О некоторых экстремальных свойствах средних значений и математических ожиданий случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.222

О НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В.Л. Хацкевич

В работе выявлена связь между весовыми усреднениями и весовым методом наименьших квадратов. Установлено, что весовые усреднения минимизируют соответствующие весовые среднеквадратические уклонения. Исследован случай дискретных и непрерывных средних, а также математических ожиданий случайных величин. Показано, что координаты центров масс различных механических систем обладают характеристическим экстремальным свойством

Ключевые слова: экстремальное свойство, взвешенное среднее, взвешенное среднеквадратическое отклонение

Введение . Пусть х 1, х 2хп - заданные числа. Средняя арифметическая простая определяется равенством:

і n

■ = - Тxt .

n і =1

(і)

Если заданы веса (частоты повторения соответствующих признаков) р1,р2 ,... рп , причем

п

рк > 0 для к = 1, 2,...п и £Рк > 0, то средняя

к =1

арифметическая взвешенная определяется равенством:

_ = Р1х 1 +Р2х 2 + ... + Рпхп (2)

р1 + р 2 + ... + рп

Взвешенные средние применяются в статистике, а также при скользящем усреднении динамических рядов. Например, случай

рк =т -1(к = 1,2,...п),

где и е (0,1) соответствует экспоненциальному усреднению. При этом,

_ 1 -и п к -1

х = :---- Ти хк

1 -и к =1

(см., напр., [1], гл. 4). В случае рк = к (к = 1,2,...,п), величина

x=

т—лТ tet

i(n + і) і =1

соответствует усреднению Маркова - Гельфонда (см. [2]). Специальный случай усреднения с многоугольными числами рассмотрен в работе [3], откуда и возник интерес автора к этой проблематике.

Как известно (см., напр., [4] §5), имеет место следующее характеристическое свойство средних арифметических:

Сумма квадратов отклонений отдельных членов ряда от средней арифметической (простой) меньше суммы квадратов их отклонений от любой другой величины.

Мы заметили, что аналогичное утверждение справедливо и для средней арифметической взвешенной. А именно, рассмотрим взвешенное сред-

неквадратическое отклонение чисел x 1,x2,...,xn от некоторой величины x

d 2(x)= ТPt (хі -x) і =1

2

(З)

где р 1, р2,...рп - заданные положительные числа.

Теорема 1. Взвешенное среднеквадратическое отклонение (3) достигает минимума при х = х , определяемом формулой (2).

Доказательство этой теоремы элементарно. А именно, приравнивание производной от выражения (3) по х к нулю дает для критической точки значение (2). При этом вторая производная, равная

п

2ТРк , положительна. Так что выполнено доста-

к =1

точное условие минимума.

Весовой метод наименьших квадратов, характеризующийся в нашем случае формулой (3), находит широкое применение в различных разделах естествознания (см., напр., [5] гл.3). Однако, связь с весовыми средними, на сколько нам известно, ранее не отмечалась.

1. Скалярный дискретный случай. Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения Х1 < Х2 . < Хп С вероятностями Р1, Р2,.. .Рп соп

ответственно. Как известно, ТРк = 1. При этом

к =1

математическое ожидание случайной величины М (X ) и дисперсия В (X ) определяются формулами

М (X ) = ТРк.хк. , В (X ) = ТРк. (хк - а )2,

і =1

і =1

Хацкевич Владимир Львович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]

где а = М (X ). Тогда теорема 1 влечет

Следствие 1. Для дискретной случайной величины Х выражение

П / \2

2 Рк (хк -а) к =1

достигает минимума по а при а = М (X ).

Этот результат совпадает с известным результатом теории оценивания (см., напр., [6] гл. 1) поскольку в терминах математического ожидания мы

находим минимум величины М (X - а )2 по а , равный В (х).

Рассмотрим дискретный вариационный ряд, в

x 1 + x 2 +... + x n

x

n

котором значение признака Хк принимается с частотой Пк (к=1,2,...,ш). Средней арифметической х и дисперсией В вариационного ряда называют соответственно величины

_ 1 т

х = — Т п1хк N к =1

1 т / _у

В = — Т(хк -х )

N к =1

объем совокупности.

х"' 2

где N = Т пк

к =1

Следствие 2. Величина

1 т ! 49

В = — Т(хк - а у

N к =1

как функция параметра а достигает минимума при а = х , т.е. в средней арифметической вариационного ряда.

