Научная статья на тему 'Приближенная модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии'

Приближенная модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
226
58
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛИРОВАНИЕ / СИСТЕМА ПОЧВА-РАСТЕНИЕ / ВОДНЫЙ РЕЖИМ РАСТЕНИЙ / SIMULATING / SOIL-PLANT SYSTEM / WATER CONDITION OF PLANTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Воротынцев Александр Васильевич

Для задачи связанного переноса тепла и влаги в растительном покрове и почве с учетом баланса энергии формулируется сравнительно простая модель в алгебраических выражениях для потоков тепла и влаги, дефицита влажности воздуха как линейная комбинация этих величин для испарения со свободной поверхности воды и для испарения с поверхности почвы, лишенной растительности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The approximate model of moisture-heat trasfer in soil-plant system subject to the energy balance

For the problem of conjugate heat and moisture transfer in the plant cover and soil taking into account the energy balance a relatively simple model is formulated in algebraic expressions for fluxes of heat, moisture and air humidity deficit as a linear combination of these values for evaporation from free water surface and evaporation from soil surface devoid of plants.

Текст научной работы на тему «Приближенная модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии»

УДК [574.4+631.43+631.6+626.8]:517.9

© А.В. Воротынцев

ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ВЛАГИ В СИСТЕМЕ ПОЧВА-РАСТЕНИЕ

С УЧЕТОМ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ

Для задачи связанного переноса тепла и влаги в растительном покрове и почве с учетом баланса энергии формулируется сравнительно простая модель в алгебраических выражениях для потоков тепла и влаги, дефицита влажности воздуха как линейная комбинация этих величин для испарения со свободной поверхности воды и для испарения с поверхности почвы, лишенной растительности.

Ключевые слова: моделирование, система почва-растение, водный режим растений.

A.V. Vorotyntsev

APPROXIMATE MODEL OF MOISTURE AND HEAT TRANSFER IN SOIL-PLANT SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT THE ENERGY BALANCE

For the problem of conjugate heat and moisture transfer in the plant cover and soil taking into account the energy balance a relatively simple model is formulated in algebraic expressions for fluxes of heat, moisture and air humidity deficit as a linear combination of these values for evaporation from free water surface and evaporation from soil surface devoid of plants.

Keywords: simulating; soil-plant system; water condition of plants.

Введение

Моделирование переноса тепла и влаги в системе почва-растение - одна из базовых задач описания функционирования агроценозов и их урожайности. Следуя [1], перенос тепла и влаги в статье описывается 4 подсистемами уравнений типа диффузии, связанными нелинейными алгебраическими соотношениями балансов тепла и массы, а также устьичной регуляции испарения растениями. Поскольку уравнения содержат многие трудно определяемые параметры, представляет практический интерес получение ряда приближенных моделей, полезных для оценки параметров моделей и их использования.

1. Модель переноса влаги и тепла в системе почва-растение

Приведем систему уравнений модели переноса, описанной в [2]. В слое 0 < x < Hl растительного покрова (РП) и в корнеобитаемом слое - Hs < x < 0 почвы рассматриваются две подсистемы уравнений (1)-(4) для температуры воздуха Ta , листьев T, концентрации водяного пара в межлистном воз-

духе qa, в устьичных полостях листьев ql:

JTa=-cpka дГа/сХ, Jqa =-ка дда/дх, 0 < х < Н1 ; (1)

Ср дТа/дt = - дJтa/ дх + /Т1, дqa/дt = - дJqa/дх + /ф , (2)

/п = ср^ Т - Та)рI , /ф = DqSl ^ - qa )рI, (3)

/п + / =дЯ„/ дх ; (4) и две подсистемы (5-7) для температуры Т и водного потенциала V* < 0 почвы:

JTS = -сркт*дт*1дх , ^ = -кщ д¥в/дх, -н* <х <0 (5)

с* дТб,/ дЛ = - д3^1 дх, ^ дvJ дЛ = - дJч&,/дх - /щ, (6)

и = + (V*- V»)рк; (7)

с краевыми условиями:

^а = СрРа Та - ТОО) , ^ = Da ^ - ), х = Н, , (8)

JTa = СрЕ>Т*(Т - Та) , Jqa = ^ (Я* - qa), х = 0 , (9)

Jтa +XJqa -JтS = -JЧB +Jqa = Q(t), х = 0, (10)

Т = т; , ¥, = ¥0, х = -Н, . (11)

Транспорт воды в растениях и испарение ими влаги Jql (транспирация) регулируются водным по-

