Изучение реакции от процесса резания на динамику вращения шпинделя Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 531.3(075.8): 621.9.06 3-19

Е.А. МЕТЕЛИЩЕНКОВА, А.Ю.КАЛИНИНА

ИЗУЧЕНИЕ РЕАКЦИИ ОТ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ НА ДИНАМИКУ ВРАЩЕНИЯ ШПИНДЕЛЯ

В статье рассматривается преобразование динамических свойств серводвигателя постоянного тока с независимым возбуждением за счет реакции со стороны процесса резания. Показано, что реакция со стороны процесса резания принципиально изменяет динамические свойства системы, что проявляется, прежде всего, в формировании двух точек равновесия системы, одна из которых является неустойчивой. Приводятся результаты цифрового моделирования, позволившие определить область притяжения асимптотически устойчивой точки равновесия.

Ключевые слова: двигатель постоянного тока, динамические свойства, фазовый портрет, точка равновесия.

Введение. Обычно при проектировании управляемых приводов металлорежущих станков принимают во внимание момент сопротивления, действующий на ротор двигателя, как некоторую постоянную или заданную функцией времени величину внешнего воздействия. Однако момент сопротивления можно представить в координатах состояния, так как он, в основном, формируется силами резания, а силы резания, в свою очередь, зависят от координат состояния. В связи с этим в работе сделана попытка выяснить изменение динамических свойств серводвигателя для случая, когда момент сопротивления, определенный силами резания, представляется функцией координат состояния.

Постановка задачи. В данной работе рассмотрены приводы токарных станков. Преобразование свойств двигателя выполняется в предположении, что приводы всех остальных исполнительных элементов имеют свойства, не зависящие от силы резания. Это предположение основано на том, что все приводы перемещения суппорта имеют большое передаточное отношение редуктора, поэтому силовой реакцией со стороны процесса резания на динамические свойства этих приводов можно пренебречь. Ограничимся случаем продольного точения, как показано на рис.1. В этом случае скорость подачи Vn =сonst.

Математическая модель привода с учетом реакции со стороны процесса резания. Рассматриваемый двигатель, жестко связанный со

шпинделем (рис.1), является двигателем с независимым возбуждением, т.е. частота вращения ш управляется напряжением якоря и . С двигателем жёстко, без упругих деформаций связан шпиндель, на котором находится заготовка. Режущий инструмент движется в направлении, показанном на рис.1 стрелкой с постоянной скоростью подачи Vп . Целью поставленной задачи является определение возможности управления частотой враще-

Рис.1. Упрощенная функциональная схема системы

ния шпинделя с учётом реакции якоря на момент сопротивления Мсопр сил, действующих в зоне резания. Уравнение динамики серводвигателя с независимым возбуждением можно представить в виде [1, 2]:

и - Сеа = Г И + L■d-; (1)

Жґ

I'См = Мсосо, (2)

Жґ

где и - напряжение якоря двигателя; а - частота вращения ротора двигателя; Се , См, I, К , L - параметры системы.

Смысл уравнения (1) в следующем: вследствие подачи напряжения полученный ток создает поток, который, взаимодействуя с потоком возбуждения, создает вращающий момент, раскручивающий ротор двигателя. Образующийся магнитный поток раскручивает ротор все сильнее. И если бы не было факторов, ограничивающих скорость (по закону Ньютона), она стремилась бы к бесконечности. Другими словами, якорь, вращаясь в поле статора, своими силовыми линиями пересекает силовые линии поля статора и в этот момент в нем наводится ЭДС, которая увеличивается с ростом скорости.

В уравнении (1) Се - это противоэдс, направленная против напряжения, которое мы подаем. Формирующаяся противоэдс ограничивает частоту вращения двигателя. Если ток якоря равен нулю, то напряжение и равно противоэдс.

В уравнении (2) пропорционально току I формируется механический момент См -1, который раскручивает систему. Этому моменту противодействуют момент инерции J (- ускорение) и момент сопротивления

Мсопр .

Пусть Мсопр - есть функция времени, тогда уравнение динамики можно представить в виде:

2

а 0 -а с = а + Тэм-^+ Тэм-Тэ^а , (3)

0 а Жґ2

ИТ т

гт-1 -І- V гг-т

где Тэм = ——— - электромеханическая постоянная времени; Тэ = — -

См-Се К

электрическая постоянная времени;

К Т ЖМсопр

а с = ——— Мсопр + ——— ------------ ---- - характеристика, завися-

См Се См Се аґ

щая от момента сопротивления;

и

а 0 = —— (при I =0) - скорость на холостом ходу.

Се

Анализируя уравнение (3), можно сказать, что желаемая скорость а 0 минус скорость, определяемую моментом сопротивления а с, характеризует текущее значение скорости.

