CC BY
64. Выводы. Предложенная и изученная здесь математическая модель процессов сложного на-гружения по траекториям деформации любой размерности и сложности пригодна как для процессов активного нагружения, так и для разгрузки. Она решает проблему калибровки определяющих функционалов и сводит основную задачу к задаче определения одной скалярной фунции-метрики £(s). Даже грубое приближение этой функции оказалось приемлемым с точки зрения механики и физики. Предложенный подход и для наиболее простых двумерных процессов дал возможность точно (в рамках модели) определить ранее неизвестный вид экспериментальной зависимости P.A. Васина. Отыскание необратимых напряжений позволяет решить задачу калибровки модели, а при использовании представлений (4) или более сложных в пространствах высокой размерности — точно сформулировать теорему изоморфизма A.A. Ильюшина. В нашем рассмотрении теорема изоморфизма устанавливает подобие геометрии траектории деформации и формы отклика. Первоначально обнаруженное при анализе экспериментов по сложному нагружению процессов с винтовыми траекториями деформаций [4], оно оказалась пригодным в случае спиральных траекторий, а также круговых и многих других. Данное исследование, а конкретно разделение напряжений на составные части за пределами следа запаздывания, как раз и приводит к такому соответствию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
2. Вавакин A.C., Васин P.A., Викторов В.В., Широв Р.И. Экспериментальное исследование упругопластиче-ского деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86. № 7298-В86. М., 1986.
3. Зубчанинов В.Г. Постулат изотропии и закон сложной разгрузки сплошных сред // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 27-37.
4. Молодцов И.Н., Бабаева Д. О. Некоторые математические модели упругопластических процессов сложного нагружения // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, вып. 2. 19-36.
Поступила в редакцию 06.09.2019
УДК 531.8
ЗАНОС КОЛЕСНОГО АППАРАТА НА "МИКСТЕ"
А. В. Влахова1, А. П. Новодерова2
Рассматривается двухосный четырехколесный аппарат в начале движения на "миксте" — участке опорной плоскости с разными коэффициентами трения для левого и правого колес одной оси. В зависимости от условий движения взаимодействие колес аппарата с опорной плоскостью описывается моделью увода или моделью сухого трения Кулона. С использованием методов фракционного анализа и теории сингулярных возмущений получена оценка импульса угловой скорости, который приобретает корпус аппарата после завершения быстрого переходного процесса выравнивания контактных сил на колесах ведущей оси.
Ключевые слова: "микст", занос колесного аппарата, фракционный анализ, теория сингулярных возмущений, модель кулонова трения, модель увода.
The dynamics of a biaxial four-wheeled vehicle is simulated when drive wheels of one of its axes get into the "^-split surface". The "^-split surface" is a section of the reference plane with
1 Влахова Анастасия Владимировна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.
2 Новодерова Анна Павловна — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: an. novoderovaQyandex. ru.
Vlakhova Anastasiya Vladimirovna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
Novoderova Anna Pavlovna— Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
different friction coefficients for the left and right wheels of one of the vehicle axes. Depending on the conditions of vehicle motion, the interaction of its wheels with the reference plane is described by the slip model or the Coulomb dry friction model. Using the methods of fractional analysis and the theory of singular perturbations, we estimated the angular velocity impulse, which is obtained by the vehicle body after the completion of the aligning transient process of the contact forces on the wheels of the drive axis.
Key words: "^-split surface", wheeled vehicle skidding, fractional analysis, theory of singular perturbations, Coulomb friction model, slip model.
