Идентификация случайных полей методами, основанными на знаках остатков наблюдений Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Идентификация случайных полей методами,

основанными на знаках остатков наблюдений

# 06, июнь 2013

Б01:10.7463/0613.0571085

Горяинов В. Б.

УДК 519.12

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Рассмотрим процесс пространственной авторегрессии — стационарное поле Ху на прямоугольной целочисленной плоской решетке, описываемые рекуррентным соотношением

Ху = атХг-1,у + <201X^-1 + ап+ еу, г,] = 0, ±1, ±2,..., (1)

где а = (а10, а01, а11) — авторегрессионные коэффициенты, а еу — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием Ееу = 0.

В основе традиционных методов исследования уравнения (1) лежат принципы максимального правдоподобия и наименьших квадратов (см. [1, 2] и библиографию к ним). Они позволили получить важные результаты в предположении, что ошибки еу распределены по нормальному закону. Однако на практике предположения о нормальности выполняются не всегда, и в этих случаях выводы, основанные на традиционных методах, могут быть ошибочными. В частности, эти методы чувствительны к засорению выборки резко выделяющимися наблюдениями. Возникает необходимость построения непараметрических методов, ориентированных на широкий класс распределений еу.

Одним из таких методов является знаковый метод, появившийся еще в 18 веке и хорошо зарекомендовавший себя в последние десятилетия [3]. Знаковый метод использует не сами наблюдения Ху, а только их знаки и основан на предположении о том, что функция распределения ^(х) ошибок еу должна удовлетворять условию ^(0) = -.

В работе [4] получены локально наиболее мощные знаковые критерии проверки гипотез о коэффициентах уравнения (1). Показано, что распределение статистик построенных знаковых критериев не зависит от распределения ошибок еу и асимптотически нормально даже при бесконечной дисперсии еу.

В данной работе на основе статистик локально наиболее мощных знаковых критериев предложен метод построения точечных оценок авторегрессионных коэффициентов, основанных на знаках остатков наблюдений. Доказана состоятельность и асимптотическая нормальность построенных знаковых оценок, проведено сравнение этих оценок с оценками наименьших квадратов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим процесс (1), где еу — независимые одинаково распределенные случайные величины с неизвестной функцией распределения ^(х), а = (а10, а01, ац) — неизвестный вектор параметров. Достаточные условия стационарности поля (1) приведены в [1, 5].

Пусть а0 = (а°0, а°ь а11) — некоторый известный вектор. Рассмотрим задачу проверки гипотезы

Н0 : а = а° (2)

против односторонних альтернатив Н+ и Н-, (р, д) е I = {(1, 0), (0,1), (1,1)}, вида

Н+ : аря > а°, аы = а°к1 для любых (к, 1) = (р, д), (3)

Н : ап < а°, аы = ак для любых (к, /) = (р, д), (4)

хрд • "И ^ рд "> !рд : ард < а°д,

и двустороних альтернатив

Нрд : ард = а°д, аы = а°1 для любых (к, 1) = (р, д). (5)

Пусть Ху, г = 0,..., т, = 0,..., п, — наблюдаемая реализация поля (1). Обозначим

/ -1, х < 0; в^п(х) = <

| 1, х > 0.

Перейдем от наблюдений Ху к их знакам, точнее, к величинам

Бу (а) = в1§п(Ху - аюХ^у - а°1Х^_1 - ацХ*-^^), г = 1,..., т, = 1,..., п.

На основе информации только об Бу (а) в работе [4] построены оптимальные критерии проверки гипотез о параметре а. Оптимальность критериев понимается в следующем смысле.

Обозначим через ^ критическую область знакового критерия, т.е. такое подмножество матриц ^ размера т х п с элементами из -1 и 1, что если матрица Б(а°) принадлежит то гипотеза Н0 отклоняется. Через Ртп^, а) обозначим функцию мощности знакового критерия, определяемую как вероятность отклонения гипотезы Н0, когда Н0 не верна:

Ртп(Я, а) = Р{Б(а0) е Q | верна альтернатива а}.

Пусть Ртп^,а) дифференцируема в точке а0. Определим локально наиболее мощный знаковый критерий для проверки гипотезы Н0 против односторонней альтернативы Нрд,

(p, q) £ I, как критерий, имеющий функцию мощности Pmn(Q,a), наиболее круто возрастающую по переменной apq в правосторонней окрестности точки aPq. Это означает, что критическая область Q локально наиболее мощного знакового критерия должна быть выбрана так, чтобы величина a) при а = а0 была максимальна. Совершенно анало-

daPq

гично определим локально наиболее мощный знаковый критерий для проверки гипотезы H0 против односторонней альтернативы H_, (p, q) £ I, как критерий, имеющий минимальное

dPmn(Q,a) 0

значение--- при а = а0.

daPq

Определим множество {8j(а)} рекуррентным соотношением

óij(а) = аю^-и(а) + а01^г,^-1(а) + ап8i_1(а), i, j = 1, 2,..., (6)

с граничными условиями

800 (а) = 1; ífc0(а) = (аю)к, k> 0; 801 (а) = (а01)1, 1> 0; 8j(а) = 0, i< 0 или j< 0. (7) Пусть

1 - а?0^1 - а0хZ2 - а01^1^2 = 0, || < 1, |z21 < 1, (8)

а функция распределения F(x) и плотность f (x) случайных величин eij удовлетворяют условиям

F (0) = 1, (9)

f(0) > 0, (10) E(en) = 0, (11)

E[|f (йиХц) - f (0)||X111] ^ 0 при u ^ 0 для любого tf £ (0,1). (12)

Обозначим

m n

Zij(а) = ^^ Бк1(а)Бk_i,i_j(а), i = 0,1,...,m, j = 0,1,...,n, fc=i+1 i=j+1 m—1—p n—1—q

Wpq(а) = Y^ 8ij (a)Zi+P,j+q(а), (P,q) £I, i=0 j=0

W (a) = (Wlo(a),Wol(a)Wll(a)).

