Зависимость перестройки динамической системы сверления глубоких отверстий спиральными сверлами от параметров серводвигателей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.9.06

ЗАВИСИМОСТЬ ПЕРЕСТРОЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СВЕРЛЕНИЯ ГЛУБОКИХ ОТВЕРСТИЙ СПИРАЛЬНЫМИ СВЕРЛАМИ ОТ ПАРАМЕТРОВ СЕРВОДВИГАТЕЛЕЙ

© 2014 г. В.Л. Заковоротный, В.П. Лапшин, И.А. Туркин

Заковоротный Вилор Лаврентьевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Автоматизация производственных процессов», Донской государственный технический университет. Тел. (863) 2-738-510. E-mail: [email protected]

Туркин Илья Андреевич - аспирант, кафедра «Автоматизация производственных процессов», Донской государственный технический университет. E-mail: [email protected]

Лапшин Виктор Петрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Автоматизация производственных процессов», Донской государственный технический университет: E-mail: [email protected]

Zakovorotny Vilor Lavrentievich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Automatization of Production Processes», Don State Technical University. Ph. (863) 2-738-510. E-mail: [email protected]

Turkin Ilya Andreevich - post-graduate student, department «Automatization of Production Processes», Don State Technical University. E-mail: [email protected]

Lapshin Viktor Petrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Automatization of Production Processes», Don State Technical University. E-mail: [email protected]

Рассматриваются проблемы нелинейной динамики двух электромеханических приводов, взаимодействующих с процессом обработки. В качестве примера рассматривается процесс глубокого сверления отверстий спиральными сверлами. Этот процесс особенно интересен для динамических исследований тем, что в нем наглядно наблюдается эффект динамической перестройки системы в пределах каждого единичного заглубления. В статье показано, что динамическая связь, формируемая процессом резания, во-первых, объединяет динамические подсистемы двух приводов, во-вторых, преобразует линейные системы в нелинейные, и что в рассматриваемой динамической системе в ходе единичного заглубления наблюдается ветвление равновесия, а также другие бифуркационные преобразования, влияющие на функциональные свойства. В частности, отмечена потеря устойчивости точки равновесия, вызывающая заклинивание инструмента. Главное внимание в статье уделяется рассмотрению зависимости бифуркаций системы от параметров серводвигателей. Показаны направления изменения параметров, при которых точка потери устойчивости смещается в область повышенных величин заглублений, что непосредственно влияет на производительность процесса.

Ключевые слова: процесс сверления глубоких отверстий; нелинейная динамика; самоорганизация; производительность.

The article deals with the problem of nonlinear dynamics of two electromechanical actuators interacting with the treatment process. As an example, consider the process of deep drilling twist drills. This process is particularly interesting for dynamic studies in that it clearly observed effects of dynamic restructuring of the system within each unit penetration. The article shows that the dynamic relationship that is formed cutting process, first, the dynamic subsystem combines two drives, secondly, converts linear nonlinear system. The article shows that the dynamical system in the course of a single penetration observed branching of equilibria, as well as other bifurcation transformation affecting the functional properties. In particular, one observes a loss of stability of the equilibrium point, causing jammed tool. The main attention is paid to the consideration of bifurcation depending on the parameters of servo motors. Showing the direction of change in the parameters at which point the loss of stability is shifted to higher values recessed, which directly affects the performance of the process.

Keywords: deep hole drilling process; nonlinear dynamics; self-organization; productivity.

Постановка проблемы

При изготовлении глубоких отверстий, особенно отверстий малого диаметра, широко используются спиральные сверла. Этот процесс характеризуется нестационарностью сил резания, связанной с влияни-

ем на силы накопления стружки в стружкоотводящих канавках инструмента. Накопление стружки не только вызывает увеличение сил, но приводит к эффекту заклинивания инструмента, вызывающего его поломку. Для обеспечения обработки отверстий с заданной точностью оси и без поломок инструмента разработа-

ны силовые сверлильные головки, снабженные системами управления процессом [1 - 3]. При этом в ходе единичного заглубления обеспечивается управление процессом таким образом, чтобы избежать критических значений крутящего момента, при которых наблюдается поломка инструмента, и критических значений осевых сил, при которых из-за потери осевой устойчивости инструмента направление движения инструмента отклоняется от заданного. К тому же принимаются во внимание отображения состояния процесса резания в параметрах и координатах, характеризующих динамику процесса обработки [4, 5].

