Тест: растет ли интенсивность потока заявок в СМО? Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 17-30.

УДК 519.248

ТЕСТ: РАСТЕТ ЛИ ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТОКА ЗАЯВОК

В СМО?

Н.К. БАКИРОВ , М.В. СНАЧЕВ

Аннотация. Рассматривается математическая модель функционирования СМО, когда в пуассоновские моменты времени поступают заявки от клиентов на обслуживание.

В приложениях (например, в банковском деле или страховании) может быть актуален следующий вопрос: растет или не растет на данном промежутке времени скорость поступления заявок от клиентов. В работе предлагаются тесты для проверки соответствующей статистической гипотезы и изучаются их асимптотические свойства.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, пуассоновский поток, интенсивность потока заявок, критерий отношения правдоподобия, метод наименьших квадратов, гипотеза об однородности пуассоновского потока.

1. Введение

При анализе работы систем массового обслуживания (СМО) может возникнуть следующий вопрос: растет ли на данном промежутке времени скорость поступления заявок от клиентов. В настоящей работе предлагаются тесты для проверки соответствующей статистической гипотезы и изучаются их свойства.

Математическая модель. Рассматривается вероятностная модель функционирования СМО, когда заявки от клиентов поступают в пуассоновские моменты времени, при этом соответствующий пуассоновский процесс п(£),і ^ [0, предполагается, вообще говоря, неоднородным с параметром А(/), являющимся выпуклой функцией, то есть скорость поступления заявок не убывает во времени.

В частном случае мы будем предполагать, что

Г * В/2

А(/) = (А + Вз)^з = А/ +——, А> 0. (1)

ио 2

Другими словами, на промежутке времени [0,/] в СМО поступает п(/) заявок, при этом, в случае, когда А(/) = А, В = 0, процесс поступления заявок равномерен во времени: в среднем в единицу времени поступает А заявок, и рассматриваемый пуассоновский процесс п(/) однороден. Если же в формуле (1) В > 0, то тогда среднее число заявок, поступивших в СМО на интервале времени [0,/], растет с темпом

^А(/) = А + В/

~ = А + В(-

то есть скорость роста количества поступающих заявок не постоянна, а пуассоновский процесс п(/) — неоднороден. При этом вероятностный смысл параметра В раскрывается равенством:

В = [А(Т + 1) - А(Т)] - [А(Т) - А(Т - 1)], УТ,

иными словами, величина В равна приросту среднего числа заявок на соседних единичных интервалах времени. Если единица измерения времени равна одному дню, то тогда

N.K. Bakirov, M.V. Snachev, The test: does the input flow intensity grow in queuing system? © Бакиров Н.К., Сначев М.В., 2010.

Поступила 1 марта 2010 г.

1T

в рассматриваемой математической модели каждый новый день в СМО поступает на В заявок больше, чем в предыдущий день.

Исходные данные. На интервале времени [0,Т] фиксируются все моменты времени

І1, і2,..., іп поступления в СМО заявок от клиентов, тем самым фиксируется соответствующая траектория (реализация) пуассоновского процесса п(/), / Є [0,Т], при этом, очевидно,

п(ід) = к, к =1, 2,..., п.

Отметим, что величина п — количество точек ід на отрезке времени [0,Т] случайно и равно п(Т). Начало периода наблюдения мы отождествляем с моментом времени і = 0.

Задача. По исходным данным требуется проверить нулевую гипотезу Н0 об однородности пуассоновского процесса п(/), / > 0 против альтернатив: Н01 — о том, что скорость поступления заявок в СМО растет во времени, точнее, производная А'(і) не убывает с ростом і ив модели (1) — Н11 : В > 0 — о том, что рассматриваемое среднее количество заявок за единичный интервал времени растет во времени с ненулевой постоянной скоростью. Отметим, что альтернативу, в соответствии с которой интенсивность поступления заявок в СМО убывает во времени, формально можно свести к случаю возрастания интенсивности, рассматривая на интервале времени [0,Т] процесс с обратным временем:

П(Т) - п(/).

Задачи проверки параметрических и непараметрических гипотез для пуассонов-ских и других точечных процессов рассматривались в работах И.А.Ибрагимова, Р.З.Хасьминского, Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева, Ю.А.Кутоянца, Ю.Н.Линькова и др., [1]-

[5].

2. Критерий отношения правдоподобия

В данном параграфе определяется алгоритм вычисления статистики критерия отношения правдоподобия в случае альтернатив Н01, который, однако, оказывается достаточно сложным для анализа его асимптотических свойств. Мы приводим близкий к нему по своей конструкции критерий проверки Н0, для которого определяется асимптотическая значимость и доказывается состоятельность против специальных альтернатив.