тенциалом листьев ¥l, их устьичным сопротивлением г? и описывается нелинеиными выражениями:

Н1 ,

= |, = Ок-¥г), при ¥т < ¥ < ¥ < ^ (12)

о

о

где ¥, = ¡¥,,РЛ, ИI = ¥I/¥т , VО = V°Т + г,?, VОк = гкс + У(оА) , (12)

-Нк

г?= г,0I1 )(1 -и)-\ 0<и <и ¿1 >0; И = ¥¡¥ш; (13)

Jql = ^ при ¥ — ¥ш <

Здесь JTa (х,?), Jqa (х,?) - потоки тепла и водяного пара в межлистном воздухе, JTs (х,?), J¥S (х,?) -потоки тепла и воды в почве; ¥ (?) - усредненный водный потенциал корнеобитаемого слоя почвы, ¥l (?) - водный потенциал листьев.

в системе (1)-(12) функции JTa (х,?), Jqa (х,(), ^ (х,0 , ^ М , Jql (?) , Та (х,0 , Т1 (0 , Т, (х,0 ,

qa(х,?), ¥l(?), (х,?) являются искомыми. Остальные величины - заданные функции и константы. Щп(х,?) - заданная поглощенная слоем (0,х) длинноволновая и коротковолновая радиация, Щ(0,?) -радиационный баланс у поверхности почвы; Щ(?) = Rll(Нр?) - радиация, поглощенная покровом, Rs = Щ(0,?)+ JTs - энергия, поглощенная верхним слоем почвы; Sl (?), Sk (?) - поверхности листьев и корней на единицу поверхности почвы; Slpl(x,t), Skpk(x,t) - плотность листовой и всасывающей корневой поверхности; ¥) - коэффициент проводимости для пара на границе лист-воздух. т^ ,

q0 и T0, ¥, - функции времени, измеряемые на высоте метеобудки Нa > Н1 над покровом и глубине - Н, почвы; Q(t) - осадки; р(т) - насыщенная влажность воздуха при температуре T ; ср, с, -теплоемкости воздуха и почвы; ка (х), к(х) - коэффициенты турбулентной проводимости воздуха и теплопроводности почвы, к¥ (у,,) - влагопроводность почвы; с¥ = с¥(у,,); х - теплота парообразования; Dт, Бк , Ба , , О, - постоянные коэффициенты проводимости.

Дифференциальные уравнения систем связаны алгебраическими выражениями (4), (10), описывающими балансы энергии в межлистном воздухе и на поверхности почвы.

Введем обозначения

йа (х, ?) = p(Ta) - ца, ds (?) = р(Х (0, ?)) - д, (?), (13)

< = рЮ - ga0 (?), p(т )=p(т1)+б(т - т1) ,

к(x) = К}Х)) , G = --^, G, = G(l - b), G = G(1 - bs);

1+ 5X/cp 1 + cp (5x) ' v ^ s v

=7_dL _!_ = i = += _!_=_L=_L+J

Dak J0 ka (xУ Dak cpDak' DHk Dak Dak 0 kfe) ' D

C pDa Da Da DTa

JL = 5% = ^=JL = ^+_L .L = +-L b = g-1 Dl

DTs cpDT/ DT cpDtS/ Dq DqS/Dl Dq DT ' Ds Dqs DT/1 DT ' bs=g 1 Dr. Dz=Da+D\+DS , Ds = Da+DT+DS.

DTs

Отметим, что введенные величины положительны, кроме, возможно, Gl и Gs. Очевидно, D'JD'T < 1, DS/DTs < 1.

2. Приближенная модель переноса влаги и тепла

Для модели (1)-(11) получим приближенную модель при условиях

щит <<1 , ПТ8 <<1 , АБЕ1^нк <<1; (14)

ПЕ р'т << 1 , ПЕ /ЯТз <<1 , <<1. (15) Здесь запись а <<1 математически эквивалентна а ^ 0; она используется из-за своей большей физической содержательности.

В [4] доказано, что при А%Е/%'Нк ^ 1 решения (1)-(4) сходятся на 0 < х < Н1 к величинам, определяемым в (16)-(19), функциям только t:

=7 оХ' - ЬЛ - ьл + ц&^к; (16)

а

Jqa = Х^Л + - ^) , ЗТа = (1 - ОК - ХВ'а{й1 - ёа); (17)

Jql = Х'ЩЪ/Ят + ) , ЗТ1 = -Хс1а); (18)

Jq0 = Х'ЩЯ^т, + х(^а - )), Зт 0 = В'Х^В^ - Х^а - ds)), (19)

где З,а, Зта и З,0 , Зт 0 обозначают потоки на верхней границе РП при х = Нг и на поверхности почвы при х = 0 ; qa, da , та - концентрация пара, дефицит влажности, температура межлистного воздуха.

