Об одном классе точных решений уравнения Эмдена

Сапогин В.Г.

(4)

(5)

функция проекционного окна, равная единице, если точка (х3гх4) попадает в пределы вышеуказанного декагона, и нулю в противоположном случае.

Как известно, Фурье-образ проекции какой-либо функции равен сечению Фурье-образа этой функции плоскостью, обратной к плоскости проекции [7]. Таким образом, спектр рассматриваемой ПУП будет являться сечением четырехмерного спектра подынтегральной функции (3) плоскостью (|ь |2)> обратной к физическому подпространству (хх&У-

Фт(р(хих2)) =

= ФТ(Ш,х2,х3,х4)П(хз,х4))|^3=о,|4=о , где Фх - оператор Фурье трансформации (вычисления Фурье-образа), (11,1г.£з>§0 - обратное пространство. Использую теорему о свертке и свойства гребневых функций, получим

Фт(Ш(х1 ,х2,х3,х4 )Л(х3 ,х4)) =

= Фт(Ш(х1,х2,х2,х4))*Фт(П(х3,х4)) =

- Ш(!;1,1;2,%з,%4)*Фт(П(хз>х4У) =

= ЪЩъ-Ьг1&-ЬАт),

где символ * означает свертку; Р(|3, §0 = Фх(П(х3гг4)) -спектр проекционного окна; суммирование ведется по всем узлам обратной решетки (], к, 1, ш). Подставляя (5) в (4), получим, что дифракционный спектр ПУП является сечением многомерной обратной решетки, в узлах которой расположена АП Р(|з, £»), являющаяся Фурье-образом проекционного окна П(л:3д4)).

Проекционное окно является правильным декагоном, который можно разбить на 10 треугольных секторов с гранью декагона в основании. При этом, спектр окна можно записать в следующем виде:

Р(!з.$4)=ЕРл(&.£4). (6)

с,О

где суммирование ведется по точечной группе Сю, а Р51(|3, £0 - Фурье-образ сектора, основание которого параллельно |4. Последний нетрудно аналитически рассчитать:

ГНУ «Северо-Кавказский научный центр ВШ»

Psi(£3>£l) -

2 П%

exp(-ted(<®3 -|4а))

sin (|з-|4а))

- exp(-i n d (I3 + |4а)):

’ (?)

йп{пй{£,ъ+Е,4а))

1з+^4«

где i - мнимая единица; d= tan(®5)/2; а = 2 tan(^/10)J.

Выражения (4) - (7) полностью решают задачу о расчете спектра ПУП. Обратим внимание, что полученный спектр является всюду плотным. Однако функции (6) и (7) с увеличением |£] убывают как |£|~2 и с учетом конечной чувствительности реальных приборов мы можем их обрезать, заменив (7) на конечную АП. Такой спектр будет уже дискретен. При этом задача сведется к расчету двумерного сечения четырехмерной периодической решетки с конечной АП в узлах. Как мы уже говорили, она эквивалентна задаче проектирования узлов четырехмерной решетки на двумерную плоскость с проекционным окном, имеющим конечные размеры. Последняя же легко решается на ЭВМ для любой конечной области спектра.

Отметим, что мы привели метод расчета спектра конкретной квазикристаллической структуры. Однако он легко обобщается на любые модельные структуры, получаемые методом сечения многомерного пространства с атомными поверхностями, обладающими нулевой размерностью в параллельном пространстве и имеющими форму любого конечного многогранника в перпендикулярном пространстве.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-02-17871.

Литература'

1. Wolff P.M. II Acta Cryst. A. 1974. Vol. 30. P. 777-785.

2. Janssen Т. II Acta Cryst. A. 1986.Vol. 42. P. 261-271.

3. Penrose R. IIJ. Inst. Math. Its Appl. 1974. Vol. 10. P. 266.

4. M. Doblinger, R. Wittmann, D. Gerthsen and B. Grushko // Phys. Rev. B. Vol. 65. P. 224201.

5. W. Steurer //Fcnoclcclrics. 2001. Vol. 250. P. 377.

6. Yamamoto A. // Acta Cryst. A. 1996. Vol. 52. P. 509-560.

7. Китайгородский А.И. / Теория структурного анализа. М., 1957.

