CC BY
63
УДК 681.325 ББК 32.971
В.А. ПЕСОШИН, В.М. КУЗНЕЦОВ, А.И. ГУМИРОВ
ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕМАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ НА ОСНОВЕ РЕГИСТРА С ВНУТРЕННИМИ СУММАТОРАМИ ПО МОДУЛЮ ДВА
(Часть 2)
Ключевые слова: М-, (М- 1)-, (М- 3)-, (М- 7)- и (М- А)-последовательности, равновероятность, неоднородные генераторы, многообразие последовательностей, инверсно-сегментные последовательности.
Рассматриваются неоднородные генераторы псевдослучайных сигналов, способные одновременно формировать разные взаимно некоррелированные рекуррентные последовательности. Решаются задачи идентификации последовательностей на разрядных выходах генератора. Формулируются признаки отсутствия взаимной корреляции. Предлагаются приемы комплектования ансамблей попарно некоррелированных сигналов.
В первой части статьи было установлено, что генератор псевдослучайных последовательностей по схеме Галуа, построенный на основе характеристического многочлена вида ф(х) = (х © 1)т° ф1(х), позволяет получить набор структурно разных, взаимно некоррелированных сигналов, если будет обеспечен неоднородный режим [2].
Основой многообразия являются инверсно-сегментные последовательности (ИСП), обозначенные в общей форме как (М - А)-последовательности, формируемые неоднородными ГПСП [3] в случае, когда многочлен ф1(х) степени т1 примитивен.
Цель второй части статьи - идентификация формирующихся последовательностей на разрядных выходах ГПСП, нахождение теоретико-числовых условий, достаточных для объединения последовательностей в ансамбль некоррелированных псевдослучайных сигналов.
1. Идентификация последовательностей на выходе регистра ГПСП. Многообразие формируемых последовательностей в целом относится к разрядным выходам ГПСП q1, ..., qn-1, qn. Неравномерность или нерегулярность распределения последовательностей по выходам регистра выражается в том, что некоторые одинаковые ЛРП с точностью до циклического сдвига получаются сразу на нескольких выходах. Однако ряд последовательностей порядка ниже п, способные проявиться в данной структуре, реально ни в какой точке схемы могут не наблюдаться. Смысл идентификации заключается в сопоставлении множества реально формируемых ЛРП с номерами разрядов регистра ГПСП.
Полное воспроизводство работы генератора на максимальное значение минимального периода последовательности вектора состояния (0(0), продемонстрированное в примерах первой части статьи, является решением сформулированной задачи. Однако это слишком громоздко при реальных размерностях всей структуры, прежде всего из-за |0р| « 2п. Актуален поиск «экономных» подходов к постановке и решению задачи идентификации.
Рассмотрим случаи, когда периодическая структура ГПСП имеет вид
0 = {1(Тн), 1(Тр)}, что характерно при т0 < 4. Тогда Тр = ТнМ, где Тн = 2т0 = 2м и М = 2т1 - 1.
В работе [4] показано, что процесс формирования результирующих последовательностей ГПСП на основе составного многочлена (1.4), развернутого в нормальной форме (1.3), выражается суммой двух последовательностей. Одно слагаемое М(т1) = (ам(?)) - это М-последовательность, порождаемая ф!(х). Другое - некоторая индикаторная последовательность Б/т) = (е/т)(?)). Суммирование осуществляется по модулю два для каждого разряда регистра
1 = 1, п на временной длине, равной общему периоду Тр, согласно формуле
( ) [ам (?) при ег(т)(?) = 0, (а(?)) = М(т1) ©Е(т) МК' Р 1 ^^ ' (2.1)
[ам (?) при ег(т)(0 = 1, где элементы е/т) индикаторной последовательности являются операторами инверсии для ам, предполагая очевидные тавтологии ам (?) = ам (?) и ам (?) = ам (?).
Остается выяснить, как найти Б/т).