Для краткости обозначим Skl = Skl(a0), Zij = Zij(a0), Wpq = Wpq(a0). В [4] доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (8)-(12). Тогда локально наиболее мощный знаковый критерий отклоняет H0 в пользу H+, если

Wpq >С+ , (p,q) £ I, (13)

и принимается в противном случае. Постоянная C+ определяется уровнем значимости а критерия.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (8)-(12). Тогда локально наиболее мощный знаковый критерий отклоняет Н0 в пользу Н—, если

<С", (р,д) е!, (14)

и принимается в противном случае. Постоянная С—' определяется уровнем значимости а критерия.

2. Знаковая оценка параметров авторегрессионного поля

Из теорем 1 и 2 следует, что небольшие значения |Wpq(а)| свидетельствуют в пользу Н0, а большие — в пользу альтернатив. Поэтому в качестве оценки параметра а, следуя идее Ходжеса и Лемана [6], надо выбрать решение а системы уравнений

W (а) = 0. (15)

К сожалению, функции Wpq (а) разрывны и равенство (15) может выполняться лишь приближенно. Поэтому в качестве оценки естественно взять точку а, в которой координаты Wpq (а) функции W(а) переходят через нуль. Также можно в качестве оценки брать минимум функции

С(а) = ~т= ^(а) + Wo2l(а) + Wl2l(a)Y \]шп V /

Функция С(а) кусочно-полиномиальная. Она имеет разрывы в точках, удовлетворяющих

соотношениям

Ху - аюХг-1,у- - а01Х^-1 - ацХ^^— = 0, г = 1,..., ш, ] = 1,..., п. (16)

2

В точках разрыва изменение функции С (а) не превышает по абсолютному значению

'ти

Минимум функции С (а) всегда существует, поскольку совпадает со значением С (а) в одной из точек пересечения плоскостей (16). Минимум С(а) можно найти любым методом, не требующим дифференцируемости целевой функции, например методом покоординатного спуска.

3. Состоятельность знаковой оценки

Обозначим

Егз(а) = Е[Бгз(а)Бп(а)], г,] е Н,

^ те

^(а) = X X] (a)Ei+p+l,j+q+l(a), (р, 0) е 1,

i=0 у=0

Ь(а) = (llo, Lol, Ьц).

Обозначим также через В множество коэффициентов авторегрессионного уравнения (1), удовлетворяющих условию (8).

Определим матрицу

/с

с элементами

(К{1} 0,1,0) К(1,0,0,1) К(1,0,1,1)\

К(1,0,0,1) К(0,1,0,1) К(0,1,1,1) \К(1,0,1,1) К(0,1,1,1) К(1,1,1,1) У

К(Р,5,а,в) = X (а0)íi+|p-а|,j + |q-в|(а0),

М е!, (а, в) е!. (18)

i=0 у=0

Теорема 3. Пусть выполнены условия (9)—(11) и

а2 = Е[е2] < то.

(19)

Тогда Ь(а) дифференцируема в области В, det(L/(a0)) = 0 и —— Wpq (а) ^ Ьр<1 (а) при ш, п ^ то равномерно по а е В.

ти

Доказательство. Имеем

1

-Wpq (а) - Lpq (а)

шп

< 5 + 5*2

где

51

-WPq (а) - Е

шп

ш^ (а) 1_шп

52

ш^ (а) шп

- ^(а)

Из стационарности полей Ху и еij• следует, что

E[Skl(a)Sk-i-p,l-j-q (а)] = Е[5^+р+1,^+1(а)5п (а)]. Известно [1], что при выполнении (8) решение Ху уравнения (1) представимо в виде

Ху = $к1(а)е^кл-1,

к,1=0

причем [5] существуют постоянные а е (0,1) и С, что

№1 (а)| < Сак+1.

д^ы(а)

да,

'pq

< Сак+1, (р,д) е I.

Поэтому

— WPq (а)

шп

т-1—рj—1—q

т п

шп

X X ^ (а) X X Е[5к1(а)5к (а)]

(20)

(21) (22)

i=0 у=0 k=i+p+1 l=j+q+1

: X X (а) 1--) 1 - " ) ei+p+l,j+q+l(а)] ^ ^(а).

i=0 ¿=0 ^ ш/ \

Е

1

Е

Следовательно, S2 ^ 0, причем, в силу (21) и ограниченности Sj (a) эта сходимость будет равномерной в B.

Докажем, что S2 ^ 0. Из (20)-(21) следует, что существует т е (0,1), такое, что

|cov(Xj,ХЫ)| < Ст|i-fc|+|j-z|,

где С > 0 — некоторая постоянная. Поэтому поле Xj удовлетворяет условию сильного перемешивания с экспоненциально убывающим коэффициентом сильного перемешивания [7, § 5.2]. Следовательно [8, lemma 2.1], поле

Cfci = Sfci(a)Sfc—г—p,1—j —q(a) (k,1) £

также будет удовлетворять условию сильного перемешивания с тем же самым (в данном случае экспоненциально убывающим) коэффициентом сильного перемешивания. Так как Zfcz удовлетворяют условию сильного перемешивания и ограничены, то [9, теорема 17.2.1]

|cov(Zij,С«)| < C1T|i-fc|+j-11,

где С1 > 0 — некоторая постоянная. Таким образом,

m— 1—pj—1—q m n

ES2 < E E 4 (a) E E D[Ck,l +

i=0 j=0 fc=i+p+1 1=j+q+1

1 m—1—pj—1—q m n

+ m^ ^ E ^(а)^ш(a)| E E |cov(Zfci,Zfciii)|<

i,il=0 j,ji=0 fc,fci=i+p+1 1,1i=j+q+1

m—1—p j —1—q , • \ /

< — E E 4(a)^1 - "I (1 - "I +

mn J \ m \ n '

i=0 j=0 v

1 m— 1— p j— 1— q m

+ E E^(a)^'iji(a)| E E Ст 1 |j—1 |<

i,ii=0 j,ji=0 fc,fci=i+p+11,1i=j+q+1

с 1 т-1-р.?-1-д с

— — + — Е Е («)^л (а)1 — — ^ 0

тп т2п2 ' ' ^ /I тп

г,г 1=0 ^',^1=0

равномерно по а € В.

