ф d

Тогда в игре Г происходит, уклонение от ест,речи.

В работах [14 - 16] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы жестко скоординированных убегающих, при этом в работах [14; 15] без фазовых ограничений, а в работе [16] с фазовыми ограничениями для убегающих вида (1.3).

Были доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.4. Пусть n ^ k и

0 € Intco{x° — yj,pi, • • • ,pr}•

Тогда в игре Г происходит, поимка.

Теорема 3.5. Пусть

О / Ы1т{х°г — у],р\,... ,рг}.

Тогда в игре Г происходит, уклонение от ест,речи.

Теорема 3.6. Пусть п ^ к — 1. Тогда в игре Г происходит уклонение от ест,речи.

В работе [17] данная задача была обобщена на дифференци-пт

преследователей Рг имеет вид

Х^р + а^-1^ +------Ь щХг = и, \\щ\\ ^ 1, (3.1)

а закон движения каждого из убегающих Е] имеет вид

у]1 + а!у]1~1) + ■ ■ ■ + а1 у] = V, IV! ^ 1. (3.2)

Здесь хг,у] € Як,а\,...,а1 € Я. При г = О заданы начальные условия

Хг(0) =Х% ,Хг(0) = Х°ц ,...,Х(*~1)(0) = х|—,

уМ = у%, уМ = у°п,..., у?-1)(°) = у]-,

причем Х^о ф у%.

Дополнительно предполагается, что каждый из убегающих не покидает пределы выпуклого многогранного множества вида

(1.3).

Определение 3.3. Будем говорить,что в игре Г

Т>

функции щ{г) = щ(г,Х!ауаМ•)), \\иг(г)|| ^ 1, что для любой измеримой функции v(t), |^(г)\ ^ 1, у^г) € Б, г € [О,Т) существуют момент времени т € [0, Т] и номера что Хг{т) = у](т) .

Предположение 3.1. Все корни характеристи-.

части.

Предположение 3.2. Для всех г ^0 справедливо неравенство уг_\ (г) ^ 0.

Отметим, что предположение (3.2) выполнено, если уравне-.

..

ный корень. Обозначим через Лх,...,Л8(Лх Лй) веще-

ственные корни, через ц ± ^1, ... ,Цд ± IVд,

(цх ^ ^ ^ Цд) — комплексные корни уравнения (2.5),

к3 — кратноеть Лй, та — кратность корня ца ± гиа . В силу предположения (3.2) цд ^ Лй . Пусть далее

ПЛт,г) = УАт)Уз{г) + У\{т)уАг) ... у— (Т)у^](г),

(г(т,г) = МТ)Х](г) + ыт)хг(1)... у—{т)х\ 1~_](г), ' т,г) = <Рь{т)гц{ г) + у^т)^^ г) +... у— {т)4—] (г).

Тогда П'(т, 0), (г(т, 0), (г'(т,Щ,у1_1 (г) представимы в виде

' т,О) = ^;ехр(А0 т' т) +

¡3=1 д

+ ^ехр(Цат) (Я]а(т)с08иат + Ща{т^П^т),

а=1

ит,$) = ^МЛв т)Ри т)+

в=1

д

+ ^ ехр(Ца^ {Я\а{т)с08 Рат + К^(т) ЯШ Ра^,

а=1

6Ат,Щ = ^2, ехр(Л'т)рг313(т) +

¡3=1

q

+ ^exp(^aT)(Qij«(T) cos

vaT + Rija

(T)smvaT),

a

<Pt-i (t) =

s q

= У^еЖрЛв t)P®( t) + У^exp(/J.at)(Q°a( t)cúSVa t + R°a( t)sinVat).

/3=1 a=l

Считаем, что T, 0) ф 0 для всех i,j и t > 0, ибо если £pq( T, 0) = 0 при некоторых p, q, T то преследователь Pp ловит убегающего Eq, полагая up{t) = v(t). Считаем также, что PijAt) ф 0 для всех i,j , ибо в противном случае преследователи первоначально добиваются выполнения указанного условия.

Обозначим через Y%,j - степень многочлена Pijs, Y - степень многочлена Р^ ■ Можно считать, что Yi,j = Y Для всех i,j ; ибо в

Pi

ся выполнения данного условия, выбирая свои управления t) на достаточно малом отрезке времени так, чтобы коэффициенты при ^многочленов Pijs были отличны от нуля.