Распределение рассматриваемого пуасоновского процесса абсолютно непрерывно относительно распределения стандартного пуассоновского процесса с А(і) = А0(і) = і, соответствующая плотность Радона-Никодима равна, [1], [2], стр.168:

п(А) = ел°(Т>-л(Т>+/0 1п ^к> ^«, ^(і) = А'(і), ^о (/) = АО (і).

Критерий отношения правдоподобия базируется на статистике

Т = 1п 8иРлєЯоі п(А) = Т Т

Тп --- 1П /лч - Тп,1 Tn,0,

^РлеЯо п(А)

где

Тп,0 = 8ир ( -А(Т) +

іп^(і)^п(і)^ = йиР ^-АТ + J іп А^п(і)^

АбЯо \ Jo / А>0 \ Jo

= п(Т)1п ^ - п(Т) = п 1п П - п,

и для Ьга+1 = Т, Ь0 = 0, АЬ& = — Ьк, учитывая монотонное неубывание ^(Ь), мы можем

записать

Тп,1 = вир (—Л(Т)+ [ 1п^(Ь)^п(Ь^ = йир (—Л(Т) + ^ 1п^(4)

Л€Я01 V ]о ) \еНог\ к=1

/**к+1

вир ^ 1п^(4) - / ^(і)<іі = вир ^[ІП^(4) - (4+1 - 4)^(4)]

ЛЄЯ01 к=1

ЛЄЯ01 к=1

^к

= вир ^ [1п а*, - А^ад,] ,

0<а1<«2 <...<«„ к_1

Наша ближайшая цель — указать алгоритм вычисления максимума функции

п

Р(а) = X! [1п- А^], а = (аьа2, ...,ап),

к_1

на множестве

а : 0 < а1 < а2 < ... < ап. (2)

Заметим, что функция ^(а) строго вогнута и, стало быть, принимает свое максимальное значение на выпуклом множестве (2) в единственной точке, более того, любой ее ло-

кальный максимум на (2) является глобальным. Следующую элементарную лемму мы приводим без доказательства.

Лемма 1. Функция 1п 61 — Ай161 достигает максимума в точке 61 = 1/А^1; она строго возрастает на (0, 1/Ай1] и строго убывает на [1/Ай1, то).

В точке максимума функции ^(а) некоторые из чисел ад могут совпадать, поэтому в этой точке

м

р(а) = ^ т [1п ^— А^*^], (3)

,?_1 где

вир ї (а) = / .т,

0<&1<&2 <...<ап

1 м

А, = т Е А* • Е

т,

^ ,=1

и непересекающиеся подмножества Д состоят из подряд идущих индексов, и каждое следующее множество лежит правее предыдущего, при этом имеют место строгие неравенства

61 <62 < ... < Ьм.

В силу строгости этих неравенств и леммы 1 имеем, что 6^- = 1/А£*, У?, тем самым, в точке глобального максимума выполнены строгие неравенства

1/А^ < 1/А** < ... < 1/А*М, (4)

более того, для каждого слагаемого в экстремальной сумме в (3) должно быть выполнено необходимое условие локального экстремума, которое мы рассмотрим для простоты для первого слагаемого, то есть для ? = 1. Итак, пусть

Ш1

^(а1, а2, ..., ат1) ^ ^ [1п ак А4ак] ,

к_1

тогда при а1 = а2 = ... = ат1 = 61

т1[1п61 — А^161] = ш1Ь(а1, а2,..., ат1), а упомянутое необходимое условие экстремума означает следующее:

Q = ^(61 + 61 + ^2, , ..., 61 + ^т1) — ^(6Ъ 61, , ..., 61) < 0, У^1 < ^2 < ... < ^т1,

для достаточно малых ^. Для главного члена асимптотики Q при ^ ^ 0 имеем

ті

к=1

1

ті ті

^ Ь Аік ^ ^ [Аі1 — Аі^] ^ ^(#& — ^^-1)(т1 — к + 1) [Аі! — АіЦ] < 0,

к=1 к=2

20 где

1 т1 1 т1

1,к Ш1 - к + 1^ - 1 Ш1 ^ -

- = 1

таким образом, необходимое условие экстремума для первого слагаемого в (3) состоит в выполнении системы неравенств

Д- — (т1 — к + 1)Д^1, Ук = 2, 3,...,т1, (5)

-=к

при этом, очевидно, вероятность равенств здесь равна нулю.

