CC BY
213
УДК 681.513.3
В. М. Кузнецов, В. А. Песошин
ГЕНЕРАТОРЫ РАВНОВЕРОЯТНОСТНЫХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА РЕГИСТРАХ СДВИГА
Аннотация. Проведен анализ генераторов псевдослучайных последовательностей на регистрах сдвига с линейной обратной связью. Исследованы статистические свойства периодических неоднородных линейных рекуррентных последовательностей.
Ключевые слова: генератор псевдослучайных последовательностей, регистр сдвига, (Ы - ^-последовательность, (Ы - 3)-последовательность, статистические свойства.
Abstract. Pseudorandom number generators based on linear feedback shift registers were analyzed. Statistical properties of periodical heterogeneous linear recurrent sequences were researched.
Key words: Pseudorandom generators number, shift register, (M - 1)-sequence,
(M - 3)-sequence, statistical properties.
Введение
В технических приложениях широко распространены генераторы псевдослучайных последовательностей (ГПСП) на регистрах сдвига с линейной обратной связью (с сумматорами по модулю два в цепи обратной связи) [1]. В иностранной литературе такие ГПСП называют «генераторами Фибоначчи» [2] (рис. 1).
Рис. 1. Функциональное представление ГПСП схемой генератора Фибоначчи
Функционирование генератора происходит в дискретном времени і и определяется сигналами возбуждения триггеров, которые зависят от их состояний, коэффициентов С и константы а о. Выходной сигнал выражается
двоичной последовательностью (а(і) т-го порядка.
1. Общие свойства псевдослучайных последовательностей
Генераторы формируют периодические линейные рекуррентные последовательности (ЛРП), удовлетворяющие уравнению
а() = 2С1а( -1)© °0 ,
1=1
где С1 - коэффициенты линейной формы; ] = 1,..., га - дискретный сдвиг во
времени; ао = 0,1 - константы; Со = 1, Ст = 1; ® - суммирование проводится по модулю два.
При константе ао = 0 ЛРП называется однородной, при ао = 1 - неоднородной [3].
ГПСП могут формировать М-последовательность. Длина ее периода как ЛРП т-го порядка равна Ыт = 2га — 1. Необходимым и достаточным условием для формирования этой последовательности является неприводимость и примитивность характеристического многочлена у(х) вида
га—1
у(х) = 1 © 2 С]хт—1 © хга, (1)
] =1
где х - формальная переменная поля Галуа.
Рабочий режим формирования М-последовательности а (/) допускает
любое ненулевое начальное состояние регистра. В этом случае вероятности появления символа 1 и символа 0 определяются следующим образом:
2т—1
Рм { а(0 = 1} = -
2т —1 и
■>m—1 1
2
Pm { а(0 = 0} =
2га — 1
При а0 = 1 запрещенным состоянием регистра является 111—1. Если многочлен (1) неприводим и примитивен, то генератор формирует неоднородную ЛРП, которая является инверсной М-последовательностью того же порядка. Обозначим ее как М -последовательность. При этом
РМ {а(/) =1} = Рм {а(/) = 0} и Рм {а(/) = 0} = Рм {а(/) =1}.
Нормированная периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) зависит от временного аргумента пт следующим образом [4]:
R м К) =R m К) =
1 при пт =0 (mod Mm),
1 (2) при пт Ф 0 (modMm).
Mm — 1
Она имеет одно реперное значение 1, когда пт = 0 (mod Mm). Периодическую структуру М- и M -последовательностей m-го порядка символически записывают в виде { 1(1), 1(m — 1) .
2. Статистические свойства некоторых двоичных линейных рекуррентных последовательностей
Анализ ГПСП с использованием производящей функции дал возможность связать циклические свойства неоднородных ЛРП га-го порядка (при а0 = 1) с соответствующими свойствами однородных ЛРП (га +1) -го порядка
(при а0 = 0) следующим образом: множество циклов ЛРП (га +1) -го порядка
при а0 = 0 состоит из объединения множеств циклов ЛРП га-го порядка при а0 = 0 и при а0 = 1. Индексом «*» обозначены константы, характерные для ЛРП ( га + 1)-го порядка. Фрагмент вхождения циклов представлен на рис. 2 для га = 1, 5 .
Сї>^*п>
а>^сл> <£>
1,1,3,3 2,6 ,
1,7
=4 1,7
сп>
сё>
1,7
Г?\ 1, 7
(7з>
В кружках записаны восьмеричные
изображения наборов (с/1_/ = 0, пт^,
причем если есть черта сверху, то предполагается а0 = 1, в противном случае а0 = 0.
Стрелками показаны вхождения элементов циклических структур младших порядков в старшие.
1,1,2,3,3,6
4,12
9
10 (зТ>
1 1
12 С1з>
13
14 С2>
15
16 (37>
1, 1, 7, 7
2, 14
1,1, 7, 7
2,14
1,15
1,15
1,15
1,3,6,6
==4 1,3,6,6
1, 5,5,5
1,1,2, 3,3,4, 6,12 4,4,12,12 ,
1,1,2, 7, 7,14
<7Г>
ИХ 4,28
<л>
К42>
►
1,1, 2, 7, 7,14
4,28
*-
1,1,15,15
<53>
2,30
53.