Следующие приближения для (16)-(19) определяются теоремами 1 и 2 при условиях (14) и (15). Введем обозначения

Р =Ф'а + , Ь = + ; (20)

dt = Х-ОЯ0а + + %ds)/(Б'а+ V) ; (21)

З-а = ЬЗ+а , З+а = Х ^К + ; (22)

З+а = ЬЗ-а + (1 - ЬК , З-а =(1 - О К - Х%'а dl ; (23)

d+ = dt , d-a= 0 ; (24)

= + За^а, q: = £ +Ь£) ; (25)

та- = т0 + З-Га/(сра) , т+ = тЦ + ь(т- - тЦ )+(1 - ь)кЦ(сра). (26)

Теорема 1. При условиях (14) справедливы равенства

У= У++, Ут = * + РУ+ , (27)

^ 1 + р т 1 + Р

где через и уТ, а е {пусто, +, -} обозначены переменные из множеств е {з^ ,,Та } и уТ е З, dа ,таа}. При этом З+а + хЗ-а = Л , З~Та + хЗ+а = и для каждого 0 < Р <ж,

Зта + ХЗЧа = Л . (28)

Теорема 2. При условиях (15) дополнительно к (27)-(28) справедливы соотношения

= З+а/(1 + Р), Зп = Л - ХЗФ ; (29)

= РЬЗ+а/(1 + Р), Зт 0 = ^ - ХЗФ Поясним содержание теорем 1 и 2. Выражения (27)-(29) полезны тем, что представляют простые зависимости основных величин влаго- и теплопереноса от стандартно измеряемых метеоданных, а также от одного параметра Р , аккумулирующего все параметры растений.

Условие << 1 в (14)-(15) отвечает ка для хорошо вентилируемого растительного

покрова [4]. Остальные условия означают, что в отличие от турбулентного переноса тепла и пара в межлистном воздухе на границах лист-воздух и почва-воздух коэффициенты ит, температурной проводимости, осуществляемой столкновениями молекул воздуха, существенно больше коэффициентов , проводимости для пара, осуществляемой диффузией молекул воды.

т+ Jqa V Jqa J+ Jqa

\ T i

/ JTa Jqa cL \ qi __„ JqO

^Та da da

ß = o

ß = 00

ß = 0

ß = QO

Рис. 1

Рис. 2

В [3] показано, что величины потоков, дефицита, концентрации пара и температуры межлистного воздуха, приведенные в левом и правом столбцах (21)-(26), равны аналогичным величинам соответственно для испарения с поверхности почвы, лишенной растительного покрова и испарению со свободной поверхности воды при одинаковых граничных условиях (8)-(11). Таким образом, зависимости (27) представляют линейную комбинацию с параметром ( двух указанных крайних случаев для

( ^ да и ( ^ 0; при этом поглощенная энергия сохраняется согласно (28). Зависимости (27) от ( представлены на рис. 1, а зависимости (29) - на рис. 2. Они позволяют сформулировать легко измеряемые критерии выполнения условий (14) в виде

(У+- Уч)/(Уч - У- ) = [ , (Ут-Ут)1(Ут - Ут ) = р~1, (30)

как, например, для суммарного испарения уд = Jqa и температуры уТ =Та:

(Аа - ¿¿¡(¿а - ^) = ( , Т-Та)/(Та - Т- ) =

Из модели (12)-(13) устьичной регуляции испарения растений и условия D/'/<< 1 легко получим при 0 < ~Ц!1 < 1 , [3]

4 " 1

ß _(D'a+ D's)rsо 1 ~ölßs

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Sl 1- Ms

J+

+ A

kc

Sk 1- Ms

. _ 1 + Dk (rkcSk)

Akc - ■

-VmDk

(31)

При Sl ^ 0 и Sk ^ 0, т.е. в неразвитом РП, величина ( ^-да, что правильно в (27), приводит к случаю отсутствия РП. При Sl ^-да, Sk ^-да, т.е. в густом РП, величина ( ^ 0, если еще учесть, что в этом случае должно быть также ^ 0 . Это в (27) правильно отвечает РП, залитому водой. Следовательно, (27)-(29) можно использовать на всех стадиях роста РП.