Наоборот, при наличии такого разбиения множества индексов {1, 2,..., п} = иМ^Д-, для которого выполнены соотношения (4) и соотношения, аналогичные (5) для всех элементов этого разбиения, соответствующее значение целевой функции ^(а) будет максимально и равно

М М 1

Тп,1 = X! [1п — Д—-] = X] 1п Д^ — П.

-=1 -=1 -

и, значит, статистика критерия отношения правдоподобия будет равна

Т = Т Т = ^ т 1п Д^* Л+* П=0 Д^ = Т

Тп Тп,0 / 1п д . * , Д^ .

’ ’ ^ - Д£* п п

-=1 -

Альтернатива Н01 будет приниматься, если Тп > Дга для некоторого порога Дга, подбираемого так, чтобы асимптотическая значимость критерия равнялась бы заданному числу. Отметим, что асимптотическая значимость данного критерия не зависит от А, то есть он подобный, действительно, предел при Т ^ то можно заменить на предел при п ^ то и заметить, что при нулевой гипотезе сл.в. АД^, к = 0,1, 2,... образуют последовательность независимых сл.в. с одинаковым экспоненциальным распределением с параметром 1, см.

[6], так что распределение статистики Тп в силу ее конструкции при неслучайном п не зависит от параметра А.

Для построения разбиения иМ=1Д- нам потребуется выяснить вопрос: сохраняется ли свойство (5) при объединении двух подмножеств индексов, скажем, Д1 и Д2.

Лемма 2. Пусть

А = {1, 2, ...,Ш1}, ^2 = {т1 + 1,Ш1 + 2, ...,Ш1 + т2},

и для обоих множеств выполнено условие (5). Если 1/Д£[ — 1/Д^2, то тогда условие (5) выполнено и для объединенного множества Д1 и Б2.

Доказательство: Обозначим

Д£* = т1 Д^1 + т2 Д^2 = 1 2 Д£

т1 + т2 т1 + т2 ^

-=1

Условие (5) выполнено для Д1 и Д^2 — Д^ 1, поэтому при к < т1

^1+^2 Ш1 т2 т2

X Д^' = X Д^' + X Д^' — (т1 — к + 1)Д^1 + X Д^'

-=к -=к -=тх+1 -=тх+1

= (т1 — к + 1)Д*1 + т2Д^2 — (т1 + т2 — к + 1)Д£*.

И, аналогично, для т1 < к < т1 + т2 т1+т2

Д7 > (т1 + т2 — к + 1)Д*2 > (т1 + т2 — к + 1)Д£*.

7=Д:

Доказанные неравенства означают выполнимость условия (5) для множества Д1 и Д2.

Лемма доказана.

Алгоритм построения разбиения . В соответствии с алгоритмом сначала стро-

ятся некоторые подмножества ДД, а затем и множества Дд путем последовательного объединения некоторых из подмножеств ДД.

Шаг 1. Построим сначала Д. Включим в Д индекс ] = 1 и затем последовательно будем включать следующие по величине индексы пока выполняется система неравенств (5). Формирование Д прекращается, когда добавление к Д следующего по величине индекса ведет к нарушению системы неравенств (5). Аналогично и последовательно формируются подмножества индексов Д2, Д,..., П'м.

Шаг 2. Построенное разбиение укрупняется путем объединения некоторых Д. Если система строгих неравенств (4) выполняется, то построенное на первом шаге разбиение и есть искомое, в противном случае, если для некоторого индекса ] имеем 1/Д£* > 1/Д£*+1, тогда мы объединяем Д и Д+1, что в силу леммы 2 сохранит для нового разбиения выполнимость свойства (5). После серии таких объединений добиваемся выполнения (4).

Анализ асимптотических свойств статистики критерия отношения правдоподобия в случае альтернатив Н01 достаточно сложен, мы предполагаем провести его в отдельной публикации.

Рассмотрим следующий упрощенный критерий. Ввиду вогнутости логарифмической функции и неравенства Йенсена

_п _ Д+*

т„< т' = Уь

п < п ^ Д£’

.7 = 1 ■’

причем в случае справедливости нулевой гипотезы с А = 1 при п ^ то по закону больших чисел

Иш 1ТП = Иш (1п ^ + ^2 + ... + Сп — 1 V 1п^ | = 1п Е& — Е 1п& =

п^те п п^те \ П П —/ /

V д=1 /

е-х 1п= С = 0, 577..., (6)

0

здесь = Д^, к =1, 2,... последовательность независимых сл.в., имеющих показательное распределение с единичным математическим ожиданием, С — постоянная Эйлера, см.

