Жизнь и научная деятельность Пафнутия Львовича Чебышёва Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)

Труды Международной научно-практической конференции

Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,

посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина

УДК 511.9

ЖИЗНЬ И НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПАФНУТИЯ ЛЬВОВИЧА ЧЕБЫШЁВА

В. Н. Чубариков (г. Москва) [email protected]

Введение

Отечественная научная школа теории чисел имеет давние традиции. В первую очередь они связаны с именем Леонарда Эйлера, трехсотлетний юбилей которого широко отмечен математической общественностью в 2007 г. Продолжил дело Эйлера в области теории чисел выдающийся выпускник Московского университета Пафнутий Львович Чебышёв, основатель первой математической школы в России, его 190-летие праздновалось 14 мая 2011 г. Ярким представителем научной школы Чебышёва являлся Иван Матвеевич Виноградов, которому 14 сентября этого года исполнится 120 лет со дня рождения. В первую очередь их выдающиеся достижения связаны с теорией простых чисел.

Предваряя наше сообщение о простых числах, приведем несколько методологических принципов, из которых исходил в своей научной работе П. Л. Чебы-шёв.

Первый из них в яркой форме выразил А. Н. Колмогоров: “С математической стороны основной переворот, совершенный Чебышёвым, заключается не только в том, что он впервые с полной настойчивостью выдвинул требование абсолютной строгости доказательства предельных теорем... но главным образом в том, что Чебышёв пытался получить точные оценки отклонений от предельных закономерностей...”

В основе исследований П. Л. Чебышёва всегда лежал некоторый новый метод. Важнейшие требования к методу он сформулировал уже в первой своей

студенческой работе “Вычисление корней уравнения” (Полное собр.соч., т.У, с.7-25), удостоенной серебряной медали на конкурсе, объявленном в 1841 г. Московским университетом.

П. Л. Чебышёв писал: “Исчерпав одним общим приемом все способы, как известные, так и возможные, мы сообщаем теории, с одной стороны, полноту, какой не могли бы доставить ей тысячи способов, а с другой, единство, которое теперь еще при небольшом числе их потеряно. Так усовершенствуется теория, и необходимым следствием этого будет удобность ее приложений.”

“С такою ли точностью, как у нас, определяется обыкновенно погрешность нового приближения. Ньютон ее совершенно не определял, а вычислял только примерно — это составляло главный недостаток его способа. Фурье исправлял этот недостаток: определил ее, но чем же? Величиною неизвестною!... В нашу же формулу входят одни известные — и посмотрите, какая быстрота, точность сообщается этим способу Ньютона.”

“Для показания важности этого способа приложу его к известному уравнению Ньютона

х3 — 2х — 5 = 0.

... Фурье решал это уравнение по своему способу и получил после пяти приемов только 32 верные цифры; мы же в три приема нашли 48. Что же касается до 5,6,... верных цифр, как это большею частью бывает нужно в практике, мы получили в один прием”.

Теоремы П. Л. Чебышёва о распределении простых

Переходим теперь к изложению замечательных результатов П.Л. Чебышева по теории распределения простых чисел.

Пусть п(х) обозначает число простых чисел, не превосходящих х > 2. Г.Давенпорт пишет:“Чебышёв был первым математиком всех времен, доказавшим стоящие результаты о поведении п(х) при х ^ то”.

24 мая 1848 г. П.Л. Чебышёв представил в Санкт-Петербургскую Академию наук мемуар “Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины”(Полн.собр.соч., т.1, с.173-190).

Он доказал, что

, п(х) -— п(х)

— V7~) - 1 - lim V7~) >

Цх) Цх)

х

где И(х) = f lOgi. Следовательно, если предел существует, то он равен 1. Более

2

того, П.Л. чебышёв показал, что функция И(х) в некотором смысле наилучшим образом приближает п(х).

В основе его рассуждений лежит знаменитое тождество Эйлера

ГО

СМ = £„ = П (! -p-’)-' •

n=l p

где произведение ведется по всем простым числам p и > 1. Впервые эта формула Эйлера появилась в 1748 г. в его книге Introductio in Analysin Infinitorum. Сначала Чебышёв берет логарифм эйлеровского произведения

- ^ lo§ f1 - + log(s - 1) = log((s - 1)С(s)). pp

Затем он выводит интегральные формулы для ((s) следующего вида

сю

1 Г e-x

Сw = rw/ ег-Гx’-' dx-

0

сю

С(s) - 7-1 = W)I {г—1 - X)e-xx’-'dx

0

Следствием их является предельное соотношение lim (а - 1)С(а) = 1. Кроме

того, функция (а - 1)С (а) имеет конечные производные любого порядка при а ^ 1 + .

