CC BY
13
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
ш
УДК 62 - 336 Долотов Алексей Митрофанович,
д. т. н., профессор, зав. каф. «Прикладная механика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 89086572297, e-mail: [email protected] Белоголов Юрий Игоревич, аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 89500882303, e-mail: [email protected]
ЖЕСТКОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕЧНО-ПЛАСТИНЧАТОГО СЕДЛА
A.M. Dolotov, Yu.I. Belogolov
STIFFNESS MODEL OF SHELL-PLATE SEAT
Аннотация. В статье рассматривается методика определения жесткости оболочечно-пластинчатого седла. Приводятся результаты, полученные при расчете седла с заданными параметрами в программе MathCAD 14.
Ключевые слова: оболочечно-пластин-чатое седло, жесткость, функции Крылова, условия совместности деформаций.
Abstract. In the article the method of determining the stiffness of the shell-plate seat is considered. The results obtained in the calculation of the seat in the program MathCad 14 are presented.
Keywords: shell-plate seat, stiffness, Krylov functions, conditions of strains compatibility.
В арматуростроении получают распространение уплотнительные соединения, в которых используются тонкостенные упругие элементы. Обзор таких уплотнительных соединений приведен в [4]. Целесообразность выполнения седла в виде оболочки, закрепленной на пластине, и принятые обозначения показаны в [3]. Там же приведены обоснования расчетной модели, которая с переопределением некоторых параметров представлена на рис. 1.
На рис. 2 показана расчетная схема пластины, дифференциальное уравнение ее деформирования имеет вид:
d 2ор 1 dop
о„
dr „
- +---
r dr
r
О*
. (1)
■ р ' "' р ' р р
Перерезывающая сила определяется из уравнения равновесия пластины и равна:
г
ар = т -.
гр
Решение уравнения (1) принимаем в виде [1]:
°р = ^р+ Т+тЬ Ш
р р р
где ~ и г - вспомогательные переменные.
dr,
(2)
Рис. 1. Расчетная схема оболочечно-пластинчатого седла
Рис. 2. Расчетная схема пластины
Граничные условия:
1) по наружному краю пластина жестко заделана, т. е. при г = Л ир = 0;
2) по внутреннему радиусу г0 пластины приложен момент М^ .
М р = Б
( йи и Л
-¡г+ц—
V ёгР Гр J
(3)
Мо (/) = М р (га); (I) = 2 р (Го); ) = ДГр (го);
(9)
»о (I) = » (г0 ). Относительно третьего условия совместно-ПоДставляя <2? в общий интегPал, получаем: сти деформаций перемещение пластины Дгр (го)
возникает вследствие растяжения ее силами 2 яр,
при этом все точки пластины находятся в состоя-
Для устранения логарифма размерной вели- нии равномерного растяжения с напряжением
а = ^ [5].
й„
С Тг
= С'Гр + Г + ^
р р
гг рр
1пгр --
2
(4)
Тгг„
чины добавим и вычтем ——- 1п Я :
2Б р
р
С Тг г г и = С г, + С2 + 1п- р
¡¡р 1 р
гр 2бр яр
(5)
С учетом обобщенного закона Гука:
2 (Я - г )
2* ( р о {(1 -ц) . (10)
Дгр = его =■
Ей„
Тут все слагаемые, содержащие гр в первой
Условие совместности Т0 (/) = Тр (г0 ) = Т
степени, отнесены к постоянной интегрирова- использовано при задании нагрузки на торце обо-
ния С1 .
Уравнение деформированной образующей оболочечного элемента имеет вид:
лочки [2]:
Т = -
Г
; 2=-
Г
й V 4 цТ р —- + 4р4 w = -—- + —
(6)
йх4 гБ Б
решение которого имеет вид:
w (х) = \К0 (Рх) + АК (Рх) + А2К2 (Рх) + БоР:
+А3К3 (Рх) + w*; w '(х) = р[-4АоКз(Рх) + ДК0(Рх) + = Бр
+АК (Рх)+а3к2 (Рх)];
w"(х) = р2[-4АК(Рх) - 4АК3(Рх) + (7) местности, получаем: +А Ко(Рх) + Аз КДРх)];
~ 2%го + ф) Первое условие совместности деформаций в раскрытом виде:
- 4 А0К2 (Р/)-4 А,Кз (Р/ф)
ог
С Тг Тг г
С (1 + ц) —2(1 -ц) + —г^ + (1 + ц)—г^ 1п-^-
1( ц) г2( ц) 2Б v 2Б Я
о р р р.
