CC BY
39
УДК 681.325 ББК 32.971
В.А. ПЕСОШИН, В.М. КУЗНЕЦОВ, А.Х. РАХМАТУЛЛИН
ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕМАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ НА ОСНОВЕ РЕГИСТРА С ВНУТРЕННИМИ СУММАТОРАМИ ПО МОДУЛЮ ДВА
(Часть 3)
Ключевые слова: (М- 7)-, (М- 15)-, (М- 31)- (М- 63)- и (М- А)-последователь-ности, неоднородные генераторы, многообразие последовательностей, инверсно-сегментные последовательности.
Рассматриваются неоднородные генераторы псевдослучайных сигналов, формирующие рекуррентные последовательности немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два. На примерах демонстрируется многообразие одновременно формируемых последовательностей. Решаются задачи идентификации последовательностей и инициализации генератора на обеспечение рабочих режимов.
В первой части статьи было установлено, что генератор псевдослучайных последовательностей (ГПСП) по схеме Галуа, построенный на основе характеристического многочлена степени п вида:
ф(х) = (х©1)т0 ф!(х), (3.1)
где сомножитель ф1(х) степени т1 примитивен (п = т0 + т1) и позволяет получить набор структурно разных сигналов, если будет обеспечен неоднородный режим [1].
Основой многообразия являются инверсно-сегментные последовательности (ИСП), содержащие в сложно организованном виде известные М-после-довательности и обозначенные в общей форме как (М - А)-последовательно-сти. Для их формирования достаточно использовать неоднородный режим линейного ГПСП регистрового типа [2].
Цель третьей части статьи - представление многообразия последовательностей при т0 > 4, их идентификация на разрядных выходах ГПСП и инициализация генератора на обеспечение рабочих режимов.
1. Многообразие двоичных последовательностей на разрядных выходах регистра
Случай т0 = 4. Двучлен вида ф0(х) = (х © 1)4 с периодической структурой {2(8)} способен порождать в неоднородном режиме две последовательности [3]:
... , 0 0 0 0 1 1 1 1, ..., (3.2)
... , 0 1 0 1 1 0 1 0, ..., (3.3)
обладающие равновероятностными свойствами.
В качестве многочлена ф1(х) степени т1 = п - 4 > 2 выбирается примитивная форма с периодической структурой {1(1), 1(2п-4 - 1)}. Тогда аналогичная структура ГПСП и его многочлена ф(х) в целом приобретает вид {2(8), 2(2п-1 - 8)} = {2(8), 2((2п-1 - 1) - 7)}, что свидетельствует о формировании двух (М - 7)-последовательности п-го порядка. Последовательности (3.2) и (3.3)
образуют нерабочие циклы и участвуют в формировании указанных (М - 7)-последовательностей [2]. Несмотря на то, что последовательности (3.2) и (3.3) образуют запрещенные циклы, в рабочем режиме они проявляют себя в форме слагаемых линейной суммы, формирующих псевдослучайные последовательности [2].
Рассмотрим последовательности, формируемые ГПСП на регистре сдвига с внутренними сумматорами. В качестве примера используем многочлен
ф(х) = х6 Фх5 Ф х4 Ф х2 Ф хФ1, (3.4)
который разлагается на ф0( х) = (х Ф1)4 и ф1( х) = х2 Ф х Ф1.
Примитивный сомножитель ф1(х) = х2 Ф х Ф1 порождает М-последова-тельность ...,0 1 1,.. с периодом 3 и запрещенным моноциклом ...,0 0 0,.... Поэтому кроме ИСП (3.2) и (3.3) многочлен (3.4) порождает еще две последовательности с периодом 24:
.,0 0 0 0 1 1 1 1,0 0 0 0 1 1 1 1,0 0 0 0 1 1 1 1,. Ф
.,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,.
.,0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0,. (3.5)
и
.,0 1 0 1 1 0 1 0,0 1 0 1 1 0 1 0,0 1 0 1 1 0 1 0,.
Ф
.,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,0 1 1,.
.,0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1,.. (3.6)
Это две последовательности 6-го порядка (3.5) и (3.6) (М — 7)6 - и (М — 7)2 -типа, соответственно.
Схема генератора представлена на рисунке.
