CC BY
39
УДК 621.385.6.029.6
ЗАРЯДОВЫЕ КЛАСТЕРЫ, УДЕРЖИВАЕМЫЕ САМОСОГЛАСОВАННЫМ ПОЛЕМ
© 2004 г. В. Г. Сапогин
Sequential theory of dynamic clusters of similar charges, which/ are short-time confined in the restricted space by self-consistent field, is proposed.
Последние два десятилетия ХХ в. ознаменовались открытием скоплений одноименных зарядов высокой плотности и разработкой технологий их создания. Российскими учеными такие скопления были обнаружены в потоках зарядов, возникающих у катода при взрывной термоэлектронной эмиссии. Быстрая концентрация тепловой энергии в микрообъеме катода приводит к микровзрывам, которые создают отдельно сформированные в виде лавин порции электронов, названные эктонами [1]. В США похожие автономные скопления зарядов были обнаружены на острийном катоде в вакууме, получили название «Electrum Validum» (EV) и были применены в технологии обработки металлических поверхностей и в других технологиях [2].
Скопления зарядов (СЗ) образуются в зазоре между катодом и анодом при создании сильного (от 2 до 10 кВ) электрического поля, имеют малые размеры (от долей до десятков микрометров), большой отрицательный заряд (от 108 до 1011 электронов в скоплении) и время жизни от 30 до 100 пс, превышающее время возможного разлета зарядов. Иногда средняя концентрация электронов в скоплении может превосходить среднюю концентрацию электронов в металле на порядок. При таких концентрациях, не имея кристаллической решетки, скопления зарядов проявляют механические свойства, присущие твердым телам. В некоторых случаях при неупругом столкновении такого скопления с поверхностью металла на ней может возникнуть характерный кольцевой проплавленный кратер с валиком из нерасплавленного вещества в центре.
В настоящее время практически отсутствуют научные публикации, в которых предложена последовательная теория зарядовых кластеров, объясняющая физические причины их возможной, даже кратковременной, локализации в ограниченной области пространства и позволяющая рассчитать их важнейшие параметры, такие как геометрический размер, распределения полей, удерживающих сил, давления, плотности и температуры.
Под зарядовым кластером нами понимается динамическая система одноименных зарядов, удерживаемая кратковременно в ограниченной области пространства силами полевого происхождения при условии равенства нулю средней плотности тока в произвольном объеме кластера. Кластеры, не удовлетворяющие этому условию, называются токовыми и далее не рассматриваются.
Ниже развиваются и обобщаются методы решения задач гравитационного равновесия вещества, предложенные в начале ХХ в. Лэном, Риттером и Эмденом [3, 4]. В работе обобщенные методы применяются для газа одноименных зарядов. Результаты решения задач гравитационного равновесия по своей сути явились
первым шагом на пути создания универсального метода расчета статических макроскопических самосогласованных полей, создаваемых динамической системой взаимодействующих гравитирующих частиц. Используемое в этих задачах математическое условие гравитационного равновесия вещества звезды не позволяет выяснить физическую причину его удержания. Как показано в работе, удержание обеспечивается «выталкивающей» гидроаэростатической (далее гидростатической) силой полевого происхождения, которая связана с градиентом давления поля и совпадает с ним по величине и направлению.
Такое уточнение физической причины удержания сводит обсуждаемую проблему к классу задач коллективного взаимодействия, который был предугадан задолго до появления термина «коллективное взаимодействие», введенного Власовым в 1945 г. [5].
Уравнение равновесия термоэлектронов, предложенное Ричардсоном, Шоттки и Лауэ примерно в то же время [6-8], можно преобразовать в уравнение для плотности зарядов, которое будет отличаться от уравнения Эмдена только знаком правой части. Различие знаков соответствует замене сил притяжения между гравитирующими частицами силами отталкивания одноименных зарядов. В рассматриваемой системе потенциал, создаваемый зарядами изображения, не входит в уравнение равновесия и не оказывает никакого влияния на его решения. В связи с этим условие равновесия зарядов, а стало быть и природа сил, удерживающих слой термоэлектронов у поверхности электрода, в развиваемом подходе остались невыясненными.