65.
1, 1, 15,15
2,30
*-
1,1, 3,3, 6, 6, 6,6
<77>
И^>=< 2, 6, 6, 6, 6, 6
11_)------ -----------'
“ 1,1,5,5,5,5,5,5
2,10,10,10
41?
►
*
17
(£5>
1,31
| 1,3,7,21
32 I ч4зЗ-------12-------
Рис. 2. Диаграмма вхождения циклов ЛРП младших порядков в старшие
Рассмотрим некоторые характерные двоичные ЛРП и их статистические свойства.
2.1. (М- 1)-последовательность Пусть ад = 1, многочлен х) степени т > 3 приводим в следующем
виде:
у( х) = (1 © х)у( х), (3)
где многочлен ^/( х) степени т = т — 1 неприводим и примитивен; двучлену (1 © х) при ад = 1 соответствует периодическая структура {1(2)}.
Тогда периодическая структура последовательностей, порождаемых многочленом (3), имеет вид { 1(2), 1^2т — 2) .
Так, ГПСП по схеме на рис. 3,а соответствует характеристический многочлен у(х) = 1 © х2 © х4 © х5 = (1 © х) (1 © х © х4), причем сомножитель
^/(х) = 1 © х © х4 неприводим и примитивен, а т = 5 . В этом случае при
О (0) = 00000 формируются последовательности (а (і)
...,101101110011111010010001100000,101101110011111010010001100000,...
с периодом 2т — 2 = 30 и ...,10,10,... с периодом 2 (бицикл). Циклические фрагменты выделены запятыми. На диаграмме (рис. 2) это соответствует восьмеричному набору коэффициентов 65 с множеством циклов {2, 30} .
Граф переходов состояний регистра (і) приведен на рис. 3,б.
а
(О
В
1
а
М2
1
В
2
02
В
3
а
М2
2
В
4
а
в
5
а
М2
3
Рис. 3. ГПСП, формирующая (М - ^-последовательность (а) и граф переходов состояний (б)
2.2. Структурные свойства (М- 1)-последовательности
ЛРП с длиной цикла 2га — 2 = Мт — 1 назовем (М - ^-последовательностью га-го порядка [5].
Рассмотрим структурные свойства (М — 1) -последовательности (а () .
1. (М — 1) -последовательность га-го порядка является периодической,
состоящей из Ьм—1 = 2га — 2 = Мт — 1 символов. Период последовательности -четное число. В последовательности отсутствуют два га-разрядных набора, состоящих из чередующихся символов 0 и 1: это 0101 ... и 1010 ... .
2. Число единичных символов в периоде (М — 1)-последовательности
~га—1 1
совпадает с числом нулевых символов и равно 2 — 1, поэтому вероятность
появления символа 1 равна вероятности появления символа 0 и равна 0,5.
3. Если в (М — 1)-последовательности некоторый символ а () = а, то
символ а ( + 0,5Ьм—1) = а . В результате одна половина периода инверсна по отношению к другой, что определяет (М — 1) -последовательность как инверсно-сегментную последовательность. Так, при га = 5 период из 30 символов разбивается на две инверсные половины по 15 символов:
.„,111110100100011 и 000001011011100,...
4. Нормированную ПАКФ (М — 1)-последовательности достаточно определить только на четверти цикла:
RM-1 (пт)
1
2
LM-1 -2
LM-1 -1
при nx =0 (mod LM —),
при нечетном nT Ф 0,5Lm_1 (mod Lm_i ),
(4)
при четном
при
пТФ 0
(mod lm-l) пт = 0,5Lм-1 (mod Lm-і ).
Нормированная ПАКФ имеет знакопеременный характер и дополнительную реперную точку -1 для значений аргумента, равных половинным величинам цикла, т.е. nT = 0,5Lm_i (mod Lm_i ). Абсолютные значения ПАКФ (М —1) -последовательности m-го порядка сравнимы с аналогичными значениями для М-последовательности (m -1) -го порядка.
2.3. (М- 3)-последовательность Рассмотрим приводимый многочлен степени m > 4
у( х) = (1 © х)2 у' (х), (5)
содержащий сомножитель у*( х) в виде неприводимого и примитивного многочлена степени m = m — 2 .
Как видно из диаграммы (см. рис. 2), при ао = 1 второму сомножителю
2 2 _
(1 © х) = 1 © х (восьмеричный набор 5) соответствует периодическая
структура {1(4)}. Тогда периодическая структура последовательностей, порождаемых многочленом (5), имеет вид { 1(4), 1(m — 4)} .
2.4. Пример реализации генератора псевдослучайной последовательности
В качестве примера рассмотрим ГПСП, схема которого изображена на рис. 4,а. Его характеристический многочлен степени m = 5
у( х) = 1 е х
>х4 ехЗ =(1 еx)2(к
I x2 е х3
содержит в качестве сомножителя неприводимый и примитивный многочлен У(х) = 1 © х2 © х3.
