Предельное поведение корней скользящих лакунарных многочленов для двусторонней последовательности чисел Фибоначчи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.65+519.644.2

ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОРНЕЙ СКОЛЬЗЯЩИХ ЛАКУНАРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ДЛЯ ДВУСТОРОННЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ Ю.Я. Агранович, А.Н. Шелудяков

В работе показано, что корни лакунарных многочленов, скользящих вдоль последовательности чисел Фибоначчи вправо, стремятся к вершинам правильных многоугольников, вписанных в окружность с радиусом равным «золотому сечению», а при сдвиге влево - к многоугольникам, инверсным относительно единичной окружности

Ключевые слова: числа Фибоначчи, рекуррентные соотношения, скользящие лакунарные многочлены, свойство

Пизо

Процессы скользящего суммирования чрезвычайно часто используются для обработки динамических рядов и давно снискали себе репутацию надежного метода извлечения информации из числовых данных. Некоторые недавние результаты, полученные в области весового скользящего сглаживания методом многоугольных чисел [1,2,3] показывают важность полиномиальных интерполяций при выборе ширины и расположения окна сглаживания[4,5,6,7,8,9]. В связи с этим возникает ряд новых неожиданных задач. Одна из таких задач состоит в исследовании предельного поведения корней многочленов с коэффициентами, скользящими вдоль некоторой числовой последовательности, определенной линейным рекуррентным соотношением с постоянными коэффициентами. Решение одной из таких задач представлено ниже.

Рассмотрим двустороннюю

последовательность чисел Фибоначчи:

3, п є ^ = 0,3 = 1,..Д+2 = ^ + Би

в (2) получим следующую цепочку равенств:

Pn+m(z) =-^={zn[j(n+m) -(-j)(n+m)] +

+ zn-1[j(n+m+1) - (j)(n+m+1)] +

+•••+[j2n+m) - (-j)(2n+m)]} =

= -L jn+m) {zn + zn-1j+ zn-2j + • •• + z j-1 +j -

V5

- [zn (- j)(n+m) + zn-1(-j)(-j)(n+m) +

(n+m+1)

(4)

j

j

+...+z(-j)n-1 (-Р)(п+т) + (-рп (- Р)(п+т)]}

Р Р

Таким образом, корни многочленов семейства (2) являются решениями уравнений: хп + 2п~хр + 2п-2р2 +... + грп-1 +рп =

-21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0 ,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

(1)

= (-Г )n+m [zn + zn-1(- j) + zn-2 (-j)2 + j

+ ••• + z(-j) n-1 + (-j) n ]

(5)

п

и семейство скользящих многочленов степени п с

коэффициентами из последовательности (1):

Рп+т(2) = \+т*П + ^т^ + - + т£ 2 (2)

Нас интересует предельное поведение корней многочленов (2) при т ® +¥ т ® -¥ .

Рассмотрим сначала случай, когда т ® +¥ . Не ограничивая общности, будем сразу считать, что т > М > -п. Подставляя Fn+m в форме Бинэ:

^т =-1[рП1т) - (-р)|п+”)],р=^52+1, Р = ^(3)

Так как

-j 1 -45

j 1+45

3-V5

2

< 1,

то

коэффициенты при степенях 2 в правой части уравнения (5) стремятся к нулю при т ® +¥ . Отсюда, в силу непрерывной зависимости корней многочлена от его коэффициентов, немедленно следует, что корни уравнений (5) стремятся к корням многочлена:

¥п (2) = 2п + 2п > +... + гфп-1 +фп (6)

и, следовательно,

уравнения

стремятся к корням

zn+1 - jn+1 = 0 , кроме z = j (7)

Агранович Юрий Яковлевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected], тел. 8(473) 267-04-52

Шелудяков Алексей Николаевич - ВГТУ, магистр, e-mail: [email protected], тел. 8(473) 223-69-17

Рис. 1. Распределение корней при п = 21, радиус окружности 1,618

Аналогичные рассуждения для уравнения (5), которое при т ® -¥ удобно представить в виде:

2П + 2(п-Х) (-() + 2(п-г) (-( + ... +

(5')

+ 2(—р) + (-р)п =

= (- Р~)п . (- Рр)-т .

р Р . [2п + 2п-1р+ ... + 2рп-1 +рп] показывают, что при т ® -¥ корни многочленов из семейства (2) стремятся к корням уравнения:

2п+1 — (—() п+1 = 0 , кроме 2 = -(

(8)

Понятно, также, что корни (8) отличаются от корней (7) только инверсией относительно единичной окружности. См. Рис.2.