Мемуар “О простых числах”

В этом мемуаре П. Л. Чебышёв дал строгое доказательство верхней и нижней границы для величины п(х) правильного порядка. При некотором фиксированном х0 > 2 для всех х > х0 справедливы неравенства

(0, 92 ... )-^ < п(х) < (1,105 ...)- Х

log x log X

Он вводит две сумматорные функции, которые теперь называются функциями Чебышёва:

ад = ^ log p• ф(х) = ад + $( vX) + $( ^х) +...

p<x

Функцию Чебышёва ф(х) представим в виде ф(х) = Л(т), где

m<x

... I logp, если т = pr,r > 1;

л(т) = \ п

I 0 в остальных случаях.

Далее, справедливо тождество log n = Л(т). Оно легко проверяется непо-

m\n

средственно. Сравнивая соответствующие коэффициенты рядов Дирихле, выведем искомое тождество. Из тождества Эйлера находим

(- log С«))' = - С0 = ЕЕ ^ = Е ^

7 4 7 p m=' n='

Умножая на С(s), получим

(е “) (Si)=(-S) «•'=-С Е “

Наконец, в основе доказательства неравенств П.Л. Чебышёва лежит следующее тождество

T(x) = Еlogn = ЕЕЛ(d) = Е Л(^ =

n<x n<x d\n dk<x

= ЕЕ л<d) = Е *X )•

k<x d<x/k k<x

формула Стирлинга T (x) = x log x - x + О (log x) и следующая линейная комбинация T(x) - T(x/2) - T(x/3) - T(x/5) + T(x/30).

Поясним идею Чебышёва рассмотрением другой линейной комбинации

T (x) - 2T (x/2) = Е(- 1)k-V(x/k) = x log2 + О (log x).

k< x

Так как *(x) неубывающая функция, то из предыдущего равенства получим *(х) - *(х/2) < x log 2 + О (log x) < *(х) - *(х/2) + *(x/3).

При x/2 < 2r < x имеем цепочку неравенств

*(х) - *(х/2) < x log 2 + О (log x), x

*(х/2) - *(х/4) < ^ log 2 + О (log x/2),

* Ш - *( 2^) < X log2 + О (log 2;Г)

1 r,

*(x) < 2x log 2 + О (log2 x).

Далее, воспользовавшись предыдущим неравенством, получим

X

ф(х)>ф(х/2) — ф(х/3) + х^2 + 0(^х) > ф(х/2) + — log2 + 0(^х).

3

Следовательно, ф(х) > 2г log2 + 0(^2 х).

Оценки снизу для разности ф(х) — ф(х/2) дали возможность П.Л. Чебышёву доказать постулат Бертрана: для любого натурального числа а > 3 найдется простое число большее, чем а, и меныпее 2а — 2. П.Л. Чебышёв поставил задачу:

а, а,

натуральных чисел а + 1, а + 2,..., 2а — 2 содержал по крайней мере два, три, четыре и т.д. простых числа. Г.И. Архипов, А.А. Карацуба и автор доказали, что при любом х > 4п2 на промежутке (х, 2х] содержится по крайней мере п > 1 различных простых чисел.

Простые числа вида 4п + 1 и 4п + 3

В 1853 г. П.Л. Чебышев в письме к г.Фусу сформулировал новую гипотезу, относящуюся к числу простых чисел вида 4п + 1 и 4п + 3. По известной теореме Дирихле при х ^ +то> справедливы асимптотические равенства

п(х; 4,1) ~ — -, п(х;4, 3)

2 log x 2 log x

где n(x; к, l) — количество простых чисел p = l (mod k),p < x.

Этот результат был доказан позже 1853 г. Дирихле в 1837 г. доказал только

p,

p = l (mod к) при (к, l) = і.

Чебышёв высказывает гипотезу об иррегулярности распределения простых чисел: простых чисел вида 4n + З больше, чем простых чисел вида 4n + і в смысле суммирования по Абелю. Другими словами, он утверждал, что имеет место следующее предельное соотношение

e-pc

c^0+

lim

^(-!)(p+1)/2e-pc = +ro. ^0+ p>2

В 1918 г. Г. Харди и Д.Литтлвуд [4] и Э. Ландау [5] доказали, что эта гипотеза П.Л. Чебышёва эквивалентна справедливости аналога гипотезы Римана для Ь-

4,

что ряд Дирихле

■■ (—1)"

L(s) =

=0 (2n + і)’

n=0

не обращается в нуль при !Rs = а > і/2.

Простые числа и дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана представляет собой функцию комплексного переменного в, определенную в полуплОСКОСТИ Кв > 1 абсолютно сходящимся рядом

Б. Риман продолжил £ (в) на всю комплексную плоскость С как мероморфную функцию с простым полюсом в точке в = 1 и вычетом в нем, равном 1, т.е. функция £ (в) — является целой. При Кв > 1 он выводит формулу, подобную формуле Чебышёва

а затем деформирует контур интегрирования в комплексной плоскости, для того чтобы получить представление, справедливое для любого комплексного числа в.

