Знаковые критерии в модели скользящего среднего Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.234

Е. Р. Горяинова, В. Б. Горяинов

ЗНАКОВЫЕ КРИТЕРИИ В МОДЕЛИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Для процесса скользящего среднего порядка д построены локально наиболее мощные знаковые критерии для проверки гипотезы о независимости наблюдений. Статистики предложенных критериев являются свободными от распределения, найдено их точное распределение, доказана асимптотическая нормальность.

Постановка задачи. Рассмотрим модель скользящего среднего

П = ег + а\ег-\ +----+ aqег-д, i = 0, ±1, ±2,..., (1)

где п1,... ,nn — наблюдения; е^ — независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестной функцией распределения G(x); а = («1,..., aq) — неизвестный вектор параметров. Обозначим

! —1, если x < 0,

1 ^ п

1, если x > 0,

Sk = signuk, k = 1,...,n, S = (S1,..., Sn). Через s = (s1,...,sn) будем обозначать реализацию случайного вектора S.

В работе изучаются знаковые критерии, т.е. критерии, статистики которых являются функцией не самих наблюдений п1,..., un, а лишь их знаков S = (S1,...,Sn), a именно, строятся: локально наиболее мощный (ЛНМ) критерий в классе всех знаковых критериев для проверки гипотезы H0 : а = 0 о независимости наблюдений п1,..., un против односторонних альтернатив H1j : aj > 0 и H2j : aj < 0, j = 1,...,q; ЛНМ несмещенный знаковый критерий для проверки H0 : а = 0 против двусторонней альтернативы H3j : aj = 0, j = 1,... ,q; критерий для проверки H0 против H3 : а = 0.

Для уравнения регрессии построение аналогичных критериев рассмотрено в работе [1], для уравнения авторегрессии — в [2].

Основные результаты. На разных этапах исследования будем предполагать, что на функцию распределения G(x) наложены некоторые из следующих условий: A1:G(0) = 1/2; A2: Ее1 = 0;

A3: Е|е1|1+Г < то, 0 <r < 1;

A4: G'(0) > 0 и G'(x) удовлетворяет условию Гельдера порядка r,

т.е.

|G'(xi) - G'(Z2)| < L|xi - X2|r, 0 <r < 1, L> 0; A5:E|e1|2 < то, supG"(x) < то, G"(0) =0 и G"(x) непрерывна

x

в нуле.

Обозначим Q — критическую область знакового критерия, т.е. такое подмножество в множестве последовательностей из —1 и 1 длины n, что если S £ Q, то гипотеза H0 отвергается. Через Pn(Q,a) обозначим функцию мощности знакового критерия, определяемую как вероятность отклонения гипотезы

Pn(Q,a) = P{S £ Q}.

Определим ЛНМ знаковый критерий для проверки гипотезы H0 : a = 0 против односторонней альтернативы H1j : aj > 0, j = 1,...,q, как критерий, имеющий функцию мощности Pn(Q,a) наиболее круто возрастающую в положительном направлении j -го аргумента aj от точки a = 0. Если Pn(Q,a) дифференцируема по aj, то это означает, что критическая область Q ЛНМ знакового критерия должна быть выбрана так, чтобы величина —^iQ—) была

daj

максимальной при a = 0.

Построим односторонний ЛНМ знаковый критерий для проверки гипотезы H0 : a = 0 против альтернативы H1j : aj > 0, j = 1,..., q. Поскольку

Pn(Q,a) = ^ Pn(s,a), (2)

seQ

где Pn(s, a) = P{S = s, a} — функция правдоподобия, то ——)

daj

будет наибольшей, если в критическую область Q будут последовательно вплоть до достижения заданного уровня значимости включать-

dPn(s, a)

ся векторы s = (s1,..., sn), имеющие наибольшие значения-.

daj

Поэтому искомая критическая область

dPn(s, a)

Q =

Обозначим

> const

a=0

£l, если < 0

£1 = '

A = -4G' (0)Ee-, (3)

1 |0, если e1 > 0 '

n

Yt =^2 Sk-t Sk, t = 1, 2, ...,n - 1. (4)

k=t+i

Лемма 1. Пусть функция распределения удовлетворяет условиям А1, А2, А3 и А4. Тогда в окрестности а = 0 функция правдоподобия имеет вид

Рг(*,а) = 2-п + А £ ъа, + о (|а|)^ , (5)

где 7Í и А определяются формулами (4) и (3) соответственно. Доказательство леммы 1 приведено далее.