При построении систем управления и создании оборудования для обработки необходимо учитывать, что два самостоятельных привода вращения шпинделя и подачи пиноли за счет реакции со стороны процесса обработки преобразуются в систему связанного управления. При этом силы резания, представленные в координатах состояния системы, формируют внутреннюю связь, которая фактически выполняет функцию внутреннего регулятора, влияющего на цель управления. В связи с этим для повышения эффективности управления необходимо обеспечить согласование (когерентность) действия внутреннего регулятора с внешним управлением, что соответствует синергетической концепции построения систем управления [6 - 8]. Настоящая статья является первой из серии, посвященной созданию оборудования для обработки глубоких отверстий, и она посвящена исключительно раскрытию особенностей динамической системы сверления в ходе ее эволюционной перестройки, обусловленной накоплением стружки в стружкоотводящих канавках. В последующих статьях будут рассмотрены вопросы управления и оптимизации.

Математическая модель системы

В созданных управляемых силовых сверлильных головках для управления вращением шпинделя и скоростью подачи используются двигатели постоянного тока с якорным управлением (рис. 1).

Кроме этого жесткость механической характеристики двигателей на порядок меньше жесткости механической части приводов подачи и вращения шпинделя. Поэтому при построении математической модели динамики упругими деформационными смещениями элементов механической части можно пренебречь. При этом уравнение динамики представляется в виде [9]:

У. ^ = ¿МI, - М,(1); к § = и1(') - ^ Ю1 - ^ У2 ^ = М12 - М2(,);

ш

(1)

¿2 ^Г- = U2 (t) - 42)ю2 - R12 dt

где , I, г = 1, 2 - соответственно частоты вращения шпинделя и двигателя, обеспечивающего движение пиноли, а также токи якорей двигателей (индекс «1» соответствует серводвигателю вращения шпинделя, а «2» - серводвигателю, обеспечивающему управление движением пиноли); иг, г = 1,2 - напряжения якорей двигателей, с помощью которых управляется угловая скорость шпинделя и серводвигателя подачи (здесь шпиндель жестко связан с ротором серводвигателя, между серводвигателем подачи и пинолью находится жесткий редуктор); У^, г = 1,2 - моменты инерции роторов двигателя вместе со шпинделем и механиче-

Рис. 1. Блок-схема системы управления рабочими заглублениями при сверлении отверстий спиральными свёрлами

ской частью привода подачи; Ri, Li, i = 1,2 - активные сопротивления и индуктивности якорных цепей серводвигателей; с((], с^,i = 1,2 - конструктивные параметры двигателей; Mi ^), i = 1,2 - моменты, действующие на роторы двигателей. Они формируются, в основном, в зоне резания. Причем, момент, действующий на ротор двигателя вращения шпинделя, можно считать равным моменту сверления.

Уравнения (1) показывают, что координаты состояния управляемой системы {ю1,ю2}Т и {11,12}Т {ю^ю2}Т, т. е.

усилие увеличивается существенно быстрее, так как при этом наблюдается сближение задней поверхности инструмента с заготовкой. Во-вторых, при неизменной скорости подачи увеличение угловой скорости вращения инструмента приводит к уменьшению сил. Наконец, по мере заглубления инструмента в заготовку наблюдается накопление стружки в стружкоотво-дящих канавках, что вызывает монотонное увеличение момента, действующего на инструмент. Систему (1) с учетом (2) удобно привести к координатам