Далее Риман показал, что дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению

что позволяет свойства £ (в) при Кв = а < 0 выводить го ее свойств при а > 1. В частности, из-за полюсов функции Г(в/2) дзета-функция Римана будет иметь нули в точках в = —2, —4, —6,..., которые называются тривиальными нулями £ (в). Часть комплексной плоскости, отвечающая неравенству 0 < а < 1 называется критической полосой, а прямая а =1/2 — критической прямой.

а>1

ное преобразование

В неопубликованных заметках Б. Римана, сохранившихся в математической библиотеке Гёттингенского университета, имеется несколько ссылок на П.Л. Чебышева, хотя в его единственной опубликованной работе по теории чисел они отсутствуют.

п=1

0

/П(х)х

5— 1

dx, П(х) = п(х) + п(уХ) + п($х) + ...,

в

а по формуле обращения Фурье, он при а > 1 находит

а—гж

Открытие Б. Римаиа 1860 г., состоящее в том, что комплексные нули дзета-функции определяют закон распределения простых чисел, сделало эпоху в теории простых чисел.

В 1895 г. Мертенс доказал явную формулу, связывающую простые числа и нули £ (в) :

ф{х) = х р _ _ 1(! _ ж-2)_

Простые числа и тригонометрические суммы

В работе “Об одном преобразовании числовых рядов” (1879) П.Л. Чебышёв нашел, что тождество Эйлера £ (в) = П(1_ Р-)-1 и формула Чебышёва, заменя-

р

ющая сумму логарифмов натуральных чисел (до известного предела) суммами, относящимися к простым числам:

£ 1о«п = £ Кт)

п<х т<х

являются следствием равенства

И/ (п)1о§п = и Г (р) 1og р,

п=2 р

где

сю сю

Р(х) = £ £ !("х”).

П=1 ”=1

Из последней формулы тождество Эйлера получается при / (х) = х-в, а тождество Чебышёва при

_, . I 1, если п < х;

/ (п) =\п

I 0, если п > х.

Подобное тождество лежит в основе метода И.М. Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами:

ф(1) + £ <вд = ££ ц(й)Ф(йт),

И<у<М йт<х

где Н — любое число с уеловием 1 < Н < л/ЇЇ, у пробегает числа, не делящиеся на простые числа, не превосходящие Н, й пробегает произведение простых

Н,

т пробегает натуральные числа.

Тождество Эйлера получается отсюда при Ф(т) = ш-я путем предельного перехода.

В 1937 г. И. М. Виноградов нашел нетривиальную оценку для суммы

£«-

02niap

p<N

с помощью которой вывел асимптотическую формулу для числа представлений нечетного числа суммой трех нечетных простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха).

В том же 1937 г. И.М. Виноградов нашел нетривиальную оценку для тригонометрической суммы

^ ' е2жг(апрп+-+аір)

Р<N

р.

В 1984 г. автор нашел нетривиальную оценку для кратной тригонометрической сумме по простым числам с многочленом общего вида в экспоненте

£-£

pi < Ni pr < Nr

e2niF (pi,...,pr)

где переменные р1,,рг пробегают все последовательные простые числа и

ni nr

Г (х1;..., хг) = а(£1;..., и )х11.. .хГ, а(0,..., 0) = 0.

*1=0 Ьг=0

Следствием оценки И.М. Виноградова явилась асимптотическая формула в проблеме Варинга в простых числах. В 2009 г. автор доказал, что последовательность рп, где р пробегает все простые числа, ап — любое фиксированное натуральное число, является базисом конечного порядка для натурального ряда чисел.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] ЧебышёвП. Л. Полное собрание сочинений, т.I V. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1944-1951.

[2] ЧебышёвП. Л. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1955, 926с.

[3] ЧебышёвП. Л. Lettre de М. le professeur ТсЬёЬусЬеу а М. Fuss, sur un nouveau theoreme relatif aux nombres premiers contenues dans les formes 4n+l et 4n+3// Bull, de la classe phys.-math. de Г Acad. Imp. Sci. de 31;.-Рё1ег8Ьоищ, 1853, XI, 208.

[4] Hardy G.H., LittlewoodD.E. Contribution to the theory of Eiemann zeta-function and the theoryof the distribution of primes// Acta Math., 1918, 119196.

[5] Landau E. Uber einige altere Vermutungen und Behauptengen in der Prim-zahltheorie, 1-І I // Math. Zeitschr., 1918, 1-24, 213-219.

[6] BombieriE. Problems of Millennium: the Eiemann Hypothesis// 2000, pp.11.

[7] Виноградов H.M. Основы теории чисел. — М.: Наука, 2004, 176с.

[81 Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976, 119с.

[9] Davenport Н. Multiplicative Number Theoty. — New-York: Springer-Verlag, 1980, pp.177.

[10] РиманБ. Сочинения. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, 543с.

[11] ЧубариковВ. Н. Элементы арифметики. — М.: Изд-во Механпко-,математического ф-та МГУ, 2007, 96с.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Поступило 4.09.2011