Знаковые критерии независимости наблюдений в модели пространственной авто- регрессии порядка (1,1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.234

В. Б. Горяинов, Е. Р. Горяинова

ЗНАКОВЫЕ КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ НАБЛЮДЕНИЙ В МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ АВТОРЕГРЕССИИ ПОРЯДКА (1,1)

Построены свободные от распределения знаковые критерии для проверки независимости наблюдений, описываемых уравнением пространственной авторегрессии порядка (1,1). Найдено точное распределение статистик критериев, доказана их асимптотическая нормальность.

Ключевые слова: знаковый критерий, знаковые методы, пространственная авторегрессия.

Модель пространственной авторегрессии широко используется в экономике [1], естественных [2] и технических [3] науках. Систематическое изучение ее статистических свойств началось с работ Тьост-хейма [4, 5]. К настоящему времени в рамках этой модели решены основные задачи параметрического анализа [6].

В настоящей работе предпринимается попытка непараметрического (знакового) анализа этой модели. В одномерном случае аналогичные задачи для авторегрессии решены в работе [7], для уравнения скользящего среднего — в работе [8].

Постановка задачи. Рассмотрим стационарное поле Х^, г,^ = = 0, ±1, ±2,... на плоской целочисленной решетке, описываемой уравнением пространственной авторегрессии порядка (1,1):

Хг] = ашХг_и + а01Хг<]-1 + апХ»_и_1 + ег], = 0, ±1, ±2,... (1)

где — независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестной функцией распределения Р(ж); а = (а10, а01, а11) — неизвестный вектор параметров авторегрессионной модели.

Проверим по наблюдениям Х^, г = 0,... т, ] = 0,..., п, гипотезу Н0 о независимости наблюдений в (1), т.е.

Н0 : а = 0.

В качестве альтернативы будем рассматривать гипотезы Н+ и Н_ о том, что координата а.[Н1 вектора а отлична от нуля, т.е. для любых

(р,д) е в = {(1,0), (0,1), (1,1)}

Н+ : ап > 0, аы = 0 для любых (к, 1) = (р, д), Н_ : ард < 0, аы = 0 для любых (к, 1) = (р, д).

Мы будем строить критерии, основанные не на самих наблюдениях, а на их знаках, точнее на матрице Б, состоящей из элементов

Бгз = sign(Xij), г = 1, 2,..., т, ; = 1, 2,..., п,

где

. I -1, если ж < 0, й^п(ж) = <

I 1, если ж > 0.

Обозначим Ц критическую область знакового критерия, т.е. такое подмножество множества & матриц размера т х п с элементами из —1 и 1, что при Б € Ц гипотеза Н0 отклоняется. Тогда функция мощности Р(а, Ц) этого критерия имеет вид

Р(а,Ц) = ^ Р{Б = в|а},

где Р{Б = в|а} — вероятность события {Б = в} при альтернативе а.

Для проверки Н0 против Н^ и Н_ мы будем строить локально наиболее мощные знаковые критерии, т.е. критерии, функции мощности Р(а, Ц) которых наиболее круто изменяются в направлении а,п в окрестности нуля. Другими словами, Ц выбирается так, чтобы

dP (a,Q)

Е

d P{S = s|a}

a=0 sgQ

была максимальной при H+q и минимальной при Hpq.

Основные результаты. Обозначим

fü

E = - tF'(t) dt, K = 4F'(0)E,

J —ж

m n m n

г'Р1 ^ 8ъ-Р,3-<1, 53 ^ ^ъ-РЛ-Я'

г=р+1г=р+1

Теорема 1. Пусть функция распределения случайных величин е^ удовлетворяет следующим условиям:

^(0) = 1/2, ^'(0) > 0; (2) Б(еи) = 0; (3)

Е[|^ '(виХп)-

- ^'(0)||ХИ|] ^ 0 при и ^ 0 для любого в е (0,1). (4)

Тогда для любых (р, д) е В при альтернативах Н+, Н—

Р{# = в|а>) = 2-тп(1 + КгРдаРд) + о(ард) при ар<1 ^ 0.

Доказательство теоремы 1 см. в приложении.

Замечание. Легко видеть, что условие (4) выполнено, если существуют такие г е (0,1] и Ь > 0, что

Б|еи|1+Г < то, |^'(г) - ^'(0)|< Ь|г|г У е к. Действительно, в этом случае Е[|^'(виХп) - ^'(0)||ХИ|] <

< ЕЬ|виХи|г|ХП| < Ь1|и|Е|еп|1+г ^ 0 при и ^ 0.