Зависимости (27), (29) позволяют сформулировать сравнительно с (1)-(11) простую систему для переноса влаги, независимую от переноса тепла. Уравнение влагопереноса в почве имеет вид

дWs д Г дWs

е,

k

V dt dx dV

iys

dx

Vs dx

+ Jq 0 _ Q (t),

+ JqlPk _ 0, Jql _ Г+J(1 + ß) ;

Jq0 _ ßbJ+a/(1 + ß) ; x _ 0;

(32)

(33)

о

Vs _Vs ;

x_-Hs;

При этом ß зависит от переменных us определяется выражением (31).

Sl , Sk так, что ß _ да при ¡us > 1, а при 0 < ¡us < 1 ß

D'e

3. Доказательства теорем 1 и 2

Можно считать, что под поверхностью почвы водяной пар насыщен, т.е. ds = 0. Из определения в (13) следует ПЕ=(ра+ D/)(l + ()/ (. Докажем (27) для уТ = da. Обозначим

d =pdj (1+p) = (flGR +Dada +D¡ds )/D . Очевидна оценка 0<{dl-da) dl<{Gb!Ri+GbRs )/(gR )<bl+bs <<1. Поэтому в (16)-(19) da можно заменить на d1. (27) для yq = Jqa следует из

Jqa =(t-GR0 + Dd )-D'ada = Ja - JL (1 - bJ+a = ^J+a ,

что с учетом bJ^a = J~a совпадает с (27). Выражение (27) для yT = JTa легко вычисляется из (17), а

(16) - из (27). Оставшиеся в (27) выражения следуют из qa = q° +Jqa¡Da , Ta = T +JTa/(cpDa). Теорема 1 доказана.

Заметим, при условиях (15) в (16)-(19) доминируют слагаемые с da, так как R,/(D'TXda )<(rociD'i:)/(d'tx(^-}GR0+ D'ad°a ))< D'Z/(D'TG)<<1 и аналогично Rj(D'TsXda )< D'z/(D'TsG)<< 1. Отсюда Jql = D¡da , Jq0 = D'sda . Учитывая dt = J^aj(D'a +D'S) и (23) для da , получим (29). Теорема 2 доказана.

Литература

1. Полуэктов Р.А. Динамические модели агроэкосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 312 с.

2. Воротынцев А.В. Модель переноса тепла и влаги в системе почва-растение с учетом баланса энергии // Вестник Бурятского государтвенного университета. 2012. Вып. 1. С. 107-111.

3. Воротынцев А.В. Исследование модели водно-теплового режима системы почва-растение-приземный слой воздуха // Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр РАН, 1991. 53 с.

4. Воротынцев А.В. Исследование модели переноса тепла и влаги в системе почва-растение // Математическая биология и биоинформатика: спецвып. по итогам конференции ЭкоМатМод-2011. 2012. Т. 7, № 1. С. 45-53.

Воротынцев Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ВЦ РАН, тел. 8965-1353931, e-mail: avv_alexv@mail.ru

Vorotyntsev Alexander Vasilevich, candidate of physical and mathematical sciences, research fellow of CC RAS, tel. +7965-1353931.

УДК 519.87

© В.И. Гурман, Д.Ц. Будаева, С.Н. Насатуева, А.Б. Столбов

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ РЕГИОНА НА ОСНОВЕ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ (проект 11-02-00171-а) и РФФИ (проект 12-01-00256).

Описываются процедуры и примеры формирования информации для социо-эколого-экономических моделей регионов в условиях дефицита статистических данных на основе концепции идеализированного эксперимента [1]. Рассматриваются на примерах идеализированные эксперименты различных типов в зависимости от реальных условий моделирования. Описывается архитектура интеллектуального программного комплекса для поддержки процесса моделирования подобных систем на этапе идентификации. Приводятся сформированные таким путем наборы данных для двух моделей бурятской части Байкальского региона сравнительно небольшой размерности.

Ключевые слова: моделирование, идентификация, регион, экспертные системы.

V.I. Gurman, D.Ts. Budaeva, S.N. Nasatueva, A.B. Stolbov

ESTIMATION OF REGION MODEL PARAMETERS BASED ON IDEALIZED EXPERIMENTS

The procedures and examples of information generating for socio-ecological-economic models of the regions in conditions of statistical data deficiency based on the conception of idealized experiment [1] are described. The idealized experiments of various types depending on real conditions of modeling are considered on examples. Intellectual software system architecture for supporting the modeling process of similar systems at identification stage is described. The data sets are submitted, they are obtained by this way for two models of the Buryat part of the Baikal region of comparatively small dimension.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.