Рассмотрим взвешенную среднюю гармоническую. В этом случае будем считать, что заданные числа х1, х2,... , х п положительны. Кроме того, рассмотрим положительные числа ®1,®2,...,®п . Взвешенная средняя гармоническая определяется формулой

гар.

)/

- +... + -

Положим р к = —^. В новых обозначениях х

хк

приобретает вид (2) взвешенной средней арифметической с весами р к . Поэтому теорема 1 влечет

Следствие 3. Средняя гармоническая минимизирует взвешенное среднее квадратическое отклонение

(хк -х )2.

к =1 х к

Рассмотрим среднюю степенную взвешенную

1р1 х т + р 2 х 2 + ... + рпхтп

V р1 + р 2 + ...рп

где т - натуральное число, все х к , р к > 0 (к

= 1,2,.,п) и Трк > 0 .

к =1

Поскольку т-я степень средней степенной является средней арифметической т-тых степеней отдельных членов данной совокупности, то справедливо

Следствие 4. Взвешенная сумма квадратов отклонений т-х степеней членов совокупность от т-той степени средней степенной меньше взвешенной суммы квадратов их отклонений от любой другой величины.

В частности, пусть дискретная случайная величина Х принимает значения х1 < х2< < хп с вероятностями Р1, Р2,. Рп соответственно. Выражение

Т Рк (хт - а}

а принимает минимальное значение,

к =1

когда а = Т Р к х кт - начальный момент ш-того по-

к =1

рядка случайной величины Х.

Формула средней геометрической взвешенной

имеет вид

О = (хрх2р2...хр )р1+р2+...+рп .

При помощи логарифмирования получим

1оёС = р1 1°ё х 1 + р 2 х 2 + ... + рп !о§ хп р1 + р 2 + ... + рп

То-есть логарифм средней геометрической взвешенной равен взвешенной средней арифметической логарифмов отдельных членов ряда. Тогда имеет место

Следствие 5. Взвешенная сумма квадратов отклонений логарифмов отдельных членов ряда от логарифма средней геометрической меньше взвешенной суммы квадратов отклонений логарифмов отдельных членов от любой другой величины.

Отметим, что результаты следствий 3 - 5 распространяют известные в случае «простых» средних, т.е. когда р1 = р2 =... = рп = 1, результаты (см., напр., [4]) на случай взвешенных средних.

В теории вероятностей и математической статистике находят широкое применение средние случайных величин (закон больших чисел, выборочные средние и т. д.). Рассмотрим как выглядит экстремальное свойство средних (теорема 1) в этом случае. Пусть заданы положительные числа

1 2 п

р1,р2,...,рп и случайные величины X ,Х , .,Х с математическими ожиданиями М (к )= а к (к = 1,2,...,п). Поставим задачу: найти случайную величину X , обеспечивающую минимум выраже-

(4)

Тр1(м (х1-х)}.

1=1

Поскольку формула (4) может быть записана в

виде

Т р1(а1- М (X))2

)=1

то согласно теореме 1 и свойствам математического ожидания случайная величина X должна быть такова, чтобы

М (£ ) = Р 1а 1 + Р 2а 2 + ... + Р пап Р 1 + р 2 + ... + р п

В частности, X может быть представлена как взвешенная средняя арифметическая

^ = р 1^ 1 + р 2^ 2 + ... + р п % п р 1 + р 2 + ... + р п

Отметим, что если все случайные величины %1 имеют одинаковые математические ожидания а 1 = а 2 =.. = а п = а , то минимум среднеквадратического отклонения (4) равен нулю.

Это будет выполнено, например, в ситуации последовательности независимых испытаний, когда

случайные величины %к (к = 1,2,...,п) выражают число наступлений события А соответственно в к-том испытании. При этом веса р к могут выражать стоимость успеха в к-том испытании, а взвешенная

ю

(О

2

+

х

х

2

п У

средняя - среднюю сумму выигрыша.

Ниже мы рассмотрим вместо выражения (4), содержащего квадраты математических ожиданий, аналогичное выражение, содержащее математические ожидания от квадратов.