м 1 дРп(в, 0)

Из леммы 1 следует, что —-- с точностью до неотрицательна

ного множителя есть 7,. Таким образом, статистика ЛНМ критерия имеет вид 7з, а критическая область есть

Я = (8 : 7з >са , (6)

где С — константа. Аналогично строится ЛНМ критерий для проверки Н0 против Н2з : а, < 0. Его критическая область имеет вид

я = (8 : 7з <С2} , (7)

где С2 — константа.

Перейдем к построению ЛНМ несмещенного знакового критерия для проверки гипотезы Н0 : а = 0 против двусторонней альтернативы Нзз : а = 0, у = 1,..., д.

Следуя общему определению несмещенности (см. [3], с. 174), определим несмещенный знаковый критерий для проверки Н0 : а = 0 против двусторонней альтернативы Н3, : а = 0 как критерий, для которого верно неравенство

Рп(Я, 0) < Рп(Я, а), а = (0,..., 0, аз, 0,..., 0), а,- = 0, у = 1,..., д.

Легко видеть, что если функция Рп(Я,а) дифференцируема по а, в точке а, = 0, то из этого неравенства следует, что

дРп(8, 0)

даз

= 0. (8)

В этом случае критерий будет ЛНМ несмещенным, если выполнено

д2Рп(8, 0) (8) и--максимальна.

да2

Лемма 2. Пусть функция распределения С(ж) удовлетворяет условиям А1, А2 и А5. Тогда в окрестности а = 0 функция правдоподобия имеет вид

Рп(8,а) = 2-п( 1 + А ]Г тз а,-+

V з=1

A q q \

+ A Y, a? (y? + (n — j) — 2n-1/272^ + Y, cjrajar + o (|a|2) , (9)

j=1 j,r=1 /

j=r

где cjr, 1 < j = r < q, некоторые постоянные, не зависящие от a.

Доказательство леммы 2 приведено далее.

Из (2) и (9) следует, что ЛНМ критерий мы получим, если будем последовательно вплоть до достижения заданного уровня значимости составлять Q из тех векторов s, которые обладают наибольшими значениями

7? — 2n-1/27?j.

Отметим, что для векторов s и s' = (s1,..., s^), где

sk = (—1р-j, k = 1,...,n,

величины 7j2 и 722j совпадают, а величины 7j противоположны. Поэтому, если включать в Q векторы парами s и s' указанного вида, построенный ЛНМ критерий автоматически окажется несмещенным. Таким образом, искомая критическая область

Q = (s : (7? — 2n-1/272j) > const} . (10)

Резюмируем эти результаты в виде теоремы.

Теорема 1. Если выполнены условия A1, A2 и A4, то ЛНМ знаковый критерий для проверки гипотезы H0 против альтернативы H1j в модели (1) имеет вид (6); ЛНМ знаковый критерий для проверки гипотезы H0 против альтернативы H2j имеет вид (7), j = 1,..., q.

Если выполнены условия A1, A2 и A5, то ЛНМ несмещенный знаковый критерий для проверки гипотезы H0 против альтернативы H3j имеет вид (10), j = 1,..., q.

Сделаем несколько важных замечаний.

Замечание 1. Вид построенных знаковых критериев не зависит от вида функции распределения G(x), такой, что G(0) = 0,5.

Замечание 2. При гипотезе H0 и условии G(0) = 0,5 случайные величины sk sk-j, k = 2, ...,n, имеют нулевое среднее, единичную дисперсию и независимы между собой [4]. Поэтому 7j имеют биномиальное распределение, что позволяет строить критерии (6), (7), (10) с фиксированным уровнем значимости для малых выборок.

Замечание 3. Из замечания 2 следует, что в соответствии с центральной предельной теоремой при n ^ то

n-1/27j -N(0,1).

Замечание 4. Из замечания 3 следует, что

7? — 2n-1/272j = Op(7?), n ^ то, j = 1,..., q.

Следовательно, построенный ЛНМ несмещенный знаковый критерий Q для проверки гипотезы H0 против двусторонней альтернативы H3j асимптотически совпадает с объединением двух ЛНМ критериев для проверки H0 против односторонних альтернатив Hj и H2j, j = 1,...,q. Однако для доказательства оптимальности двустороннего критерия требуется более жесткое ограничение A5, которое не является необходимым для построения односторонних критериев.

