CC BY
15
УДК 681.325 ББК 32.971
В. А. ПЕСОШИН, В.М. КУЗНЕЦОВ, А.Х. РАХМАТУЛЛИН, Р.Р. ГАЛИМОВ, АД. ЯМЩИКОВА
ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕМАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ НА ОСНОВЕ РЕГИСТРА С ВНУТРЕННИМИ СУММАТОРАМИ ПО МОДУЛЮ ДВА
(Часть 4)*
Ключевые слова: (L - 5)-, (L - 9)-,..., и (L - (2т0 - 1))-последовательности, неоднородные генераторы, многообразие последовательностей, инверсно-сегментные последовательности.
Рассматриваются неоднородные генераторы псевдослучайных сигналов, формирующие последовательности немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два. Математической основой генераторов выбран составной характеристический многочлен, одним из множителей которого является двучлен в степени m0 Ф 2k (k - целое положительное число), благодаря чему расширен класс формируемых инверсно-сегментных последовательностей. На примерах демонстрируется многообразие одновременно формируемых последовательностей. Решаются задачи идентификации последовательностей и определения их периодических автокорреляционных функций.
В третьей части статьи были рассмотрены неоднородные генераторы псевдослучайных последовательностей (ГПСП) по схеме Галуа, построенные
на основе приводимого характеристического многочлена степени n вида
2 k
ф(х) = Фо(х) Ф1(х) = (х2 © 1) Ф1(х), (4.1)
где сомножитель 9i(x) примитивен; k - целое положительное число. Генераторы позволяют получить набор структурно разных сигналов, если будет обеспечен неоднородный режим (за счет подачи константы а = 1) [5].
Основой многообразия являются инверсно-сегментные последовательности (ИСП), содержащие в сложно организованном виде прямые М- и инверсные M-последовательности (МП и МП) [6].
Цель четвертой части статьи - представление многообразия последовательностей при
ф0(х) = хт° ©1, (4.2)
где т0 Ф 2 (k - целое положительное число), идентификация последовательностей на разрядных выходах ГПСП и определение их периодических автокорреляционных функций.
1. Многообразие двоичных последовательностей на разрядных выходах регистра. При аппаратурной реализации двучлену (4.2) при а = 1 соответствует т0-разрядный счётчик Джонсона, который формирует элементарные ИСП с периодом 2т0 [2]. В табл. 4.1 приведены периодические структуры (ПС) многочлена (4.2) для т0 = 1,16.
* Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 18-47-160001.
Таблица 4.1
ПС многочлена (4.2) для т0 = 1,16
то ПС то ПС
1 {1(2)} 9 {1(2), 1(6), 28(18)}
2 {1(4)} 10 {1(4), 51(20)}
3 {1(2), 1(6)} 11 {1(2), 93(22)}
4 {2(8)} 12 {2(8), 170(24)}
5 {1(2), 3(10)} 13 {1(2), 315(26)}
6 {1(4), 5(12)} 14 {1(4), 585(28)}
7 {1(2), 9(14)} 15 {1(2), 1(6), 1092(30)}
8 {16(16)} 16 {2048(32)}
В предыдущих частях статьи [4-6] показано, что при т0 = 1, 2, 4, 8 и 16 генератор на основе мночлена (4.1) формирует, соответственно, (М - 1)-, (М - 3)-, (м - 7)-, (М - 15)- и (М - 31)-сложные ИСП п-го порядка.
Как видно из табл. 4.1, при т0 Ф 2к количество новых ИСП существенно увеличилось: при т0 = 1,16 суммарное количество ИСП было 2068, стало 4420, т.е. увеличилось более чем в 2 раза. При дальнейшем увеличении т0 это соотношение будет возрастать. Совокупность формируемых последовательностей при рассматриваемых условиях синтеза ГПСП (т0 Ф 2к) и представленных в предыдущих частях статьи (т0 = 2к) определим как расширенный класс ИСП. Рассмотрим ряд характерных примеров.