Предположение 3.3. ma < ks для всех а € I = {а | Ja = М ■

Обозначим

Xf = lim Yf = lim Z% = lim

i t^<x ti j П ij tY

Будем предполагать, что начальные условия таковы, что

а) если n > к, то для любого набора индексов

I С {1,2,...,n}, |I| ^ k + 1

справедливо Intco{X°, i € I} ф 0;

б) любые к векторов из совокупности {Xi -Yj, Y®-Y^, l ф r} линейно независимы.

Теорема 3.7. Пусть выполнены предположения

(3.1) -(3.3), 0 = Ек, п ^ к + 1 и

О € Мсо^)}.

Тогда в игре Г происходит, поимка.

Теорема 3.8. Пусть выполнены предположения

(3.1) - (3.3), п ^ к и

О €1пЬсо^}) ,р1,... ,рг }.

Тогда в игре Г происходит, поимка.

В работе [18] рассматривалась задача о г'мягкойб поимке группы инерционных жестко скоординированных убегающих группой преследователей.

Законы движения п преследователей Р\,... ,Рп с управлениями щ и т убегающих Е\,..., Ет с управлением V имеют вид

Хг = щ, \\щ || ^ 1, У) = V, |^|| ^ 1, (3.3)

х(0) = Х(0) = х}, У)(0) = у), у(0) = у),

0/0 1^1 х у), х у).

Определение 3.4. В игре Г происходит г'мяг-каяб поимка, если существуют Т > 0 и измеримые функции = щ(г,х}а,уа^г(•)), ||щ}(£)II ^ 1, чт0 Для любой измеримой функции 1(•), |^(£)\| < 1,£ € [0, Т существуют момент т € [0,Т]

и номера q € {1,2,... ,п} , г € {1,2,... , т}, что

хд( т)=Уг{ т), Х^ т)=УЛ т).

. , .

■¿) = щ - v, 2})(0) = г}), ¿¿¿(0) = г}). (3.5)

Будем предполагать, что начальные данные таковы, что

а) для любого набора индексов I С {1 ,...,п}, \11 ^ к + 1 справедливо

1гйсо{х}, г € I} ф 0;

б) любые к векторов из совокуппости {х} — у), у\ — уГ ,вфт} линейно независимы.

Теорема 3.9. Пусть

Мсо{х} } П со{у) } Ф 0.

Тогда в игре Г происходит, /мягкаяб поимка.

Теорема 3.10. Пусть

Мсо{х} } П со{у) } = 0.

Тогда в игре Г происходит, уклонение от /мягкойб поимки.

4. Поимка двух убегающих

Задача поимки двух убегающих группой преследователей является более сложной. В работах [19-21] рассматривалась диффе-

пп гающих, описываемая уравнениями вида

-ъ ¿,щ,),

гг){ ¿о) = г%, % = !,..., т, $ = 1,2,

где € Кк,щ € Рг(¿), V) € ¿), £ € [¿о, ТО, А)(¿) — квадратные

п

р., (^) — непрерывные в метрике Хаусдорфа компактнозначные отображения, ¡){¿, Пг,1)) — непрерывные по совокупности переменных функции.

Терминальные множества М.) имеют вид

Мг]( ь) = м) + М) (1),

где М) — линейные подпространства Кк, М){¿) — выпуклозначные отображения из Ь}), Ь) — ортогональное дополнение к М) в Ек.

)

Определение 4.1. В игре Г происходит поимка, Т>

ЦИЯМ 11(£),12(£) можно построить измеримые функции иг{£,гг){¿),1){в), в € [¿о, ¿]), что найдутся номера %1,%2, моменты ^,¿2 ЧТО

ггМк) € Мг^х), гг22(Ь) € М.^(¿2).

Пусть пг) — оператор ортогонального проектирования из Кк на подпространство Ь), П)(¿,т) —фундаментальная матрица решений уравнения х = Аг){Ь)х, причем Ог)(т,т) = Е для всех т ^ ¿о, где Е— единичная матрица.