Схема ГПСП с внутренними сумматорами по модулю два в неоднородном режиме на основе многочлена ф(х) = х6 Ф х5 Ф х4 Ф х2 Ф х Ф 1
Схемотехническая структура устройства описывается с помощью следующей квадратной матрицы:
0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0
С =001 0000. (3.7)
0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1
Формируемые циклические последовательности в зависимости от начального состояния представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Рабочие циклы многочлена (3.4)
41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
На выходах триггеров ^ и д6 формируются последовательности типа (М - 7)6 (3.6) в первой группе и (М-7)6 (3.5) во второй; выходы и q4 выдают последовательности коротких циклов, определенных как запрещенные (3.2) в первой группе и (3.3) во второй; на выходах q2 и q5образуются две новые последовательности, периоды которых равны периоду (М - 3)-последовательности (назовем их (М - 3)-подобными последовательностями). Они не являются ИСП, инверсны по отношению друг к другу в группах и между группами.
Выявим связь этих последовательностей с предыдущими типами линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП), присущих генераторам в неоднородном режиме. Для этого в первой группе на выходах q2 и q5 получим по четыре последовательности таким образом, чтобы первая состояла из символов, стоящих на 1, 5, 9 позициях, вторая - на 2, 6, 10, третья - на 3, 7, 11, четвертая - на 4, 8, 12 позициях:
q1: ,0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1, q5: ,0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1,
,0---1---0, ,0---0---1,
,0---1---1, ,0---1---0,
,1 - - - 1 - - - 0, ,0 - - - 1 - - - 1, ,1 - - - 0 - - - 1, ,0 - - - 0 - - - 1. Полученное разложение свидетельствует о том, что на выходе q2 (М - 3)-подобная последовательность организована и упорядочена из элементов трех М- и одной М-последовательности (свяжем отмеченную организованность короткой бинарной последовательностью в форме нового запрещенного тет-рацикла вида 0001). Аналогично разрядный выход q5 комбинирует три М- и одну М-последовательность, что соответствует запрещенному тетрациклу 1110. Сложно упорядоченные М- и М-последовательности в указанных (М - 3)-подобных порождаются характеристическим многочленом ф(х), выбранным в данном примере в виде примитивного трехчлена х2 © х © 1.
2. Идентификация последовательностей на выходах регистра
Для идентификации выходных последовательностей, не производя их по-тактного моделирования на полных периодах, целесообразно использовать запрещенные состояния ГПСП. Они образуют последовательности с малым периодом и могут быть использованы в качестве индикаторных последовательностей [3]. Для последовательностей с периодом 8 справедливо равенство
ж + 8) = С80(0 = 0(0. (3.8)
Например, возводя в 8-ю степень матрицу (3.7), получим
С8 =
На основании (3.8) запишем условие для разрядных выходов генератора
вида qi ( + 8) = qi ), где I =1,6. Элементы матрицы С8 позволяют записать два независимых линейных уравнения
ql(t) Ф qз(t) Ф q4(t) Ф q6(t) = 0, ql (ОФ q2(t) Ф q4(t) Ф q5 (t) = 1. Решения ищем перебором значений qi ^), i = 1,6, которые выявят непротиворечивым образом две группы из 8 состояний, сответствующих сформированным последовательностям (табл. 3.2).
Таблица 3.2 Запрещенные циклы многочлена (3.4)
41 42 4з 44 45 46 41 42 4з 44 45 46
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
По табл. 3.2 определяем, что на выходах q\ и q6 в первой группе и q3 и q4 во второй должны формироваться последовательности типа (М — 7)6 (3.6), на выходах q3 и q4 в первой группе и ql и q6) во второй - типа (М — 7)6 (3.5), на выходах q2 и q5 - (М - 3)-подобные последовательности.
Однако, как видно из табл. 3.1, на выходах q3 и q4, соответственно, формируются запрещенные последовательности вида (3.2) в первой группе и ви-
да (3.3) во второй группе. Для выявления таких ситуаций необходимо дополнительно проверять формируемые последовательности длиной от п до 2 п.
Можно предположить, что при большем числе сумматоров на выходах регистра при одном начальном состоянии будут формироваться разные (М - 7)-последовательности. Для подтверждения этого рассмотрим ГПСП на основе многочлена 9-й степени
ф(х) = (х© 1)4(х5 © х4 © х3 © х2 © 1) = х9 © х8 © х7 © х6 © х5 © х3 © х2 © 1. (3.9) Производя преобразования с (3.9), аналогичные рассмотренным в примере с многочленом (3.4), определим две группы из 8 запрещенных состояний (табл. 3.3).