В монографии [1] рассмотрен общий случай генератора Галуа, когда (п+1)-й столбец матрицы С вместо одной константы а содержит полный набор констант в форме вектора-столбца ||ах а2 ... ап_1 ап 1||т. В общей форме произведены Тн итераций ? ^ (? +1) рекуррентного выражения (1.2)1 по отдельным разрядам регистра в коротком цикле состояний Qн с элементами р/т). Аналогичное преобразование автоматного отображения (2.1) в виде системы (дг(? + 1)) = (ам(?)) © (е/т)(?)) приводит к подобному виду. В результате сопоставления обеих полученных форм систем уравнений было замечено, что для всех подобных членов допустимо равенство, в частности е/т)(?) = /{т)(?), следовательно,
Е(т) = Рг(т). (2.2)
Полученная замена справедлива и для частного случая генератора, рассматриваемого в статье, когда (п+1)-й столбец матрицы С в виде ||а 0 ... 0 0 1||т содержит только одну константу а = аь достаточную для управления режимами «однородный/неоднородный».
Объем вычислений р/т) пропорционален = Тн, что при верхней оценке Тр ^ 2п значительно меньше, чем в случае моделирования по рабочим циклам, так как << ^р|.
Выделим основные пункты намеченной методики идентификации.
П. 1. Выбор начальной фазы р/т) = $<т)(?)).
Выбор допускаем с точностью до циклического сдвига в пределах Тн и сводим его к нахождению хотя бы одного элемента множества Qн. Для этого вычисляем Тн-ю степень исходной матрицы С и записываем частный вид системы (1.2) Q * (? + Тн) = С*Тн О * (?) как результат Тн итераций. На основании свойства периодичности О* (? + Тн ) = О* (?) = О* получим
Т
О*= С* нО*. (2.3)
1 Формулы с номерами (1.1)—(1.11) см. в первой части статьи [2].
Система может иметь несколько решений О* = Он, и все они будут соответствовать е Qн.
Находим общее решение системы (2.3), выраженное через компоненты вектора О. Этим самым определяем допустимые начальные фазы р/т).
П. 2. Нахождение последовательности векторов (0н(0) = Р7(т) = /т)(ф.
Выбираем из общего решения любое частное в качестве вектора начального состояния 0н(0 = О(0) и производим Тн итераций к соотношению (1.2), получаем развертку (Он ^)). Тогда компоненты вектора 0н(0 образуют набор
нерабочих ЛРП для всех 7 = 1, п
П. 3. Определение соответствия нерабочих ЛРП типам рабочих последовательностей.
Используя полученные (Он(О) в форме набора нерабочих ЛРП (д7(0) как индикаторные последовательности р/т) = ($'т)^)), находим соответствие типу ЛРП по каждому 7 = 1, п .
Типизация последовательностей производится заранее, на основании свойств характеристических многочленов, константы а и величины т0 (или к). Например, для генератора с многочленом вида (1.4) искомые соответствия приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Соответствия индикаторных последовательностей типам {/¡)у2 ЛРП (а) для 1-го выхода ГПСП по условиям (1.4) и т < 4
к то (Л)„2 (а)
(-») 0 0 1 м м
0 1 01 м - 1
1 2 0011 м - 3
2 4 00001111 00101101 (м - 7)! (М - 7)2
Произвольно выбранная начальная фаза (/¡) приводит к избыточному дублированию ее индикаторных возможностей. Выберем только один из 2т0 вариантов индикаторных последовательностей, например, выражающийся минимальным числом в двоично-позиционном представлении. Обозначим это как (/)У2. Так, для т0 = 2 оставляем как образец только 0011.
Остальные 0110, 1100 и 1001 совпадают с первым с учетом действия циклического сдвига.
Применим методику идентификации к примерам первой части статьи [см.: 2].
2. Типичные примеры идентификации последовательностей. Задание неоднородного ГПСП по схеме Галуа, наиболее полно раскрывающее методику, представлено в разделе 2 первой части статьи [2] характеристическим многочленом ф(х) = х6 © х4 © х3 © х2 © х © 1 = (х © 1)2(х4 © х © 1). Откуда т0 = 2, Тн = 4, М = 15 и Тр = 60.
П. 1. Для нахождения начальной фазы индикаторных последовательностей (/¿(т)(?)) решим следующую систему уравнений: О* = С* О*.
Исходному заданию, определяющему схему ГПСП, соответствует матрица
о *
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
и ее 4-я степень О* =
0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0
1 1
0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
Это позволяет записать систему в матричной и разрядной формах
41
42
43
44 =
45 /7 ,
6 1
41
42
43
44
45 /7 ,
6 1
а = 43 © 45 © 46 © 1,
42 = 43 © а4 © 45 © 1,
43 = 43 © д4 © 1,
44 = 43 © 44 © 46 © 1,
45 = а © д3 © д4 © 46
46 = 42 1
Полученная система допускает четыре частных решения в форме 4(? +4) = 4г(?), определяющих все возможные начальные фазы. Они соответствуют общим записям, выраженным через две независимые искомые переменные, например, 41 и д2, как О = || 4 д2 4 © 42) 1 41 41 © 421|.