2. Многомерный дискретный случай. Рассмотрим гильбертово пространство Н со скалярным произведением ( , ) и нормой ||. ||. Пусть

X ',X 2,...,X п заданные элементы этого простран-

ства а ръ р 2,..., Рп

заданные неотрицательные

числа, причем Т р к > 0 . Аналогично (2) средняя

к =1

арифметическая взвешенная имеет вид

^ = Р 1 ^ 1 + Р 2X 2 + ... + р nX п (5)

р 1 + р 2 + ... + р п

Для произвольного X е Н рассмотрим взвешенное среднеквадратическое отклонение

п2

ТРt\\xk -X . (6)

к =1

Теорема 2. Взвешенное среднеквадратическое отклонение (6) принимает наименьшее значение, когда X совпадает со взвешенной средней арифметической X , определяемой формулой (5).

Доказательство. Пусть X - некоторый вектор. При любом к = 1,2,..., п справедливы соотношения X11 - X = (Xк - Г)+(Т - X).

Рассмотрим скалярное произведение

- (X

||хк -XII2 =(хк -X + X -X,Xк -X + X -X)=

= | X к - X +| X - X]] + 2^ - X , X*1 - X .

Умножая обе части этого равенства на рк , а затем суммируя по к найдем

п и , м2 п ц , _м2

ТРt\\xk -X = тРt\\xk -X +

к =1

к =1

+ | 2Рк IX -X ||2 + 2| X -X , 2рк

V к =1 0 V к

р (Xі -X)].

Здесь мы использовали известные свойства скалярного произведения. Заметим, что согласно (5)

2Рі(Xі -х)= 2РkXi -І2рк']X=о.

к =1 к =1 V к =1 0

Тогда в силу предыдущего

п и , м2 п и , м2

2рt\\хk -X = 2рt\\хk -X +

к =1 к =1 +[Ьк 1||X - X ||2.

(7)

Откуда и следует высказанное утверждение.

В частном случае, когда Н = К - вещественная ось, теорема 2 совпадает с теоремой 1.

Замечание 1. Рассмотрим случай Н = К 2 или Н = К 3 . Пусть векторы X 1,X 2,...,X п характеризуют координаты материальных точек, в которых сосредоточены массы т 1 =р1, т 2 =р2,..., тп =рп.

Формула (5) в этом случае задает координаты центра масс (инерции) системы материальных точек (см., напр., [7]). Согласно теореме 2 вектор X , характеризующий координаты центра масс, минимизирует взвешенное среднеквадратическое отклоне-

п2

ние 2т к X - X .

к =1 11 11

Это утверждение можно было бы принять за определение центра масс.

Замечание 2. Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

§1(х) ® тіп (і = 1,...,п) х є [а,Ь ] , где $і(х) заданные функции. Чтобы свести эту задачу к одному критерию, рассмотрим функцию

й (х) = 2 Рі&і( х)/2 р1

і=1 і=1

с заданными весами р1 > 0 (і = 1,...,п ). Будем трактовать эту задачу следующим образом. Пусть Н = L 2 (а, Ь) - гильбертово пространство со скаляр-

Ь

ным произведением (I , й ) = 11 (х ) й (х )і (х).

а

Согласно теореме 2 функция g минимизирует по | соотношение

п Ь

2Р,\(I (х)-йі(х)) йх .

1=1 а

Результат теоремы 2 допускает следующую трактовку. Заметим, что взвешенная средняя арифметическая, определяемая формулой (5), является выпуклой комбинацией векторов X 1,X 2,...,хп. Пусть X - элемент выпуклой оболочки векторов

п

X ,X ,...,хп , т.е. X = 2«,х ) , где « ■> 0 и

)-1

п

2а, = 1. Рассмотрим весовое среднеквадратиче-

' ]

} =1

ское отклонение

8 2(а)-.= 8 2 (а1,а 2,...,а п) = 2 Р < IX ' - X |Г.

■ 2

)=1

Согласно теореме 2 минимум этого выражения по всем X из выпуклой оболочки элементов

1 2 п

X ,X ,...,X" (т.е. по а > 0, таким что Та , = 1)

)=1

достигается при

а \=Р} 2 р, (1 = Ъ.^п). / к -1

Следовательно, на средней арифметической взвешенной X .

Можно дать независимое доказательство этого факта. Рассмотрим частные производные

д

да і

(X -Xі) = хк ("1 = 1,...,п ;"к = 1,..,п). Тогда

8

да

= 2 2р і (X - X

к 1=1

да

-(X - X')) =

= 2(X , 2р:(х -х >)).