Если ПС многочлена ф0(х) описывается в виде {1(к0), ц0(Ь0)}, а многочлена ф1(х) - в виде {1(1), ДА)}, где к0, Ь0 и Ц - длины периодов; ц0 - количество периодов длиной Ь0, то ПС, соответствующая многочлену ф(х) (1), представляет собой совокупность простых и комбинационных периодов [9]:
[) + ц0М- [1(1) +1(А)] = 1(к0) + Ц0(А) + 1(к0А) + Ц0(^0А). (4.3)
Рассмотрим случай, когда периоды к0 и Ь0 взаимно просты с периодом Ь\. Тогда общий период рабочей последовательности определится следующим образом:
ЦЦ = 2т0(2п-т -1) = 2п-т»+1 т0 -2т0 =
= (2п-т0 +1 т0 -1) - (2т0 -1) = Ь - (2т0 -1).
Обозначим и назовем последовательность с наибольшим периодом относительно других элементов (4.3) как (Ь - (2т0 - ^-последовательность «-порядка, где период Ь = (2п-т°+1 т0 -1).
ПС, соответствующая многочлену ф(х) (1) при других числовых данных многочлена ф0(х), определяется аналогично (4.3) как формальное произведение членов.
2. Случай минимальной величины т0 = 3, не являющейся степенью двух. Тогда ф0(х) = х3 © 1 и ПС принимает вид {1(2), 1(2т0)} = {1(2), 1(6)}, что соответствет формированию следующих ИСП с периодами 2 и 6: 0 1 и 0 0 0 1 1 1 (сокращенная запись ИСП через размеры пачек одинаковых символов {1, 1} и {3}, соответственно) [5].
Пример 1. Пусть
фДх) = х3 0 х 01 (138), (4.5)
где в скобках указано восьмеричное представление многочлена [7]. Тогда
ф(х) = (х3 © х 0 1)(х3 0 1) = х6 0 х4 0 х 0 1. (4.6)
ПС многочлена (4.6) определится как
{1(1), 1(7)}{1(2), 1(6)}= {1(2), 1(6), 1(14,1(42))} = = {1(2), 1(6), 1(16 - 2), 1((48 -1) - 5)}, т.е. получим запрещенные ИСП с периодами 2 и 6 и рабочие - с периодами 14 и 42, где последняя - (Ь - 5)-последовательность 6-го порядка.
Рассмотрим схему соответствующего генератора, представленную на рисунке.
4:
Ф
Б
2
42
Б
3
43
Б 4
44
Ф»
Б
5
45
Б
6
46
Схема ГПСП на основе многочлена ф(х) = (х3 0 х 01)(х3 01) = х6 0 х4 0 х 01
Формируемые циклические последовательности, полученные моделированием работы ГПСП при разных начальных условиях, представлены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Рабочие циклы многочлена (4.6)
41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
При начальном состоянии регистра 0 0 0 1 0 1 на выходах триггеров 41, 45 и 46 формируются последовательности
,0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1, (4.7)
с различными сдвигами (далее подобное замечание указываться не будет) и периодом 14, а на выходах 42 - 44 - две последовательности
,0 0 1 0 1 1 1, (4.8)
с периодом 7. Это МП, порождаемая многочленом ф1(х) = х3 0 х 0 1.
Сформируем из (4.7) две последовательности, состоящие из символов, стоящих на нечетных и четных позициях:
,0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1,
0 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 - 0 - (4.9)
- 0 - 1 - 1 - 1 - 0 - 0 - 1. (4.10)
В результате выясним, что последовательность (4.7) содержит МП и МП (4.8), определяемые многочленом ф](х).
При начальном состоянии регистра 0 0 0 0 0 0 на выходах триггеров и q6 формируются ИСП:
,0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1, (4.11) с периодом 42, а на выходах q2 - q4 - последовательности
,0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0, (4.12)
с периодом 21.