Независимо от упомянутых исследований в 1948 г. Френкель вводит для динамических систем гравитирующих частиц, находящихся в изотермическом равновесии, такой же метод расчета полей и обобщает его на динамическую систему взаимодействующих между собой одноименных зарядов, называя искомые макроскопические поля самосогласованными [9]. По поводу полученных уравнений им были сделаны следующие выводы:
- уравнение, описывающее равновесие гравитирующих частиц, не приводит к решениям, имеющим трактуемый физический смысл;
- уравнение равновесия зарядов описывает статическое распределение объемного заряда «облака» электронов, испущенных нагретой поверхностью.
К сожалению, эти выводы оказались преждевременными и не позволили реализовать уникальные возможности предложенного метода, а сама идея не получила достойного развития.
Ниже проведено трехмерное обобщение упомянутых исследований с целью нахождения адекватного теоретического описания коллективного взаимодей-
ствия, происходящего в скоплениях зарядов различной геометрии и с различными уравнениями состояния, которое позволило бы вскрыть физические причины, условия и механизмы их возможной кратковременной локализации в ограниченной области пространства.
Уравнения гидростатики одноименных зарядов в самосогласованном поле
На основе трехмерного обобщения работ Лэ-на-Эмдена и Френкеля ниже исследуется полная система уравнений электрической гидростатики, трехмерная форма которой имеет вид (принята абсолютная физическая система единиц CGS):
рЕ +f = 0; (1)
V • Е = 4пр ; (2)
Е = -V?; (3)
p = р¥Т/ q или p = Кгрп+1п ; (4)
f = ^р . (5)
Здесь р - плотность заряда в элементарном объеме, Е - напряженность макроскопического электрического поля, создаваемая коллективом зарядов в месте расположения объема; р - давление зарядов; р- потенциал самосогласованного поля; К1 - постоянная уравнения состояния; п - индекс политропы; q - элементарный заряд системы; k - постоянная Больцмана.
Покажем, что система (1)-(5) описывает коллективное взаимодействие между зарядами, при котором возникает обратное действие поля на заряды, порождающие это поле. Для этого выясним физический смысл компенсирующей объемной плотности сил (далее - объемной силы) f . С одной стороны, эта сила гидростатическая (5) и ее введение делает систему уравнений электрической гидростатики замкнутой. С другой стороны, подставляя в (1) плотность заряда из уравнения (2), получим
f = -p E = -E(V • E) / 4п = -G .
(6)
Из (6) видно, что эта же сила создается градиентом давления самосогласованного поля С = Е^ • Е) /4п, противоположна ему по направлению, действует на плотность зарядов, как и обычный градиент давления, и в статических равновесиях компенсирует действие объемной силы р Е , играющей роль объемной электрической силы.
Компенсация указывает на неизвестное ранее свойство самосогласованного электрического поля удерживать неоднородную систему одноименных зарядов в ограниченной области пространства силами неэлектромагнитного происхождения. Из (5) и (6) следуют условие и механизм удержания:
С ^р. (7)
Для любого уравнения состояния (4) система коллективного взаимодействия зарядов находится в состоянии гидростатического равновесия с самосогласованным полем в том случае, когда равенство градиентов давлений поля и зарядов выполняется в любом элементарном объеме системы.
Исследование решений системы уравнений (1)-(5) указывает на принципиальную возможность сущест-
вования ограниченных в пространстве полых зарядовых кластеров. Самосогласованное поле системы формирует в них два типа атмосфер (рисунок). В атмосфере, помещенной слева на рисунке (ее удобно назвать внешней), плотность зарядов нарастает в направлении оси х, а в атмосфере, помещенной справа на рисунке (ее удобно назвать внутренней), плотность зарядов убывает в направлении оси х.