і=1

2

д

По определению X

д8 2 и п п

= 2(х ,X 2р, - 2р,х>) =

отсюда

имеем

да

1=1

1=1

= 2(хк, 2 р, 2а,х> - 2 р]х>).

г

г =1 1=1

1=1

Здесь, правая часть скалярного произведения обращается в ноль при а , определенных выше.

При этом а ■ > 0("1 = 1,...,п), 2а, = 1.

=1

Отметим, что матрица из вторых частных производных функции 82 (а) (матрица Гессе) с точностью до сомножителя совпадает с матрицей Грамма системы векторов X 1,X 2,...,хп.

В самом деле, согласно предыдущему для любых к,т = 1,...,п имеем

д2 82

датдак

- = 2-

да

д и п

(хк, 2 р, (X - X')) =

= 2(хк, 2 р

1=1

1=1 ' да т

(X -X1)) = 2(хк, 2р,хт ) =

=1

= 2( Т Р))( Xk, Xm ).

=1

Укажем приложения теоремы 2 к случайным величинам. Пусть Н = L2 (О,) - гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом. Для случайных величин X ,! е Н полагают

(X,!) = М X7! , где М - математическое ожидание.

1

При этом норма 1X1 = ^^Э2. Пусть X1,X2,...,X" -заданные случайные величины, а р1, р2,...рп - заданные положительные числа.

Рассмотрим среднее квадратическое отклонение

п

ТРкМ (Xк -X)2,

к =1

где X - некоторая случайная величина. Из теоремы 2 вытекает, что минимум этого выражения по X достигается при

X= р 1%1+р 2%2+...+ р п %п.

р 1 + р 2 + ... + р п

В качестве примера рассмотрим опять слу-

1 2 п

чайные величины X X ,...,X , выражающие количество наступлений события А в каждом из п независимых испытаний при условии, что события наступают с вероятностью Р в каждом испытании. В этом случае средняя арифметическая

— 1 п к

X = — ТX является частостью наступления собы-

п к =1

тия А в п независимых испытаниях. Рассмотрим каково минимальное значение среднего квадратического отклонения, равного, в соответствии с тео-

'У & 'У

ремой 2, величине § = Т М (X -X ) . Как извест-

к =1

но [6], м (Xк -X)2 = в(Xк -X)+М (Xк -X)?,

где символ В обозначает дисперсию. При этом как

отмечено выше М Поскольку

(м (Xк -х ))2= о ("к = 1,...,п).

в(Xк -х) = в(Xк)+в(X),

то

М (Xк -X )2 = В (Xк) + В (X) = Рд + ^ .

п

Таким образом, §2 =(п +1)Рд .

3. Непрерывный случай. Пусть переменная х изменяется в пределах от а до Ь, а р(х) > 0 является функцией частот. Предположим, что функция

р(х) непрерывна

Ь

(суммируема) и | р(х )ёх > 0. То

гда средняя арифметическая взвешенная определяется формулой

_ Ь 1ь

х = 1 р(х ')хйх 11 р(х )ёх . (8)

а /а

Теорема 3. Непрерывная взвешенная средняя арифметическая (8) минимизирует по х * е (а, Ь ) величину взвешенного среднего квадратического

отклонения

| (х - х *) р (х )йх .

а

Доказательство. Равенство (х - х * )2 = (х - х )2 +(т - х *) + 2(х - х )(г - х *) умножим на р(х) и проинтегрируем от а до Ь.

Тогда

| (х - х *) р(х )ёх = | (х - х)2 р (х )ёх +

а а

+ (г - х *) | р(х )х + 2 (г - х *) (х - х )р (х У1х

аа

Так как по определению х выполнено

Ь Ь Ь

| (х - Т )р(х )ёх = | х р(х )ёх - х | р(х )ёх = 0 ,

а а а

то,

| (х - х * )2 р (х )ёх = | (х - х )2 р(х )ёх +(т - х *) | р(х )ёх .

а а а

Это и влечет высказанное утверждение. Замечание 3. Как известно формула (8) характеризует координату центра равновесия (масс) отрезка [ а , Ь ] горизонтальной оси, вдоль которого масса распределена с плотностью р (х). Поэтому теорему 3 можно рассматривать как характеристическое свойство центра масс в случае отрезка.