[7], стр.587. Кроме того, при справедливости нулевой гипотезы с А = 1 при п ^ то по центральной предельной теореме имеет место слабая сходимость

Тп — Сп Д. 2\

п

N (0,а2),

где

п2

/0

а2 = Е(^! — 1 — 1п^)2 = I (ж — 1 — 1пж)2е х ^ж =------------+ С2 — 1 = 0.978...,

6

см. [7], стр. 588. Тем самым, критерий, отвергающий Н0 при

Т' > Яп = Сп + ^п^Ф-1(1 — а), (7)

где Ф(ж) — функция распределения стандартной гауссовской величины, имеет асимптотический уровень значимости а, У а Е (0,1).

СО

Рассмотрим асимптотическое поведение данного критерия при альтернативах. Пусть Тт(ж) = А(жТ)/А(Т),ж Є [0,1] и Т-^ж) — обратная функция, в частности, при А(Т) = АТ (т.е. когда пуассоновский процесс однороден) имеем Ту (ж) = ж. Рассмотрим последовательность альтернатив

а

тта V ^ / ч «+1 т ^Т-1(ж) Ж “+1

Я? : 11ш Тт(ж) = ж“+\ 11ш —т = --------, а > 0,

Т^те Т^те ^Ж а + 1

равномерно по ж (тем самым, в частности, функция интенсивности А(£) является правильно меняющейся функцией и сверхлинейно возрастает).

Нетрудно видеть, что распределение случайного вектора (4/Т, 4/Т, ...,4/Т) при условии {п(Т) = п} совпадает с распределением набора порядковых статистик, построенных по выборке независимых сл.в. с общей ф.р. Тт(ж), в частности при А(Т) = АТ получаем набор порядковых статистик для равномерного распределения на [0,1]. Следовательно, мы можем записать, что 4 = ТТ- (м^), где — порядковые статистики для равномерного распределения и по теореме о среднем

Д4 = 4+1 — 4 = Т(мд+1 — ид)^, ^ = — [Т-1 (мД)] , мД Е [мд ,мд+1].

Запишем с учетом сделанных замечаний

1 1 Т 1 ,.п'

- Тп = 1пД*----------У''1пД4 = 1п--------У^1п[Т («й+1 — мй )^ ] =

71 71 * ^ 71 71 * ^

п п ^' п п

Д=1 Д=1

1 п 1 п

= — 1п[п(мй+1 — мй)]-------V] 1п ^,

пп й=1 й=1

здесь при п ^ то сумма первое слагаемое стремится к С — константе Эйлера, поскольку набор сл.в. {п(м^+1 — )}п=1 распределен так же, как и набор {^^/^п}п=1, где

— суть независимые показательные сл.в. с единичным математическим ожиданием, 5*п = (С1 + С2 + ... + Сп)/п, см. [8], тем самым мы можем получить требуемый предел, используя (6). Нижний предел по вероятности второго слагаемого по закону больших чисел

Е 1п

1

а "I а

(а + 1)и “+1 = 1п(а + 1) +-----------I 1п ж^ж

а + 1 0

а

= 1п(а + 1)--------- > 0, Уа > 0,

а + 1

где сл.в. и равномерно распределена на [0,1]. Следовательно,

Тп — Сп Р -----^--------> то

^п п^те

и, стало быть, критерий (7) состоятелен против альтернатив Я^.

не меньше, чем

3. Конструкция КРИТЕРИЯ В МОДЕЛИ (1)

В модели (1) мы рассматриваем два критерия, базирующихся соответственно на оценке параметра В, близкой к оценке наибольшего правдоподобия, и на оценке по методу наименьших квадратов (МНК). Эти оценки наглядны, несмещены и сохраняют хорошие свойства при отклонениях от модели (1), см. п.4 . Оценки наибольшего правдоподобия в модели (1) асимптотически эффективны при Т ^ то, но могут быть смещены. Нас, однако, интересует и случай конечных Т, когда мы хотим распознать возрастание интенсивности пуассоновского процесса как можно раньше.

Если в модели (1) известно, что А = 0, то тогда оценка наибольшего правдоподобия В = 2п(Т)/Т2 несмещена и имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок параметра В, [2], стр. 174. Однако, нам интересен случай, когда А > 0, а В мало, то есть мы хотим заметить малое возрастание В от нуля.