Рассмотрим возможные направления объемных сил, удерживающих внешнюю атмосферу полого кластера, состоящего из положительных зарядов (левая часть рисунка). Предположим, что в произвольном элементе объема сила р Е совпадает по направлению с внешней нормалью (ось х). Из уравнений (1) и (5) следует, что направление градиента давления зарядов совпадает с направлением вектора Е . Поскольку вектор Е совпадает с направлением оси х, то его единственная проекция положительна. Из уравнения (2) следует, что в этом объеме дивергенция ёЕ > 0 и напря-
ёх
женность поля нарастает в направлении оси х. Это нарастание формирует градиент давления поля, имеющий такое же направление, как и градиент давления зарядов.
Кроме того, для любого уравнения состояния они оказываются равными друг другу, в связи с чем выполняется условие удержания (7). Сила f , компенсирующая р Е , противоположна градиенту давления
поля и равна ему по модулю.
Рассмотрим физику удержания в равновесии элементарного объема зарядов во внутренней атмосфере кластера (правая часть рисунка). Как и ранее, градиент давления зарядов совпадает с направлением объемной силы р Е и равен ей. Но теперь их направления противоположны направлению внешней нормали и единственная проекция вектора Е отрицательна. Тогда из уравнения (2) следует, что в этом объеме Ш 0 б
— < 0 и напряженность поля убывает с ростом х. ёх
Это убывание формирует градиент давления поля, направленный против оси х и равный градиенту давления зарядов (7). Гидростатическая сила, компенсирующая силу р Е, направлена по оси х и противоположна градиенту давления поля.
Если поле исследуемой системы однокомпонентное и плоское, т. е. Е = [Ех (х),0,0], то равенство градиентов (7) имеет вид
G dp Ex dEx dp d
x dx 4n dx dx dx
^ E2
x
8n
=0
и приводит к интегралу полного давления
E
pP)2
rf~-p = —------------------p(p) = H(p, p) = const,
8n 8n
(8)
который является гамильтоновой функцией системы (далее - гамильтониан). В ней роль обобщенного времени (циклическая переменная) играет координата х, а канонически сопряженными величинами являются обобщенный импульс р /4п и обобщенная координата (р.
Подставляя (12) в (2), свернем систему уравнений электрической гидростатики в одно уравнение (проведем согласование системы):
Др = -4про(1 -р/р.)п . (13)
Уравнение (13) представляет собой трехмерный полевой аналог уравнения, имеющего вид модифицированного уравнения Лэна-Эмдена. Его решения определяют законы распределения потенциала в динамических системах зарядов, описываемых политро-пическим уравнением состояния, и находящихся в статическом равновесии с самосогласованным полем.
Аналогично получается трехмерный полевой аналог уравнения, имеющий модифицированный вид Е-уравнения Эмдена. Скалярный интеграл, возникающий при его получении, приводит к функции распределения Больцмана. Уравнение позволяет найти распределение макроскопического потенциала в динамических системах зарядов с однородной температурой (рассматривается первое уравнение состояния в (4)), которые находятся в гидростатическом равновесии с самосогласованным полем:
Др = - 4пр0 ехр(- qр/ №). (14)
Заметим, что структура уравнений (13) и (14) такова, что в плоском случае удается получить их первые интегралы и, следовательно, конкретный вид гамильтоновых функций рассматриваемых систем. В [21] исследованы свойства шести бесстолкновитель-ных гамильтоновых систем и шести систем, описываемых уравнениями (13) и (14).
Установлены следующие общие свойства бес-столкновительных систем:
1. Длина системы ограничена в пространстве плоскостью возврата при двухпотоковом движении (давление поля больше, либо равно давлению зарядов). При однопотоковом движении система не имеет границ (давление поля меньше давления зарядов). В этих состояниях в газе зарядов всегда существует такая плоскость, в которой давление самосогласованного поля обращается в нуль.
2. Плоскость нулевого давления поля делит все пространство взаимодействия на две области: внутреннюю и внешнюю. Каждая область имеет свое направление вектора напряженности поля по отношению к оси х. Направления указаны на рисунке, в котором квазиплоский слой следует заменить на плоский.
3. Объемные силы р Е, прижимающие слой зарядов к плоскости нуля потенциала, для двухпотоковых состояний направлены против оси х. Силы, отталкивающие этот слой, создаются градиентом давления поля, взятым с противоположным знаком. Это формирует атмосферу зарядов, в которой их основная часть сосредоточена возле плоскости возврата.