Сформируем из (Ь - 5)-последовательности (4.11) шесть последовательностей из символов на позициях 1, 7,...; 2, 8,...; 3, 9, ...; 4, 10, ...; 5, 11, ... и 6, 12, ...:
,0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1,
,0-----1-----1-----0-----0-----0-----1-----,... (4.13)
,_ 1-----0-----1-----1-----0-----0-----0----,... (4.14)
,_ - 1-----0-----1-----0-----0-----1-----1---,... (4.15)
,---1-----1-----0-----1-----0-----0-----1 - -,... (4.16)
,----1-----1-----1-----0-----1-----0-----0 -,... (4.17)
,-----1-----0-----0-----0-----1-----0-----1,.. (4.18)
Полученное разложение показывает, что три МП (4.15)-(4.17) и три МП (4.13), (4.14) и (4.18) определяются многочленом, сопряженным с ф1(х), т.е.
ф1с(х) = X3 © х2 © 1 (158). (4.19)
Сформируем из (4.12) три последовательности из символов на позициях 1, 4,.; 2, 5,.; 3, 6:
,0 0111110101001100010 0,
,0 — 1 — 1 — 0 — 0 — 0 — 1--. (4.20)
,-0 — 1 — 0 — 1 — 1 — 0 — 0-,. (4.21)
,— 1 — 1 — 1 — 0 — 1 — 0 — 0 - ,. (4.22)
МП (4.19), (4.20) и МП (4.21) также определяются сопряженным многочленом (4.19) ф1С(х).
Алгоритм формирования последовательностей (4.9), (4.10), (4.13)-(4.18) и (4.20)-(4.22) с 5-шаговым сдвигом, при котором происходит выбор каждого 5-го члена последовательности, называется децимацией исходной последовательности по индексу 5. Следует отметить, что децимацией можно получить любые другие МП данного порядка [8].
Работа ГПСП описывается с помощью квадратной матрицы С, которая для схемы рис. 1 имеет следующий вид:
0 0 0 0
С =
В этом случае ГПСП на регистре с 5-шаговым сдвигом функционирует в соответствии с матрицей С5 [1], при этом происходит децимация и МП по соответствующей ей матрице. В качестве примера для ГПСП по многочлену (4.5) при известной матрице С определим матрицы С2, С3 и С6:
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
C = 1 0 1 , С2 = 0 1 1 , С3 = 1 1 1 . с6 = 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0
по которым найдем соответствующие им характеристические многочлены как определитель матрицы С5 - хЕ (Е - единичная матрица).
При 5 = 2 для матрицы С2 характеристический многочлен равен ф1(х) (4.5), поэтому МП (4.9) и МП (4.10) определяются многочленом ф!(х).
При 5 = 3 для С3 и 5 = 6 для С6 характеристический многочлен равен сопряженному ф1с(х), порождающему последовательности (4.13)-(4.18) и (4.20)-(4.22).
Формируемые ПС последовательностей можно определить из анализа запрещенных циклов многочлена (4.6), представленных в табл. 4.3.
Таблица 4.3 Запрещенные циклы многочлена (4.6)
ь Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 Ь6 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 Ь6
0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1
Как видно из табл. 4.3, на выходах триггеров q1, q5 и q6 запрещенными или индикаторными [4] последовательностями (ИП) являются 0 1 или 0 0 0 1 1 1, следовательно, соответствующие им рабочие последовательности (4.7) содержат МП и МП , (4.10) - три МП и три МП . На выходах q2 - q4 при ИП 0 0 или 0 1 1 последовательности содержат две МП или П и две МП (4.22).
Таким образом, циклические последовательности символов 0 0 0 1 1 1 и 0 1 1, количество которых равно 2т0 и т0, соответственно, индицируют о структурно новых последовательностях. Причем ИП 0 0 0 1 1 1 определяют равновероятностную ИСП, а 0 1 1 (или 0 0 1) свидетельствуют о рабочих последовательностях, структурно отличных от инверсно-сегментных с вероятностными характеристиками, близкими к МП.