определяются двумя парами воздействий: управлением U (0 = {и1 О, и2 (0}Г и моментом М(0 = {М1 (t), Ы2 (0}Т. Причем, момент М1 (t) - это момент, формируемый в зоне резания. Момент М 2 (t) зависит от осевого усилия и прикладывается к ротору двигателя через механическую часть редуктора. Кроме этого на двигатели действуют моменты, обусловленные трением в механических частях приводов. В дальнейшем область определения угловых скоростей является ограниченной условием {ю1 > 0,ю2 > 0} . Поэтому дополнительный момент трения можно считать постоянным и его действие приводится к электрической стороне двигателей, внося некоторое изменение в приведенное напряжение якоря. В дальнейшем под вектором

и^) = {и1 (t), и2 (t)}Т будем понимать значение напряжений с учетом реакции от постоянного момента трения. Чтобы раскрыть условия взаимодействия двух приводов через процесс резания, необходимо предста-

вить

M (t) = {Mj (t), M 2 (t)} в координатах

системы {ю1,ю2} . Выполненные экспериментальные исследования зависимости осевого усилия и крутящего момента в процессе единичного заглубления показали, что изменения сил можно представить в координатах {ю1, ю2}Т следующими зависимостями:

Mj (t) = kja 2 (t) exp[-kj(j)roj (t)] + kC Ю ю2 (t) dt; M 2 (t) = k2[ro2(t)2]exp[-k21)raj(t)],

(2)

ro0,l(t)-®M ,j(®j, ® 2 ) =

= T&T« ^ + T& d^ + »j(t);

ЭМЭ dt2

dt

ro0,2(t) -®M,2 (® j, Ю2) =

(3)

= T^M]T^2) +ТЭМ ^+»2(t), dt2 dt

U,(t)

где ®0,j(t) = —¡Т^ ra0,2(t) =

U2 (t) (1) ' "0,2(t) = „(2)

- угловые скоро-

состояния

сти вращения сервоприводов на холостом ходу (управление, приведенное к угловой скорости);

юмД О^®2) = "оПц^Т + ^ (к1 ^ - к1к®2 ^т))1)] Х се см т т

хехр(-кю1) + кс {Ю ®2фЖ + 7Э1)[ra2(t) -ю2(0)]},

«M,2(®j, ®2) =~7^[К 2 (® 2 )2 + T^^2)(2k2 ® 2 ^^^

Се CM dt

-k2k (Ю2)2 -d^L)] exp(-k Oj) dt

где к1 и к2 - параметры, имеющие соответственно размерности [кгм • с]; к1(1) и к2^ - параметры, характеризующие крутизну нарастания моментов по мере уменьшения угловой скорости вращения шпинделя, с (в частности, в большинстве случаях можно считать, что к1(1) = к21 = к); кс - коэффициент, имеющий размерность [кГм]. Параметр к2 принципиально зависит от передаточного отношения редуктора в приводе подачи.

Представление (2) учитывает следующие главные особенности изменения сил, действующих на инструмент. Во-первых, при увеличении скорости подачи возрастает момент и осевое усилие. Однако осевое

- соответственно силы резания, приведенные к электрической стороне серводвигателей в приводах вра-

^(1) J1R1

щения шпинделя и подачи пиноли; ТЭМ = „ч „ч ,

ЭМ ,,(1^(1)

се СМ

(2) J 2 R?

ТЭМ = (2) (2) - соответственно электромеханические

Се СМ

постоянные времени серводвигателей вращения

^(1) R1 ^(2) -"-2

шпинделя и подачи пиноли; ТЭ = —, ТА ; = -

Э т Э т

Ь1 т2

электрические постоянные времени двигателей.

В (3) началом отсчета является точка контакта инструмента с заготовкой в пределах каждого единичного заглубления. Система (3), во-первых, является системой связанного управления. Во-вторых, она является нелинейной из-за динамической связи, формируемой в зоне резания. В-третьих, ее свойства изменяются в процессе единичного заглубления за счет интегрирующего влияния накопления стружки в стружкоотводящих канавках.

c

Свойства динамической системы сверления

В системе (3) накопление стружки в стружкоот-водящих канавках формирует дополнительный момент, не связанный со стружкообразованием в зоне резания. Он приводится к электрической! части двигателя, уменьшая суммарное значение приведенного к угловой скорости напряжения якоря. Кроме этого, за счет введения обратных связей по скорости и току, а также передаточного отношения редуктора имеется возможность существенного варьирования параметров

R

„(О

и ^, которые также влияют на динамические свойства системы.