Докажем теперь дифференцируемость Ь(а) и найдем производную Ь'(а), в частности, убедимся, что ¿'(а0) = 0. Так как

Х? — а10Хг-1,^' — а01Хг,^-1 — а11Хг-1,^-1 = ^г.? — (а — а0)ТХу ,

то

Sij(a) = 1 - 21 < (a - a0)T Xj}

где через 1(А) обозначим индикатор произвольного случайного события А Поэтому

Е[5у (а)5п(а)] = Е[(1 - 21 {еу < (а - а0)т Ху})(1 - 21 (еи < (а - а0)т Хп})] = = 1 - 2Е[(1 - 21 {еij < (а - а0)тХу})] - 2Е[(1 - 21 {еи < (а - а0)ТХИ})] +

+ 4Е[(1 - 21 {еу < (а - а0)т Ху})(1 - 21 {еп < (а - а0)т Хи})]. Обозначим через Ау а-алгебру, порожденную случайными величинами

{ек1, (к,/) < (г,])}.

Так как еу не зависит от Ау, а {ек1, (к, /) < (г,])} измеримы относительно Ау, то

Е[1 {еу < (а - а0)тХу}] = Е(Е[1 {еу < (а - а0)тХу}|Ау]) = Е ^ (а - а0)тХ

Ну

Поэтому

д

да

ав

^ (а - а0)т Х

у

/ ((а - а0)тХу ) Х^а,у-

у-в

и, в частности,

д

да

Е

ав

^ ((а - а0)тХ

у

Е[/(0)Х-а,у-в ] = 0.

Снова учитывая независимость еу от Ау и измеримость {ек1, (к,/) < (г,])} относительно Ау, получим, что

Е

1 {еу < (а - а0)т Ху}1 {еп < (а - а0)т Хп}

Е (/{еп < (а - а0)т ХИ}Е 1 {еу < (а - а0)т Ху

1 {еп < (а - а0)тХп}^ ((а - а0)тХ

Ну

Разлагая ^ по формуле Тейлора и учитывая условие ^(0) = -, будем иметь

1 {еу < (а - а0)т Ху }1 {еп < (а - а0)т Хп}

1 {еп < (а - а0)т Хи} ( ^ + /(г (а - а0)7 Ху ) ((а - а0)т Ху

1Е

2

^ ((а - а0)тХи

+ Е

1 {еп < (а - а0)тХп}/(т(а - а0)тХу) ((а - а0)тХу)

где т е (0,1). Поэтому

д

даав

= 1Е

2

Е

1 {еу < (а - а0)тХу}1 {еи < (а - а0)тХп}

/ ( (а - а0)ТХц ) Х-а,у-в

+ Е

1 {еп < (а - а0)т Хп}/ т(а - а0)т Ху Х-а,у-в

Е

Е

__0

Е

Е

Учитывая представление

оо оо

= ЕЕ ^(а0 ^г-й.-ь

г=0 .=0

получим, что

д

да.

ав

I(^ < (а - а0)тХ.}1 {£11 < (а - а°)тХи}

2/(0)Е[Х1-а,1-в] + Е[1 (£11 < 0}/(0)Хг-«,^-в] =

те те

= / (0) ЕЕ ^ (а0)Е[1 (£11 < 0}гг-а-*,,--0-г ] = г=0 .=0

= /(0)5г-а-1,,--в-1(а0)Е[/(£11 < 0}£11] = /(0)Е(£-1)^г-а-1,^-в-1(а0).

где

£ц = I{£11 < 0}£ц

£11, £11 — 0; 0, £11 > 0,

Е(£-1)

ж/(ж) ^ж.

(23)

Таким образом,

дЬрд (а0) да

те те

ав

4/(0)Е(£-1^]>] Ьг. (а0)Ь

г=0 .=0

а )Ьг+|р-а|,^+|9-в|(а0),

и, следовательно,

Ь'(а0) = 4/ (0)Е(£-1)К.

Из этой теоремы следует, что существует решение атп системы (15), которое при т, п ^ то сходится к а0.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (9)—(11), (19). Тогда существует решение атга системы (15), являющейся состоятельной оценкой параметра а0.

Доказательство. Из независимости £. следует, что

Ег+р+1,^+д+1(а0) = Е[81§п(£г+р+и+д+1) 81§п(£ц)] = 0.

Поэтому

те те

(а0) = Е Е^(а)Ег+р+1,^+д+1(а0) = 0.

г=0 .7=0

Обозначим через ам и ат наибольшее и наименьшее значения функции Ь(а) в шаре Вг (а0) радиуса г с центром в а0. Так как Ь(а0) = 0 и det(L/(а0)) = 0, то для всех достаточно малых г будут выполнены неравенства

£(ам) > 0 и Ь(ат) < 0.

Е

__0

а=а.

0

Из сходимости W(а) к £(а) следует, что для достаточно больших ш и п будут выпол-

ти

нены неравенства

1 -Ж(ам) > 0 и —= W(ат) < 0.

шп

шп

1 С

Так как скачки функции W(а) не превышают , где С — некоторая положительная

ти ти

постоянная, то найдется такое атп е Вг (а0), что

шп

^ (атп)

<

С

шп

В силу произвольности г при ш, п ^ то последовательность атп стремится к а0, при этом

1 W(атп) ^ 0, ш, п ^ то.

ти

Теорема доказана.