П. 2. Находим последовательность векторов <Он(?)) = Бг(т) = / т)(?)).
Выбираем из общего решения системы в п. 1 любое частное в качестве вектора начального состояния ГПСП. Так, при 41 = 42 = 0 получаем О(0) = ||0 0 0 1 0 1||. После четырех итераций решения уравнения О (? +1) = С О (?), записываем искомую развертку нерабочего тетрацикла ш?)) с подтверждением О(0) в следующем сок
ращенном виде:
41
42
43
44 =
45 /7 --
6 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
1 = 1 , 1 , 1 , 1
0 0 1 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
П. 3. Определяем соответствие разрядных последовательностей типам рабочих ЛРП.
1
Полученные <ОН(0) как нерабочие ЛРП р/т) заменяем на (/~т)(0) и находим соответствие типу ЛРП по табл. 2.1. Результат идентификации представляем табл. 2.2.
Таблица 2.2
Идентификация последовательностей ГПСП по разрядным выходам г = 1, 6
9г <Он(Ф /ЧОХ* ыт
91 0011 0011 (М-3)(6)
92 0101 01 (М - 1)(5)
93 0110 0011 (М-3)(6)
94 1111 1 М(4)
95 0011 0011 (М - 3)(6)
96 1001 0011 (М-3)(6)
Нетрудно заметить, что выходы генератора с типовой ЛРП, имеющей порядок 6, совпадающий со степенью ф(х), характеризуются периодической структурой всего ГПСП. Остальные выходы проявляют меньший порядок (5 и 4) и меньший минимальный период (30 и 15). Это соответствует понижению виртуальной степени т0' для ф0(х) от реально заданной т0 = 2 (ЛРП типа (М - 3)(6)), затем 1 для (М - 1)(5) и до 0 для М(4).
Уменьшение степени т0 многочлена ф0(х) позволяет применять описанную методику идентификации в упрощенном виде. Например, случай т0 = 1 позволяет совместить пп. 1 и 2, описав одну итерацию решения системы уравнений вида О* = С* О*. Найденное общее решение будет допускать два вполне определяемых частных.
Доопределив одну из независимых переменных, всегда можно получить два полностью определенных вектора состояния (Он(О). В последовательности по отношению друг к другу они одновременно будут как предшествующими, так и последующими, образуя ожидаемый нерабочий бицикл. При разложении этих векторов на <9(0) будут идентифицироваться обязательно (М-1)-после-довательности и возможно либо М-, либо М -последовательности.
Случай т0 = 0 также способствует упрощению процедур идентификации. Такое задание ГПСП соответствует вырожденному варианту общей формы рассматриваемого характеристического многочлена (1.4) ф(х) = (х © 1)т° ф!(х) = = ф](х). Он имеет периодическую структуру О = {1(1), 1(М)} как в однородном, так и в неоднородном режиме. Элемент 1(М) по определению ф1(х) относится к ЛРП максимальной длины. Однако не ясно, что это - М- или М-по-следовательность, и если они формируются одновременно, то к каким разрядам регистра г = 1, п они относятся? Для ответа на поставленные вопросы обратим внимание на элемент 1(1) периодической структуры. Известно, что это моноцикл (Тн = 1), выражающийся константой и представляющий уравнение (1.2) в виде О = СО. Это уравнение имеет единственное решение О е Qн, так как = 1. В поразрядном разложении получается система из п независимых уравнений. Нули в разложении вектора решения О идентифицируют
последовательности типа М(п), а единицы - М(п), где п = ть Необходимость в п. 2 методики полностью отпадает.
Повышение порядка нерабочих ЛРП, наоборот, усложняет процедуры идентификации. При т0 > 4 происходит расширение множества этих циклов, так как периодические структуры таких ГПСП приобретают вид О = {р(1), р(м)}, где р > 2. В этом случае возникают две и более нерабочих и соответствующих рабочих ЛРП. Методика идентификации должна предусматривать поиск нескольких начальных состояний регистра. При окончательной идентификации необходимо учесть возможность формирования несколько рабочих последовательностей однотипных по размерностям и инверсно-сегментным свойствам, но разным по конкретным расположениям символов на периоде. Например, как это следует из табл. 2.1, при т0 = 4 устанавливается р = 2 и идентифицируются две ИСП, обозначенные как (М - и (М - 7)2.
