Модель квазикристаллов с пентагональной укладкой Пентроуза - Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.783

МОДЕЛЬ КВАЗИКРИСТАЛЛОВ С ПЕНТАГОНАЛЬНОЙ УКЛАДКОЙ ПЕНТРОУЗА

© 2003 г. С.Б. Рошаль, Е.В. Ольшанская, И.Н. Мощенко

It is shown that the pentagonal Penrouse tiling may be constructed by a cut hypercrystallography method using only one atomic surface (AS) instead of conventional five ASs. The spectrum of such model object may be obtained as a projection of the 4-d reciprocal lattice using finite projection windows. The method of analytic calculation of such windows is presented.

Определение атомной структуры квазикристаллов (КК) является нетривиальной задачей, так как из-за потери периодичности стандартные кристаллографические методы не могут использоваться напрямую. Возникло два подхода к моделированию квазикристалли-ческой структуры, основанных на двух различных теоретических концепциях его строения. Первой является концепция высокомерной кристаллографии, которая была введена Де Вольффом для несоразмерно модулированных структур [1] и развита Янссеном для КК [2]. В соответствии с этой теорией симметрия КК может быть задана пространственной группой в 1Ч-мерном пространстве, а его структура - трехмерным сечением атомных поверхностей (АП), периодически расположенных в этом же пространстве.

Другой подход моделирования атомной структуры основывался на декорировании декагональной и ико-саэдрической мозаик Пенроуза атомами [3]. В первые несколько лет после открытия КК идеи декорирования квазикристаллических укладок и многомерной кристаллографии никогда не перемежались и рассматривались как несовместимые. Позже было показано, что многие укладки Пентроуза получаются сечением многомерного пространства при соответствующем выборе АП. В частности, пентагональная укладка Пентроуза (ПУП), нашедшая широкое применение для интерпретации значительного количества реальных декагональных КК-структур в системе А1Со№ [4, 5], может быть получена как результат сечения четырехмерной периодической структуры, содержащей в элементарной ячейке пять одинаковых АП декагональной формы [6]. В настоящий момент такой многомерный подход является общепринятым для анализа структуры, спектра и физических свойств вышеупомянутых КК [4-6].

Для исследования структурных особенностей правомочность такого подхода не вызывает возражений, структуры, получаемые как декорированием ПУП, так и сечением многомерного пространства подобны. Однако с симметрийных позиций это не совсем так. При декорировании все атомы ПУП считаются идентичными. В то же время, в кристаллографии общепринято, что даже идентичные атомы, занимающие различные правильные системы точек, различаются по своим физическим свойствам из-за различного окружения. Для многомерной кристаллографии это означает, что атомы, занимающие позиции, образованные пересечением различных АП с физическим пространством, не идентичны по своим свойствам, т. е.

ПУП, образованная сечением пяти АП физическим пространством, содержит пять неидентичных атомов. Другими словами, модель КК, полученная методом сечения многомерного пространства, сверхструктурно упорядочена по отношению к модели, построенной декорированием ПУП. И результаты, относящиеся к колебательным спектрам, фононным и фазонным деформациям для этих моделей будут отличаться. Отметим, что на реальных дифрактограммах такого упорядочения не наблюдается.

Анализ, проведенный нами, показывает, что методом многомерного сечения можно получить структуру, полностью идентичную ПУП и свободную от вышеуказанного недостатка. Для этого надо оставить в элементарной многомерной ячейке всего одну АП той же формы, как и в [6] (декагональную), выбрав иначе элементарные трансляции в параллельном и перпендикулярном пространствах. Узел с номером (J) ПУП нумеруется четырьмя целыми числами п,. Его координаты

^ = £ы4а,п^ (1)

где а,- =(cos0'27i/5), sin(/2;r/5)), при условии, что его перпендикулярные координаты

rJ1=Z1=i4a1in,J+w, (2)

где а,1(1-a(3i rao<i 5), попадают в пределы правильного декагона с расстоянием между противоположными сторонами tan(ju/5). Переменные Wi и w2 соответствуют фазонным степеням свободы ПУП.

Использование одной АП вместо общепринятых пяти при построении моделей пентагональных КК резко облегчает как теоретический анализ, так и обработку дифрактограмм и определение структуры по экспериментальным данным. Отметим, что в высокомерной кристаллографии кроме вышеописанного метода сечений используется эквивалентный ему метод проекций. При этом та же самая структура получается как проекция всех узлов многомерной решетки на физическое пространство с проекционным окном, параллельным физическому пространству и имеющему форму АП в перпендикулярном подпространстве. Для ПУП использование метода проекций приведет к следующему выражению для функции плотности: р(хьх2) = \\UI(x],x2,x3,x4)n(xi,x4)dx2dx4, (3)

а

где интегрирование ведется по всему перпендикулярному пространству Й(д:3д4); я/(хзд4дзд4) - гребневая функция, состоящая из 5-функций Дирака, расположенных в узлах четырехмерной решетки; Я(х3гх4) -

(4)

(5)

функция проекционного окна, равная единице, если точка (х3гх4) попадает в пределы вышеуказанного декагона, и нулю в противоположном случае.