Учитывая вид функции правдоподобия п(А), запишем уравнения для оценок А*, В* наибольшего правдоподобия:

гт = Т [т ^пСО = Т2

Уо А + В* , Л) А + В* 2 ,

справедливые, если максимум п(А) достигается при А*В* = 0. Из этих уравнений сразу вытекает линейное соотношение А*Т + В*Т2/2 = п(Т). Выражая отсюда А* и подставляя получающуюся формулу во второе уравнение, получаем при малых В

Т2 ['т Ып(£) 1'Т Ып(£)

Т = 1 А + В* =Уо ПТ) + В (* — т) *

Т /* т ВТ 2 /* т / Т\

*^п(*)----И * — ^ ) ^п(*),

В*

п(Т)Л п2(Т) Л V. 2

откуда получаем приближенную формулу

/оТ (* — I) ^)(*)

П(Т) /оТ * (* — I) ^п(*)

Взяв здесь только числитель, который при А = 0 имеет нулевое математическое ожидание, сформируем несмещенную оценку

В = ^| Г (* — Т) ^п(*),

Т3Л V 2 _

которая, как нетрудно подсчитать, имеет дисперсию асимптотически (при Т ^ то) втрое больше нижней границы дисперсий Рао-Крамера, [2], стр. 174. Известно, что оценка В* состоятельна, асимптотически нормальна и эффективна, однако она смещена, [5].

Теорема 1. 1) При справедливости нулевой гипотезы Яо имеет место сходимость по распределению:

Т 3/2 В

-тт —те (о. ч. («)

где 7о = ^ = 3.464..., N(0,1) — стандартная гауссовская случайная величина.

2) при справедливости альтернативы Я11

-- Р

В —^ В.

Т ^те

Доказательство теоремы 1 дается ниже в Приложении.

Для проверки гипотезы Я против альтернативы Я11 теперь мы можем использовать критерий, отвергающий Я , если

Т2В Л

тт - 7оА■.

где Ае — квантиль уровня е для стандартного гауссовского распределения. Данный критерий при Т ^ то имеет асимптотический уровень значимости, равный е, он состоятелен

против альтернативы Я11 в силу теоремы 1. Критерий получен заменой в (8) параметра

А на его состоятельную оценку п(Т)/Т, здесь также учтено, что при нулевой гипотезе

п(Т)/(АТ) —^ 1 и при альтернативе п(Т)/Т2 -—^ В/2, см. формулы (11),(15) Приложе-тт

ния. В случае принятия альтернативы заключаем, что в среднем в СМО каждую новую единицу времени поступает на В заявок больше.

Рассмотрим теперь критерий проверки Н0, базирующийся на МНК оценке параметра В, соответствующей приближению траектории пуассоновского процесса п(1) параболой. Точнее, оценим параметры А, В исходя из минимизации суммы квадратов отклонений

т А / , , . в*2 42

1 — X (п(^) — й —2~

Обозначим

-1 П 1 П 1 П

п(1)1Р — пXп(^)1р — пX^ — пX^, р — 1,2,3,... й=1 й=1 й=1

Решая систему нормальных уравнений: д1/дА — 0,д1/дВ — 0, или эквивалентно

в _____ В _

А*2 + - ■ *3 — п(*)1 А*3 + - ■ *4 — п(^2,

получаем МНК-оценку параметра В:

В — 2 ^2 • П^2 — _*_3 • ^(1)1 (9)

12 ■ *4 - *3 ■ *3 . ( )

Отметим, что знаменатель в (9) положителен с вероятностью 1 ввиду неравенства Коши-Буняковского:

|Е£3 — |Ее■ £2|< /Ё^Ёё4,

где £ — дискретная случайная величина с равновероятными значениями , к — 1, 2, ..,п. При этом равенство здесь может достигаться только, если сл.в. £ пропорциональна £2 с вероятностью 1, то есть, если сл.в. £ — константа п.н.. В рассматриваемом случае все моменты времени различны, так что £ — не константа и, стало быть, в (9) знаменатель отличен от нуля с вероятностью 1.

Асимптотические при Т ^ то свойства оценки В приведены в следующей теореме. Теорема 2. 1) При справедливости нулевой гипотезы Н0 имеет место сходимость по распределению:

Т/2В —^ 71N(0,1), /А т^оо 11 1

где 71 — -у/128, 254 — 11, 324...,

2) при справедливости альтернативы Н11

В —^ в.

Т

Доказательство теоремы 2 дается ниже в Приложении.