Представим момент сопротивления в координатах состояния системы. Для этого рассмотрим механизмы формирования сил резания. Для определения зависимости сил резания от частоты вращения шпинделя сформулируем гипотезу, позволяющую связать частоту вращения шпинделя с сила-

ми. Будем полагать, что силы, формирующиеся в зоне резания, пропорциональны площади срезаемого слоя [2-7]. Формирование площади срезаемого слоя представлено на рис.2.

Sp

S

w

Vn=const

Рис.2 Формирование площади срезаемого слоя

Сила, которая формируемая в результате взаимодействия поверхности инструмента с поверхностью заготовки,

F = р S (4)

Чем больше площадь S соприкосновения, тем больше будет сила.

S = t p ■S p,

где р -параметр, определяющийся свойствами материала. Физически он означает давление, действующее на инструмент, и измеряется в кг/мм2; tp -глубина резания (tp = const) - это разница между радиусом заготовки до зоны резания и после зоны резания (см. рис.1), измеряется в мм; Sp - величина подачи, т.е. расстояние, которое прошел инструмент в течение одного оборота детали, измеряется в мм.

В рамках работы все траектории движения инструмента относительно заготовки будем рассматривать как медленные функции времени, в частности, скорость подачи Vп в течение одного оборота можно считать постоянной. Тогда текущее значение подачи определяется уравнением:

t vn

Sp = \Vn(t)dt=Vn^ (t-(t-T))=Vn^ (t-1 + T) = VnT =--, (5)

t - T —

где T - время одного оборота.

Далее представим момент сопротивления Мсопр

Vn k

Мсопр = R F = R р —= — , (6)

г - -

Подставляя уравнение (6) в уравнение (3), получаем:

„ d— „ „ d — R k 1 k L R d 1

— О = — + 1 эм---+ 1 эм ■ 1э-----------------------------------— +-+-—

0 dt dt2 СмСе — CM Ce R dt ^—

( d—

2 ------------------------

— 0 = — + Тэм —+ Тэм■ Тэ■ d—— + С0 ■— + С0 Тэ■ —d^

0 dt dt2 0 — 0 —2

V

Тогда уравнение динамки можно представить ввиде:

2 с

— 0 = — + Тэм— + Тэм Тэ ^— + —0- С0 Тэ■ -X-■— , (7) 0 dt dt2 — 0 — 2 dt ' К >

где с0 - коэффициент, определяющий влияние силы резания на Мсопр

Уравнение (7) принципиально отличается от уравнения (3) тем, что в нем учтена реакция со стороны процесса резания, которая определяется последними двумя слагаемыми. Мы видим, что уравнение (7) является существенно нелинейным. Таким образом, введение динамической связи, представляющее Мсопр функцией частоты вращения шпинделя, приводит к тому, что линейное уравнение динамики привода, обычно используемое в традиционных исследованиях, преобразуется в существенно нелинейное.

Изучение динамических свойств системы. Для того чтобы координата — была управляемой, подробнее проанализируем уравнение (7). Прежде всего рассмотрим зависимость — от — 0 и исследуем устойчивость —

заданного — 0 . Для этого проанализируем равновесие системы.

Для исследования устойчивости системы прежде всего рассмотрим стационарные траектории. Под стационарными траекториями будем понимать точку — = const.

Вначале проанализируем точки равновесия системы, которые определяются частотой — 0 = const в установившемся состоянии, т.е. состояние равновесия

d—= d2— = 0 dt dt2

Тогда точки равновесия определяются исходя из следующего уравнения:

С0 .

— ~ = — + и

0_ о (8)

° 2 -°0 ° + со = 0 ; (9)

° ° о *7° 02 - 4Со . (10)

2

Приходим к выводу, что в рассматриваемой системе не всем значениям напряжения, т.е. °0 , соответствует точка равновесия. Есть некоторая окрестность малых значений °0, при которых О является неуправляемой, и эта окрестность принципиально зависит от С0 .

Оказывается, в системе существует две точки равновесия. Также

при некоторых малых значениях °0 либо при больших значениях С0 во-

обще не существует вещественных значений равновесия.

На рис.3, 4 приведены графики зависимости скорости вращения двигателя от С0 и о0 .

(О

О

о

С 0

Рис.3 Зависимость скорости двигателя от Со

уо

Критическим значением для Со является значение, равное Скрит =625 (при условии о о =50с-1= ЗОООоб/мин). Выберем некоторую точку Со (1), лежащую в пределах 0, Скрит (см. рис.З). Выбранной точке Со (1), равной 600, соответствуют две точки равновесия: * =30 и

о

2 *=20.

IО

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

рп Со=400

40

60

80

100

120

140

160

180

Рис.4. Зависимость скорости двигателя от ш 0

200

С о

Изучение ассимптотической устойчивости равновесия системы.