Предположение 4.1. Существуют квадратные матрицы Хг){¿) порядка д, непрерывные по ¿,Ь € [¿о,Т] такие, что для всех г € N = {1,2,... ,п}, ] = 1,2 непусто множество

(£ € [to, Т])

í М)М0) = М)¿) — !пг)Пг)(¿,в)/)(в,Р(в)&){в))<в ф 0,

¿0

где

/*)(в, Uг, -и) = ¡г)(в, щ-,) — ¡г)(в, uг, Ф)).

Определим многозначные отображения

Гг А М^,^) = = пг )Пг)( ¿, в) ¡г )( в, Рг{в), N ¿( в)1)) — вг) (¿, в, ¿0)М)( ¿, ¿0), Гг )( ¿, в, ¿о) = Р) FгAt,в,v,to), t ^ в ^ ¿0,

■V, ед,( в)

где вг)(¿, в, ¿о) — некоторые неотрицательные, непрерывные по

в, 0 ^ в ^ ^ такие, что /вг){¿, в,^)<в = 1.

¿о

Предположение 4.2. Множества Гг)( ¿^,¿0) непусты для всех (¿,в), ¿о ^ в ^ Ь ^ Т,г € N,j = 1,2 и существуют непрерывные по в, ¿о ^ в ^ Ь функции ^г){о) € Гг)(¿^^о).

Зафиксировав некоторые функции ^ г){¿,в,^), удовлетворяющие предположению (4.2), полагаем (0 ^ ¿о ^ в ^ ¿,1) € в))

)¿, tо, г°г)) = пг)Пг)(Ь, ¿0)г) + ^ )¿, в, ¿0)<в,

¿0

Сг )( ¿,в,1) ,¿0) = Гг )( ¿,в,1) ,¿0) — тг )( М,^),

^^,¿^,¿0^ г) ,1)) =

тах{а, а ^0, —а£г )( t,to,z})) € Сг )( ¿,в,1) ,¿0)}, если )Ь,Ь$^}))Ф О,

(Ь — ¿о)—, если ^)(¿, tо, z})) = О

т )( Мо^°) =

—

vj( •) г ем

к>

где )в) —измеримая па интервале [Ьо,Ь] функция, принимающая значения из множества в), N С N.

Предположение 4.3. Для начальной позиции z0 = (^,..., zml ,^2,..., z■mf¿) игры (4.1) существуют множество N С N, помер j € {1 ,2}, функции ^г){¿^,¿0), @г)(Ь, в,^) такие, что уравнение

т )( Мо^0) = О имеет положительный корень Т1(Ьо, ^).

a(i,j,t,в,to,z}),!){в))<в

(4.3)

В силу работы [21] при выполнении предположения (4.3) группа преследователей с номерами из множества N давит ] -го убегающего к моменту Т1 = Т1^, г°), используя управления щ{г,у{г)).

Пусть далее к = {1,2} \

Ъ к( т1) = кО) (Т1) = гч( Т\у( -))-

значение в момент Т решения уравнения (4.1) при щ(в) = йг(в,Уо(в)), где у(в) — произвольная измеримая функция со значениями из О0(в). Пусть а(г,к,г, в, ¿о) —функция, определяемая соотношением (4.2) с заменой индекса на индекс к, ¿0 ^ в ^ а(г,к,г,т,Т1, ггк{Т1),Ук) — функция, определяемая

соотношением (4.2) При замене индекса ] та индекс к, в на т, ¿о на Т1, гО на гг(Т1),г ^ т ^ Т1. Полагаем далее для всех

г е [¿о, т1]

д2к{ г,г0,Т1,г0) =

£

= sup min(l —

а для всех t ^ T1

Q2k( t,t0,Tl,z°) = t

= sup min

j•),vk(•)) {l,r)l€N2,r€Ni

t

1 — J a(r, k,t,T, Tl,zik(Tl,vj(•)),vk{s)dr),

где Vj(•) —измеримая на [to, T1] функция, Vj(s) £ Qj(s);

Vk{s) —измеримая на интервале [Tl,t] функция, Vk{s) £ Qk{s), N С N,N2 n N = 0.

a(l, k, t, s, to, zfk, vk(s)ds,

t

(4.5)

a(i, k,t — s, zfk, vk(s)ds),

(4.4)

Предположение 4.4. Для начальной позиции г0 игры (4.1) выполнены предположения 4.1 —4.3 и существуют множество N С N,N2 П N = 0, функции ^1к{г, в, ¿о), вгк{¿, в, ¿о), г е N и N такие, что уравнение р2к(^ к,Т1,г°) =0 имеет положительный корень Т2{г®,¿0).