Рассуждая далее как и после теоремы 1, мы можем рассмотреть критерий, отвергающий Н0, при

Т 2 В

/ч(Т) £ 7‘А*. (10)

Этот критерий при Т ^ то состоятелен против альтернатив Н11 в силу теоремы 2 и имеет асимптотический уровень значимости е. Критерий получен заменой в 1) параметра А на его состоятельную оценку п(Т)/Т. В случае принятия альтернативы заключаем, что в среднем в СМО каждую новую единицу времени поступает на В заявок больше. Отметим, что в случае справедливости Н0 распределение статистики критерия зависит от

параметров Т, А через единственный параметр АТ ввиду того, что при нулевой гипотезе А — масштабный параметр для распределения сл.в. 1&.

4. Обобщение

Критерий (10) применим для проверки более общих гипотез. Предположим, что интенсивность потока заявок имеет вид

В (1) — ^А^1) — А + 1«Ь(1),

(1

где Я(1) — медленно меняющаяся функция, а Е (—то, то) — действительное число. Напомним, что функция Ь(ж),ж Е (0, то) называется медленно меняющейся по Карамата (ММФ), если она положительна, измерима и

И,п — 1, ^ > 0.

Ь(я)

Рассмотрим сложную альтернативу

Я^ : В(1) — А + 1аЬ(1),а > 0

и сложную гипотезу

Я^ : В(1) — А ± 1“Ь(1),а< 0,В(1) > 0, VI, либо В(1) — А, VI,

где в обоих случаях Я(1) — ММФ и константа А > 0.

Ясно, что при 1 ^ то в случае справедливости альтернативы параметр А(1) растет по 1 быстрее, чем линейно, а при справедливости нулевой гипотезы — линейно или почти линейно.

Теорема 3. 1) При справедливости альтернативы Я^

Т2В р

—/ —> то,

Л/П(т)т

2) при справедливости нулевой гипотезы Я^ имеет место сходимость по распределению:

т2 п

В

Т 2 В

---- . 71N(0,1).

л/ЩТ) Т-° ( )

Следствие. При Т ^ то критерий (10) состоятелен и имеет асимптотический уровень значимости равный е.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 2: Докажем сначала вспомогательное утверждение. Лемма 3. 1) При справедливости нулевой гипотезы Н0 для натуральных р имеет место сходимость по вероятности:

р 1 р А

Тр т^о р + Г Тр+1 тр + 2

2) При справедливости альтернативы Н1

р 2 п(^)^р р В

Доказательство: 1) Хорошо известно [6], что для однородного пуассоновского процесса Еп(1) — А(1) — А1, ^п(1) — Еп(1) — А1, поэтому

чРО — чРО 1 (11)

А(Т) АТ т—>оо ( )

С другой стороны, центрированный случайный процесс п*(1) — п(1) — А(1) имеет ортогональные приращения и нулевое среднее [6]. Обозначим

ф — 1^ — / 1р(п(1) — / 1р(п*(1) + / 1р(А(1) — [ 1р(п*(1) +---------------------------------------------г

./0 ./0 ./0 ./0 р + 1

Ввиду сказанного выше

Атр+1 гт ат2р+1

Ёф — тгт • Сф — х ^ М — -^гт

Из последних двух равенств следует, что

ф р

и, значит,

Ёф т—о ,

1 Г1Р <(„(()- ф р 1

Тр Трп(Т) У0 Трп(Т) т—о р +г

Второе соотношение в 1) рассматриваем аналогично, обозначим

п „ т

ф1 П(к^ К — п(1)1р(п(1) —

йе/ \ „ \1р г>т г т г т

й=1

— п(1)1р(^*(1) + / п*(1)1р(А(1) + / А(1)1р(А(1), (12)

,/0 ./0 ./0

и, стало быть,

Гт Гт а2тр+2

Ёф1 — А(1)1р (А(1) — А2 / 1р+1(1 —--------------------------------------------. (13)

Л Л р +2

Далее, интегрируя по частям, получаем

ф2 — ф1 — Ёф1 — [ п(1)1р(п*(1)+ [ П*(1)1р(А(1) — [ п(1)1р(п*(1) + АТр+1П*(Т)

Л Л Л Р +1

гТ гт

р_+_;0

А1 Р + 1

1р(п*(1) +

АТр+У(Т)

Р +1 :

поэтому Ёф2 — 0 и

Тф2 — Ё

Р + 1

Г А1 1 12р(А(1) + А2Т2р+2А?(Т) < СТ2р+3, (14)

(Р + 1)

где С — константа, что позволяет, учитывая (12)-(14), записать, что

Ф1 Ф2 + 1 1

Ёф1 Ёф1 т—о

Итак, учитывая (11), имеем

П(1)1р Ф1 р А

Тр+1 Тр+1п(Т) т—ор + 2;

что и требовалось доказать.