Пример 2. Интересным представляется рассмотрение всех трех многочленов ф1(х) 5-го порядка:
ф(1)(х) = х5 0 х2 01 (458), ф(2) (х) = х5 0 х4 ® х3 ® х2 ® 1 (758), ф(3) (х) = х5 0 х4 ® х2 0 х ® 1 (678),
которые порождают МП с периодом 31. В этих случаях ПС многочленов ф(х) определится как
{1(2), 1(6)}{1(1), 1(31)}= {1(2), 1(6), 1(62), 1(186))} = = {1(2), 1(6), 1(64 - 2), 1((192 -1) - 5)}, т.е. получим три (Ь - 5)-последовательности 8-го порядка с периодом 186.
При разложении этих ИСП на шесть последовательностей образуются три МП и три МП, которые при ф(1)(х) в (Ь - 5)-последовательности соответствуют многочлену ф(2)(х), при ф(2)(х) - многочлену ф(3)(х), а при ф(3)(х)- сопряженному многочлену ф®(х). Это определяется децимацией МП для трех многочленов ф1(х) 5-го порядка по индексу 6 [8].
3. Случай т0 = 5. Пусть дан многочлен ф 0(х) = х5 0 1. Его ПС имеет вид {1(2), 3(2т0)} = {1(2), 3(10)}, т.е. формируется ИСП с периодом 2 и три -с периодом 10 (в скобках приведена сокращенная запись):
.„,0 0 0 0 01 1 1 1 1,... {5}, (4.23)
.„,0001011101,... {3, 1, 1}, (4.24)
.,0 011011001,... {2, 2, 1}, (4.25)
Пример 3. Рассмотрим случай, когда
ф1(х) = х3 0 х 0 1 (138).
Тогда
ф(х) = (х3 0 х 0 1)(х5 0 1) = х8 0 х6 0 х5 0 х3 0 х0 1. (4.26)
ПС этого многочлена определится из (4.3) как
{1(2), 3(10)} {1(1), 1(7)}= {1(2), 3(10), 1(14), 3(70)} = = {1(2), 3(10), 1(16 - 2), 3((80 -1) - 9)}, т.е. получим одну ИП с периодом 2, три - с периодами 10 и рабочие последовательности: одну с периодом 14 и три с периодом 70. Определим последнюю как (Ь - 9)-последовательность. ПС рабочих последовательностей с периодом 70 найдем из анализа циклов ИП многочлена (4.26), представленных в табл. 4.4-4.6.
Таблица 4.4 Таблица 4. 5
Запрещенные циклы многочлена (4.26)
Таблица 4.6
Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 Ь6 Ь7 Ь8
0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0
Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 Ь6 Ь7 Ь8
0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0
Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 Ь6 Ь7 Ь8
1 0 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 0
Табл. 4.4-4.6 показывают, что на выходах триггеров q1, q7 и q8 индикаторными являются последовательности символов (4.23)-(4.25), поэтому при разных начальных состояниях регистра формируются следующие ИСП-рабо-чие (Ь - 9)-П:
,0011100100011001011010000000011010111000110111001101001011111111001010, (4.27)
,0010100110011101010010010000111011111010110011000101011011011110001000, (4.28)
,0001100000010001001010100001011000111100111111011101101010111101001110. (4.29)
В (4.27)-(4.29) полужирным шрифтом выделены символы, стоящие на позициях 1, 11, 21, ... , 61. Они образуют МП ,0 0 1 1 1 0 1, которая определяется сопряженным многочленом ф1с(х).
На выходах q4 и q5 индикаторными являются также циклы (4.23)-(4.25). Моделирование показало, что на этих выходах в рабочем режиме продолжают формироваться последовательности коротких циклов, определенные как запрещенные.