Взвешенная средняя гармоническая непрерывная определяется равенством _ Ь

х = ) р(х )ёх /1 р( ) ёх .

х

Положим д (х) = Р (х) . Тогда х будет взве-

х

шенной средней арифметической с весом д ( х ) . Поэтому теорема 3 влечет

Следствие 6 Взвешенная средняя гармоническая непрерывная минимизирует по г величину

) Р^х! (, _, )2- *.

ах

Взвешенная средняя степенная непрерывная определяется равенством

- (Ь

х = I | р(х )хт ёх I I 1 р(х )а

Следствие 7. Степень т-того порядка от взвешенной средней степенной непрерывной минимизирует по г величину

| р (х ')хт - г ) аХ .

а

Пусть X непрерывная случайная величина с плотностью вероятности (р(х). Математическое ожидание и дисперсия такой случайной величины определяются формулами

¥ ¥

М (X ) = | х (р(х )ёх , В (X ) = | (х - а )2 р (х )аХ ,

-¥ -¥

где а = М (X ).

Следствие 8. Значение

¥

| х р(х )ёх = а

-¥

минимизирует по параметру г величину

¥

| (х - г) р(х )Х .

-¥

Доказательство этого следствия повторяет доказательство теоремы 3 с учетом равенства

си

| р (х )ёх = 1.

Согласно следствию 8 математическое ожидание непрерывной случайной величины обеспечивает минимум среднего квадратического отклонения, равный дисперсии.

Обобщением теоремы 3 является следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть функция / (х) квадратично суммируема на промежутке [а,Ь ] и

/ = 1 р(х) / (х )ё (х) /1 р(х )ёх

аа

ее взвешенное среднее значение. Тогда величина / минимизирует по 0 среднее квадратическое отклонение

Ь

§ 2(0) = 1Р (х)(/ (х)-о )2ёх .

а

В самом деле, приравнивая производную

д§ 2(о) до

к нулю, найдем корень 0 = / . При этом

д 2§ 2(о) *

вторая производная —-—2— = 2] р (х )ах

д о

положительна. Так что выполнено достаточное условие минимума.

Приведем обобщение теоремы 2. Заметим, что рассуждения теоремы 2 сохраняются, если считать все р к непрерывными функциями от х е [а, Ь ]. Тогда, интегрируя соотношение (7) по х от а до Ь , установим

Следствие 9. Взвешенное среднее квадратическое отклонение

Т1 Рк (х)

к =1 а

Xк - X (х )||2 а,

достигает минимума при X (х), определяемом формулой (5) с переменными рк (х) (к = 1,2,...,п).

Остановимся несколько подробнее на характеристическом экстремальном свойстве центров масс. В частности, рассмотрим плоскую фигуру, расположенную в замкнутой области Б плоскости, с поверхностной плотностью равной ] (х, у). Координаты центра масс такой фигуры имеют вид (см. напр., [7] гл.9)

Хс = М х/М и Ус = Му/М ,

где

м х = 11Г (х, У )хёхёу , Му = 11у (х, у )уёхёу

В В

- статические моменты плоской фигуры Б, а

М = 11 у (х, у )ёхёу

В

- величина массы рассматриваемой фигуры.

Теорема 5. Координаты центра масс хс, ус минимизируют по X и ц взвешенное среднее квадратическое отклонение

§ 2 = 11У (х, У)[(х -X )2 + (У -ц)2]аХаУ .

В

Действительно, приравнивая нулю частную

производную от §2 по X получим

0 = 2Цу (х, У )(х - X )ёхёу = 2М х + 2XM . СледоВ

вательно, X = хс . Аналогично из соотношения

д§2 дц

д2§ 2

= 0 получим ц = У с . Кроме того,

д 2§2

дX'

= 2М

- = 2М . При этом

д 2§2

= 0 . Так что выполне-

дц2 * дX дц

но достаточное условие минимума

§XX §ц -§ц > 0,§| > 0.

Аналогичным характеристическим свойством обладают координаты центров масс пространственных фигур, а также плоских и пространственных кривых. Теорема 5 является частным случаем более общего утверждения.