0

При справедливости альтернативы Я11, рассуждая аналогично, получаем, что

п(Т) р В

Далее

T2 —оо 2

гт atp+l btp+2

Еф=X №<t) = тгт+тгг,

Гт AT 2P+1 RT 2P+2

^ = ^ ^

(15)

и, значит,

EV ^ 1, (16)

Еф т- - -

*оо

из (15)-(16)следует первое соотношение в 2). Докажем второе соотношение в 2). Действуя так же как и ранее, получаем при Т ^ то

Ёф, — /т А(1)1р(А(1) — -2Тр+4(1 + 0(1))

2(p + 4)

и

< CT2p+4.

где C — константа, и, значит,

n(t)tp ф1 р B

Tр+2 Tp+2n(T) T^p + 4'

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2 базируется на применении функциональной центральной предельной теоремы, точнее, ее частного случая [9]:

=n (Ts) ~£?(Ts) W(s),

; VAT 1

где W(s) — стандартный винеровский процесс, а слабая сходимость имеет место в пространстве функций без разрывов второго рода непрерывных справа и имеющих левосторонний предел с метрикой Скорохода.

Рассмотрим сначала асимптотику случайной величины ф при справедливости нулевой гипотезы. Интегрируя по частям и делая замену переменных, запишем

Ф =------------1Т= [ ^W(t) = Vffi-------11= f n*(t)dtp =

TP\fAT TP\fAT Jo \fAT Tpv/AT Jo

= Wt(1) - [ Wt(s)dsp —+ W(1) - [ W(s)dsp = [ spdW(s). (17)

Jo T^° Jo Jo

Из (17) в частности следует, что

ф P A

Tp+i Т^о p + 1' Аналогично, с тем же самым процессом W(s) имеем

ф1 - Еф1 =_______^ х 'Т 'Т

TР+1 VAT TР+1 VAT vJo Jo

n(t)tpdn*(t) + J n*(t)tp^(t)^j

A ■ Wт(s)j spdWr(s) + A^ Wr(s)spds —^

о

пі пТ

—■+ А зр^ (в) + А W (фр^. (18)

т^~ Уо Jo

Таким образом, применяя (17),(18) и лемму 3, окончательно получаем, что при справедливости нулевой гипотезы Я0

Т3/2В 480 Д /1 ЛОТ(.) + !

іі 22

5 dW(в) + / 5 W(з)^з

Зо

у/А т^~ [4 Уо 3

і р і sdW(в) + / sW(з)^з

0

Интегрируя здесь по частям и учитывая, что Ш(1) — (в), находим, что

Г1 Г1 з2 1 Г1 з2 Г1 1 _ з2

I (з)(з — I Ш(з)(— — - Ш(1) — —<т(з) — / (з),

0 0 0 0

2

г1 г1 з3 1 г1 з3 г1 1 _ з3

з2Ш(з)(з — Ш(з)(— — - Ш(1) — — (Ш(з) — / (з),

,/0 ./0 33 ,/0 3 ./0 3

поэтому в (19)

£ — Г /(з) (з),

./ 0

,опЛ7з2 1 з 4з3

/(з) — 480 ( -— — — — —

м ' V 24 72 4 9

Таким образом, ввиду известных свойств интеграла Ито [6]

г 1

22

= 0, 7і = = / (в) ^5 = 128, 254.

і0

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3: 1) Нам потребуются следующие факты из теории ММФ. Предложение 1 ([10], с.26). Пусть ММФ Т(х) локально ограничена на [А, то) и

а > —1, тогда

[ 1аТ(1) (1 — Т"+1Ь(Т) (1 + 0(1)), т —— то. (20)

За а + 1

Замечание. Нетрудно видеть, что при а < —1 интеграл fA 1аТ(1) (1 сходится к положительному числу.