На выходах q2, q3 и q6 индикаторными являются циклы 0 0 0 1 1, 0 0 1 0 1 и 0 1 1 1 1. Эти сочетания символов (и другие комбинации 0 и 1 длиной т0 = 5), а также циклы (4.23)-(4.25) длиной 2т0 = 10 определяют новые структурно сложные последовательности. По вероятностным характеристикам они близки к рассмотренным ранее.
Подобным же образом могут быть исследованы циклические и структурные свойства последовательностей при других значениях т0. Так, при т0 = 7 формируются 9 (Ь - 13)-последовательностей, при т0 = 15 - 1092 (Ь - 29)-последова-тельностей и т.д., причем на разных выходах могут быть получены одновременно разные ИСП и новые структурно сложные последовательности не инверсно-сегментного типа. Разработаны алгоритм и программа для исследования ГПСП.
4. Автокорреляционные функции. При т0 Ф 2к с ростом количества (Ь - (2т0 - ^-последовательностей увеличится и количество различных АКФ.
В работе [3] показано, что периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) гф(т) ИСП, определяемой многочленом (4.1), имеет вид
гф(т ) = Гф0 (т) г; (г ) ,
где
1 при т = 0 (mod M1), Г' (т) =J 1
4>jw - м~ при т Ф 0 (mod M1),
где М1 - период МП га1-го порядка.
Зная количество единиц и пар единиц n1 и n11(x) на периоде n, ПАКФ гфо (т) можно выразить как [2]
ГФо(т) =
n • n11 (т) - n2
n1 (n - n1)
Результаты моделирования и расчетов ПАКФ для m0 = 1, 8 представлены
в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Условное название ИСП, их изображение, условное обозначение и ПАКФ для т = 1,8 (значения нормированной ПАКФ необходимо делить на Ото)
Ото Условное название ИСП ИСП, условное обозначение на половине периоде ПАКФ, фоновые значения на половине периоде
1 (М-1) о 1, {1} г
2 (М-3) 00 11, {2} (0)
3 (L - 5) 000 111, {3}
4 (М - 7) 0000 1111, {4} 0010 1101, {2,1,1} (2д-2) (-2, 0, 2)
5 (L - 9) 00000 11111, {5} 00010 11101, {3,1,1} 00110 11001, {2, 2, 1} (3, 1, - 1, - 3) (- 1, 1,- 1, 1) (-1, -3, 3, 1)
6 (L - 11) 000000 111111, {6} 000010 111101, {4,1,1} 000100 111011, {3,2,1} 000110 111001, {3,1,2} 001110 110001, {2,1,1,1,1} (4, 2, 0, - 2, 4) (0, 2, 0,- 2, 0) (0, -2, 0, 2, 0) (0, -2, 0, 2, 0) (-4, 2, 0, -2, 4)
7 (L - 13) ,0000000 1111111, {7} ,0000010 1111101, {5,1,1} ,0000110 1111001, {4,2,1} ,0000100 1111011, {4,1,2} ,0001000 1110111, {3,1,3} ,0001010 1110101, {3,1,1,1,1} ,0001100 1110011, {3,2,2} ,00001110 11110001, {2,1,2,1,1} ,00010010 11101101, {2,2,1,1,1} (5, 3, 1, -1, - 3, -5) (1, 3, 1, - 1, -3, - 1) (1, - 1, 1, - 1, 1, - 1) (1, - 1, 1, - 1, 1, - 1) (1, - 1, - 3, 3, 1, - 1) (- 3, 3, - 3, 3, - 3, 3) (1, - 5, - 3, 3, 5, - 1) (- 3, - 1, 5, - 5, 1, 3) (-3, -1, 1, - 1, 1, 3)