4. Асимптотическая нормальность знаковой оценки

Докажем асимптотическую нормальность оценки атп. Теорема 5. Пусть выполнены условия (9)—(11), (19),

вир /(х) < то,

жек

(24)

|/(х) - /(у)|< С|х - у|, х,у е К где С — некоторая постоянная. Тогда для любого Ь0 е (0, то) и для любых (р, д) е I

(25)

вир |Ь|<Ьо

1

шп

W ( а0 + —= ) - W(а0)

шп

- 4/(0)Е[е-1 ]КЬ

= Ор(1)

при ш, п ^ то, где К определена по формулам (17)—(18). Доказательство. Обозначим а = а0 +—-—. Тогда

ти

шп

Wp^ а0 + —= ) - Wpq(а0)

шп

= 51 (а) + 52 (а),

где

1

т-1-p п-1-q

51(а) = —x x (а) - (а0)) Zi+p,j+q(а0),

шп

i=0 у=0 т-1-p п-1-q

52(а) = —шп ^ ^ (а) (а0) - ^^(а0))

i=0 у=0

1

1

Сначала докажем, что при ш, п ^ то

sup |$i(a)| = op(1).

|b|<bo

Так как E [Sj (a0)] = 0 для любых i, j и

E [Sj(a0)Sfci(a0)] = ( ^ * = k j =

0, иначе,

то

и, следовательно

E [Zij(a0)]2 = (m - i)(n - j),

Е (а0)| < ^Е [^(а0)]2 < ^(ш - г)(п - ]).

Известно [5], что при выполнении (8) коэффициенты ^ (а) дифференцируемы по а, причем выполнены неравенства (21)—(22) и

I 0 | Cai+j

^ (а) - 4,- (а )| <

/mn

для некоторый постоянный а £ (0,1) и C. Поэтому для любого е > 0

m— 1—p n— 1—q

P <( sup |Si(a)| > е } < P ^ —

|b|<bo

)( с m-1-pn-1-q

< Р ^ Е X (а0)|>е <

i i=0 у=0 )

„ т-1-pn—1-q

< — ЕЕ аi+j Р (а0)| > е} <

i=0 у=0

С т-1-pn—1-q С

< - У^ V аi+jЕ (a0)| < , 1 ^ 0, ш, п ^ то.

ешп шп

i=0 у=0 у

Теперь исследуем 52(а). Обозначим

^ (х) = 1 {еij <х} =\ ^ еу <Х

[ 1, еij > х.

Заметим, что

(а) = sign(еij(а)) = 1 - 21 {еу(а) < 0} = 1 - 21 {еч < (а - а0)тХу} =

ьтх, 1 / ьтх,

1 - 21 <! еу < —^ } = 1 - 21у I —^ шп шп

Представим Zi7 (a) в виде mn

mn%(a) = 4S(]) +4S(2) - 2£(f, mn j j j

где

^(а) =

тп

т п

Е Е

&=г+1 г=7+1

ЬТ X

тп

^й-г-р,1-9

ьТ X

Ь хй-г-р,1-д

тп

-I

й-г-р,1-д

-г-р,г-д \

тп

тп

- /ы(0)4-г-р,г-.-д (0)+ /Л-г-р,г-7--д (0)Р (0)

^2)(а)

^(а)

тп

тп

Ет Еп

й=г+1 г=.+1

г-р,1-д

-г-р,г-д \ хи

тп

тп

Ет Еп

й=г+1 1=7+1

^й-г-р,1-д

тп

ЬТ X

Ь хй-г-р,1-д

тп

- 4-г-р,1--д(0)Р(0)

тп

- 1й-г-р,г-.-д(0) +

ЬТ X

тп

- 4г(0)

В этих обозначениях

й (а) = 4^21 (а) + 4^22 (а) - 2^з(а),

где

т- 1 - р п- 1 - д

^2г(а) = Е Е (а)^(г+р,.+д(а)

г=0 . =0

а), г = 1, 2, 3.

Сначала покажем, что

Разобьем куб

вир |$2г(а)| = Ор(1), г = 1, 3.

|Ь|<Ьо

{(ж1,ж2,жэ): |жг| — Ь0, г = 1, 2, 3} ,

(26)

2^0

прямоугольной решеткой параллельной координатным осям на кубики со стороной А = , где М — целая часть ^тп, множество узлов решетки куба (26) обозначим V.

Зафиксируем Ь = (Ь10, Ь01, Ь11)Т и обозначим через Ь^д и ЬЦд, рд-е координаты ближайших к Ь узлов, т.е.

Ь^д — Ьрд — ЬЦд , (р,^) €1,

(27)

так, чтобы

Ь£ - Ь^д = А, Ьрид - Ьрд — А,

Ьрд - Ь^д — А,

(р, € 1.

Из (27) следует, что если X. > 0, то

Ь^д хг. — Ьрд хг. — Ьид хг.,

а если X. < 0, то

Ьид хг. — Ьрд хг. — Ь^д хг..

1

1

1

Обозначим через

и X, > 0; В новых обозначениях для любых хг. , г = 1, .

Ьрд = Ьрд, Ьрд 1 Ьь

Ьрд,

хг. > 0;

х. Б 0,

Ь,

рд

Ьь ,

рд

Ьи,

рд'

хг. > 0; хг. < 0,

(p, € 1.

.., т, = 1,..., п, выполняется неравенство

Ьрдхг. — Ьрдхг. — Ьрдхг.7, ^ € 1.

(28)

Обозначим

Из (28) следует, что

а = а +

тп

а = а +

тп

(а) - 7г. — Ч(а) — Хла) + 7г.,

где

7г.