Предложение 2 ([10], с.16). 1) Пусть Т(х) — ММФ и в > 0, тогда

1еОД -—то, 1-вОД -— 0, (21)

т —о т —о

2) пусть Ь1(1),Ь2(1) суть ММФ, тогда Ь1(1)Ь2(1) и Ь1(1) + Т2(1) суть также ММФ. В случае справедливости альтернативы, учитывая свойство ММФ (20), запишем в принятых выше обозначениях: при Т — то

гт атр+1 тр+а+1 Т (Т)

Ёф — 1 1р (А(1) — "р+г + т+атт^ о'1»-Вф — [т ,* (а(1) — АТ2р+1 + Т 2р+а+1т(т) {1+„(!)),

Л 2р + 1 2р + а + 1 1 1

поэтому в силу (21) Дф/(Ёф)2 —— 0, следовательно

т—о

ф р. 1

Ёф Т—со ’

0

и, значит,

* = (^ + Т!+!+Т)\ (- + 0(і„ = тг+р+г)(1 + 0(1}), (22)

\р+1 р + а + 1 ) р + а + 1

по вероятности. Далее, в силу (20)

Л(і) = I* В(5) ^ = I' (А + 5“ОД) ^ = Аі + ^(1 + о(1)) = Г+1Т^(1 + о(1)),

Л Л а + 1 а + 1

следовательно, Л(і) есть правильно меняющаяся функция. В принятых выше обозначениях: при Т ^ то

[•т [•т Т2а+Р+2 Т 2 (Т)

Е* = Л(і)ір^Л(і) = Л(і)В (і)*™ = ( +1)(2 +( +2)(1 + о(1)). (23)

Л Л (а + 1)(2а + р + 2)

Далее, для

Ср(і) = [ 5р^Л(з) = [ 5рВ(^Ыз = ---------------—(1 + о(1)), І ^ то

Л Л р + а + 1

имеем, интегрируя по частям

*і - Е*і = [ п(і)іР^п*(і) + [ п*(і)іР^Л(і) = [ п(і)іР^п*(і) + П*(Т)СР(Т)-0 0 0

- /Т Ср(і)гіп*(і)= Г [п(і)іР - Ср(і)] ^п*(і) + П*(Т)СР(Т), 00

поэтому

Г т

Т*і < 2Е(п*(Т))2Ср(Т) + 2 Е [п(і)іР - Ср(і)]2 гіЛ(і) = 2Л(і)Ср(Т)+

0

+2 / {[Л(і)ір - Ср(і)]2 + І2рЛ(і)} ЛЛ(І) = о((Е*і)2),

0

так, что

*і р

Ёф1 т—о

Таким образом, учитывая (22)-(23), определяем, что

п Т«-1Т(Т )2а(а + 4)(а + 5)(1 + (1))

В = (а +1)(2а + 3)С2а + 4) (1 +

Учитывая теперь, что

П(Т) — А(Т )(1 + о(1)) — 1!+;T^1){l + 0(1)),

а + 1

окончательно получаем

Т 2В 2а(а + 4)(а + 5) / 1а+!Т(1^ р

Л/П(Т) (2а + 3)(2а + 4) V а + 1 (1 + °(1)) т—^ то.

Доказательство пункта 2) теоремы 3 повторяет доказательство теоремы 2. Здесь необходимо только учесть, что при 1 — то

А(1) — Г В(з)^ — А1 ± 1а+1Т(1)(1 + (1)) — А1(1 + (1)),

./0 а + 1

то есть поведение параметра А(1) асимптотически такое же, как и в случае однородного пуассоновского процесса.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 1: Доказательство легко получить, используя методы теоремы 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кабанов Ю.М„ Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Мартингальные методы в теории точечных процессовТруды школы-семинара по теории случайных процессов , Друскининкай, Вильнюс, 1975, т.2, с.269-354.

2. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. Ереван: И-во АН Армянской ССР. 1980. 253 с.

3. Линьков Ю.Н. Асимптотические методы статистики случайных процессов. Киев: Наукова думка. 1993. 255 с.

4. G. Peskir, A.N. Shiryaev Sequental testing problems for Poisson processes // The Annals of Statistics. 2000. Vol. 28. № 3. P.837-859.

5. Y.A. Kutoyants On properties of estimators in nonregular situations for Poisson processes // За-

писки научных семинаров ПОМИ. Т. 363. 2009. С. 26-47.

6. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. 1975. 320 с.

7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: И-во Физико-математической литературы. 1963. 1100 с.

8. Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. М.: Фазис. 2000. 256 с.

9. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М:Наука. 1977. 352 с.

10. N.H. Bingham, C.M. Goldie, J.L. Tuegels Regular variation. Encyclopedia of mathematics and

its applications, volume 27. Cambridge University Press / Cambridge/ New York/ New Rochelle/ Melbourne/ Sydney. 1987. 510 p.

Наиль Кутлужанович Бакиров

ИМВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия Михаил Владимирович Сначев, ИМВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]