8 (М - 15) ,00000000 11111111, {8} ,00000010 11111101, {6,1,1} ,00000100 11111011, {5,1,2} ,00000110 11111001, {5,2,1} ,00001000 11110111, {4,1,3} ,00001010 11110101, {4,1,1,1,1} ,00001100 11110011, {4,2,2} ,00001110 11110001, {4,3,1} ,00010010 11101101, {3,1,2,1,1} ,00010100 11101011, {3,1,1,1,2} ,00010110 11101001, {3,1,1,2,1} ,00011010 11100101, {3,2,1,1,1} ,00011000 11100111, {3,2,3} ,00101010 11010101, {2,1,1,1,1,1,1} ,00100100 11011011, {2,1,2,1,2} ,00101100 11010011, {2,1,1,2,2} (2, 4, 2, 0, - 2, - 4, - 2) (6, 4, 2, 0, - 2, - 4, - 6) (2, 0, 2, 0, - 2, 0, - 2) (2, 0, 2, 0, - 2, 0, - 2) (2, 0, - 2, 0, 2, 0, - 2) (- 2, 4, - 2, 0, 2, - 4, 2) (2, - 4, 2, 0, 2, 4, - 2) (2, 0, - 2, 0, 2, 0, - 2) (- 2, 0, 2, 0, - 2, 0, 2) (- 2, 0, - 2, 0, 2, 0, 2) (- 2, 0, 2, 0, - 2, 0, 2) (- 2, 0, - 2, 0, 2, 0, 2) (2, - 4, - 6, 0, 6, 4, - 2) (- 6, 4, - 2, 0, 2, - 4, 6) (- 2, - 4, 6, 0, - 6, 4, 2) (-2, -4, 2, 0, - 2, 4, 2)
Выводы. 1. Рассмотрен линейный неоднородный ГПСП по схеме Галуа, описываемый приводимым многочленом n-й степени ф(х) = (xm° © 1) ф1 (х),
для которого многочлен-множитель ф1(х) степени m1 примитивен (n = m0 + m1), где m0 Ф 2k, k - натуральное число, m0 > 3. Такой генератор в совокупности с рассмотренным в предыдущих частях статьи способен формировать расширенный класс ИСП, которые условно назвали как (L - (2m0 - ^-последовательностями n-порядка. Их период L = (2n-m°+1 m0 -1) является максимальным для данного порядка генератора. При этом количество новых ИСП существенно увеличилось: при m0 = 1,16 суммарное количество ИСП было 2068, стало 4420, т.е. увеличилось более чем в 2 раза. При дальнейшем росте m0 это соотношение будет прогрессивно возрастать.
2. В случае m0 = 3 ГПСП формирует (L - 5)-последовательности n-го порядка, в которых запрещенной или индикаторной последовательностью является цикл 000111. Количество символов 0 и 1 в цикле ИП определяет число МП и МП : в своем составе (L - 5)-последовательности содержат три МП и три МП . Одновременно на других выходах формируются структурно новые последовательности, индикаторными являются циклы 001 или 011. Выявлена связь МП и МП с порождающим их многочленом, которая определяется децимацией исходной последовательности по индексу s. Формируемые циклические рабочие последовательности получены моделированием работы ГПСП при разных начальных условиях. ПС последовательностей определяются из анализа запрещенных циклов многочлена ф(х). Индикаторные последовательности 000111 и 011 (001), количество которых равно 2m0 и m0, соответственно, определяют структурно новые рабочие последовательности. Цикл 000111 индицирует равновероятностную ИСП. Последовательности, определяемые ИП 011 (или 001), ИСП не являются, а по вероятностным характеристикам они близки к МП. Приведены примеры построения ГПСП.
3. При m0 = 5 ПС многочлена ф0(х) имеет вид {1(2), 3(10)}, т.е. формируются ИСП с периодом два и ИСП с периодом десять: ,0000011111, ,0001011101, и ,0011011001,. ГПСП на основе многочлена ф(х) при разных начальных состояниях регистра формирует три (L - ^-последовательности, а также новые структурно сложные последовательности, индикаторными в которых являются совокупности символов 00011, 00101 и 01111 (возможны и другие сочетания символов). Проведенное моделирование работы ГПСП показало, что на некоторых выходах формируются только ИСП коротких циклов, определенные как запрещенные. ПС рабочих последовательностей также определяются из анализа запрещенных циклов многочлена ф(х).