4. Для однопотоковых состояний объемные силы р Е , расширяющие слой зарядов, во внутренней атмосфере направлены против оси х, а во внешней - по оси х. Силы, стягивающие слой, создаются градиентом давления поля, взятым с противоположным знаком. Это приводит к тому, что основная часть зарядов сосредоточена вблизи плоскости нулевого давления поля.
grad Р \ grad Р
f pE рЕ ^ Г , f
ll2 8я ш т < 2 * Ь! Ь2 8я 8х ш т > ' * Ы 8я
/ / - grad (E2/8ir) j / - grad (Е2/8я)
Возможные направления объемных сил, удерживающих в равновесии квазиплоский слой положительных зарядов полого кластера
Конкретные виды гамильтонианов в плоских системах одноименных зарядов с различными уравнениями состояния получаются из первых интегралов уравнения Пуассона [10-20]. В плоских системах давление поля всегда больше там, где больше давление зарядов.
Гамильтониан (8) определяет физические свойства плоских и квазиплоских неоднородных систем зарядов для любого уравнения состояния p = p(p) в (4). Из закона сохранения видно, что в системах одноименных зарядов реализуется спектр возможных распределений. В каждой системе существует три типа равновесий зарядов с полем, соответствующих трем значениям полного давления системы: положительному (давление поля больше давления зарядов), нулевому (давление поля равно давлению зарядов) и отрицательному (давление поля меньше давления зарядов).
Полевые уравнения равновесия зарядов скопления
Поскольку гамильтонова функция системы выражена через потенциал и его производную, перейдем в системе уравнений электрической гидростатики к потенциалу. Подставляя (5) и (3) в (1), имеем
pVp + Vp = 0. (9)
Учитывая второе уравнение политропического состояния в (4), приведем (9) к виду
v[K1(n + l)pxl n +pj= 0. (10)
Из (10) видно, что любое политропическое равновесие зарядов характеризуется скалярным интегралом
K1(n + \)pxln +p = const, (11)
из которого следует степенная функция распределения
_P_
P0
p
(12)
где р0 - плотность заряда на поверхности с нулевым потенциалом; р. = Kl(n + 1)р0/" - значение потенциала, при котором степенная функция распределения обращается в нуль, а п - индекс политропы. Распределение указывает на то, что концентрация положительных зарядов системы больше там, где меньше скалярный потенциал.
n
n
0
5. Длина пространства взаимодействия двухпотоковых систем определяется параметром состояния системы в = Wk / W0, изменяющим свои значения от 0 до 1/2.
Там же выявлены общие свойства политропиче-ских систем:
1. Политропические системы ограничены в пространстве для положительного или нулевого полного давления и не имеют границ при отрицательном полном давлении.
2. Для ограниченных конфигураций качественный характер распределения физических величин по длине системы не зависит от значения показателя политропы.
3. Длина системы увеличивается с ростом показателя политропы и температуры Эмдена.
4. Абсолютная температура, давление и концентрация любой политропы обращается в нуль на границе системы.
5. Направления объемных сил, удерживающих систему зарядов в равновесии, остаются неизменными для любого индекса политропии: силы рЕ, прижимающие слой зарядов, направлены к плоскости х=0, а силы, отталкивающие слой, - в противоположном направлении. Это формирует атмосферу, в которой основная часть зарядов сосредоточена у плоскости нулевого потенциала.
Среди общих свойств изотермических систем перечислим следующие:
1. Длина неизлучающей системы зарядов ограничена для отрицательного полного давления и зависит от ее параметра состояния.
2. В неограниченных системах основная часть зарядов удерживается полем в области, прилегающей к плоскости нуля потенциала, а в ограниченных - в бесконечно глубоких потенциальных ямах, возникающих на границе системы.
3. При отрицательном полном давлении в системе существует плоскость, в которой давление поля обращается в нуль. Эта плоскость делит пространство взаимодействия на две области: внешнюю и внутреннюю, с разными направлениями вектора напряженности поля по отношению к оси х. Направления указаны на рисунке, в котором квазиплоский слой следует заменить на плоский.