Изучение свойств системы выполнено в два этапа. На первом этапе рассматривались свойства системы без учета накопления стружки в стружкоотводя-

щих канавках, то есть kC ю 2 (/ Ш = 0. Изучение

свойств динамической системы осуществлялось по следующему алгоритму. Вначале анализировались состояния равновесия системы. Для этого рассматривались уравнения, вытекающие из (3), для вычисления точки равновесия ю*:

A - Вю* + C(ю* )2 = U2 exp(-kra*).

(4)

где

U Г (1) A = U1CM [r(2)

Rlkl,1

R Г (1) k [C2 +

R1rM k1,1

Г(1)Г(1) 2R r(1)k U

В = Ге Гм [г(1) , 2ГМ k2,1U1

R-Ai

■[ГГ +-

R Г (2)k

];

C=

k (Г(1)Г(1) )2 ■2Л2,1 (Гм Ге )

(RA,)2 Г

(2) м

H =

[тЭМ -a1 exP(-kЮ*)Т®kю2 ]

-а2 exp(-kю**)(ю2)2 Т32)k

а1 exp(-kro* )Т.

(1)

[гЗМ + 2а 2 exp(-k ю*)Т 32)ю2 ]

C =

а1 exp(-k ю*)

[* * "I

1 + 2а2 exp(-kю1)ю2 I

В исходном состоянии (без реакции со стороны процесса резания) система (5) имеет матрицы М, Н, С симметричные (более того диагональные) и положительно определенные. Поэтому равновесие в этой системе является асимптотически устойчивым, что естественно. Однако за счет реакции со стороны процесса резания, во-первых, матрицы Н и С становятся несимметричными, следовательно, предста-вимыми в виде суммы своих симметричных и косо-симметричных составляющих. Во-вторых, за счет члена (-а1 ехр(^го*)/1®^2) симметричная часть матрицы Н может стать отрицательно определенной. В этом случае система становится структурно неустойчивой и любыми вариациями параметров матриц Н и С стабилизировать точку равновесия не представляется возможным. Выясним эти условия. Для этого выделим из матрицы Н ее симметричную составляющую

H(С) =

[ТэМ -а1 ехр(-Аю*')Т31)Аю2]

0,5 [а1 ехр(-Аю*')Т31) -а2 ехр(-Аю*')(ю2)2ТЗз2)А ]

После вычисленхя сог = ю1 из (е) определяется ю2 = ю2. Уравнение (4) в зависимости от параметров системы и управлений, которые являются постоянными, имеет одно или три решения. Таким образом, при увеличении напряжения на якорях двигателей имеет место ветвление точек равновесия, т. е. бифуркация типа вилки.

Для изучения устойчивости всех ветвей точек равновесия рассмотрено линеаризованное уравнение в вариациях относительно заданных точек равновесия ю* и ю2, т. е. уравнение

0,5 [а1 ехр(-Аю1*)ТЭ1) -а2ехр(-Аю*')(ю2)2Т32)А]

[тЭМ + 2а2ехр(-Аю1)ТЭ2)ю2 ]

Ясно, что необходимые условия устойчивости, определяемые требованием Н(С) > 0 , зависят от координат точек равновесия. Они, в свою очередь, зависят от напряжений якорей серводвигателей. Например, при а2 = 0 , т. е. двигатель подачи не воспринимает силы резания, необходимые условия устойчивости будут

ТшТэЭММ > [а: exp(-kю*)?®?^kю2 +

где

М

М =

d 2ю

тт dю 1)

„ + H-+ Сю =0,

2 dt

dt

T (1) T (1) 'эМэ

T (2)T (2)

(5)

+ 0,25(а1ТЗ(1))2 exp(-2kro**)] ;

т. е. склонность системы к потере устойчивости равновесия возрастает при увеличении скорости подачи, уменьшении скорости резания, увеличении коэффициента связи между вариациями скорости и моментом, а также при возрастании крутизны нарастания

1

0

0

момента при уменьшении угловой скорости вращения шпинделя. Таким образом, преобразование симметричной части матрицы Н из положительно определенной в отрицательно определенную характеризует первый механизм потери устойчивости равновесия.