4. Подобным же образом могут быть исследованы последовательности при других значениях m0. Так, в случае m0 = 7 формируются 9(L - 13)-последовательностей, при m0 = 15 - 1092 (L - 29)-последовательностей и т.д., причем на разных выходах могут быть получены одновременно разные ИСП и различные новые структурно сложные последовательности.
5. С ростом количества (L - (2m0 - 1))-последовательностей увеличится и число различных ПАКФ. Определены ПС и ПАКФ ИСП, формируемых при m0 = 1, 8 . Отмеченное разнообразие способствует расширению возможностей
выбора последовательностей для имитационного моделирования реальных процессов с необходимым видом автокорреляционных функций. Разработаны алгоритм и программа для исследования ГПСП, определения ПС последовательностей и их ПАКФ.
6. Количество рабочих ИСП можно выбрать очень большим, что способствует их использованию для защиты информации.
Литература
Х.Кирьянов Б.Ф., МансуровР.М. Об анализе последовательности псевдослучайных чисел, генерируемых устройством с многоразрядным сдвигом // Методы и средства преобразования сигналов. Рига: Зинатне, Х978. Т. 2. С. 56-58.
2. Кузнецов В.М., Песошин В.А. Генераторы случайных и псевдослучайных последовательностей на цифровых элементах задержки. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 20Х3.
3. Песошин В.А., Кузнецов В.М. Генераторы псевдослучайных и случайных чисел на регистрах сдвига. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007.
4. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Гумиров А.И. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (Часть 2) // Вестник Чувашского университета. 20Х7. № Х. С. 273-284.
5. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Рахматуллин АХ.. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (Часть 3) // Вестник Чувашского университета. 20Х7. № 3. С. 25Х-26Х.
6. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Ширшова Д.В. Генераторы равновероятностных псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра сдвига с линейной обратной связью // Автоматика и телемеханика. 20Х6. № 9. С. Х36-Х49.
7. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, Х976.
8. Сорвате Д.В., Персли М.Б. Взаимно-корреляционные свойства псевдослучайных и родственных последовательностей // ТИИЭР. Х980. Т. 68, № 5. С. 59-90.
9. Элспас Б. Теория автономных линейных последовательных сетей // Кибернетический сборник. М.: ИЛ, Х963. № 7. С. 90-Х28.
ПЕСОШИН ВАЛЕРИЙ АНДРЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (pesoshin-kai@mail.ru).
КУЗНЕЦОВ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н Туполева-КАИ, Россия, Казань (kuznet_evm@mail.ru).
РАХМАТУЛЛИН АРСЛАН ХАНАФИЕВИЧ - магистрант Германо-Российского института новых технологий, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (arslan.rahmatullin@outlook.com).
ГАЛИМОВ РУСЛАН РАДИКОВИЧ - бакалавр кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (ruselg@mail.ru).
ЯМЩИКОВА АНАСТАСИЯ ДМИТРИЕВНА - бакалавр кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н Туполева-КАИ, Россия, Казань (ya.anastasiyadmitrievna@yandex.ru).
V. PESOSHIN, V. KUZNETSOV, A. RAKHMATULLIN, R. GALIMOV, A. YAMSHCHIKOVA
NONMAXIMAL LENGTH PSEUDORANDOM NUMBER GENERATORS BASED ON INTERNAL XORS SHIFT REGISTER (Part 4)
Key words: (L - 5)-, (L - 9)-,..., - and (L - (2m0 - 1))-sequences, heterogeneous generators, diversity of sequences, segment-reversal sequences.