Таблица 3.3 Запрещенные циклы многочлена (3.9)
ь Ь2 Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь8 Ь9 Ь2 Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь8 Ь9
1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1
Используя запрещенные последовательности как индикаторные, определяем, что на выходах q9 и q7 формируются последовательности типов (М - 7)2 и (М - 7)9, соответственно, в первой группе, (М - 7)9 и (М - 7)2, соответственно, во второй; q3 и q6 - две (М - 3)- и четыре (М - ^-последовательности, соответственно, в обеих группах; q8 - две (М - 3)-подобные последовательности по индикаторным последовательностям, состоящим из сдвоенных тетрациклов 1110 и 0001 в первой и второй группах соответственно.
Анализ показал, что последовательности, образованные из запрещенных состояний регистра, ни на одном из его выходов не формируются.
Таким образом, ГПСП при т0 = 4 на основе многочлена (3.9) формируют разные (М - 7)-последовательности при одном начальном состоянии.
3. Инициализация рабочих режимов генератора
Для формирования необходимых последовательностей необходимо определить начальное состояние регистра. При известной М-последовательно-сти на основе многочлена ф1(х) и последовательностей (3.2) и (3.3) находят фрагменты (М - 7)-последовательности. В качестве примера рассмотрим задание М-последовательности многочленом ф1(х) = х5 © х4 © х2 © х © 1 в (3.8):
,0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0,
© ©
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 .
Если использовать эти фрагменты как последовательности состояний разрядов регистра д\ (или д9), то остальные состояния д2 - д8 доопределятся следующим образом (табл. 3.4):
Таблица 3.4
Доопределение начальных состояний ГПСП по фрагментам рабочих циклов
ь Ь Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь Ь9 Ь2 Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь Ь9
1 1
0 0 0 1
1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 - - - - 0 1 0 0 1 - - - - 1
1 1 0 1 1 - - - 1 0 1 1 1 1 - - - 0
0 1 0 1 1 0 - - 1 1 0 1 1 1 1 - - 1
0 0 0 1 1 0 1 - 0 0 1 1 0 1 0 0 - 0
1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0
По полученным начальным состояниям, выделенным жирным шрифтом в табл. 3.4, и известному алгоритму работы ГПСП находим фрагменты последовательностей на выходах регистра (табл. 3.5):
Таблица 3.5
Начальные фрагменты рабочих циклов многочлена (3.9)
Ь2 Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь8 Ь9 Ь2 Ьз Ь4 Ь5 Ьб Ь7 Ь8 Ь9
1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0
Из этих фрагментов видно, что ни на одном из выходов регистра не формируются запрещенные последовательности вида (3.2), (3.3) и сдвоенные из тетрациклов 1110 и 0001.
В отношении псевдослучайных последовательностей в форме ИСП можно применить более простой метод определения запрещенных состояний для инициализации генератора.
Рассмотрим сущность этого метода применительно к ГПСП основе многочлена ф(х) 11-й степени ф(х) = (хФ1)4(х7 Ф х5 Ф х4 Ф х3 Ф х2 Ф хФ1) =
= х11 Ф х9 Ф х8 Ф х6 Ф х3 Ф х2 Ф х Ф1 и допустим, что символы ИСП (3.2) и (3.3) формируются состоянием триггера дц. Определим две группы из 8 запрещенных состояний (табл. 3.6):
Таблица 3.6
Формирование запрещенных циклов q1 - q10 по заданнному циклу q11
ql q2 qз q4 q5 q6 q7 q8 q^> qlo q^^ ql q2 qз q4 q5 q6 q7 q8 q> qlo
0 0
1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1
Из табл. 3.6 определяем, что на выходах (дь qw и дц) и (д3, д7 и д8) формируются последовательности (М - 7)]1 и (М - 7)!,1, соответственно, в первой группе, (М - 7)!,1 и (М - 7)11, соответственно, во второй; на выходах д9 и д4 -д6 - две (М - 3)- и четыре (М - ^-последовательности, соответственно, в обеих группах; на выходе д2 - две (М - 3)-подобные последовательности (1110) и (0001) в первой и второй группах, соответственно.