Второй механизм обусловлен формированием кососимметричной составляющей С^ в матрице С, т. е. потеря устойчивости зависит от

с(К > =

0 +0,5a1exp(-k ю*)

-0,5а! exp(-k ю*) 0

(6)

Д( p) =

<1)т(1^2

TЭМTЭ

]p2 + |TM - а1 exp^ka^T^to^ ] p +1 о-

о

о

-а2 exp(-ka>*)(®2)^2) kp

а1 exp(-k«**)Ti)1) p + а1 exp(-ko>*) T^Tf p2 + [гЭМ + 2а 2 exp(-ka>*)T)2)ro2 ] P +

+Г1+

о

|1 + 2а2 exp(-ko>*)a>2 ]

ширяется, и точка бифуркации смещается в область малых напряжений в том случае, если одновременно за счет варьирования параметров увеличивать жесткость механической характеристики двигателя шпинделя и уменьшать эту характеристику для двигателя подачи. Она расширяется и при увеличении коэффициента к2, зависящего от передаточного отношения редуктора в приводе подачи.

В общем случае для анализа устойчивости, как известно, достаточно знать расположение корней характеристического полинома системы в комплексной плоскости [6, 7]. Из (5) вычисляем характеристический полином системы

Рис. 2. Напряжение якоря двигателя вращения шпинделя равно и = 10 В

В частности, при выполнении рассмотренного ранее условия а 2 = 0 из (6) получаем более простое необходимое и достаточное условие устойчивости:

Тж > а1 ехр(-кю*^1кю2 .

Цифровые эксперименты и анализ показали, что в рассматриваемой системе из трех траекторий смещения равновесия системы при вариациях напряжения на якорях двигателей центральная ветвь является асимптотически устойчивой. Следовательно, она имеет ограниченную область притяжения, зависящую как от управления, так и от параметров системы. Причем, существуют управления, при которых система является неустойчивой в целом. Приведем в качестве примеров две проекции фазовых портретов на плоскость Т/ дх (рис. 2, 3) при различных напряжениях на якоре двигателя вращения шпинделя. На иллюстрациях рассматриваемая точка равновесия обозначена «О1». Как видно, при напряжении, равном 10 В, она характеризует отталкивающее многообразие, а при напряжении 20 В - притягивающее. В последнем случае область притяжения ограничена сепаратрисс-ной кривой, обозначенной «А-В». Таким образом, по мере уменьшения напряжения на якоре двигателя асимптотически устойчивая точка равновесия неизменно преобразуется в неустойчивую.

Характерно, что область притяжения асимптотически устойчивой точки и точка бифуркации преобразования устойчивой точки в неустойчивую зависят от параметров ^, с^), и к2. Область притяжения рас-

Рис. 3. Напряжение якоря двигателя вращения шпинделя равно и = 20 В

На втором этапе изучалось влияние накопления стружки в стружкоотводящих канавках, т. е. рассматривалось уравнение (3) с учетом кс ^ ю2(*)&. Принципиально накопление стружки за счет увеличения дополнительного момента приводит к эффекту снижения приведенного к электрической части напряжения якоря. Поэтому во всех случаях в пределах единичного заглубления наблюдается бифуркация потери устойчивости точки равновесия. Именно этим объясняется непропорционально быстрое увеличение момента, начиная с некоторой координаты заглубления. Это эффект заклинивания инструмента, вызывающий его поломку. Точка бифуркации зависит от параметров системы. Значит от параметров зависит и величина единичного заглубления, влияющая на производительность. Приведем два примера траекторий моментов и величины заглубления (рис. 4), соответствующих различным значениям коэффициента к2 .