The article considers non-uniform pseudorandom signal generators that form recursive sequences of non-maximal length based on the register with internal adder on module two. Characteristic polynomial is chosen as a mathematical foundation for the generators. It contains a binomial in the power m0 ^ 2k (k - positive integer), therefore expanding of classes variants of inverse-segment sequences has been achieved. Diversity of the sequences generated at the same time is shown with examples. The problems of identifying sequences and determining their periodic autocorrelation functions are solved.
References
1. Kiryanov B.F., Mansurov R.M. Ob analize posledovaty psevdosluchainykh chisel, generiruemizh ustroistvom s mnogorazryadnim sdvigom [On the analysis of a sequence of pseudorandom numbers generated by a device with a multi-digit shift]. In: Metodi i sredstva preobrazovaniya signalov [Methods and means of signal conversion]. Riga, Zinatne Publ., 1978, vol. 2, pp. 56-58.
2. Kuznetsov V.M., Pesoshin V.A. Generatory sluchainykh ipsevdosluchainykh iposledovatel'-nostei na tsifrovykh elementakh zaderzhki [Generators of Pseudorandom and Random Sequences Based on Digital Delay Elements]. Kazan, Kazan State Technical University Publ., 2013.
3. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M. Generatory psevdosluchainykh i sluchainykh chisel na registrakh sdviga [Generators of Pseudorandom and Random Numbers Based on Shift Registers]. Kazan, Kazan State Technical University Publ., 2007.
4. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Gumirov A.I. Generatory psevdosluchainykh posledovatel'-nostei nemaksimal'noi dliny na osnove registra s vnutrennimi summatorami po modulyu dva (Ch. 2) [Nonmaximal Length Pseudorandom Number Generators Based on Internal Xors Shift Register (Part I)]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2017, no. 1, pp. 273-284.
5. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Rakhmatullin A.H. Generatory psevdosluchainykh posledovatel'nostei nemaksimal'noi dliny na osnove registra s vnutrennimi summatorami po modulyu dva (Ch. 3) [Nonmaximal Length Pseudorandom Number Generators Based on Internal Xors Shift Register (Part 3)]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2017, no. 3, pp. 251-261.
6. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Shirshova D.V. Generators of the equiprobable pseudorandom nonmaximal-length sequences based on linear-feedback shift registers. Automation and Remote control, 2016, vol. 77, no. 9, pp. R. 1622-1631.
7. Peterson W., Weldon E. Error-Correcting Codes. 2nd ed. MIT Press, 1972 (Russ. ed.: Kody, ispravlyayushchie oshibki. Moscow, Mir Publ., 1976).
8. Sarwate D.V., Pursley M.B. Vzaimno-korrelyatsionnie svoistva psevdosluchainykh i rod-stvennykh posledovatel'nostei [Crosscorrelation Propeties of Pseudorandom and Related Sequences], TIIER, 1980, vol. 68, no. 5, pp. 59-90.
9. Elspas B. Teoria avtonomnykh lineinykh posledovatel'nykh setei [The Theory of Autonomous Linear Sequential Networks]. In: Kiberneticheskii sbornik [Cyber collection]. Moscow, IL Publ., 1963, no. 7, pp. 90-128.
PESOSHIN VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (pesoshin-kai@mail.ru).
KUZNETSOV VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (kuznet_evm@mail.ru).
RAKHMATULLIN ARSLAN - Master of German-Russian Institute of Advanced Technologies, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (arslan.rahmatullin@outlook.com).
GALIMOV RUSLAN - Bachelor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (ruselg@mail.ru).
YAMSHCHIKOVA ANAZTASIYA - Bachelor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (ya. anastasiyadmitrievna@yandex.ru).
Формат цитирования: Песошин В.А., Кузнецов В.М., Рахматуллин АХ., Галимов Р.Р., Ямщикова А.Д. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (Часть 4) // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 3. - С. 224-234.