4. Многообразие двоичных последовательностей на выходе регистра при т0> 4
Случай т0 = 8. Многочлен ф0(х) = (х© 1)8 порождает 16 равновероятностных последовательностей с периодом 16. В фигурных скобках предложена сокращенная запись этих ИСП, которая определяет количество повторяющихся одинаковых символов (любых) на половине периода, полагая, что вторая половина есть инверсия первой, что лишний раз повторит числовую
структуру пачек символов:
,00000000 11111111, {8} (3.10)
,00000010 11111101, {6,1,1} (3.11)
,00000100 11111011, {5,1,2} (3.12)
,00000110 11111001, {5,2,1} (3.13)
,00001000 11110111, {4,1,3} (3.14)
,00001010 11110101, {4,1,1,1,1} (3.15)
,00001100 11110011, {4,2,2} (3.16)
,00001110 11110001, {4,3,1} (3.17)
,00010010 11101101, {3,1,2,1,1} (3.18)
,00010100 11101011, {3,1,1,1,2} (3.19)
,00010110 11101001, {3,1,1,2,1} (3.20)
,00011010 11100101, {3,2,1,1,1} (3.21)
,00011100 11100011, {3,3,2} (3.22)
,00101010 11010101, {2,1,1,1,1,1,1} (3.23)
,00100100 11011011, {2,1,2,1,2} (3.24)
,00110110 11001001, {2,2,1,2,1}. (3.25)
Периодическая структура ГПСП и его многочлена ф(х) определится следующим образом: {16(16), 16(2п-4 - 16)} = {16(16), 16((2п-4 - 1) - 15)}, т.е. формируются 16 (М - 15)-последовательностей п-го порядка. Последовательности (3.10)-(3.25) образуют нерабочие циклы, объединяющие 16 запре-
щенных состояний регистра, а также участвуют в формировании 16 рабочих (М - 15)-последовательностей.
Исследуем последовательности, формируемые на выходах ГПСП. В качестве примера рассмотрим многочлен ф(х) 42-й степени, в котором многочлен ф1(х) 34-й степени имеет вид 251132516577(8) [4]:
ф1 (X) = х34 0 х32 0 х30 0 х27 © х24 © х22 © х21 © х19 © х17 © х15 ©
© х12 © х11 © х10 © х8 © х6 © х5 © х3 © х2 © х © 1.
Допустим, что символы ИСП (3.10) и (3.12) определяют состояния триггера 442. Индикаторные последовательности и формируемые при этом ЛРП 42-го порядка представлены в табл. 3.7.
Таблица 3.7
Результаты идентификации последовательностей ГПСП, порождаемых многочленом 251132516577(8)
Выходы триггеров Индикаторные последовательности ЛРП Индикаторные последовательности ЛРП
41441,442 00000000 11111111 {8} (М -15)42.10) 00000100 11111011 {5,1,2} (М 15)42.12)
42 01111111 {1,7} (М - 7)42 -под 00101111 {2,1,1,4} (М - 7)42-под
43 00000010 11111101 (М-15)42.11) 00001000 11110111 (М -15)4214)
44 01011111 {1,1,1,5} (М - 7)42 -под 00011011 {3,2,1,2} (М - 7)42-под
45 00001010 1110101 (М-15)43=15) 00010010 11101101 (М -15)42Л8)
46 01010111 {1,1,1,1,1,3} (М - 7)42 -под 00001011 {4,1,1,2} (М - 7)42-под
47 - 49 00101010 1010101 (М -15)432.23) 00011010 1100101 (М-15)4221)
410-413 00101011 {2,1,1,1,1,2} (М - 7)42 -под 01101111 {1,2,1,4} (М - 7)42-под
414 00100100 11011011 (М-15)(4224) 00000110 11111001 (М-15)4213)
415 00001011 (М - 7)42 -под 01111111 {1,7} (М - 7)42-под
416 00010110 1101001 (М-15)4220) 00000010 11111101 (М-15)42П)
417 00010111 (де Брейн) (М - 7)42 -под 00111111 (М - 7)42-под
418 00010100 1101011 (М-15)4219) 00000000 11111111 (М 15)4:2.10)
4l9, 420 00010011 (М - 7)42 -под 00011111 (М - 7)42-под
421 00001100 1110011 (М -15)42.16) 00010100 11101011 (М-15)4219)
422 0011 (М - 3) 0011 (М - 3)
423 00110010 1001101 (М-15)4220 00000110 11111001 (М-15)4213)
424 00111011 (М - 7)42 -под 00000111 (М - 7)42-под
425 00100100 1011011 (М-15 )42.25) 00010110 1101001 (М -15)4220)
426- 429 00011011 (М - 7)42 -под 01011111 (М - 7)42-под
430- 434 00011100 11100011 (М-15)42.22) 00001110 11110001 (М -15)4217)
435 00111011 (М - 7)42 -под 00000111 (М - 7)42-под
436 - 438 00001100 1110011 (М 15)42.16) 00010100 11101011 (М -15)4219)
439, 440 00000011 (М - 7)42 -под 00010111 (де Брейн) (М - 7)42-под
Отметим, что среди (М - 7)42-подобных последовательностей 42-го порядка встречаются равновероятностные последовательности, выделенные жирным шрифтом, в том числе последовательности де Брейна.