Чтобы рассмотреть устойчивость согласно основным положениям динами-

ки, необходимо прежде всего определить стационарную траекторию. В данном случае стационарной траекторией является точка равновесия. Проанализируем уравнение (7) в вариациях относительно этой точки [811]. Для получения уравнения в вариациях проведем замену переменных:

о = о * + 0 , где Ф - вариации относительно точки ° * .

Следовательно,

* + Со

оЛ= о * + — .

о о *

Подставляя полученное для ш выражение в уравнение (7), находим:

Запишем уравнение в вариациях относительно точки равновесия

1

(о * + 0 )

0 = О + Тэм-—+ ТэмТэ^-0- - Со - С0Тэ----------!—-• —

Ж Ж2 а * +О ® * 0 (а * +О )2 Ж

. (11)

Полученное уравнение (11) нелинейно, так как в нем присутствует нелинейная часть:

- Со Тэ-------------L^.^0_

о * +0 о * о (о * +0 )2 Ж .

Справедливо следующее равенство

с0(о

о

а)

с0о

(® *)

2 .

На данном этапе рассматривается устойчивость точки равновесия, поэтому в уравнении (11) О стремится к нулю. Получим следующее линеаризованное уравнение.

Тэм ■ Тэ

d 2о

.2

С0 ■ Тэ

dW.

С,

^ Тэм - ОТ &-+ 1- —= 0 . (12)

Уравнение (12) - дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы система была устойчива, необходимо все слагаемые, входящие в данное выражение, были положительны. То есть условием устойчивости данной системы является выполнение следующих неравенств:

Сп ■ Тэ

Тээ >

0

1 >

(о *)2 ’

С

(13)

(о *)2 '

Уравнение (13) показывает, что далеко не для всех точек равновесия О * положение равновесия будет устойчивым. Достаточно проанализировать графики на рис.3,4, из которых видно, что точка равновесия О2 ‘существенно меньше О1 * Более того, следующая тенденция: О2 ‘стремится к нулю. Ясно, что условие (13) при О2 *, стремящемся к нулю, никогда не выполняется. Например, для С=600 мы имеем следующие результаты:

- первое условие устойчивости системы выполняется полностью;

- второе условие устойчивости системы выполняется частично.

Построим фазовые траектории системы, используя уравнение (11).

2 г

0 = О + Тэм—+ ТэмТэ&-^ + 0

С

0

&

&

2 о * + о о

С0 Тэ

1

Тэм ■ Тэ

& 2о

= - О - Тэм

Сг

Сг

*

о + О

О

(о * + О )

1 ЖО

2

&

* о

(О + О )2

& 2О

О

Тэм ■ Тэ Тэ

С

*

О + О

1

С

1

Тэм Тэ

-+ С

Тэм Тэ

0 Тэм (о * + о )2

*

+

+

1

1

+

О

Уравнение (14) - уравнение фазовой траектории системы. Построим фазовые траектории системы. Для этого выполним моделирование на цифровых моделях, используя программный пакет МАПЛВ, в частности, пакет SIMULINK. Схема модели, описанная (14), приведена на рис.5.

3 2

Сат Ргойис* ° Саіп2 „ 1

БіетепІБ Constant

Рис.5. Модель двигателя с независимым возбуждением

Полученные фазовые траектории имеют вид, представленный на

рис.6-8.

-60 -40 -20 0 20 10 60 80 100 120

П

Рис.6. Фазовые траектории двигателя с независимым возбуждением (при Со=0)

сЮ

л

Рис.7. Фазовые траектории двигателя с независимым возбуждением (при Со=100)

А

О

Рис. 8 Фазовые траектории двигателя с независимым возбуждением (при Со=600)

Анализ динамической перестройки системы. Выполненные нами расчеты, посвященные изучению динамических свойств системы, позволяют сделать следующие выводы об изменении динамических свойств серводвигателя в зависимости от реакции со стороны процесса обработки.

1. В зависимости от параметров динамической системы, которые определяются обобщенным параметром С0 , в системе устанавливаются различные режимы. (см. рис.3,4). По мере увеличения параметра С0 в системе вначале существуют две точки равновесия, которые, начиная с величины С0 =625, вырождаются, и система не имеет точки равновесия.

Показано, что верхняя ветвь преобразования траектории равновесия является асимптотически устойчивой при малых вариациях частоты вращения двигателя относительно этой точки равновесия. Нижняя же ветвь характеризует неустойчивую точку равновесия, а также границы сфер влияния различных стационарных состояний. Аналогичным образом изменяются точки равновесия в зависимости от шо,которое при заданном моменте сопротивления характеризует изменение напряжения якоря на двигателе постоянного тока. Здесь также мы видим, что при малых напряжениях якоря не существует стационарной точки равновесия, а существуют две точки равновесия при больших напряжениях, одна из которых является устойчивой, а другая неустойчивой.