тп

тп

Ет Еп

й=г+1 г=.+1

Представим Е(1) (а) в виде

^й-г-р,1-д

-г-р,г-д \

тп

тп

^й-г-р,1-д

ЬТ ххй -г-р,г-д \ ^ хы

тп

тп

где

Пйг(Ь) = 1й-г-р,г-.-д

ЬТ х

Ь хй-г-р,1-д л/тп

тп

тп

Е Е п«(Ь),

й=г+1 г=.+1

ш

ЬТ х

йг

тп

- Р

ЬТ х

йг

тп

- г-р,г-д(0)[4г(0) - Р(0)].

Обозначим через А. а-алгебру, порожденную случайными величинами (£йг, (к,/) < (г,^)}. Так как случайный вектор хйг измерим относительно Айг, а случайная величина £йг не зависит от Аы, то

Е

1

йг

ЬТ хх^г

тп

А

йг

ЬТ х

йг

тп

Е[4г(0) | Аы] = Р(0).

Используя свойства условных математических ожиданий [10, гл.11, § 7], получим, что

Е [пйг | &ы] = 1

й—г—р,г—.—д

Ьт хх

Ь хй-г-р,г-д

тп

Ьт х

йг

тп

- Р

Ьт х

йг

тп

А,

йг

- 4-г-р,г--д(0) Е /ы(0) - Р(0) | А,

1

1

Е

откуда следует, что

Е[пк1] = Е (Е [пк11Ак1 ]) = 0,

и

Е[Пк1 ту] = Е (Е [Пк1 |А»у-]) = Е (пк1 Е ]) = 0 при (к,/) < (г,]). Теперь покажем, что для некоторой постоянной С > 0 для любых

(к,/) > (г,])

Е[п21] <

С

шп

Снова используя свойства условных математических ожиданий, непрерывность ^(х) и условие (9), получим, что

Е[п21] = Е

1

к1

Ьт X,

к1

шп

- ^

Ьт X

к1

шп

+ Е [/к1 (0) - ^(0)]2 -

2Е\ ^к-i—p,l—у-q

Ьт XX

Ь Хк—i—p,l—у—q

шп

^/k-i-p,l-j-q(0) х

Е

-Ы

Ьт X

kl

шп

- ^

Ьт X

kl

шп

(/к, (0) - ^ (0))

А,

ы

Ьт X

kl

шп

1 - ^

Ьт X,

kl

шп

+ [^(0)(1 - ^(0))] -

2Е\ 1к—i—p,l—у—q

ЬТ X

Ь Хк—i—p,l—у—q

л/шп

1к—i—p,l—у—q(0) X

х|^^шт

ЬТ X,

kl

, 0 — ^ шп 2

/ьт X,

kl

шп

2Е 1

kl

к—i—p,l—у—q

4 - /2(^^

4 \ -»/шп

Ьт хх

Ь Хк—i—p,l—у—q

/шп

Ьт х

ы

/шп

1

+ 4 -

/k-i-p,l-j-q(0) х

X

/т

Ьт X,

ы

'шп

Ьт X,

kl

/шп

+ 4 - 2^Х'

4 2 \ л/шп

ы

/2 т

Ьт х,

kl

/шп

ЬТ X,

kl

'шп

2

+ О

/шп

О

/шп

равномерно по г, ], к, / и Ь е V. Отсюда следует, что

вир вир Е

1<у<м

< О

/шп

2

Е

2

Е

1

1

Е

2

1

Поэтому из неравенства Чебышева следует, что для любого е > 0

( Л MM

Л sup sup ^(a) > е < E E E P { s(^(a)

) j=° j=0

P < sup sup (1<*<,M, 6ev

е

1<j<M

1

MM

< 3EEEE ja)

2 M 3 < С—, = С(mn)—1/4 — 0, m, n — то,

г=0 .=0

где С > 0 — некоторая постоянная.

Аналогично доказывается, что для любого £ > 0

mn

P ^ sup sup

1<i<M ■1<j<M

W)

е0

m, n —> то.

Докажем теперь, что для любого е > 0

P sup sup

1<i<M bev 1<j<M

Yj1^)

> е > — 0 m,n —► то.

Представим 7(1) в виде

(1) 1 ij

mn

mn

Е Е

fc=i+1 Z=j + 1

где

t (1) ¿ijfcl

^fc—i—p,l—j—q

bT X

b xfc—i—p,1—j —q

mn

^fc—i—p,1—j—q

bT X

b xfc—i—p,1—j—q

mn

F

bT x

fci

mn

t (2) ¿ijfcl

F

bT X

fci

mn

F

bT x

fci

mn

^fc—i—p,1—j—q

bT X

b xfc—i—p,1—j—q

mn

Из монотонности Ij (x) и ограниченности sup f (x) следует, что

ж ев

1 m n 1

E E j < sup

mn

sup ,

^V V mn beV v fc=i+1 i=j+1

F

^ V v mn be V v fc=i+1 i=j+1

bT xXki

mn

F

bT x

fci

mn

<

1 / ч m n lib - b) TXk

(sup f(x)) E E ^ -

<

mn

^ С1А

< -1 sup f (x

mn Vx ев

mn

(sup f (x)) E E jx^kij < С2 А — 0, m, n — то. (29) fc=i+1 i=j+1

где С > 0 — некоторая постоянная.

Далее, из монотонности Р(ж) вытекает, что

¿(2) ¿ijfcl

<

t (21) ¿ijfcl

+

t(22)

¿ijfcl

где

¿(21) = т

¿уЫ /k-i-p,l-j-q

ьт хх \ / ьт хх

ь Хк—i—p,l—у—q \ ^ I ь Хк—i—p,l—у—q

шп

1к—i—p,l—у—q

шп

Ьт XX \ / Ьт X

ь Хк—i—p,l—у'—q \ т-1 I ь Хк—i—p,l—у—q

шп

+ ^

¿(22) _ ^ i ьтxxk-i-p>l-j-q

шп

- ^

ьт X

ь Хк—i—p,l—у—q

шп

шп

Рассуждая так же как при оценивании Е[пы] и Е[пы], получим, что

¿(21)

0, Е

^(21) ¿(21) ¿уЫ ¿плк^

при (г,], к, /) = (г1 ]1к1/1) равномерно по к, к1, /, /1,

виР Е ^ Ье V

(21)

2

шп

О ((шп)-7/20) .