Можно предположить, что при большем числе сумматоров на выходах ГПСП при одном начальном состоянии будут формироваться все (М - 15)-последовательности.
Случай т0 = 16. В этом случае многочлен ф0(х) = (х © 1)16 порождает 2048 равновероятностных последовательностей с периодом 32: {16}, {14,1,1}, {13,1,2}, ..., {2,1,1,1,1,1,1,2,2,2,1,1}.
Периодическая структура ГПСП и его многочлена ф(х) определится следующим образом: {2048(32), 2048(2п-11 - 32)} = {2048(32), 2048 ((2п-11 - 1) - 31)}, т.е. формируются 2048 (М - 31)-последовательностей п-го порядка. Последовательности {16}, ..., {2,1,1,1,1,1,1,2,2,2,1,1} образуют нерабочие циклы, объединяющие 2048 запрещенных состояний регистра, а также участвуют в формировании 2048 рабочих (М - 31)-последовательностей.
При т0 = 32 будут формироваться 67 108 864 (М - 63)-последователь-ности п-го порядка. Разработаны алгоритм и программа для определения структуры таких ИСП.
Используя символы различных ИСП как состояния триггеров д! (или дт), путем увеличения параметра т0 вполне реально получить любое, сколь угодно большое количество последовательностей на выходах ГПСП. Наборы такого рода последовательностей в форме множеств высокой мощности при использовании начального состояния регистра в качестве ключа актуальны для организации систем защиты информации, например, в форме «одноразового блокнота» [5].
Выводы. 1. Рассмотрен линейный неоднородный ГПСП по схеме Галуа, описываемый приводимым многочленом п-й степени ф(х) = (х © 1)т 0 х),
для которого многочлен-множитель ф1(х) степени т! примитивен (п = т0 + т{), где т0 = 2к, к - натуральное число, т0 > 4. Такой генератор способен одновременно формировать нескольких разных ЛРП на разрядных выходах регистра.
2. В случае т0 = 4 ГПСП к многообразию формируемых последовательностей меньшего порядка добавляет две (М - 7)-последовательности п-го порядка, в которых нерабочими (запрещенными) является последовательное и периодическое разворачивание кодов 00001111 или 01011010. Эти последовательные коды целесообразно использовать как индикаторные последовательности. Кроме этого, могут формироваться новые последовательности (п - 1)-го порядка, близкие к равновероятностным, периоды которых равны периоду (М - 3)-последовательности (их назвали (М - 3)-подобными последовательностями), для которых запрещенными и индицирующими являются сдвоенные тетрациклы 0001 или 1110. Как и в подобных генераторах меньшего порядка сохраняется уникальная способность одновременно формировать на разных разрядах регистра генератора отличающиеся друг от друга рабочие ЛРП.
3. Для идентификации формируемых ЛРП в рабочем режиме используются состояния регистра ГПСП в режиме формирования запрещенных последовательностей, которые можно эффективно использовать в качестве индика-
торных сигналов. Приведены примеры идентификации на малоразрядных генераторах. Рассмотрены два способа определения нерабочих (запрещенных) состояний регистра сдвига.
4. Рассмотрена инициализация генератора на обеспечение рабочих режимов. Для формирования последовательностей необходимо определить начальные состояния регистра при известных фрагментах М-последовательно-сти на основе многочлена ф1(х) и одной из индикаторных последовательностей. С помощью фрагментов полученных последовательностей как состояния триггеров д! (или дп) определяются состояния триггера дп (или д!) из соотношения дп (?) = д1(? +1), и на основе алгоритма работы ГПСП последовательно находятся состояния триггеров д2 - дп-\.