п=7, т=-15

-вд-

-0т6-

-9^-

-0т2-

-0,6 -0,4 -0,2

■9т2-

-ад-

-0т6-

-0:8-

0,2 0,4 0,6 0,3

Рис. 2. Распределение корней при п =7, радиус окружности 0,618

Интерес представляет также оценка разности корней (2) и (6) при увеличении т . Для получения такой оценки воспользуемся одним тонким неравенством Элснера [10]. Представим для этого (2) в виде приведенного многочлена:

п , 2 +

п +т+1 „п-1 . . *~2п+т

2 +... + •

К

К

= о

(9)

И сравним корни (9) с корнями многочлена:

_п , _п-1 2 + 2 ( + ... + (

0

Оценим разность

,2п+т

■т

тп+т - (-()2

(+т - (-()п

--(

((((-()п+т - (-()2

(-()п

' - (-()п+т , (-()2п+т

(( ((

< 2

1 -I-

(11)

<( ”

1(1

(+т

т

при достаточно больших т .

Поэтому разность корней может быть оценена сверху величиной:

еп (т) < п ■ ^2

1р1

£

<Р

< (3-л/5) ■ п ■ (^ф^)

т п ■ п

(2т)п -1

2(-1

<

(12)

2

Иными словами, приближение к корням предельных многочленов имеет скорость убывающего слагаемого в представлении чисел Фибоначчи формулой Бинэ.

Понятно также, что в общем случае (необходимые определения см. например, в [3] и имеющимся там списке литературы), справедлива следующая

Теорема. Пусть числовая последовательность определяется линейным рекуррентным

соотношением, удовлетворяющим свойству Пизо. Тогда корни скользящего вправо многочлена с убывающими степенями приближаются к вершинам правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом равным наибольшему характеристическому числу данного рекуррентного соотношения.

Литература

1. Агранович Ю.А., Концевая Н.В., Подвальный С.Л., Хацкевич В.Л. Метод многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов // Системы управления и информационные технологии, 2009, т. 38, №4, с.30-34

2. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Хацкевич В.Л. Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе многоугольных чисел // Прикладная эконометрика, 2010, №3(19), с.3-8.

3. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Хацкевич В.Л. Метод многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов и приложения к исследованию финансовых рынков // Экономика и

п

п

математические методы, 2010, том 46, вып.3, с.71-81.

4. Агранович Ю.А., Концевая Н.В., Подвальный С.Л., Хацкевич В.Л. Синтез статистического и детерминистского методов в проблеме сглаживания временных рядов // Системы управления и информационные технологии, 2011, т. 46, №4 , - с.4-7.

5. Скользящее усреднение на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена / Ю.А. Агранович, Н.В. Концевая, С.Л. Подвальный, В.Л. Хацкевич // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. № 12. С. 4-6.

6. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В. Метод определения параметров сглаживания временных рядов на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена // Современная экономика. Проблемы и решения, 2011, №7(18), с. 131-137.

7. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В. Формула Эйлера-Маклорена в теории скользящего усреднения // Международный научноисследовательский журнал, 2012, ч.1, 5(5), стр. 5-6.

8. Концевая Н.В. Анализ методов заполнения пропусков во временных рядах показателей финансовых рынков / Н.В. Концевая // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 8. С. 18-20.

9. Концевая Н. В., Метод рандомизации заполнения пропусков во временных рядах при исследовании рыночных показателей //Системы управления и информационные технологии, 2012, т. 48, № 2.2, с. 259-263.

10. Elsner L. On the Variation of the Spectra of Matrices. // Linear Algebra and its Applications, 47: 127-138 (1982).

Воронежский государственный технический университет

LIMITING BEHAVIOR FOR ROOTS OF SLIDING LACUNAR POLYNOMIALS FOR TWO-SIDED SEQUENCE OF FIBONACCI NUMBERS Yu.Ya. Agranovich, A.N. Sheludiakov

In the article is shown, that roots of lacunar polynomials, sliding along the sequence of Fibonacci numbers to the right, aspire to the heights of regular polygons, inscribed in a circle with a radius equal to the "golden section", and sliding to the left

- to the polygons, inverted respectively the unit circle

Key words: Fibonacci numbers, recurrent relations, sliding lacunar polynomials, Pisot property