«Жесткие» скольжения полиномов по непрерывным коэффициентам Фибоначчи. Результаты численных экспериментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.65+519.644.2

«ЖЕСТКИЕ» СКОЛЬЖЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ПО НЕПРЕРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ФИБОНАЧЧИ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая, А.Н. Шелудяков

Представлены результаты численного моделирования поведения корней многочленов при переменных коэффициентах из семейства функций Фибоначчи

Ключевые слова: числа Фибоначчи, рекуррентные соотношения, скользящие лакунарные многочлены

Напомним, что ранее [1, 2] мы рассматривали скольжение многочлена фиксированной степени по двухсторонней последовательности чисел Фибоначчи . Естественно перейти теперь к непрерывным функциям аргумента х в формуле Бинэ. Понятно, что в этом случае ситуация существенно усложняется, так как коэффициенты многочлена становятся многозначными

комплексными функциями вещественного аргумента, зависящими от двух целочисленных параметров к и т. В самом деле, из соотношений

'1+V5Y fi

2

/

i +V55 2

•Г =

f i+V5

(cos(2mkx) + i sin(2Px))

1 -V5 | [V5 - 1 | ^ ( x _ - 1 | ^ e(p+2„m)ix _

2 J \ 2

'S -1л f-J5 -11

I 2

(cos((m + 2mm)x) + i sin((m + 2mm)x)) _

2

(cos(mt(1 + 2m)) + i sin(px(1 + 2m)))

S I 2

1+Vs1 . ,„_, ч f 45 -11 . „ „ , NN

sin(2mx) -1-I sin(px(1 + 2m))

Ft,n(x) _ -41^1^I cos(2Px)-f^5-1 | cos(mx(1 + 2m)) +

\x e R; k, m e Z

Рассмотрим поведение функции ^ т (х) при

изменении х от х=6 до х=8 с шагом 0.001. Примем к=0, т=0, а затем к=1, т=1.

Рис. 1. График функции Фибоначчи при k=0 и 1, m=0 и 1

Следует такое представление:

45 • Fkm (x) _ ( 1+И- I cos(2pkx) - f^5-1 I cos(mx(1 + 2m)) +

1 + \ sin(2Mx) - \ ^ 1 I sin(mc(1 + 2m))

x e R; k, m eZ

Таким образом, за семейство функций Фибоначчи принимаем далее следующую двухпараметрическую совокупность функций:

Агранович Юрий Яковлевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected], тел. (473) 267-0452 Концевая Наталья Валерьевна - Финансовый университет при Правительстве РФ, канд. экон. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Шелудяков Алексей Николаевич - ВГТУ, магистр, e-mail: [email protected], тел. (473) 223-6917

Рис. 2. График функции Фибоначчи при k=0..2, m=0..2

+1

x

e 2mkx _

2

2

+1

Рис. 3. График функции Фибоначчи при к=0..3, т=0..3

Для фиксированного значения х, величины к и т могут принимать вообще говоря различные, не зависимые от х значения, так как различные ветви комплексной функции являются равноправными. Поэтому далее будем отличать «жесткие» скольжения от прочих. Условимся, что «жесткому» скольжению в различных коэффициентах из функций Фибоначчи отвечают одинаковые значения целочисленных параметров к и т. В данной работе мы приводим результаты численных экспериментов только для случая «жесткого« скольжения.

Рассмотрим поведение корней многочленов, например 5-й степени, при «жестком» скольжении в промежутке от х=3, до х=4 при старшей степени, где к равно 0 и 1, и т соответственно равно 0 и 1.

рк,т (х)15 + (х +1)1 + ^ (X + 2)1 + + (х + 3)1 + (х + 4)1 + (х + 5) = 0

рк,т(х+0.001 + Ркт(х+1.001)1 + ^п(х+2.001)1 + +^(х+3.001)1 + ^(х+4.001+РКт(х+5.00$ = 0

Рис. 5. Поведение корней полинома в окрестности точки -1,6 при к=0 и 1, т=0 и 1

Рис. 6. Поведение корней полинома в окрестности точки -1,6 при к=0..2, т=0..2

Рис. 7. Поведение корней полинома в окрестности точки -1,6 при к=0..3, т=0..3

Рис. 4. Распределение корней полинома пятой степени

Рис.8. Поведение корней полинома при изменении x от -2 до 2 с шагом 0,01 при k=0..2, m=0..2

Литература

1. Агранович, Ю. Я. Предельное поведение корней скользящих лакунарных многочленов для двусторонней последовательности чисел Фибоначчи [Текст] / Ю. Я. Агранович, А. Н. Шелудяков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. -Т.9. - № 2. - С.21-23.

2. Агранович Ю.Я., Шелудяков А.Н. Предельное поведение корней скользящих лакунарных многочленов для рекуррентных последовательностей на примере чисел Фибоначчи/ В кн.: Современные методы теории краевых задач: материалы воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXIV». Воронеж: Воронежский государственный университет, 2013, с.8-11.

3. Скользящее усреднение на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена [Текст] / Ю. Я. Агранович, Н. В. Концевая, С. Л. Подвальный, В. Л. Хацкевич // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т.7. - №12-1. - С.4-6.

4. Агранович, Ю. Я. Синтез статистического и детерминистского методов в проблеме сглаживания временных рядов [Текст] / Ю. Я. Агранович, Н. В. Концевая, С. Л. Подвальный, В. Л. Хацкевич // Системы управления и информационные технологии. - 2011. -Т. 46. -. № 4 - С. 4-7.

5. Плотников О.А. Разработка алгоритма для комплексного решения задач транспортной логистики [Текст] / О.А. Плотников, Е. С. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т.7. - № 11. - С.102- 105.

6. Никитина Е.В. Использование нейронных сетей для прогнозирования временных рядов / Е.В. Никитина, Е. С. Подвальный, А.С. Терехов, А.В. Обухов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2017. - Т.3. - № 12. - С.182- 184.

Воронежский государственный технический университет Финансовый университет при Правительстве РФ (г. Москва)

"RIGID" SLIDING OF POLYNOMIALS WITH THE COEFFICIENT BELONG THE FAMILY FIBONACCI FUNCTIONS. THE RESULTS OF NUMERICAL MODELING

Yu.Ya. Agranovich, N.V. Kontsevaya, A.N. Sheludiakov

Discussed the results of numerical modeling of the behavior of the roots of polynomials with variable coefficients from a family of Fibonacci functions

Key words: Fibonacci functions, sliding lacunar polynomials