Модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 577.4 : 517.9 © А.В. Воротынцев

МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ВЛАГИ В СИСТЕМЕ ПОЧВА-РАСТЕНИЕ С УЧЕТОМ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ

Для задачи сопряженного переноса тепла и влаги в растительном покрове и почве с учетом баланса энергии формулируется интегральное уравнение, позволяющее получить описание переноса в покрове в виде простых алгебраических выражений, зависящих от решения уравнения. Для хорошо вентилируемого покрова формулируется усеченная система уравнений, описывающая перенос в почве. При решении системы из найденных выражений легко получить переменные переноса в покрове.

Ключевые слова: моделирование, система почва-растение, водный режим растений.

A.V. Vorotyntsev

THE MODEL OF MOISTURE-HEAT TRASFER IN SOIL-PLANT SYSTEM SUBJECT TO THE ENERGY BALANCE

For a problem of the conjugate transfer of heat and moisture in a plant cover and soil taking into account energy balance the integral equation is formulated, allowing getting the description of the transfer in a plant cover in the form of the simple algebraic expressions depending on the decision of the integral equation. For well ventilated cover the truncated system of the equations describing transfer in soil is formulated. Solving such system, from the found expressions it is easy to get the variables of transfer in the cover.

Keywords: simulating; soil-plant system; water condition of plant.

Введение

Моделирование переноса тепла и влаги в системе почва-растение -одна из главных задач описания роста биомассы растений и их урожайности. Перенос тепла и влаги описывается 4-мя подсистемами уравнений типа диффузии, связанными нелинейными алгебраическими соотношениями [1]. Уравнения содержат многие трудно определяемые параметры. Поэтому представляет практический интерес получение упрощенных приближенных моделей, доступных для качественного аналитического исследования.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

1. Модель переноса влаги и тепла в системе почва-растение

В слое 0 < х < И1 растительного покрова и корнеобитаемом слое -И, < х < 0 почвы рассматриваются две системы уравнений (1)-(4) для температуры воздуха Та, листьев Т1, концентрации водяного пара в меж-листном воздухе аа, в устьичных полостях листьев ц1:

¿Та =-оркаТ'а, ¿да =-када, 0 < х < И, ; (1)

Ср дТа/ Эх = - ¿'Та + /Т1, дда/ Эх = - ¿а а + /, , (2)

/Т1 = СрВА (Т - Та ) Р1 , /Ц1 = ВаБ1 (а1 - аа ) Р1 , (3)

/п +х/, = К; (4)

и две системы (5-7) для температуры Т, и водного потенциала у < 0 почвы:

¿т, = -СрктТ , ¿у, = -КУ, -И < х < 0 (5)

С ЭТ^/Эх = , СуЪу,(Ъх = - /у,, (6)

/у, = ¿ч,Рк + (у, )Рк (7)

с краевыми условиями:

¿Та = СрОа (Та - Т° ) , 3^ = Ва (аа - Щ ) , X = И, , (8)

¿Та = Срйт, (Т -Та) , ¿аа = Па, (а, - аа) , X = 0 , (9)

¿та +^аа -¿т* = К(0,X), -¿у, + Jаа = 2(х) , х = 0, (10)

т=т: , у=у0 , х=-и, (11)

Транспорт воды в растениях и транспирация ¿, регулируется водным потенциалом листьев у,, их устьичным сопротивлением и описывается нелинейными выражениями:

И1

¿а, = | ЛА , ¿а1 = Вк (у, у ) , = Г0 (ут - у )(ут у )-1,

0

0

у, = I у*РА, (12)

- Ик

1/ Вч = 1/ вт + гл , 1/ П = гС +1/ () .

Здесь «'« означает частную производную

Т , Т , а , у , ¿г , ¿а , ¿г , ¿у , у , К по х; ¿г , ¿аа - потоки тепла и во-

Та ' ца ' Т^ у, ' 75 ' ,, ' Та ' аа

дяного пара в воздухе, ¿^, ¿у - потоки тепла и воды в почве; Яи (х, х) -заданная поглощенная слоем (0, х) длинноволновая и коротковолновая

Воротынцев А.В. Модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии

радиация, Я (0, t) - радиационный баланс у поверхности почвы; Я, = Я (0, t) + JTs - энергия, поглощенная верхним слоем почвы; Б!, Бк -поверхности листьев и корней на единицу поверхности почвы; Б^! (х), Бкрк (х) - плотность листовой и всасывающей корневой поверхности. Та0, ч°, Q (^) и Т°, у0 - заданные функции времени, измеряемые на высоте метеобудки Иа > И1 над покровом и глубине -И, почвы; р(Та) - насыщенная влажность воздуха при температуре Та, остальное -заданные константы и функции. Здесь ка (х), кп - теплопроводность воздуха и почвы, ку - влагопроводность почвы. Дифференциальные уравнения систем связаны алгебраическими выражениями (4), (10), описывающими балансы энергии в межлистном воздухе и на поверхности почвы.