Построим критерий для проверки гипотезы H0 : а = 0 против альтернативы Ha : а = 0. Хотелось бы считать, что критерий тем лучше, чем быстрее его функция мощности возрастает при удалении от нуля. Из формулы (9) следует, что частные производные функции мощности Pn(Q,a) пропорциональны Yj, j = 1,... ,q. Поскольку функции Yi,..., Yq не равны между собой на всем множестве последовательностей si,..., sn длины n из +1 и -1, то критические множества для критериев, максимизирующих Pn(Q,a) в направлении различных координатных осей, не совпадают друг с другом. Отсюда следует, что равномерно наиболее мощного критерия для проверки H0 : а = 0 против альтернативы Ha : а = 0 не существует даже в локальном смысле (из существования ЛНМ критерия следовало бы, что он является ЛНМ и против частных альтернатив aj = 0, что противоречит утверждению теоремы 1). В этом случае наиболее общим подходом к решению рассматриваемой задачи является оптимизация какой-либо рационально выбранной скалярной характеристики критического множества (см., например, [5]). Следуя Ю.Н.Тюрину [1] и М.В.Болдину [2], возьмем в качестве такой характеристики среднюю кривизну функции мощности Pn(Q, а) в точке а = 0, которая определяется как среднее значение мощности по сфере бесконечно малого радиуса с центром в нуле:

lim p-i-q / (Pn(Q, а) - Pn(Q, 0)) ¿а. J\a\=p

Эта величина пропорциональна следу матрицы

( д2Pn(Q, а) \ дaiдaj т.е. величине

^ д2Pn(Q, а)

да2 .

j=i j

Следуя Ю.Н. Тюрину [1], назовем критерий для проверки H0 : а = 0 против альтернативы Ha : а = 0 локально оптимальным знаковым критерием, если среди всех критериев заданного уровня значимости он обладает наибольшей средней кривизной функции мощности Pn(Q, а) в точке а = 0.

i,j = i,...,q

Из (9) следует, что таким критерием будет критерий, основанный

на статистике

£ (7? - 2n-1/2Y2j)

3=1

а асимптотически эквивалентный ему критерий будет иметь вид (в : Г2 > С) , где Г2 = 3 72.

Из замечаний 2 и 3 следует, что при п ^ то асимптотическое распределение статистики Т2 будет ^-распределением с д степенями свободы.

Доказательство леммы 2. Обозначим

4 = I {(Бь ..., Би) = ,..., ви)} , к = 1,..., п,

где I — индикаторная функция множества. Обозначим также Пи а-алгебру, порожденную случайными величинами е3, ] < к. Отметим, что

I(Би = ви) = 1 + виI(ии > 0)+1 _ виI(ии < 0) = 1 + ви -виI(ии < 0),

2

2

поэтому

Iи=Iи-lI(Би = ви)=!и-1 ^ 1+ви-виI(ии < 0)^ , к = 2,...,п. (11)

Воспользовавшись этой формулой при к = п, измеримостью еп-1 и независимостью еп-2 относительно а-алгебры Пп-1, будем иметь

Pn(s,a) = E/n = E

Ein-И 1 + Sn - SnI(un < 0)|Пп-1

2

=E

In- 1E

1 + s.

о - SnI( en < / aj^n—j n1

j=1

=E

. 1 + Sn ^n—1 I 2 Sn

G(-Y^ ajen—j)

j=1

(12)

Разлагая по формуле Тейлора функцию й в нуле до членов второго порядка включительно и учитывая, что С(0) = 1/2, получаем

ч

й(- а3£п-3 ) =

j=1

G(0) + G'(0)(- £ aj^n—j) + G"(-т £ ajj)(- £ ajj)2 =

j=1

j=1

j=1

1/2 + G'(0)(- £ aj^n—j) + G"(0)(- £ ajj)2+

j=1 j=1

+ G"(-r ^ ajen-j) - G"(0) (- ^ a,en-j)2, 0 < т < 1.

j=i

j=i

Так как sup G"(x) < то и G"(x) непрерывна в нуле, то по теореме

x

Лебега о мажорируемой сходимости

G"(-Tj>jen-j) - G"(0)

j=i

q

aj en-j|2 = o(|a|2), a ^ 0.

j=i

Следовательно, с учетом G"(0) = 0

1 q Pn(s, a) = -E/n-i + snG'(0) ^ aE(/n-ien-j) + o(|a|2). (13)

j=i

Таким образом, для вывода рекуррентной формулы необходимо вычислить постоянный член и коэффициент при а, в разложении функции

Б(/п-1еп-з), у = 1,..., д,

по формуле Тейлора.