5. При т0 = 8 ГПСП дополнительно формирует 16 равновероятностных (М - ^-последовательностей п-го порядка, причем одновременно на разных выходах могут формироваться разные последовательности. На некоторых выходах могут формироваться новые последовательности (п - 1)-го порядка, также близкие к равновероятностным, периоды которых равны периоду (М - 7)-последовательностей (их назвали (М - 7)-подобными последовательностями), среди которых встречаются равновероятностные, в том числе последовательности де Брейна. Сделано предположение, что при большом числе сумматоров ГПСП при одном начальном состоянии будет формировать все (М - 15)-после-довательности.
6. Многочлены ф0(х) 16-й и 32-й степеней порождают, соответственно, 2048 (М - 31)-последовательностей и 67 108 864 (М - 63)-последовательности п-го порядка. Разработаны алгоритм и программа для определения структуры таких ИСП. Количество рабочих ЛРП, определяемое экспоненциальной зависимостью от степени многочленов, реально выбрать очень большим астрономическим числом, что способствует их использованию для защиты информации.
Литература
1. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Гумиров А.И. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (Часть 1) // Вестник Чувашского университета. 2017. № 1. С. 263-272.
2. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Ширшова Д.В. Генераторы равновероятностных псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра сдвига с линейной обратной связью // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. С. 136-149.
3. Песошин В.А., Кузнецов В.М. Генераторы псевдослучайных и случайных чисел на регистрах сдвига. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007.
4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
5. Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си. М.: Триумф, 2003.
ПЕСОШИН ВАЛЕРИЙ АНДРЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (pesoshin-kai@mail.ru).
КУЗНЕЦОВ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (kuznet_evm@mail.ru).
РАХМАТУЛЛИН АРСЛАН ХАНАФИЕВИЧ - магистрант Германо-Российского института новых технологий, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (arslan.rahmatullin@outlook.com).
V. PESOSHIN, V. KUZNETSOV, A. RAKHMATULLIN NONMAXIMAL LENGTH PSEUDORANDOM NUMBER GENERATORS BASED ON INTERNAL XORS SHIFT REGISTER (Part 3)
Key words: (M - 7)-, (M - 15)-, (M- 31)-, (M- 63)- and (M- A)-sequences, heterogeneous generators, diversity of sequences, segment-reversal sequences.
The article considers non-uniform pseudorandom signal generators that form recursive sequences of non-maximal length based on the register with internal adder on the module two. The examples demonstrate the diversity of simultaneously formed sequences. The tasks of identifying sequences and generator initializing for providing operating modes are solved.
References
1. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Gumirov A.I. Generatory psevdosluchainykh posledova-tel'nostei nemaksimal'noi dliny na osnove registra s vnutrennimi summatorami po modulyu dva (Ch. 1) [Nonmaximal Length Pseudorandom Number Generators Based on Internal Xors Shift Register (Part I)]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2017, no. 1, pp. 263-272.
2. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Shirshova D.V. Generators of the equiprobable pseudorandom nonmaximal-length sequences based on linear-feedback shift registers. Automation and Remote control, 2016, vol. 77, no. 9, R. 1622-1631 (Original Russian Text published in Avtomatika i Tele-mekhanika, 2016, no. 9, pp. 136-149).
3. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M. Generatory psevdosluchainykh i sluchainykh chisel na regi-strakh sdviga [Generators of Pseudorandom and Random Numbers Based on Shift Registers]. Kazan, Kazan State Technical University Publ., 2007.
4. Peterson W., Weldon E. Error-Correcting Codes. 2nd ed. MIT Press, 1972 (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1976).
5. Sсhneier B. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1993 (Russ. ed.: Prikladnaya kriptografiya. Protokoly, algoritmy, iskhodnye teksty na yazyke C. Moscow, Triumf Publ., 2003).
PESOSHIN VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (pesoshin-kai@mail.ru).
KUZNETSOV VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (kuznet_evm@mail.ru).
RAKHMATULLIN ARSLAN - Master of German-Russian Institute of Advanced Technologies, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (arslan.rahmatullin@outlook.com).
Ссылка на статью: Песошин В.А., Кузнецов В.М., Рахматуллин А.Х. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (Часть 3) // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 3. -С. 251-261.