В частности, теорема 1 может быть справедлива для поля Х^ с бесконечной дисперсией.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2)-(4). Тогда:

1) Н0 отклоняется в пользу Н+ на уровне значимости а, если > С, и принимается в противном случае; постоянная С находится

из условия Р{^РЯ > С} = а при Н0, (р, д) е В;

2) Н0 отклоняется в пользу Н— на уровне значимости а, если < С, и принимается в противном случае; постоянная С находится

из условия Р{^РЯ < С} = а при Н0, (р, д) е В.

Доказательство. Так как при Н0 случайные величины Х^ независимы и одинаково распределены, то Р{£ = в} = 2-тп для любой

^^Л ^ д Р{£ = в|а} в е о. Поэтому Ц будет состоять из тех в, в которых -

даря

принимает наибольшие значения для Н+ и наименьшие для Н-,

(р, д) € В, а количество элементов в Ц будет определяться уровнем значимости критерия (если Ц состоит из к элементов, то уровень значимости будет равен к • 2_тп). Из теоремы 1 следует, что

д Р{Б = в|а})

да,т

= 2-mnKzpq, (p,q) G B.

■pq

a=0

Отметим, что Е > 0, и, следовательно, К > 0. Таким образом, при проверке Н0 против Н+ критическое множество состоит из тех матриц в, для которых гт > С, где постоянная С определяется уровнем значимости критерия, (р, д) € В.

Аналогично при проверке Н0 против Н_ критическое множество состоит из тех матриц в, для которых гш < С, (р, д) € В.

Распределение статистик Хт при гипотезе Н0. Для практического применения построенных критериев нужно знать распределение ¿т, (р, д) € В, при гипотезе Н0. Квантили распределения Zpq находятся при помощи следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (2)-(4). Тогда при гипотезе Н0 справедливы следующие утверждения:

1) статистика представима в виде

¿.а =2£ — (т — р)(п — g), где случайная величина £ имеет биномиальное распределение с параметрами (т — р)(п — д) и -;

2) асимптотически нормальна с = 0 и =(т—р)(п—д),

(р, д) € в.

Доказательство. Покажем, что ¿,рщ — сумма независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. При Н0 наблюдения Хц совпадают с и поэтому являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Из условия (2) следует, что при Н0 случайные величины Бц принимают значения ±1 с вероятностью 1/2. Если (г — р,; — д) = (к,/) и (к — р,/ — д) = (г,;), то независимость Бг]Бг_р)3_а и БыБк_р_ очевидна. В противном случае, например при (г — р,; — д) = (к, /), независимость БцБг_р^_а и Бг_р^_аБг_2р,^_2д вытекает из независимости событий {Бц Бг_р>з_9 = 1} и {Бг_р1^_д Бг_2р,з_2д = 1}, г,; = 0, ±1,..., т.е. равенства

Р{Бг?Б1_р,д_ц = 1, Б'1_р,']_(1 Бг_2р,']_2а = 1} =

= Р{Бг? Бг_р,]_а = 1}Р{Бг_р,3_а Бг_2р%]_2д = 1}.

Это соотношение следует из того, что, с одной стороны,

$ъ-р,3-я = 1, $ъ-р,3-яБг-2р,]-2я = 1} =

= Р{Бг^ = Бг-р,']-я = Бг-2рЛ-2д = 1} +

+ Р{^? = Бг-р,]-Я = Бг-2р,з-2я = —1} = 8+8 = 4 ,

а с другой стороны,

Р{Бг^ Бг-р,']-я = 1} = Р{Бг^ = Бг-р,']-я = 1} +

1 1 _ 1

4 + 4 = 2

+ P{Sij — Si—p,j — q — 1} — А + А — о,

и аналогично

Р{Бг-рл-я Зг-2рЛ-2я = 1} = ^.

Из этих же выкладок вытекает, что для любых (р, д) е В

Бг-рл-я) = ° Бг-Р,]-Я) = 1 ^ 3 = 0, ±1, . . . ,

а следовательно, в соответствии с центральной предельной теоремой распределение Zvq асимптотически нормально с Е^ря = 0, 02рд = (т - р)(п - д), (р, д) е В. Далее, поскольку

Р{Я? й-™- = 1} = Р{Я? Бг-р,.-я = -1} = ^,

1 + Б • Б • 1

то---имеет распределение Бернулли с параметром -, а

22

mn

t — v^ v^ ! + SijSi—p,j—q — (m -p)(n - g) + 1 Z ? — 2 — 2 + 2 Zpq

2 2 2

г=р+1]=а+1

— биномиальное распределение с параметрами (т - р)(п - д) и -.