Пусть у = 1. Воспользовавшись представлением (11) для 1п-1, измеримостью еп-2,... ,еп-5-1 относительно а-алгебры Пп-2 и независимостью еп-1 от Пп-2, получим, что

E(1n-1en-1) = E

in-'2Een-1( —г-1 - sn-1i (un-1 <0)|fin-2

= -Sn-1 E [Jn-2E (en-iI(Un-1 < 0)|Hn-2)j .

Дифференцируя функцию

h(a) = E(en-iJ(un-i < 0)|Пп-2) =

q

Г- E aj £n-j-l

= E(en-iJ(en-i< aj-en-j-i)|nn-2)^ j_1

xG'(x) dx (14)

как функцию верхнего предела интегрирования и разлагая ее в точке а = 0 по формуле Тейлора до членов первого порядка включительно, получаем

й(а) = й(0) + ^^а, + о(|а|) = Ее- + о(|а|),

з=1 3

так как

ВД = [ хС(х) ¿х = Ее-,

dh(0)

Поэтому

a=0

- -£n-j ( - ^ ^n-j-И -

j=1 ' ^ j=1

a=0

E(/n-ien-i) - -sn-iEe- (E/n—2) + o(|a|).

Отметим, что совершенно аналогично

Е(!и-1 еи-1) = -ви-1 Ее-(ЕД-2) + о(|а|), к = 1,...,п - 1. (15)

Пусть теперь ] > 2. Используя представление (11) для !п-1, будем иметь

E(1n-1^n-j) — E

^n—2E^n—j ( ^ Sn-1/(un—1 < 0)|^n—2

2

-E

^n—2^n—j

1 + Sn-1

sn—1G ( ^ ^ ai^n—1—i

i=1

Разлагая С(ж) по формуле Тейлора и обозначая через си, к = 1, к = — некоторые постоянные, получаем

E(1n—1^n—j ) —E

^n—2^n—j I 0 + sn—1 i) +o(|a|)

i=1

— Ö E(1n — 2^n—j ) + sn—1 G'(0)aj E(Jn —2^n—j^n— 1—j) + ^ Cfe+ ofla^

k=1 k=j

поскольку из условия sup G'(x) < то и теоремы Лебега о мажорируе-

x

мой сходимости следует, что

/n_2£n-j I -т^ —G'(0) ^ = o(|a|).

V i=1 J i=1 J

Используя эту формулу рекуррентным образом j — 2 раз, получаем

E(In-l£n-j) 2 E(In_j)+

_ \ q

+G'(0)aj 21 r sn_r E(Jn_i_r en_j еп__- ) + ^ a + o(|a|), (16)

. r=1

k=1 k=j

где си, к = 1,..., д, к = — некоторые постоянные.

Теперь для окончательного вывода рекуррентной формулы для Рп(в, а) необходимо вычислить

-Г ^п-3 ^П-Г-3), 2 < ^ < g, 1 < Г < 1

с точностью до о(1).

2

q

Если г < у — 1, то воспользовавшись измеримостью еп-3 относительно а-алгебры Пп-2-г, получим

E(/n—i-rSn—jSn—r—j )

= E

Zn-2-rEsn—jSn—r—j E

1 + sn—i—r

— Sn— i—r1 (un-i-r < 0) ^n-2-r

=E

/ . 1 + Sn i r G i ^^

in—2—rSn—jSn—r—j S ^ sn—i—rG | / , айSn—i—r—k

=E

2

/n—2—rSn—jSn—r—jj 2 sn—i—r( G(0)

qq

— G'(—T^^kSn-i-r-k) ^^ а^n-i-r-k

k=i k=i

= 2Е(/п-2-геп-зеп-г-з) + о(1), 0 < т < 1. Используя эту формулу рекуррентным образом у — г — 1 раз, получаем

Е(1п-1-геп-зеп-г-з) 2 Е(1П-еп-зеп-г-3) + о(1). (17)

Из представления (11), измеримости еп-з-1,..., еп-з- относительно Пп-3-1 и независимости еп-з от Пп-з--1, будем иметь для всех

г = 1,..., у — 1

E(/n—jSn—jSn—r—j )

=E

/n—j—iSn—r—jE ^ Sn—j

1 + sn—j

2 sn —J 1 ( un —J < °) I |J ün— j-

sn—j1 (un—j < 0)J |^n—j—i sn—jE [/п—j— iSn—r—jE (sn—j1 (un—j < 0)|^n—j—i)] .