3. Взаимно корреляционные свойства инверсно-сегментных последовательностей. Взаимно корреляционная функция (ВКФ) как центральный момент второго порядка для двоичных последовательностей (х(?)) и (у(?)) представима в следующей вероятностной форме:
к ^ (т) = М{[х(?) - тх(?) ][у(? + т) - ту(?+т) ]} =
= М{х(?) у(? + т)}-тх(? )ту(?+т) = (2.4)
= Р{х(?) = у(? + т) = 1}-Р{х(?) = 1}Р{у(? + т) = 1}.
Пусть <х(?)) ИСП с периодом ТхХ, а (у(?)) - периодическая последовательность (IIII) с периодом Ту. Найдем условия равенства нулю выражения (2.4) в случае ТхХ = 2Ту .
Вероятности, входящие в формулу (2.4), выражаются через числовые характеристики последовательностей в пределах их общего периода, соответствующего в данном случае Тхх. Примем типичное для вероятностных описаний периодических, следовательно, неслучайных последовательностей условие стационарности. Это условие справедливо при гипотезе равномерно распределенной случайной начальной фазы обеих последовательностей на их общем периоде. Тогда вероятность совместного появления двух единиц в последовательностях (х(?)) и (у(?)), разделенных интервалом т в пределах цикла ТхХ, может быть записана как
Р{х(?) = у(? + т) = 1} = ^, (2.5)
Т хх
где пху(т) - число указанных пар на периоде Тхх; т - аргумент периодической ВКФ (ПВКФ).
Вероятности появления символов 1 в последовательностях выразятся так: Р{х(?) = 1} = и Р{у(? + т) = 1}= Р{у(?) = 1} = Т-, (2.6)
Тхх Ту
где пхх и пу - количества единиц на периодах ИСП (х(?)) и ПП (у(?)), соответственно.
Полученные выражения (2.5) и (2.6) позволяют представить формулу (2.4) в виде
к „ (г ) = ^
■*■ XX
Т -Т
х XX А у
(2.7)
X
10ТТ0Г01001
11010^11010 у ^у
Рис. 2.1. Пример образования фактов совпадения единиц ПП (выделены жирным) на общем периоде с ИСП
Число совместного появления единиц пу(т) определяется фактами совпадений символов X с у на первом полупериоде Тй и на втором полупериоде, в котором символы X ИСП инверсны первой половине, а символы у ПП повторяются. Таким образом, общее число совпадений по обоим полупериодам Т ^ будет соответствовать количеству единиц ПП на одном периоде Ту независимо от сдвига т, т.е. пху(х) = пу = пу. Пример формирования совпадений для Т х = 10 и пу = 3 представлен
на рис. 2.1 (полупериоды ИСП отделены точкой, а периоды ПП - запятой).
Взаимно инверсные значения (x(0) на разных половинах Т^ определяют свойство равновероятности ИСП, что соответствует nx^ = 0,5TX-. Принимая во внимание Ту = О^Т^ и пДт) = пу, нетрудно видеть, что выражение (2.7) вырождается в нуль, демонстрируя отсутствие взаимной корреляции между (X(0) в форме ИСП и <у(0) как ПП при любом значении аргумента т в случае Т^ = 2Ту. Нетрудно установить, что ИСП с минимальным полупериодом О^Т^
сохраняет свои свойства в случае расширения полупериода в нечетное число раз. На рис. 2.2 представлен пример структуры новых ИСП (x(t)) и ПП <у(0), основанных на не минимальных периодах. Причем полупериод 0,5TX- является трехкратно увеличенным полупериодом 0,5Т^ ИСП ^(ф
как сегмента (x(t)). В соответствие с предыдущим случаем период Ту состоит из двух периодов Ту ПП (.(?)) в качестве сегментов
(КО).