2

Приложение. Доказательство теоремы 1. Чтобы избежать громоздких обозначений, докажем теорему для альтернативы а = (а10, 0, 0), а10 = 0; для остальных альтернатив ара = 0, (р, д) е В, доказательство аналогично.

Обозначим I(А) — индикатор подмножества А в пространстве элементарных событий П, = I(Б^ = в^). Отметим, что при альтернативе (а10, 0, 0)

1г] = -2—Л - вгЛ1 (егЛ < —а10Хг-).

Определим случайные величины g(p, q) по формуле

т 1— 1 \ / р \ п п П , если д > 1,

о(р,д) =4 \г=1 / Чг=1 /

р

П , если д =1.

и=1

Обозначим АР1 а-алгебру, порожденную при д > 1 случайными величинами

, 0 < г < т, 0 < < д - 1} и {е^, 0 < г < р - 1}, а при д = 1 случайными величинами

{егд, 1 < г < р - 1}.

Так как д(р — 1, д) измерима относительно АР1, а £т и независимы, по формуле полного математического ожидания

Е^(р,д) = Е[д(р - 1,д)/рд] =

= E = E

g(p - i,q)

2

1 + spq

g(p - 1, q)E ( —---SpqI(£pq < -aicXp-i,q)

2

pq

= E

g(p - 1,q)

1 + s.

pq

2

— Spq F ( —a10Xp-1,q )

где при р =1 по определению д(р — 1, д) = д(т, д — 1). Дальнейшее изложение доказательства теоремы 1 опирается на две леммы.

Лемма 1. Пусть для функции Р (¿) и случайной величины Х11 выполнены условия (2)-(4). Тогда для любых т, п > 1 и для любой ограниченной случайной величины п

Е[пР(иХи)] = 1 Еп + мР'(0)Е[пХп] + о(и), и ^ 0, 2

в частности,

Е[пР(иХп)] = 1 Еп + о(1), и ^ 0.

Доказательство. Из формулы Тейлора следует, что

Р(¿) - Р(0) - Р'(0)* = (Р'(в£) - Р'(0))£, 0 < в < 1. Поэтому из (4) вытекает, что

Е|пР(иХи) - пР(0) - пП0)(иХИ)| <

< Е[|Р'(иХпв) - Р'(0)||иХи|] = о(и) при и ^ 0,

откуда с учетом (2) следует утверждение леммы.

Продолжим доказательство теоремы. Применяя лемму 1 к П = #(р — 1, д), и = — а10 и Хц = , получаем

^^ д) = 2Е£(р — l, д) + аю^рд^/(0)Е[^(р — 1 д)ХР-1,д] + о(аю). В частности,

Eg(p,q) = 2Eg(p - 1,?) + o(1) аю ^ о.

Поскольку

Eg(1,1) = E =E

1 + S11

2

- sn/(еи < -aioXoi)

1 + Sii 2

1 + Sii

2

- SiiI(eii < -aioXoi)

- SiiEF(-aioXoi) =

1 + sii 2

- si^1 - F'(0)aioEXoi + o(aio)^ =

= 1+_8п — 1 ^ц + о(а10) = 1 + o(al0), (5)

то, рассуждая по индукции (где элемент Ед(р, д) имеет номер т(д — 1) + р), получаем, что

Е^(р,д) = 2-т(д-1)-р + о(1), а 10 ^ 0.

Лемма 2. В условиях теоремы 1

Е[#(р, д)Хрд] = 8Р(1 Е2-т(д-1)-р+1 + 0(1), а 10 ^ 0. Доказательство. Поскольку £рд не зависит от Ард, то

Е(£р<д |Ард) Е£рд 0.