.г

. — . , г

задача преследования группой преследователей двух убегающих, и Т = тах{Тх,Т2} — гарантированное время окончания преследования.

В работе [22] рассматривалась задача о поимке двух жестко

.

вид

Хг = йг, Жг(0) = X°, \\йг\\ ^ 1,

Уз= УзФ) = уО, 1М1 < 1,

где г = 1,... ,и,2 = 1,2.

Предполагается, что начальные условия удовлетворяют следующим условиям:

а) если и > к, то для любого набора индексов

I С {1,2,..., и}, |11 ^ к + 1 справедливо условие

1^со{х°, г е I} ф 0;

б) любые к векторов совокуппости {х°г — уО ,с}, где с = у\ — у®, линейно независимы.

Была доказана

Теорема 4.2. Пусть выполнены следующие условия:

!) со{У1,У2}с{х!};

2) существуют множества 3\,32 С {1,..., и},

Ь,Ь С {1 ,...,и}\ (3 и 32), Ь П 12 = 0 такие, что наборы

векторов

{X - Vi, -c, i € J}, {xf - yl, c, i € J},

{xo - ifi x0 - ifi x0 - ifi x0 - ifi

{xl yl, xm y2, xa yl,x/3 y2,

l € J \ (J П J), m € J \ (J П J), a € I\, в € I2}

образуют, положительный базис, причем

|{1, ...,n}\ (J П J) | ^ k + 1.

Тогда в игре происходит, поимка двух жест,ко скоординированных убегающих.

Список литературы

1. Чикрий А. А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук, думка, 1992.

2. Чикрий А. А., Прокопович П. В. О задаче убегания при взаимодействии групп линейных объектов// Кибернетика. 1989.1^5. С. 59-63, 78.

3. Чикрий А. А., Прокопович П. В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов/ / Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 12-21.

4. Петров П.П., Петров П. Никандр. О дифференциальной игре Гказаки-разбойникиб// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, I" 8. С. 1366-1374.

5. Петров П. П. Одна оценка в дифференциальной игре со многими

убегающими// Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. 22. С. 107-109.

6. Петров П. П. Простое преследование при наличии фазовых ограничений. Деп. в ВИНИТИ 20. 03. 84. 1684. 14с.

7. Петров Н.Н., Прокопенко В. А. Об одной задаче преследования группы убегающих // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, !' 4. С. 724-726.

8. Петров Н. Н. Об одной задаче преследования группы убегающих//

Автоматика и телемеханика. 1996. 6. С. 48-54.

9. Петров Н. Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1997.

10. Благодатских А. И. О некоторых задачах группового преследования// Дифференциальные уравнения с частными производными

и родственные проблемы анализа и информатики: Тр. Междунар. конф. Ташкент, 2004. Т.2 С. 33-36.

11. Благодатских А. И. Конфликтно управляемые процессы при взаимодействии групп управляемых объектов: Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук. Ижевск, 2005. 13с.

12. Сатимов И., Маматов М. Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих// ДАН Узб. ССР. 1983. t4. С. 3-6.

13. Сатимов Н., Маматов М. Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих// Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14,

С. 1208-1214.

14. Петров Н. Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих// Автоматика и телемеханика. 1997. 12. С. 89-95.

15. Вагин Д. А., Петров П. П. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих //Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. Г1 5. С. 75-79.

16. Вагин Д. А., Петров П. П. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 234-241.

17. Вагин Д.А., Петров П.П. Преследование группы убегающих в примере Понтрягина/ / Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 4. С. 623-628.

18. Петров П. П. г'Мягкаяб поимка в примере Понтрягина со многими участниками// Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 5. С. 759-770.

19. Григоренко П. Л. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих// ДАН СССР. 1985. Т. 282, Г1 5. С. 10511054.

20. Григоренко Н. Л. Задача преследования несколькими объектами// Тр. матем. пн-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 61-75.

21. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

22. Вагин Д. А., Петров П.П. Преследование двух убегающих// Проблемы механики и управления: Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2005. В печати.