2. Чтобы проанализировать большие отклонения от рассмотренных точек равновесия, был выполнен анализ фазовых портретов системы. Напомним, что фазовый портрет системы есть множество фазовых траекторий, отличающихся начальными условиями. На рис.6-8 приведены примеры изменения фазового портрета в зависимости от С0 , при С0 =о реакция со стороны процесса резания отсутствует. В этом случае мы имеем традиционный двигатель постоянного тока, у которого существует единственная точка равновесия. Эта система характеризуется традиционными свойствами двигателя постоянного тока, который представляет собой колебательное звено. При параметрах системы Тэм=0,12, Тэ=0,08 мы имеем корни Дг=6,25+}16.14 и £2=6,25^16,14, которые являются комплексно сопряженными. По мере увеличения С0 область притяжения точки равновесия становится ограниченной снизу сепаратриссной кривой. На рис.7 приведена часть сепаратриссы АВС. Характерно, что эта область притяжения точки равновесия уменьшается по мере увеличения С0 . На рис.8 приведена часть фазового портрета, которая соответствует области притяжения точки равновесия. Дальнейшее увеличение С0 приводит к тому, что область притяжения точки равновесия вырождается полностью.

Заключение. При рассмотрении двигателя постоянного тока как объекта системы автоматического управления необходимо учитывать реакцию момента сопротивления, представленную в координатах состояния системы. В этом случае свойства серводвигателя, обеспечивающие движение исполнительных элементов станка, принципиально меняются. В частности система, особенно при малых значениях напряжения якоря, может стать структурно неустойчивой и неуправляемой. Так как на систему действует случайное непредставимое в координатах состояния возмущение, то важное значение имеет область притяжения точки равновесия. При определенных возмуще-

ниях координаты состояния системы могут выходить за пределы точки равновесия. Тогда система становится неуправляемой. Поэтому при проектировании системы управления необходимо учитывать чувствительность свойства асимптотической устойчивости к вариациям начальных условий. Таким образом, кроме обычного понятия устойчивости, необходимо анализировать робастную устойчивость, учитывающую возможные вариации начальных условий, связанных с варьированием внешних возмущений и параметров.

Библиографический список

1. Ключев В.И. Теория электропривода. / В.И.Ключев. - М.: Энерго-атомиздат, 1985.

2. Клушин М.И. Резание металлов. / М.И. Клушин. - М.: Машгиз, 1958. - 454 с.

3. Резников А.Н. Теплофизика процессов механической обработки материалов. / А.Н. Резников. - М.: Машиностроение, 1981. - 279 с.

4. Старков В.К. Обработка резанием. Управление стабильностью и качеством в автоматизированном производстве. / В.К.Старков. - М.: Машиностроение, 1989. - 296 с.

5. Старков В.К. Алгоритм оптимизации процесса резания по энергетическому критерию качества. / В.К. Старков, М.В. Киселёв // Станки и инструмент. - 1992. - №10. - С.18-20.

6. Силин С.С. Оптимизация операций механической обработки по энергетическим критериям. / С.С. Силин, А.В.Баранов // Станки и инструмент. - 1999. - №1. - С.16-17.

7. Кудинов В.А. Динамика станков. / В.А.Кудинов. - М.: Машиностроение, 1967.

8. Демидович Б.Р. Лекции по математической теории устойчивости. / Б.Р. Демидович. - М.: Наука, 1967.

9. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. / И.Г.Малкин. - М.: Наука, 1966.

10. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. / A.M. Ляпунов. - М.: Гостехиздат. 1950.

11. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний. / Н.В.Бутенин, Ю.И.Неймарк, Н.А.Фуфаев. - М.: Наука, 1987.

Материал поступил в редакцию 07.07.09.

E^.METELISHENKOVA, Д-U.KALININA

EXPLORATION OF THE REACTION EFFECT OF THE CUTTING PROCESS ON THE SPINDLE ROTATION DYNAMICS

In clause transformation of dynamic properties of a servomotor of a direct current with independent excitation is considered due to reaction on the part of process of cutting. It is shown, that reaction on the part of process of cutting essentially changes dynamic properties of system that is shown, first of all, in formation of two points of balance of system, one of which is unstable. Results of the digital modelling are resulted, allowed to define area of an attraction a steady point of balance.

МЕТЕЛИЩЕНКОВА Екатерина Алексеевна, студентка кафедры «Автоматизация производственных процессов» Донского государственного технического университета.

КАЛИНИНА Анна Юрьевна, студентка кафедры «Автоматизация производственных процессов» Донского государственного технического университета.

meteliti@mail. ru