Решение уравнения Блэка-Шоулза с параболической функцией волатильности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЛЭКА-ШОУЛЗА С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ

ВОЛАТИЛЬНОСТИ

А.С. Чернова

В работе получено решение уравнения Блэка-Шоулза для случая, когда функция волатильности представлена в форме многочлена второй степени по времени

Ключевые слова: модель Блэка-Шоулза, функция волатильности, задача Штурма-Лиувилля

В данной работе исследуется модель Блэка-Шоулза[1]:

% + ^№§ = 0

(1)

где - значение капитала

хеджирующего портфеля в момент времени 1,8 -

рисковый актив,

- функция волатильности .

При этом мы не рассматриваем краевые условия, т.к. нас интересуют возможности данной модели как средства описания рынка вторичных ресурсов, в частности рынка ценных бумаг. Обычно модель Блэка-Шоулза используется для принятия управленческих решений по хеджированию активов на рынке вторичных ресурсов. И поэтому большинство работ связанных с этой тематикой направлены на изучение этого уравнения как динамической системы. А в нашем случае мы будем считать функцию волатильности

■ ■■ некоторым заданным временным рядом.

Используя методы изложенные в работах [2,3,4] сглаживая функцию волатильности придем к многочлену второй степени.

JT JlT

g GCS3 -Н (At1 + Bt + C)T(t) S~ = 0 (5)

д!Т а _ _

г: V : г : '■ (7)

Отсюда приходим к следующим уравнениям:

*| =-***+«+о (8)

: с!‘с ___

■ ~~ (9)

В результате интегрирования уравнения (8), получим:

Перейдем теперь к уравнению (9): ~<і1 В

(2)

dJ:

(10)

(11)

Подставляя соотношение (2) в уравнение (1), получим

BY

зїу

-- -= = (З)

Решая уравнение (3) методом разделения переменных, придем к следующему:

(4)

подставляя соотношение (4) в уравнение (3), получим

Уравнение (11) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение Эйлера. Представляем его решение в виде:

ей) = 3*

*0е — О = л

Будем различать следующие случаи:

1. Дискриминант (13) положительный

1 -I- 4А > О

(12)

откуда получаем соотношение для определения х (задача Штурма-Лиувилля):

(1З)

И решение имеет вид:

Чернова Александра Сергеевна - ВГТУ, магистр, e-mail: alexsandra! 51 @vandex.ru, тел.+7920-440-79-97

1 ^ТШ 1 ^тш G&') = G1Si+ - Н-fi^" г

• (15)

G, G,

Здесь 1. - константы интегрирования.

2. Дискриминант (13) отрицательный Ц-4Д<0 (16)

В этом случае решение имеет вид:

gCs) = Vs

Г Ii+iil [Gi cos——

, ЛІ+ПГ 1

S +- 6- S1TL---------J

2 : J

(17)

Тогда общее решение в случае 1 может быть представлено в виде:

( ^Т+П -лТШ\

= -\-Сг5 ! )

(1В)

А в случае 2 соответственно:

yJS

_ J11-Н4АІ . Jll+4/Ll

Gt соз--------------S 4- C2 sm----------------5

X n. £ гщ

(19)

Альтернативный метод решения рассмотренной задачи предложен в работах [5,6], где решение представлено в форме ряда по многочленам Лежандра, учитывающим краевые условия задачи.

Соотношения (18),(19) демонстрируют качественно различное поведение решений в

д

зависимости от спектрального параметра В частности соотношение (19) включает волновую составляющую по рисковому активу.

Автор благодарна своему научному руководителю Ю.Я. Аграновичу за постановку задачи и внимание к работе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, том 2., ФАЗИС. М.- 1998. стр.887-882.

2. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Хацкевич В.Л. Метод многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов и приложения к исследованию финансовых рынков//Экономика и математические методы, 2010, том 46, вып.3, с.71-81.

3. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В. Метод

определения параметров сглаживания временных рядов на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена//Современная экономика.

Проблемы и решения, 2011, №7(18), с. 131-137.

4. Хацкевич В.Л. Решение уравнения Блэка-

Шоулза, описывающего формирование цен на опционы, и некоторые свойства полиномов Лежандра//Системы управления и

информационные технологии. 2012. Т. 49. № 3. С. 28-32

5. Хацкевич В.Л. Приближенный анализ справедливой цены опциона на основе уравнения Блэка - Шоулза.// Современная экономика. Проблемы и решения, 2012. № 5, стр.159-167.

Воронежский государственный технический университет THE SOLUTION OF EQUATION BLACK-SCHOLES WITH A PARABOLIC FUNCTION VOLATILITY

A.S. Chernova

In this paper the solution of the Black-Scholes option pricing model. for the case when the function of volatility is in the form of a polynomial of degree over time

Key words: model of the Black-Scholes option pricing model, the function of volatility, the Sturm-Liouville