Отсюда и из измеримости Хр-1д и д(р — 1,д) относительно Ард, а также из (2) и (6) следует, что

Е[^(р,д)Хрд] = Е[^(р,д)(а10 Хр-1,д + £рд)] = Е[^(р,д)еР5)] + о(1) =

= Е[Е[д(р — 1,д)/р, £рд |Ард ]]+ о(1) = Е[д(р — 1,д)Е[/р, £рд |Ард ]]+ о(1) =

=E

g(p-1,g)E

1+Spq

2 ^pq spq^pq1 (^pq< aioXp-i,q)

A

■pq

+ o(1) =

E

1 + s

E[g(p - 1,q)E(ePq) - E[g(p - 1,q)E[ePqI<

spq E

< -aioXp-1,,)|Apq]] + o(1) =

—aio Xp-I,q

g(p - 1,q) / tF'(t) dt

+ o(1) =

spq E

g(p - 1,q) / tF'(t) dt

+ o(1) =

= SpqEE[g(p - 1, q)] + o(1) = SpqE2—m(q—1)— p+1 + o(1), ^ 0

Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 следует, что

Eg(p,q) =

1

Eg(p- 1,q) + aioSPqF'(0)E [sp—i,qE2—m(q—1)—p+2 + o(1)] + 0(аю)

= 2Ед(р - 1, д) = аювр^8р— 1,,Р'(0)£2—1)—р+2 + 0(аю).

Полученная рекуррентная формула для Ед(р, д) с начальным условием (5) дает

р ,

1 + а1о4Р'(0)£ ^ ^ ^8г— и + о(аю).

г=2 ¿=1

Так как Р{£ = з|а} = Ед(т, п), теорема 1 доказана.

Eg(p,q) = 2—m(q—1)—p

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bruce A. Blonigen, Ronald B. Davie s, Glen R. Waddell, Helen T. Naughton. FDI in space: Spatial autoregressive relationships in foreign direct investment // European Economic Review. - Vol. 51, issue 5, July 2007. - P. 1303-1325.

2. DongpingZhuA. A. (Louis) Beex. Robust Spatial Autoregressive Modeling for Hardwood Log Inspection. Journal of Visual Communication and Image Representation. - Vol. 5, issue 1, March 1994. - P. 41-51.

3.Chellappa R., Sharma G. Two-dimensional spectral estimation using spatial autoregressive models // Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE International Conference on ICASSP'83. - V. 8, Apr. 1983. - P. 855-858.

4. TjostheimD. Statistical spatial series modeling // Adv. in Appl. Probab., 1978. -V. 10. - P. 130-154.

5. T j o s t h e i m D. Statistical spatial series modelling II: Some futher results on unilateral processes // Adv. in Appl. Probab., 1983. - V. 10. - P. 562-584.

2

o

2

6. Illig A., Truong-Van B. Asymptotic results for spatial ARMA models // Commun. Stat., Theory Methods, 2006. - V. 35, no. 4. - P. 671-688.

7. Тюрин Ю. Н. Непараметрические методы для линейных моделей временных рядов // Системные иследования в области компьютеризации и статистики. -М.: ИСА РАН, 1992. - С. 54-61.

8. Goryainova E. R. Locally optimal sign test in the moving average model // Advances in modelling & analysis, B., 1993. - V. 27, no 4. - P. 43-56.

Статья поступила в редакцию 10.09.08

Елена Рудольфовна Горяинова родилась в 1960 г., окончила в 1983 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Теория вероятностей" Московского авиационного института (технического университета). Автор 17 научных работ в области непараметрической статистики и анализа временных рядов.

Ye.R. Goryainova (b. 1960) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1983. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Theory of Probabilities" department of the Moscow Aviation Institute (Technical University). Author of 17 publications in the field of non-parametric statistics and analysis of time series.

Владимир Борисович Горяинов родился в 1961г., окончил в 1983 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 23 научных работ в области стохастических дифференциальных уравнений, статистических методов в биологии и медицине.

V.B. Goryainov (b. 1961) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1983. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 23 publications in the field of stochastic differential equations, stochastic methods in biology and medicine.

В издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2008 г. вышла в свет книга

Колесников К.С.

Рассказ о моей жизни. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 360с.

Автобиографическая книга профессора МГТУ им. Н.Э. Баумана, академика РАН Константина Сергеевича Колесникова представляет собой яркое жизнеописание человека интереснейшей судьбы. Перед нами история личности на фоне крупнейших событий двадцатого столетия, пример целеустремленности фронтовика-бауманца, который жаждал учиться и добился максимальной самореализации.

Читатель — студент или выпускник МГТУ им. Н.Э. Баумана — почерпнет из этой книги немало ценной информации о развитии университета во второй половине XX в., воспитании молодежи, замечательных ученых, блестящих педагогах, которыми по праву гордится наша alma mater.

Неподдельная искренность автора, рассказывающего о пройденном им пути, побуждает к серьезному размышлению, поиску ответов на волнующие современника вызовы нынешней эпохи.

По вопросам приобретения обращаться по тел. (499) 263-60-45; e-mail: [email protected]