Теорема 6. Пусть заданы замкнутая область О п-мерного пространства Кп и функция п-переменных F (х 1,х2,...,хп). Тогда координаты

со

x> =

JxiF (xj,xxn )dx 1dx 2...dx n

}__________________________'

JF (xj;x2,...,xn )dx jdx 2...dx n

(i = 1,2,..., и )

обеспечивают минимум по x 1,x 2,...,x П среднего квадратического отклонения

П 2

ZJ ^ -xi) F (x 1, x 2,..., xn )dx jdx 2...dx„ .

i=lW

Доказательство проводится по схеме доказательства теоремы 3.

Известная задача теории оценивания состоит в том, чтобы по значениям наблюдаемой случайной величины x оценить ненаблюдаемую случайную величину h . Можно показать (см., напр., [6], гл. 2), что лучшей оценкой h по x является функция j *(x) = M(h |x), равная условному математическому ожиданию h по x . Она минимизирует величину среднеквадратической ошибки M (h - j (x ))2. А именно,

M (h-jW = inf M (h-j(x))2, (9)

где inf берется по классу всех борелевских функций j (x) .

Рассмотрим обобщенную постановку этой задачи. Пусть имеется n наблюдаемых случайных

^ 1 w 2 р n

величин x ,x , . ,x характеризующих значения ненаблюдаемой величины h . Какова в этом случае

будет лучшая оценка h по x = (fj,x 2,...,xn).

Теорема 7. Пусть M (h 2) < ¥. Тогда в качестве оптимальной оценки j* = j*(^) может быть взята средняя

* 1 П I ,

j (x) — ZM (h\xk).

n k =1 1

(10)

Доказательство. Будем рассматривать такие оценки Р (X ), для которых М (р2 (X )) < ¥ . Пусть

р(X) такая оценка, а р*(X) определяется формулой (10). Тогда

м [ц -р(X)]2 = м [(ц -р*а))+(р*а)-р(X))]2 =

= М [ц -р*а)? + м [р\x)-р(X)]2 +

+ 2М [(ц -р\X ))(р*(X) -р(X))].

Покажем, что последнее слагаемое равно нулю. Откуда и будет следовать утверждение теоремы.

Подставляя вместо р (X) выражение (10), получим

м (ц -р*(X))(р*(X)-р(X)) =

1 п I I *

= м (ц — ТМ цк )(р (X)-р(X))) = (11)

п к =1 1

1 п I I *

= -Т М (ц - м цк )(р (X) -р(X)).

п к =1 1

По свойствам условного математического

ожидания правая часть формулы (11) равна

1 Тм М [(ц -М (ц Xк )(р ’X) -р(X ))]|^к }=

п к =1 1 1

=1 Тм {;р*(X)-р(X))М (ц -м цк ))|хк} п к =1 II-'

При этом п.н. для "к = 1,2,..., п имеем

М (ц - М цк ^к) = М цк) - ММ цк )|хк) =

=М цк) - М цк) = 0.

Таким образом, каждое слагаемое в правой части (11) равно нулю.

Этот результат естественен в контексте закона больших чисел. А именно, среднее результатов наблюдений лучше всего характеризуют изучаемый процесс. Близкие результаты, связанные с усреднением временных рядов, опубликованы в [8].

Литература

1. Федосеев В. В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 391 с.

2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 2012. 376 с.

3. Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Хацкевич В.Л. Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе многоугольных чисел // Прикладная эконометрика. 2010. № 3 (19) С. 3-8.

4. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970. 416 с.

5. Елисеева И.И. Эконометрика. М.: Финансы и статистика, 2002. 341 с.

6. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

576 с.

7. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: 1986. 478 с.

8. Скользящее усреднение на основе минимизации

невязки в формуле Эйлера-Маклорена / Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая, С.Л. Подвальный, В.Л. Хацкевич // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. № 12.1. С. 4-6

Воронежский государственный технический университет

ABOUT SOME EXTREMAL PROPERTIES OF THE MEAN VALUES AND THE EXPECTATIONS OF RANDOM VARIBLES

V.L. Khatskevich

In this study an association between weight and the weight average of the least squares method was found. Found that the weighted average minimize the corresponding weighted standard deviations. The case of discrete and continuous medium was investigated, as well as the expectations of random variables. It is shown that the coordinates of the centers of masses of various mechanical systems have a characteristic extremal property

Key words: extremal property, weighted average, weighted mean square deviation