Таким образом, представлен случай 3Т^ = 4Ту, обеспечивающий отсутствие взаимной корреляционной связи не только в отношении последовательностей <У(?)) и (.(?)), но и в кратно приведенной форме к рассмотренному случаю Т^ = 2Ту для
(x(t)) и <у(0). Очевидно, справедливо общее дробно-рациональное соотношение
(2к -1)Т^ = 21Ту, (2.8)
где к и I - натуральные числа. Числовые условия этого соотношения, не являясь необходимыми для отсутствия взаимной корреляции произвольных пар
w 'МЛ ^^ у^л w
V | V | V | V
Т
Т.,
Т.,
Т Т
У У
Рис. 2.2. Образование некоррелированной пары ИСП и ПП с кратно соотносящимися полупериодами и периодами
nx.x пу
ПП, в необходимой и достаточной степени гарантируют попарную некоррелированность ИСП и ПП. Причем в качестве ПП могут использоваться также ИСП, четное количество периодов которых образуют интервал, составленный из нечетного количества периодов другой ИСП. При этом обозначения периодов Ти Ту необходимо заменить на Т— и ТуУ , соответственно.
Неоднородный ГПСП на основе (1.4) по схеме Галуа [2] способен формировать на разрядных выходах набор разных ЛРП. Основу набора составляют ИСП с минимальными периодами, размерностью ..., 8М, 4М, 2М. При этом нечетное число М = 2™1 - 1 является длиной базовой М-последователь-ности, порождаемой примитивным многочленом ф1. Также одновременно с рабочими ЛРП (типа М-7, М-3, М-1...) могут формироваться и нерабочие ИСП с минимальными периодами, равными 8, 4, 2,., порождаемые многочленом ф0. Эти типичные для описываемой структуры генератора ИСП попарно связаны выражением (2.8) через целочисленные множители периодов в четном или нечетном выражении (чет или неч). В табл. 2.3 приведены эти
множители в виде элементов обыкновенной дроби (2к _ ^^ или /^к 1),
доведенные до несократимой формы. Если в клетке таблицы указаны дроби
типа неч/ или чет/ , то данные пары ИСП некоррелированы. Осталь-/ чет / неч
ные пары, например, образующие главную диагональ таблицы, не исключают корреляционную связь, соответствующую дроби типа нечунеч , что выделено
в таблице серым фоном (дроби из четных элементов типа чет^ет не являются несократимыми и в таблице отсутствуют).
Таблица 2.3
Распределение чисел кратности периодов пар ЛРП в форме типичных ИСП на разрядных выходах ГПСП (т0 = 8)
\ ИСП, ПП р(Ч р(2) р(4) р(8) М - 1 М - 3 М - 7 М - 15
ИСП, ПП Т- Т ±——,±у 2 4 8 16 2М 4М 8М 16М
р(1) 2 ^Х' 1 / X 2 1 / X 4 1 х" X 8 1 / XМ у.М 1 / у,М У&М
р(2) 4 ^у 1 / / 1 1 / / 2 1 / X 4 2 / XМ 1 / XМ у.М у4ы
р(4) 8 2 / X 1 1 / X 1 1 Х'' X 2 4 / /XМ 2 / /XМ 1 х" XМ уж
16 ^У 4 / X 1 2 / X 1 1 / /X 1 8 / /XМ 4 Х/ /XМ 2 Х/ Xм Уи
М - 1 2М ^У М/ X 2 Му X 4 М/ X 8 1 X" X 1 1 / X 2 1 х" X 4 у%
М - 3 4М М/ У 1 М/ X 2 Му X 4 2 / X 1 1 X"' X 1 1 / X 2 /А
М - 7 8М 2МУ" у1 Му У 1 МУ У 2 4 / X 1 2 Х/ X 1 1 / X 1 /т.
М - 15 16М 4МУ" у 1 2М/ У 1 Му У1 8 Х/ X 1 4 Х/ X 1 2 X"" X 1 у\
Пример соотношений периодов возможных типичных пар ИСП и 1111 в виде базовой М и М-последовательности приведены в табл. 2.4. При т0 > 4 ГПСП формирует рабочие ПП, основанные на таких комбинациях базовых М- и М -последовательностей, которые не приводят к форме ИСП. Однако их период т0 М в отношении к периоду как элементарной р(то), так одной из
типичных (М-А)-последовательностей выражается дробями неч/Неч , что
свидетельствует о ненулевой ПВКФ. Отношения периодов большинства остальных пар ПП в виде базовой М и М -последовательности или их комбинаций к ИСП (см. табл. 2.4 и 2.5) выражаются исключительно дробями неч/Ч1ет , гарантирующими отсутствие взаимной корреляции.