Мь кгм

а2,рад 400 300 200 100 0

Мь кгм

М2, кгм

Рис. 4. Влияние коэффициента к2 на величину единичного заглубления: а - к2 = 2; б - к2 = 10

Рис. 5. Жесткость двигателя вращения шпинделя увеличена по сравнению с рис. 4 в два раза

а

Если дополнительно увеличить жесткость механической характеристики привода шпинделя, то величина единичного заглубления может быть увеличена еще больше (рис. 5). Приведенные примеры показывают, что величина единичного заглубления за счет рационального выбора параметров серводвигателя и передаточного отношения редуктора в приводе подачи может быть увеличена более чем вдвое.

Заключение

Процесс резания формирует динамическую связь, которая объединяет условно автономные подсистемы приводов вращения шпинделя и подачи в единую взаимосвязанную динамическую систему. Уравнения динамики единой взаимосвязанной системы являются нелинейными за счет динамической связи процесса обработки. Свойства единой системы принципиально отличаются от свойств систем, рассматриваемых как независимых, тем, что в единой взаимосвязанной системе точка равновесия имеет ограниченную область притяжения. При варьировании напряжения на якорях серводвигателей наблюдается ветвление точек равновесия, проявляются и другие свойства бифуркаций, характерные для нелинейных систем.

Динамическая связь, формируемая процессом резания, которая определяет зависимость сил от траекторий движения исполнительных элементов станка, играет роль внутренней нелинейной обратной связи. Причем увеличение крутящего момента, вызывающее уменьшение угловой скорости вращения шпинделя формирует дополнительное приращение сил. Таким образом, в подсистеме вращения шпинделя силы формируют положительную обратную связь, способствующую потере устойчивости траекторий. Увеличение же осевого усилия, вызывающее уменьшение скорости подачи, приводит к формированию отрицательной обратной связи, способствующей стабилизации сил. Поэтому при рациональном выборе параметров серводвигателей и передаточного отношения редуктора в приводе подачи можно существенно расширить область притяжения асимптотически устойчивой точки равновесия системы.

Динамическая система сверления глубоких отверстий является эволюционно изменяющейся. Здесь главный фактор, вызывающий эволюционные изме-

Поступила в редакцию

нения свойств системы, связан с формированием дополнительных сил, обусловленных накоплением стружки в стружкоотводящих канавках инструмента. При увеличении области притяжения асимптотически устойчивой точки равновесия за счет рационального выбора параметров серводвигателей и передаточного отношения редуктора удается более чем в два раза увеличить величину единичного заглубления, т. е. производительность управляемых силовых сверлильных головок.

Литература

1. Заковоротный В.Л., Потапенко П.Н., Флек М.Б. Оптимизация вспомогательных перемещений пиноли силовой головки для сверления глубоких отверстий малого диаметра по критерию максимальной производительности // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2003. Т. 3, № 1. С. 57 - 65.

2. Тверской М.М. Автоматическое управление режимами обработки дталей на станках. М., 1982. 208 с.

3. Заковоротный В.Л., Санкар Е., Бордачев Е.В. Система оптимального управления процессом глубокого сверления отверстий малого диаметра // СТИН. 1994. № 12. С. 22 - 28.

4. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания. // СТИН. 1998. № 12. С. 6 - 11.

5. Заковоротный В.Л., Ладник И.В. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего станка для диагностики процесса обработки // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. № 4. С. 75 - 79.

6. Колесников А.А. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. Таганрог, 2007. 384 с.

7. Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А.А. Колесникова. М., 2004. 504 с.

8. Заковоротный В.Л., Лукьянов А.Д., Нгуен Донг Ань, Фам Динь Тунг. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей. Ростов н/Д., 2008. 324 с.

9. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистем инструмента и заготовки при точении // Изв вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 2. С. 38 - 46.

20 декабря 2013 г.