Поэтому из неравенства Чебышева следует, что для любого е > 0

Р ^ вир

ье V

шп

тп

Е Е£

к=г+1 1=У+1

(21) ijkl

е

<Р

ье V

тп

^ у^ ¿(21)

/ у / у ¿ук

шп

k=i+1 1=У+1

1

>е <¿ЕЕ

' ье V

1 М3М3

=-шп—,

шп шп

тп

1 ^ ^ ,(21) ijkl

шп

Е Ее

к^+1 1=У+1

(шп) 1/5 — 0, ш, п -то.

Из (29) следует, что при ш, п — то

тп

вир

АсV Л/шьет V k=i+l 1=У+1

Е ЕЛ-0.

Таким образом,

вир вир

1<^м ЬеV 1<у<М

^(а)

0 ш, п .

Теперь оценим 521(а). Представим 521(а) в виде

521 (а) = 52? (а) + (а),

где

тп

52!)(а) = ^ X Ма)^)

i=M +1 у=М+1

мм

5(1)(а) = 4 ЕЕ ^ (а)^(1)(а).

i=0 у=0

(30)

Е

0

1

2

1

Так как

(а)| < ,

где С — некоторая постоянная из (0,1), то для всех достаточно больших ш, п

т п с с м2

\/шп У У С^ = -;---> 0, ш, п — то.

шп

i=M+1 у=м +1 у

Отсюда и из того, что для любых г,]

|^(у1)(а)| < 4—шп получим, что для любого е > 0 для всех достаточно больших ш, п

Р ^ sup

|b|<bo

m n

?(!)/ ' ' ' ^21

S2i)(a) > е > < Р s 4^mn X X Cfc+1 >4 = 0. (31)

i=M +1 j=M+1

Далее, для всех достаточно больших ш, п

✓ ч MM

sup |s21)(a)| < ( sup sup|s(,1)(a)| ) VV C*+j — 0.

|b|<bo \1<i<M gev J j=0

1<j<M г=0 j=0

Отсюда и из (31) следует, что

sup |S21 (a) | —^ 0, m, n — то.

|b|<bo

Аналогично доказывается, что при ш, п — то

sup |S23(a)| — 0, m, n — то.

|b|<bo

Теперь исследуем поведение S22(a). Представим S22(a) в виде

S22(a) = S22)(a) + S22)(a),

где

т п мм

522)(а) = 4 Е Е ^(а)^,^(а), ^(а) = 4ЕЕ^(^Й-у(а).

i=M +1 у=м+1 i=0 у=0

Рассуждая так же как при доказательстве (31), получим, что для любого е > 0 для всех достаточно больших ш, п

р{ вир |522)(а)| > Л = 0.

Используя формулу Тейлора, представим $22 (а) в виде

(а) = 5"22 (а) + ^ (а) + ^(а) + ^(а)

где

мм

5Й1)(а) = 4Р (0)££ Ь. (а)

а)

г=0 .=0

х

тп

тп

Ет Еп

й=г+1 г=.+1

^й—г—р,г—д

ЬТха

Ь хй-г-р,г-д л/тп

^й-г-р,г-д(0)

^2)(а) = 4/(0)Ь^^Ьг.(а) х

Т

мм

г=0 .=0

х

тп

тп

Ет Еп

й=г+1 г=.+1

^й—г—р,г—д

ЬТха

Ь хй-г-р,г-д

тп

^й—г—р,г—д(0)

ха

йг

тп

мм

тп

^(2э2)(а) = 4/(0)ЬТ££Ьг.(а)£ £ г-р,,-,(0)

ха

йг

г=0 .=0

й=г+1 г=.+1

тп

мм

тп

^242)(а) = ^ЕЬг.(а)£ 24 тп

г=0 .=0

й—г—р,г—.—д

й=г+1 г=.+1

ЬТха

Ь хй—г—р,г—д л/тп

х

х

/Кг^Т—!1--9 ) - /(0)

тп

ЬТ х

йг

тп

0 < ты < 1.

Так же, как при доказательстве того, что при т, п ^ то

вир |$2з(а)| = Ор(1), |Ь|<Ьо

показывается, что при при т, п ^ то

вир |Ь|<Ьо

4?(а) = Ор(1), г = 1, 2.

Из (24)—(25) следует, что

|/(ж) - /(0)| — С|ж|г-1, г > 1

где С > 0 — некоторая постоянная. Из эргодичности поля |хйг| следует, что что при

т, п ^ то

тп

тп

¡х^-г-рд-.-д1 ^ е|хх11|

/ У / У ^й-г-рД-.-д

й=г+1 г=.+1

1

1

1

г

Из этих двух фактов следует, что

мм

-,(24) / . м ^ с1

тп

|5224)(а)| <

шп

ЕЕ!%(а)| Е Е

i=0 у=0

к=-+1 1=У+1

ьт X

ь Хк—p,l—q

шп

<

<

С2

мм

(шп)'

ХХ^ (а)| = Op(1),

-=0 у=0

где С1 > 0 и С2 > 0 — некоторые постоянные. Исследуем поведение ^2^3)(а). Обозначим

= (е-—1,у, е-,у—1, е-—1,у —1) , (а) = (а),«-,,— 1 (а) , 1,у —1 (а)).