2. Приближенная модель для вентилируемого покрова (ка (х) ® ¥)

Обозначим

аа (х, 0 =р(Та ) - Яа , й, =Р(Т ) - Ч, , ^ =р(Та°) - ^ (Г) I

р(Т) = р(Т ) + 8{Т - Т); (13)

к (х) = , О = ^, С; = С (1 - Ь), С, = С (1 - Ья) ;

1/4ик = ¡И'^/к(X) , Р = Р + Б\+ В'а.

Утверждение 1. Функция у = ёа (х, t) в квазистационарном приближении удовлетворяет интегральному уравнению

у = йа +7 (х, t) - | ¡ Г (X, t) рМ-§ Г (0, t),

о

^ = О'Я + °а < + Р^ (14)

а Р

И' х И' И'

7 (х, t ) = Р'Ш ¡ у (С, t) РМ+Р {У (0, t)-^} ¡к^-С (15)

х 0 х х

Утверждение 2. Для потоков Jqa, JTa температур Та, Т1, Т концентрации паров воды в воздухе ча и дефицита влажности воздуха у = ёа справедливы выражения: Jqa =С1ОЯ1 + - у) , Jтa =(1 - О) яа-%0'а(^ - у) , х = И, ; (16)

4 = ГР { Я„/От + %р,у~},, = Яп/БЧ -ХР,у}, 0 < х < И, ;

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

¿а { + С(У - ^)},, 3а = о: { - Х(у - ^)} , х = 0;

т = Г F + сО (У - С10)},

, = ^ + ТТТ {№ - Оа (У - )},, х = 0;

О' I Я

т = т + -СУ \ , 0 < X < Н, ;

т = та \ — -с(у - Н , X = 0 ,

г О

где F(х,0 = Я» + | Яа(X,0-х¿X, х > 0; Яа (X,г) - энергия, поглощенная верхним слоем почвы и слоем (0,Х) растительного покрова.

Квазистацонарность означает малые производные по времени в (2). Утверждения 1, 2 сводят две сопряженные системы (1)-(4) для двух переменных Г , к фундаментальному уравнению (14)-(15) относительно

одной переменной у (х, г) и дают явные выражения для всех переменных

(16) через у (х, г).

В [2] показано, что при // < 1 к решению у (х, г) равномерно сходится следующая последовательность ук (х, г), причем справедлива оценка

||у - ¿а || < 2^а Рк/(1 -Рк ) :

_ Н,

ук+1 (х,г) = ¿а + ¥к (х,г) - ОI Ук (X,г)р^Х - О(0,г), / = 2О£/Онк,

0

где Ук (х,г) определяется подстановкой ук (х,г) в (15). Следовательно, при больших к (х) для хорошо вентилируемого покрова / » 0 и выражения (16) подстановкой у = ¿а сводятся к сравнительно простым алгебраическим выражениям. Последние можно использовать как граничные условия на поверхности почвы для системы (5)-(7) и так получить приближенную модель переноса тепла и влаги в почве. Тогда, решая приближенную модель для почвы, получим ¿а и с помощью (16) полное описание водно-теплового режима растительного покрова в виде сравнительно простых алгебраических выражений.

Н

Воротынцев А.В. Модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии

Заключение

Для хорошо вентилируемого растительного покрова показано, как сложную дифференциально-алгебраическую систему (1)-(12) переноса тепла и влаги в почве и покрове свести к системе (5)-(7) с краевыми условиями сравнительно простого алгебраического вида и, решая ее, получить полное описание переноса в системе почва-растение.

Литература

1. Полуэктов Р. А. Динамические модели агроэкосистем. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1991. - 312 с.

2. Воротынцев А.В. Исследование модели водно-теплового режима системы почва-растение-приземный слой воздуха // Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр РАН. 1991. - 53 с.

Воротынцев Александр Васильевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ВЦ РАН. 119333, Москва, ул. Вавилова, 40; тел. 8965-1353931, avv_alexv@mail.ru

Vorotyntsev Alexander Vasilievich - candidate of physical and mathematical sciences, research fellow of CCAS. Vavilov st. 40, 117967 Moscow GSP-1, Russia; phone +7965-1353931, avv_alexv@mail.ru