Как известно, Фурье-образ проекции какой-либо функции равен сечению Фурье-образа этой функции плоскостью, обратной к плоскости проекции [7]. Таким образом, спектр рассматриваемой ПУП будет являться сечением четырехмерного спектра подынтегральной функции (3) плоскостью (|ь |2)> обратной к физическому подпространству (хх&У-

Фт(р(хих2)) =

= ФТ(Ш,х2,х3,х4)П(хз,х4))|^3=о,|4=о , где Фх - оператор Фурье трансформации (вычисления Фурье-образа), (11,1г.£з>§0 - обратное пространство. Использую теорему о свертке и свойства гребневых функций, получим

Фт(Ш(х1 ,х2,х3,х4 )Л(х3 ,х4)) =

= Фт(Ш(х1,х2,х2,х4))*Фт(П(х3,х4)) =

- Ш(!;1,1;2,%з,%4)*Фт(П(хз>х4У) =

= ЪЩъ-Ьг1&-Ь4т),

где символ * означает свертку; Р(|3, §0 = Фт(П(х3гг4)) -спектр проекционного окна; суммирование ведется по всем узлам обратной решетки (], к, 1, ш). Подставляя (5) в (4), получим, что дифракционный спектр ПУП является сечением многомерной обратной решетки, в узлах которой расположена АП Р(|з, £»), являющаяся Фурье-образом проекционного окна П(х3д4)).

Проекционное окно является правильным декагоном, который можно разбить на 10 треугольных секторов с гранью декагона в основании. При этом, спектр окна можно записать в следующем виде;

Р(!з.$4)=ЕРл(&.£4). (6)

с,О

где суммирование ведется по точечной группе Сю, а Р51(|3, £0 - Фурье-образ сектора, основание которого параллельно |4. Последний нетрудно аналитически рассчитать:

ГНУ «Северо-Кавказский научный центр ВШ»

Psi(£3>£l) -

2 П%

exp(-ted(<®3 -|4а))

sin (|з-|4а))

- exp(-i n d (I3 + |4а)):

’ (?)

t Sin(7T^(<g3 +|40:))

£з+£4 «

где i - мнимая единица; d= tan(®5)/2; а = 2 tan(^/10)J.

Выражения (4) - (7) полностью решают задачу о расчете спектра ПУП. Обратим внимание, что полученный спектр является всюду плотным. Однако функции (6) и (7) с увеличением |£] убывают как |£|~2 и с учетом конечной чувствительности реальных приборов мы можем их обрезать, заменив (7) на конечную АП. Такой спектр будет уже дискретен. При этом задача сведется к расчету двумерного сечения четырехмерной периодической решетки с конечной АП в узлах. Как мы уже говорили, она эквивалентна задаче проектирования узлов четырехмерной решетки на двумерную плоскость с проекционным окном, имеющим конечные размеры. Последняя же легко решается на ЭВМ для любой конечной области спектра.

Отметим, что мы привели метод расчета спектра конкретной квазикристаллической структуры. Однако он легко обобщается на любые модельные структуры, получаемые методом сечения многомерного пространства с атомными поверхностями, обладающими нулевой размерностью в параллельном пространстве и имеющими форму любого конечного многогранника в перпендикулярном пространстве.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-02-17871.

Литература'

1. Wolff P.M. II Acta Cryst. A. 1974. Vol. 30. P. 777-785.

2. Janssen Т. II Acta Cryst. A. 1986.Vol. 42. P. 261-271.

3. Penrose R. IIJ. Inst. Math. Its Appl. 1974. Vol. 10. P. 266.

4. M. Doblinger, R. Wittmann, D. Gerthsen and B. Grushko // Phys. Rev. B. Vol. 65. P. 224201.

5. W. Steurer //Fcnoclcclrics. 2001. Vol. 250. P. 377.

6. Yamamoto A. // Acta Cryst. A. 1996. Vol. 52. P. 509-560.

7. Китайгородский А.И. / Теория структурного анализа. М., 1957.

_______________________________________13 января 2003 г.

УДК 621.385.6.029.6

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЭМДЕНА © 2003 г. В.Г. Сапогин

Class of the previously unknown accurate solutions of the Emden equations is founded in a brief report. Application manner of solution determination, suggested in the report, permits to see the existence of two premier integrals of above-named equation, which are the Hamilton’s functions of system investigated.

^-уравнение Эмдена относится к классу нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1]. Вместе с уравнением Эмдена-Фаулера оно играло важную роль на первом этапе решения задач о строении звезд, рассматриваемых как

газовые образования, находящиеся в политропиче-ском или изотермическом равновесиях [2].

В [3] уравнением Эмдена называют уравнение более общего вида

ху' + ау + Ьхехр(у) - 0. (1)