Согласно закону больших чисел, при ш, п — то

1

шп

тп

к=-+1 1=У+1

X X /k-i-p,l-j-q(0)xXkl — Е [/11(0)Xi+p+1,j+q+l] =

те те

= XX ма°)е [/11(0)еi+P+1-s)j+q+1-^ = Xi+p,j+q(а0) e[е-1],

«=0 4=0

и, следовательно, при ш, п — то

^3)(а) — Е[5223)(а

522(а) — Е[^(а)] =4ьт/(0)Е[ей]ХХ«У(а0) (а0)

-=0 у=0

Покажем, что эта сходимость равномерна по |ь| < ь0. Используя равенство

xkl = Х^ + «у (а0)хк—-д—у

0<«<-0<4<,

представим

в виде

тп

Су = - / , / , /k-i,l-j(0)Х

шп— ' у

kl

к=-+1 1=У+1

6- = С (1) + С (2)

Чу = Чу + Чу ,

где

тп

с(1) = —

Чу -----

шп

Х^ X/ /k-i,l-j(0)Хк^ X/ ««Д20^-«,,—

к=-+1 1=у'+1

0<«<-0<4<,

тп

/ (2) = 4-7 _____

шп

X X ^-М—(0)«У(a0)Xk-i,l-j.

к=-+1 1=у+1

'

Из свойства

|Ь. (а)| — С г+, 0 <С< 1,

следует, что

вир . вир £ Е1^—(0)Х

г. | —

1<г<м 1<г<м

1<.<м 1<.<м 0<^<=.г

тп

тп

й=г+1 г=.+1

<

(«,*)=(г,.)

1 А. 1

— С1 8ир ^ЕЕ т"п Е

1<г<м г^ —

1<.<м

р=1 д=1 г ]

[ Т-1] [ П-1]

е е 1p+(г+l)fc,д+(i+l)г(0)£p+(г+l)fc+г,д+(j+l)г+j

й=0 г=0

<

< О

тп М 2

0 при т, п ^ то,

где С1 > 0 — некоторая постоянная. Отсюда следует, что

оо оо

^(а) = 4ЬТ/(0) ЕИЕ Е Ьг.(а0)аг+р,.+д(а0) + £тп(а) = 4/(0)Е[£—1]Ь + £тп(а),

где

г=0 .=0

вир |£тп(а)| = ор(1) при т,п ^ то. |Ь|<Ьо

Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (9)—(11), (19), (24)—(25). Тогда решение атп системы (15) асимптотически нормально, а именно, случайный вектор \]тп (атп - а0) является асимптотически нормальным с нулевым математическим ожиданием и ковариационной

матрицей

-21

(4/(0)Е(£П- ))-2 К

Доказательство. Рассмотрим шар Щ а0,

,0 ь0

Ь0

радиуса . с центром в а0. Так

ШП/ л/ШП

как det(K) = 0 и /(0)Е[£11] = 0, то из теоремы 5 следует, что для любого Ь0 с вероятностью, сколь угодно близкой к единице,

тах — |ь|<Ьо л/тп

1 =жга0 + Ь

тп

> 0, тт

1

|ь|<Ьо Vтп

Ж а0 +

Ь

тп

< 0.

Поэтому с вероятностью, стремящейся к единице, существует вектор Ьтп, такой, что в

точке а0 + Ьтп функция Ж (а0 + Ь

ШП

ШП

переходит через нуль в шаре В ( а

Ь0

ШП

т.е. с

« л 0 ьтп г I--" "

вероятностью, стремящейся к единице, атп = а0 +—-— будет утп-состоятельной оценкой

ШП

параметра а0.

1

—>

Т- 1

0

Далее, из -\/шп-состоятельности оценки атп параметра а0 и из теоремы 5 следует, что для любого е > 0 и для любого 60 € (0, то)

Р

1

'шп

(атга) - ^(а0)] - 4/(0)Б[е-1]К^ШП(.

а

>е

Р

^(атга) - (а0)

'шп

- 4/(0) Б[еп] К^шп(атга - а0)

> е, уШп(атга - а ) < +

+ Р | ^шп (атга - а0) > 60} <

< Р< вир Ы<Ьо

Поэтому при ш, п — то

^(атга) - (а0)

шп

- 4/(0) Б[еи] К^шп(атга - а0)

> е ^ +

+ р| ^шп(йт„ - а0) > 60| — 0 при ш, п — то.

1

шп

(атга) - (а0)] - 4/(0) Б[еп] К^шп(атга - а0) = Ор(1).

Кроме того,

шп

^ (атп) = О

шп

при ш, п — то.

Таким образом, при ш, п — то

^шп(атп - а0) ^ ^ _ К 1 ^— (а0) + Ор(1).

Отсюда и из того, что

4/(0)Б[е-1]

= (а0)

шп

асимптотически нормальна с нулевым математическим ожиданием и ковариационнои матрицей К [4], следует утверждение теоремы.

5. Сравнение знаковой оценки с оценкой наименьших квадратов

Теорема 6 позволяет вычислить асимптотическую относительную эффективность знаковой оценки по отношению к оценке наименьших квадратов. Поскольку асимптотические ковариационные матрицы этих оценок пропорциональны, то асимптотическая относительная эффективность знаковой оценки по отношению к оценке наименьших квадратов е(/), определяемая как величина, обратная отношению этих коэффициентов пропорциональности, будет равна

е(/) = 16/2(0)(Б[е-1])2.

Если

/ (х)

1

-= 6 2^2

1

1

1

плотность нормального распределения, то

/( ) а72п' ^ -1] 72л"

и

4

е(/) = — « 0,4053 п2

— асимптотическая относительная эффективность невелика. Другими словами, для достижения одинаковой точности знаковой оценке понадобится приблизительно в

1 2,4674

0.4053

раза больше наблюдений, чем методу наименьших квадратов. Если

1 _

/ (х) = ^- е * ' 72а

плотность двойного экспоненциального распределения, то знаковые оценки и оценки наименьших квадратов одинаково эффективны. Действительно, в этом случае

/(0) = "72' е|£_1' = -272

а

и е(/) = 1. Пусть теперь

1 х2 1 х2

/ (х) = (1 - 8) е_ хт + ^ е_ 2Т2, 0 < 8 < 1, т> 0 у2п \j2nr

— распределение Тьюки. Тогда

.(0) У2(т - т8 + 8) Е|^_. (1 - 8 + т8) (/) 4(т - т8 + 8)2(1 - 8 + т8)2 / (0) =-^^-' Е|еи] =--^-' е(/) =-П-.