Так же, как и для Л,(а) в (14), разлагая функцию

Л,1(а) = Е (еп-зI(ип-з < 0)|Пп-з_1} , по формуле Тейлора в точке а = 0, получаем

^1(а) = Ее- + о(а). Поэтому для всех г = 1,..., у — 1

Е(1п-зеп-зеп-г-з) 8п-з(Е(е1)Е(1П-1-зеп-г-з) + o(1),

где, принимая во внимание (16), найдем, что для всех г = 1,..., у — 1

E(/n—jSn—jSn—r—j) sn—j(Es- )2 E(/n—r—jSn—r—j) +

а с учетом (15) будем иметь

Е (^^П — 3 ^п-3 ^п-Г-3 ) вп-3 вп-Г-3 (Е^1 ) 2 E(In —Г-3-1) + о(1).

Подставляя это равенство в (17) и учитывая (см. (13)), что EIn = 2-п + + о(1), получаем, что для ] > 2

^^п- 1-Г ^п-3 ^п-Г-3 ) вп-3 вп-Г-3 ^^ ) 2 + о(1).

Подставив это выражение и (15) в формулу (16), получим, что для ;> 2

E(In-l£n-j) = -21-3 ^£-^(^-3-1^-3+

3-1 а

+ вп-3£'(0)^-)224-п«3 ^ вп-Гвп-3-Г + ^ сиаи + о (|а|),

Г=1 и=1

и=3

где си, к = 1,..., д, к = — некоторые постоянные.

Таким образом, отсюда и из (15) найдем, что при п > 2д

а

Рп(в,а) = 2-1Рп-1(в,а) + впвп-2-3-1Рп-3-1(в, а) +

3=1

А2 а 3-1 а

+ А а2 У. впвп-3вп-гвп-3-г + ^ ^ си3аиа3 + о (|а| ) , (18)

3=2 Г=1 и,3=1

и=3

где А = -4G/(0)Ee-.

Легко видеть, что эта формула остается справедливой и для п < 2д, если положить по определению Р0 (в, а) = 1 и Ри (в, а) = 0 для всех к < 0. Применяя эту формулу рекуррентным образом п - 1 раз, будем иметь

п

1 + А ^ а3 ^ виви-3 +

3=1 и=3+1 п 2 п

У ви ви-Л - (п - ;) - 2 ^ ви ви-23

и=3+1 и=23+1

2

+ a22

j=1

+

+ Сг3ага3 + 0 (|а|^ } ,

3,Г=1 Г=3

откуда с учетом (4) получим (9). Лемма доказана.

Доказательство леммы 1. Как видно из вывода (18), при доказательстве этого соотношения с точностью до о(|а|) функцию С(ж)

достаточно разлагать по формуле Тейлора только до членов 1-го порядка. Это позволяет заменить условие А5 более слабыми условиями А3 и А4. Они, в свою очередь, необходимы только при выводе (13) из (12), который основан на следующей оценке:

EJn-1^- Y, a- EIn-1 ^G(Ü) - G'(0) Y, EJn-^С ^-t YY а^ j - G'(0)J (Y а

<

<

<

<

Y

j=1

1+r

= o(|a|), 0 < T < 1.

Используя рекуррентную формулу (18) п — 1 раз, получаем (5). Лемма доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тюрин Ю. Н. Знаковый статистический линейный анализ. - В кн.: Методы анализа данных, оценивания и выбора. - М.: ВНИИСИ, 1986. - Вып. 12. - С. 416.

2. Б о л д и н М. В. О локально оптимальных знаковых критериях в схеме авторегрессии // Системные исследования в области компьютеризации и статистики: Сб. трудов. - М.: ИСА РАН, 1993. - Вып. 1. - С. 46-54.

3. Л е м а н Э. Проверка статистических гипотез. - М.: Наука, 1964. - 498 с.

4. D u f o u г J. -M. Rank tests for serial dependence // J. Time Ser. Anal., 1982. -V. 2. - P. 117-128.

5. К о к с Д., Х и н к л и Д. Теоретическая статистика. - М.: Мир, 1978.

Статья поступила в редакцию 24.04.2007

Елена Рудольфовна Горяинова родилась в 1960 г., окончила в 1983 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Теория вероятностей" Московского авиационного института (технического университета). Автор 17 научных работ в области непараметрической статистики и анализа временных рядов.

Ye.R. Goryainova (b. 1960) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1983. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Theory of Probabilities" department of the Moscow Aviation Institute (Technical University). Author of 17 publications in the field of non-parametric statistics and analysis of time series.

Владимир Борисович Горяинов родился в 1961г., окончил в 1983 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 23 научных работ в области стохастических дифференциальных уравнений, статистических методов в биологии и медицине.

V.B. Goryainov (b. 1961) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1983. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 23 publications in the field of stochastic differential equations, stochastic methods in biology and medicine.