Объединяя второе и третье условия сов-
(11)
w'" (х) = Р3 [-4 АК (Рх) - 4АК (Рх) --4 А Кз(Р х) + Аз Ко(Рх)], где А0 ..А3 - постоянные интегрирования, К (РХ)...К3 (Рх) - функции А.Н. Крылова, ЦТго
2 цТг
Ао К о (Р/) + А, К, (Р/) + Кз (Р/) -
Б Рз ЕЙ
о г о
(Яр - го)
ЕЙ
(1 -ц)БоРз[-4АоК.(Р/) - (12)
2
Ей
Граничные условия для оболочки принимаем в виде:
х = 0: w "(0) = 0; w "'(0) = 2;
х = /:w'(/) = »; w"(/) =
Мо Б
(8)
- 4 А1К 2(Р/) + —— К 0 (Р/)];
о
С Тг 2 г — го + + —^ 1п = Р [-4 А0 Кз (Р/) +
г 2Б Я
о р р
+ А, К 0 (Р/) + -2^ К 2(Р/)];
ог
-
—1 Яр + —^ = 0,
1 р Я„
(13)
Подставляя первые два граничных условия, т. е. получаем систему четырех уравнений для
находим:
А = 0; А =
2
нахождения четырех постоянных интегрирования
Г ■ Г ■ А ■ А
? ? 0 ? 1 *
Б0Рз "
Условия совместности деформаций пластины и оболочки:
Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение
ш
Ao =
A, =
где А =
где:
С, =
b, b2 b3 d^
а2 a3
e2 Ь2 Ьз
e3 d2 d3
А
а1 аз
b. e2 Ьз
e3 d3
А
а1 а2
Ь Ь 2 e2
dl d2 e3
А
—CR 2 p ,
а = —4DoP2K2(pi); а2 = —4ДР2 K3(p/);
D R2
—Dp (1 + --V1 (1 — /")
e, = T b, =
) + (1 + М)г„ыГ0 \%(а + ф)Р 2 2 Rp
b2 =
Ko (pi) + ^^ (1 — /j)D0p 4K, (Pl)
R — r
K.(PO+ (1 — ^)DoP3 • 4K2(Pl)
e = T
(14)
Eh„
tg(a + p)DoP3 Eho Eho tg(a + p) d1 = —4pK3(pl); d 2 = pK o(pl);
d3 =
ез = T
R 2
■ — r
r , r
P
2Dp Rp Dpg (а + ф) Прогиб пластины:
kcp )
' = с 3 —jSpdr = C3 — C2ln rp +
rp2 {Tr0 — 4CxDp )
TrO In
v Rp J
8 D„
4 D„
Постоянная интегрирования С3 определяется из условия отсутствия перемещений при
Я2 Тг - 4С Б )
г = Я , С3 = С21п Яр - -^.
р ру 3 2 р
Прогиб пластины в месте соединения с оболочкой:
* = С иД - Тг°- 4СБ (Я2 - г2) -
!р 2 г 8Б р 0 )
—JL.
4dp rp
(15)
Упругая модель оболочечно-пластинчатого седла может быть представлена в следующем виде (рис. 3).
Е^
Рис. 3. Упругая модель оболочечно-пластинчатого седла
Приведенная к осевому направлению жесткость определяется из выражения
С + С21^х • 1§(а + ф)]сз
с =-
пр
(16)
С + с21§а • tg(а + ф) + с3 где с - жесткость привода; с2 - радиальная жесткость оболочечного седла;
2пг О 2%г О 2%г Т „ ч
- ^ ^ ; с =-—. (17)
w(0) A0 + w *
w
Расчет оболочечно-пластинчатого седла выполнялся в системе MаthCAD.
Приняты следующие исходные данные:
1. Радиус срединной поверхности оболочечного элемента г = 19 мм.
2. Наружный радиус пластины Я = 42,5 мм.
3. Модуль упругости материала Е = 90000 МПа.
4. Коэффициент Пуассона материала ц = 0,35.
5. Половина угла при вершине конуса золотника а = 15°.
6. Коэффициент трения в стыке / = 0,1.
7. Параметр оболочечного элемента р/ = 2.
а, а2 аъ
r
o
8. Толщина:
оболочки й0 = 1 мм. пластины й = 1 мм.
9. Нагрузка со стороны привода Б = 450 Н.
Результаты расчетов показаны на рис. 4-9.
Рис. 4. Прогиб пластины
Рис. 5. Смещение торца оболочечного элемента
Рис. 6. Угол поворота оболочки
Рис. 7. Угол поворота пластины
Рис. 8. Момент, возникающий в оболочке
Рис. 9. Момент, возникающий в пластине
Значение жесткостей может быть определено из (17).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. М. : Машиностроение, 1973. 456 с.
2. Долотов А. М., Огар П. М., Чегодаев Д. Е. Основы теории и проектирования уплотнений пневмогидроарматуры летательных аппаратов : учеб. пособие. М. : Изд-во МАИ, 2000. 296 с.
3. Долотов А. М., Белоголов Ю. И. Напряженно-деформированное состояние тонкостенного клапанного седла пониженной жесткости // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4 (32). С. 62-65.
4. Уплотнительные соединения с использованием тонкостенных элементов / Долотов А.М., Гоз-бенко В.Е., Белоголов Ю.И.; Иркутский государственный университет путей сообщения -Иркутск, 2011. - с. 72 с. Деп. в ВИНИТИ 22. 11. 2011, № 508-В2011.
5. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л., Бидерман, К. К. Лихарев, В. М. Макушин, Н. Н. Малинин, В. И. Феодосьев. М. : Изд-во МЛ, 1958. 975 с.