а)
Рис. 4. ГПСП, формирующая (М - 3)-последовательность (а) и граф переходов состояний (б)
В случае О(0) = 00000 формируются последовательности (а()
...,1001010001111101101011100000, 1001010001111101101011100000,...
с периодом 2т — 4 = 28 и ...,1100,1100,... с периодом 4 (тетрацикл). На рис. 2 множество циклов {4, 28} соответствует восьмеричному набору коэффициентов 71.
Граф переходов состояний регистра () приведен на рис. 4,б.
ЛРП с длиной цикла 2т — 4 = Мт — 3 назовем (М - 3)-последователь-ностью т-го порядка [5].
2.5. Структурные свойства (М- 3)-последовательности
Рассмотрим структурные свойства (М — 3) -последовательности.
1. (М — 3)-последовательность т-го порядка является периодической,
состоящей из Ьм—3 = 2т — 4 = Мт — 3 символов. Период (М — 3)-последовательности - число, делящееся на 4. В последовательности отсутствуют т-разрядные наборы, состоящие из чередующихся пар символов 00 и 11.
2. Число единичных символов в периоде (М — 3)-последовательности
совпадает с числом нулевых символов и равно 2т—1 — 2, поэтому вероятность появления символа 1 равна вероятности появления символа 0 и равна 0,5.
3. Если в (М — 3)-последовательности некоторый символ a(i) = a , то
символ a(i + 0,5Lm — ) = a , что определяет ее как инверсно-сегментную по-
следовательность. Например, при m = 5 период из 28 символов разбивается
на две инверсные половины по 14 символов: _,11111011010111 и
00000100101000,...
4. ПАКФ RM—з (пт) (М — 3)-последовательности определится по аналогии с (М — 1) -последовательностью следующим образом:
RM—3 (пт) =
1 при пт =0 (mod Lm—3),
4
при пт =2 (mod 4), кроме пт =G,5Lm—з (mod Lm—з ),
LM—З
G при нечетном пт, 4
(6)
—и
при пт =G (mod 4), кроме пт =G (mod Lm—з ),
LM—3
— 1 при nT =0,5Lm—3 (mod Lm—3).
Подобно рассмотренному выше случаю для (М — 1) -последовательности эта ПАКФ также имеет знакопеременный характер, два реперных значения
1 и -1. Кроме этого, возникают дополнительные нулевые реперные точки для значений пт, равных четвертичным величинам цикла. По абсолютным значениям ПАКФ (М — 3) -последовательности m-го порядка сравнимы с М-последовательностью (m — 2) -го порядка и (М — 1) -последовательностью (m — 1) -го порядка.
При аппаратной реализации ГПСП генерирование неоднородных ЛРП осуществляется за счет использования инверсного сигнала с выхода m-го элемента памяти. К аналогичному результату приводит использование большего количества инверсных выходов элементов памяти, причем общее количество задействованных инверсных выходов должно быть нечетным.
Исследование приводимых многочленов при a0 = 1, отличающихся по отмеченным свойствам от многочленов (3) и (5), показало, что во всех случаях они порождают ЛРП, имеющие более двух периодов (см. диаграмму на рис. 2). Это так называемые последовательности комбинационных циклов.
Таким образом, использование приводимых многочленов вида (3) и (5) при a0 = 1 позволяет получать (М — 1) - и (М — 3) -последовательности с равновероятными символами 0 и 1 и знакопеременными ПАКФ, причем у (М — 3) -последовательности отсутствует автокорреляция при нечетных значениях аргумента.
Список литературы
1. Иванов, М. А. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей / М. А. Иванов, И. В. Чугунков. - М. : КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. - 240 с.
2. Шнайер, Б. Прикладная криптография / Б. Шнайер. - М. : Триумф, 2002. - 816 с.
3. Лидл, Р. Конечные поля / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. - М. : Мир, 1988. - Т. 2. -822 с.
4. Кирьянов, Б. Ф. Основы теории стохастических вычислительных машин / Б. Ф. Кирьянов ; Каз. авиац. ин-т.- Казань, 1975. - 186 с. - Деп. в ЦНИИТЭИ приборостроения 21.05.76, № 524.
5. Песошин, В. А. Генераторы псевдослучайных и случайных чисел на регистрах сдвига : моногр. / В. А. Песошин, В. М. Кузнецов. - Казань : Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007. - 296 с.
Кузнецов Валерий Михайлович
кандидат технических наук, профессор, кафедра компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А. Н. Туполева
E-mail: kuznet@evn.kstu-kai.ru
Песошин Валерий Андреевич доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А. Н. Туполева
E-mail: kuznet@evn.kstu-kai.ru
Kuznetsov Valery Mikhaylovich Candidate of engineering sciences, professor, sub-department of computer systems, Kazan national research engineering university named after A. N. Tupolev
Pesoshin Valery Andreevich
Doctor of engineering sciences, professor,
head of sub-department of computer
systems, Kazan national research
engineering university
named after A. N. Tupolev
УДК 681.513.3 Кузнецов, В. М.
Генераторы равновероятностных псевдослучайных последовательностей на регистрах сдвига / В. М. Кузнецов, В. А. Песошин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. -№ 1 (21). - С. 21-28.