_______________________________________13 января 2003 г.

УДК 621.385.6.029.6

Class of the previously unknown accurate solutions of the Emden equations is founded in a brief report. Application manner of solution determination, suggested in the report, permits to see the existence of two premier integrals of above-named equation, which are the Hamilton’s functions of system investigated.

^-уравнение Эмдена относится к классу нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1]. Вместе с уравнением Эмдена-Фаулера оно играло важную роль на первом этапе решения задач о строении звезд, рассматриваемых как

газовые образования, находящиеся в политропиче-ском или изотермическом равновесиях [2].

В [3] уравнением Эмдена называют уравнение более общего вида

ху' + ау + Ьхехр(у) - 0. (1)

которое переходит в ^-уравнение Эмдена [1] при условии, что а=2 (сферическая симметрия) и Ь>0.

В последние годы возрос интерес к поиску точных решений уравнения (1), который обусловлен тем, что некоторые задачи статического равновесия вещества с самосогласованным полем, полученные в [4], имеют решения, сводящиеся к решению (1).

Покажем, что уравнение (1) имеет класс точных решений в случае а= 1 (цилиндрическая симметрия). Подстановка _y = ?j(£)-2£, где |=]п(л:) приводит к уравнению (штрихи означают дифференцирование по ф т}' + Д2ехр(?7) = 0, ' (2)

где р2 =Ь> 0- Уравнение (2) допускает понижение порядка и имеет первый интеграл

(Г]')2 / 2 + р2 ехр(77) = С(л',т},0) = const > 0. (3)

Интегрируя (3) второй раз, получаем

где _ произвольная постоянная. Переходя к функции у, имеем первое точное общее решение

у = -1п^^-сЬ"‘ 1п(х0/х)Л

(4)

I-

- = <7(£-£0),

ftfa2 +а2 ехр(ф) где а = sign(rj’). Результат интегрирования (6)

(б)

оса ,

схр(-т] / 2) =-----------sh

Pi

(7)

_Л(*° ®

позволяет определить знаковую функцию а в виде:

+ 1при£<£0, а= Опри£ = £0,

-1при£>£0.

Переходя в (7) к функции у, имеем второе точное общее решение

у = -In

bx К 2

--------r-shz

р1

А

л

In(jc0 / jc)

(8)

Третье точное решение получается из условия Н=0 и имеет вид:

„2

у = -In

~1п2(х0/х)

(9)

Из условия я = -Р22 < 0 получаем последнее точное решение

А

42

1п(д:0 / х)

(Ю)

где *o - новая произвольная постоянная,

(*0 =ехр(|0)).

Если Ь<0, то, вводя обозначение а2 =-Ь>0, запишем первый интеграл (3) в виде:

(тj')2 12-а1 ехр(?7) = Н(г]',г],0) = const. (5)

Заметим, что (1) при а=0 (плоская симметрия) также допускает понижение порядка и имеет при Ь>0 и Ь<0 первые интегралы, похожие на интегралы (3) и (5) по структуре. Интегралы плоской симметрии совпадают с полным давлением исследуемых систем, состоящим из давления поля и давления частиц (либо зарядов) системы, и позволяют выявить механизмы удержания вещества самосогласованным полем [4-6].

Уравнение (5) имеет три типа решений. Первое из них получается из условия Н= f>2 >0. В этом случае квадратуру в (5) представим в виде dr]

Решения (4), (8) - (10) позволяют исследовать свойства равновесий вещества с самосогласованным полем цилиндрической симметрии в системах с однородной температурой. Частные случаи общих решений (8)-(10), у которых произвольные постоянные находят из граничных условий у(1)-у'( 1) =0, описывают статические равновесия цилиндрического пучка зарядов с самосогласованным полем [7].

Литература

1. Emden R. Gaskugeln. Leipzig; Berlin, 1907.

2. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд. М., 1950.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.

4. Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосогласованным полем. Таганрог, 2000. http://www.viewcade.com/sapogin/.

5. Сапогин В.Г. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 3. С. 72-78.

6. Сапогин В.Г. I/ Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 4. С. 63-68.

7. Sapogin V.G. // Proceedings 1-st IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. 26-28 June, 2002. St.Petersburg, 2002. P.408 - 411.

Таганрогский государственный радиотехнический университет_______________________________26 ноября 2002 г.

Об одном классе точных решений уравнения Эмдена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сапогин В. Г.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сапогин В. Г.

Текст научной работы на тему «Об одном классе точных решений уравнения Эмдена»