Таблица 2.4
Распределение чисел кратности периодов ПП в форме М-, М -последовательностей и типичных ИСП (т = 8)
\ ИСП, ПП р(1) р(2) р(4) р(8) М - 1 М - 3 М - 7 М - 15
ИСП, ПП Т 2 4 8 16 2М 4М 8М 16М
М, М М м/ / 2 му У 4 му У 8 му" У 16 1 / X 2 1 / X 4 1 / / 8 1 / / 16
Таблица 2.5
Распределение чисел кратности периодов ПП в форме М... М -последовательности и типичных ИСП (т0 = 4)
\ ИСП, ПП р(2) р(4) р(8) М - 3 М - 7 М - 15
ИСП, ПП Т - Ту 4 8 16 4М 8М 16М
М... М 4М Му У1 Му У 2 Му У 4 1 / / 1 1 / / 2 1 / / 4
Табл. 2.3-2.5 включают периоды всех потенциально возможных ПП. Практический смысл приобретает объединенная таблица с выбранным порядком заполнения параметрами циклов в диапазоне от 2 до 2т0М. Например, конструктивно полезным порядком формирования таблицы может быть выбран такой, который предусматривает учет циклических параметров, соответствующих конкретному ГПСП со значениями степеней т0 и п = т0 + т\. Такая неплотно заполненная таблица сохраняет возможность выбора реальных некоррелированных ЛРП в виде ансамбля необходимой или допустимой мощности.
В качестве примера табл. 2.6 представлены результаты анализа многообразия последовательностей, формируемых генератором 6-го порядка при т0 = 2 и п = 6. На шести его разрядных выходах идентифицированы (см. табл. 2.2)
Таблица 2.6
Распределение чисел кратности периодов пар ЛРП на разрядных выходах ГПСП для случая: т0 = 2 и п = 6
\ ИСП, ПП М М - 1 М - 3
ИСП, ПП - Ту \ М 2М 4М
М М X Х^ X
М - 1 2М 2 X / 1 X X
М - 3 4М 4 X X 1 2 X X 1 X
псевдослучайные сигналы с минимальными периодами 4М = 60, 2М = 30 и М = 15, соответствующие следующим типам ЛРП:
(М - 3)(6), (М -1)(5) и М(4). (2.9) Все парные циклические соотношения реальных последовательностей (2.9) по табл. 2.6 совпадают с данными табл. 2.4 и 2.5, выраженными в общей форме через М. Из числовых свойств этих соотношений видно, что любые пары неодинаковых ЛРП набора (2.9) взаимно не коррелированы. Мощность полученного ансамбля равна трем. Общий период, как наименьшее общее кратное всех циклов, составляет 2т0М = 60.
Выводы. 1. Объектом внимания является линейный неоднородный ГПСП по схеме Галуа, описываемый приводимым многочленом ф(х) = (х © 1)™° ф1(х), для которого многочлен-множитель ф1(х) примитивен. Формирующиеся сигналы на разрядных выходах регистра такого генератора в основном имеют инверсно-сегментную структуру, обеспечивающую равновероятностные свойства и отсутствие взаимно корреляционных связей. Отличительной особенностью от генераторов по схеме Фибоначчи является способность одновременного формирования нескольких разных сигналов в форме ЛРП одним генератором Галуа.
1. В состав формируемых сигналов как типичные, наряду с ИСП, могут входить М- и М-последовательности. Их появление на разрядных выходах генератора при т0 > 1 обусловлено проявлением моноцикла вырожденного виртуального случая т0' = 0 по этим разрядным выходам в течение всего минимального периода 2т0.
2. Случаи т0 > 4 (или к > 2) дополняют картину многообразия включением в рабочем режиме, во-первых, элементарных ИСП, порождаемых многочленом (х © 1)™0 и используемых в качестве индикаторных последовательностей при решении задачи идентификации. Это ЛРП типа Б(1), Б(2), Б(4), ..., Б(т0) с минимальными периодами соответственно 2, 4, 8,., 2т0. Во-вторых, появляются нетипичные комбинации М и М-последовательностей, обозначенных как М...М и имеющих период 2кМ. По структуре они не ИСП. Их вероятностные и автокорреляционные характеристики сравнимы с классической М-последовательностью.