Видно, что если 8 = 0.1, то знаковая оценка начинает превосходить оценку наименьших квадратов начиная только с т ~ 8.21. Если же 8 = 0.2, то знаковая оценка становится эффективнее

оценки наименьших квадратов у^ке при т ~ 5.38. При 8 = 0.01 знаковая оценка становится лучше оценки наименьших квадратов лишь при т > 59.65.

Если т < 4.04, то знаковая оценка всегда (при любых 8) проигрывает оценке наименьших квадратов. Если т = 5, то знаковая оценка становится предпочтительнее оценки наименьших квадратов при 8 > 0.23, а если т = 10, то при 8 > 0.08.

Заключение

В статье на основе локально наиболее мощных критериев определена знаковая оценка коэффициентов пространственной авторегрессии. Доказаны состоятельность и асимптотическая нормальность знаковой оценки. Вычислена относительная асимптотическая эффективность знаковой оценки по отношению к оценке наименьших квадратов. Выявлено, что

для данных с «тяжелыми хвостами» асимптотическая эффективность знаковой оценки относительно оценки наименьших квадратов может быть больше единицы и вообще сколь угодно большой. Таким образом, в ряде случаев знаковая оценка гораздо предпочтительнее оценки наименьших квадратов, несмотря на явную потерю информации, которая происходит при замене чисел (остатков наблюдений) их знаками.

Список литературы

1. Tjostheim D. Statistical Spatial Series Modelling // Advances in Applied Probability. 1978. Vol. 10, no. 1.P. 130-154.

2. Yao Q., Brockwell P.J. Gaussian Maximum Likelihood Estimation for ARMA Models II Spatial Processes //Bernoulli. 2006. Vol. 12, no. 3. P. 403-429.

3. Болдин M.B., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. M.: Физматлит, 1997. 288 с.

4. Горяинов В.Б., Горяинова Е.Р. Непараметрическая идентификация пространственной модели авторегрессии в условиях априорной стохастической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 2010. №2. С. 31-41.

5. Basu S., Reinsel G.C. Properties of the Spatial Unilateral First-Order ARMA Model // Advances in Applied Probability. 1993. Vol. 25, no. 3. P. 631-648.

6. Hodges J.L. Jr., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests // Ann. Math. Stat. 1963. Vol. 34, no. 2. P. 598-611.

7. Bulinski A., Shashkin A. Limit theorems for associated random fields and related systems. Singapore: World Scientific, 2007. 447 p. (Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability; vol. 10)

8. White H., Domowitz I. Nonlinear regression with dependent observations // Econometrica. 1984. Vol. 52. P. 143-162.

9. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. M.: ФМЛ, 1965, 525 с.

10. Ширяев А Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 581 с.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Identification of random fields using methods

based on signs of observation residuals

# 06, June 2013

DOI: 10.7463/0613.0571085

Goryainov V. B.

Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation [email protected]

The process of two-dimensional autoregression of order (1,1) was considered. Distribution of the innovation field of the autoregressive model is assumed to be unknown. Estimation of the autoregressive model parameters, based on the signs of observation residuals, was constructed. Consistency and asymptotic normality of these estimations was proved. Asymptotic relative efficiency of the estimation in relation to the least squares estimation was calculated. The conclusion was drawn on the advantage of the constructed estimation over the least squares estimation if the innovation field has double exponential distribution or Tukey distribution.

References

1. Tjostheim D. Statistical Spatial Series Modelling. Advances in Applied Probability, 1978, vol. 10, no. 1, pp. 130-154.

2. Yao Q., Brockwell P.J. Gaussian Maximum Likelihood Estimation for ARMA Models II Spatial Processes. Bernoulli, 2006, vol. 12, no. 3, pp. 403-429.

3. Boldin M.V., Simonova G.I., Tiurin Iu.N. Znakovyi statisticheskii analiz lineinykh modelei [Sign statistical analysis of linear models]. Moscow, Nauka, 1997. 288 p.

4. Goryainov V.B., Goryainova E.R. Neparametricheskaya identifikacia prostranstvennoi modeli avtoregressii v uslovijah apriornoj stohasticheskoj neopredelennosti [Nonparametric identification of the spatial autoregression model under a priori stochastic uncertainty]. Avtomatika I telemehanika, 2010, no. 2, pp. 31-41. (Trans. version: Automation and Remote Control, 2010, vol. 72, no. 2, pp. 198-208. DOI: 10.1134/S0005117910020049)

5. Basu S., Reinsel G.C. Properties of the Spatial Unilateral First-Order ARMA Model. Advances in Applied Probability, 1993, vol. 25, no. 3, pp. 631-648.

6. Hodges J.L. Jr., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests. Ann. Math. Stat., 1963, vol. 34, no. 2, pp. 598-611.

7. Bulinski A., Shashkin A. Limit theorems for associated random fields and related systems. Singapore, World Scientific, 2007. 447 p. (Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability; vol. 10).

8. White H., Domowitz I. Nonlinear regression with dependent observations. Econometrica, 1984, vol. 52, pp. 143-162.

9. Ibragimov I.A., Linnik Iu.V. Nezavisimye i statsionarno sviazannye velichiny [Independent and stationary connected values]. Moscow, Fizmatlit, 1965. 525 p.

10. Shiriaev A.N. Veroiatnost' [Probability]. Moscow, Nauka, 1980. 581 p.