Уравнения (13) и (14) позволяют ставить и решать разнообразные задачи равновесия вещества, состоящего из зарядов, для различной геометрии и различных уравнений состояния. Полученные результаты опубликованы в [21] и там же детально исследованы их физические причины равновесия.
Выводы
Предлагаемая в [21] последовательная теория скоплений одноименных зарядов, кратковременно удерживаемых в ограниченной области пространства, основана на следующих фундаментальных положениях:
• существует такой класс коллективного взаимодействия между одноименными зарядами динамической системы, в котором возникает обратное действие макроскопического самосогласованного поля на заряды, порождающие это поле;
• обратное действие поля на заряды при таком взаимодействии всегда приводит к появлению удерживающей объемной плотности гидроаэростатических сил полевого происхождения, которая связана с градиентом давления самосогласованного поля, совпадает с ним по величине и противоположна ему по направлению;
• в этом классе взаимодействия динамическая система зарядов находится в состоянии гидростатического равновесия с самосогласованным полем в том случае, если градиенты давлений поля и зарядов равны друг другу в любом элементарном объеме скопления;
• равенство градиентов давлений поля и зарядов в плоских динамических скоплениях для произвольного уравнения состояния, а также в бесстолкновительных случаях обусловливает закон сохранения скалярной функции системы - интеграл полного давления, который состоит из разности давлений поля и зарядов и играет роль гамильтониана взаимодействия.
Литература
1. Месяц Г.А. // УФН. 1995. Т. 165. С. 601-626; Он же // Письма в ЖЭТФ. 1993. Т. 57. С. 88; Он же. Эктоны. Роль эктонов в электрофизических устройствах. Екатеринбург, 1994; Procceedings of the XVII th International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. Berkeley. 1996. P. 720-731.
2. Shoulders K. EV: A Tale of Discovery. 1987, Jupiter Technology, Austin TX; Shoulders K., Shoulders S. // J. of New Energy. 1996. Vol. 1. № 3. P. 111-121; Shoulders K., Shoulders S. Charge clusters in action. Bodega, 1999. P. 12.
3. Emden R. Gaskugeln. Leipzig; Berlin. 1907.
4. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд. М., 1950.
5. Vlasov A.A. // J. Phys.(USSR). 1945. Vol. 9. № 25.
6. Richardson O. W. // Phil. Transactions. A. 1903. Vol. 201. P. 516.
7. Schottky W. // Phis. Zeitsehr. 1914. Vol. 15. P. 526; Jahrb.D. Radioakt. Elektronik. 1915. Vol. 12. P. 147.
8. Laue M. V. Gluhelektronen. Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik. 1918. B. 15. Heft 3. S. 205.
9. ФренкельЯ.И. Статистическая физика. М.; Л., 1948.
10. Сапогин В.Г. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1994. № 3. С. 49-59.
11. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1995. № 4. С. 34-39.
12. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 1. С. 31-32.
13. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 2. С. 25-29.
14. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 4. С. 63-68.
15. Сапогин В.Г. Интеграл движения и двухпотоковые состояния плоского виртуального катода. / ТГРУ, 1992. 25 с. Деп. в ВИНИТИ № 118-В92. 10.01.92.
16. Сапогин В.Г. Интеграл давления и стационарные состояния плоских самосогласованных полей моноэнергети-ческого катода нерелятивистских зарядов. / ТГРУ, 1993. 19 с. Деп. в ВИНИТИ № 2622-В93. 20.10.93.
17. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 2. С. 46-51.
18. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 4. С. 53-56.
19. Сапогин В.Г. // Материалы Третьей междунар. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы физики». Мордовия, Саранск, МГПИ, Россия, 6-8 июня, 2001 г.
20. Сапогин В.Г. II Материалы междунар. конф. «Оптими- 21. Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосо-
зация конечно-элементных приближений, сплайны и вспле- гласованным полем. Таганрог, 2000.
ски» OFEA - 2001, Санкт-Петербург, 25-29 июня, 2001 г.
Таганрогский государственный радиотехнический университет_________________________________10 ноября 2003 г.