3. Основой идентификации являются ЛРП малого периода, связывающие нерабочие состояния регистра ГПСП и используемые как индикаторные последовательности. Такие циклы, привязанные к номерам разрядов регистра, своей оригинальной структурой указывают на тип рабочей последовательности, формируемой генератором по этому же разрядному выходу. Индикаторные последовательности находятся на основании 2т0 итераций реше-
ния матричного уравнения ГПСП, начиная с одного из возможных состояний из нерабочего множества. Для этого перед итерациями определяется хотя бы одно такое состояние путем решения уравнения генератора в статичной форме с использованием матрицы, возведенной в степень 2m0.
4. Установлено, что если в паре последовательностей есть ИСП, нечетное число периодов которой равно четному числу периодов ПП, то эта пара взаимно не коррелирована.
5. Отмеченные свойства ГПСП расширяют его функциональные возможности и позволяют создать ансамбль попарно некоррелированных последовательностей, а также использовать в образовании базисных сигналов, ортогональность которых абсолютна на всем временном интервале, кратным общему периоду 2т0(2т1 - 1).
(Продолжение следует) Литература
1. Песошин В.А., Кузнецов В.М. Генераторы псевдослучайных и случайных чисел на регистрах сдвига. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2007.
2. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Гумиров А.И. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (часть 1) // Вестник Чувашского университета. 2017. № 1. С. 263-272.
3. Песошин В.А., Кузнецов В.М., Ширшова Д.В. Генераторы равновероятностных псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра сдвига с линейной обратной связью // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. С. 136-149.
4. Элспас Б. Теория автономных линейных последовательных сетей // Кибернетический сборник. М.: ИЛ, 1963. № 7. С. 90-128.
ПЕСОШИН ВАЛЕРИЙ АНДРЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (pesoshin-kai@mail.ru).
КУЗНЕЦОВ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (kuznet_evm@mail.ru).
ГУМИРОВ АРТЕМ ИЛЬДАРОВИЧ - ассистент кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева-КАИ, Россия, Казань (neporebrik@mail.ru).
V. PESOSHIN, V. KUZNETSOV, A. GUMIROV NONMAXIMAL LENGTH PSEUDORANDOM NUMBER GENERATORS BASED ON INTERNAL XORS SHIFT REGISTER (Part 2)
Key words: M-, (M- 1)-, (M - 3)-, (M- 7) - and (M- A)-sequences, equiprobability, heterogeneous generators, diversity of sequences, segment-reversal sequences. In this paper we consider heterogeneous pseudorandom signal generators that are able to form different mutually uncorrelated recurrent sequences simultaneously. We solve problems of sequence identification on generator's bit outputs. Signs of cross correlation absence are defined. We suggest techniques of a pairwise uncorrelated signals ensembles selection.
References
1. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M. Generatory psevdosluchainykh i sluchainykh chisel na regi-strakh sdviga [Generators of Pseudorandom and Random Numbers Based on Shift Registers]. Kazan, Kazan State Technical University Publ., 2007.
2. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Gumirov A.I. Generatory psevdosluchainykh posledova-tel'nostei nemaksimal'noi dliny na osnove registra s vnutrennimi summatorami po modulyu dva (Ch. 1) [Nonmaximal Length Pseudorandom Number Generators Based on Internal Xors Shift Register (Part I)]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2017, no. 1, pp. 263-272.
3. Pesoshin V.A., Kuznetsov V.M., Shirshova D.V. Generators of the equiprobable pseudorandom nonmaximal-length sequences based on linear-feedback shift registers. Automation and Remote control, 2016, vol. 77, no. 9, R. 1622-1631 (Original Russian Text published in Avtomatika i Tele-mekhanika, 2016, no. 9, pp. 136-149).
4. Elspas B. Teoriya avtonomnykh lineinykh posledovatel'nykh setei [The theory of Autonomous linear sequential networks]. Kiberneticheskii sbornik. Moscow, IL Publ., 1963, no. 7, pp. 90-128.
PESOSHIN VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (pesoshin-kai@mail.ru).
KUZNETSOV VALERY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (kuznet_evm@mail.ru).
GUMEROV ARTEM - Assistant Lecturer of Computer Systems Department, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, Kazan, Russia (neporebrik@mail.ru).
Ссылка на статью: Песошин В.А., Кузнецов В.М., Гумиров А.И. Генераторы псевдослучайных последовательностей немаксимальной длины на основе регистра с внутренними сумматорами по модулю два (часть 2) // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 1. - С. 273-284.