1. Постановка задачи и математическая модель. Настоящая работа продолжает исследования [1], ориентированные на описание динамики автомобиля в случае, когда до и после попадания на "микст" сх'о колоса взаимодействуют с дорох'ой посредством иродольнох'о и поперечного микропроекальзывания. С использованием тех же подходов обсуждается этот и другие случаи контакта колес с опорной плоскостью и проводится сравнение полученных результатов. Рассмотрим движение двухосного четырехколесного аппарата но горизонтальной плоскости. Как и в [1|, пренебрегая влиянием деформаций подвески на его геометрию масс и движение, будем считать оси вращения колес фиксированными в его продольной плоскости симметрии, углы развала и схождения колес равными нулю. Свяжем с опорной плоскостью неподвижную систему координат OxoyoZo, с центрами масс корпуса и колес аппарата — системы координат Cxyz и AijXijyijZij соответственно. Индексы i задают переднюю (i = 1) и заднюю (i = 2) оси, индексы j — левую (j = 1) и правую (j = 2) стороны по ходу движения аппарата; оси Ozo, Oz и Aj Zij
Cx
дольной оси симметрии корпуса, оси Ajyij — по осям вращения колес (рис. 1). Положение аппарата определяется координатами X, Y точки C в системе координат Ox0y0z0, углом Ф поворота его корпуса вокруг оси Cz (углом курса) и vглами ©ij поворота колес вокруг осей Ajyij. Углы поворота передних колес относительно корпуса вокруг осей Aijzij полагаются равными нулю. Рассматривая случай, когда отношение массы колеса к массе аппарата мало, будем далее считать, что о
C
Составим уравнения движения аппарата из
C Cx Cy
C Cz
кинетических моментов колес относительно осей Aij yij и необходимых кинематических соотношений [1|:
MVx = Piix + Pi2x + P21x + P22x + MVynz - Fx,
MVy = Piiy + Pi2y + P21y + P22y - MVxQz + Fy,
Iz ii z = (-Piix + Pi2x - P2ix + P22x )B + (Piiy + Pi2y )Ai - (P2iy + P22y M2 + Mz, (1)
№ij - PijxR + Lij (iJ j - 1i 2)J
X = Vx cos Ф - Vy sin Ф, Y = Vx sin Ф + Vy cos Ф, Ф = iz, ©ij = iij.
Точкой обозначено дифференцирование по времени T; M — масса аппарата; Iz = Mp^ и pz — его момент инерции относительно оси Cz и радиус инерции; Ii = mp2 — осевые моменты инерции колес; m и pi — масса колеса и соответствующие радиусы инерции; R — радиус колес; Ai — расстояния от оси Cz до прямых AnAi2\ 2B — ^^^^ы отрезков AiiAi2\ Pijx и Pjy — проекции касательной
ij Aijxij
и Aij yij Lij — моменты со стороны двигателя и тормозных колодок, приложенные к ij-му колесу по направлению оси Aij yij Fx, Fy и Mz — соответствующие проекции внешних возмущающих сил и моментов. При выбранном направлении движения далее будем полагать Vx(0) > 0. Как и в работах [1 6], в силу условия
m < M (2)
при записи уравнения изменения кинетического момента аппарата не учитываются проекции кинетических моментов его колее.
Далее будем рассматривать [1| задненриводной аппарат, для которого
М(П,17)
Я
Ьл
Пз — 0, Ь2з — (3)
где Ь — момент на выходных осях дифференциала, и пренебрежем возмущениями и Мг.
Уравнения системы двигатель трансмиссия имеют вид
т = м(п,г]) - -ь,
п
п,
П = -(П21 + П22), (4)
где О — угловая скорость выходного вала двигателя; I — момент инерции этой системы, приведен-
п
эффек-
Рис. 2
трансмиссии от выходного вала двигателя к выходным осям дифференциала; М(О,п) тивный момент двигателя; п — параметр, характеризующий подачу топлива (приведенное положение педали газа). Графики зависимости М(О,п) от О при различных значениях параметра п (П* < По < П1 < П2 < ...) представлены на рис. 2 [1, 7].
Сила сопротивления воздуха -РХ вычисляется по формуле
РХ{УХ) = \pV2Sc*,
(5)
где р — плотность воздуха (р — 1,202 — 1,225 кг/м3); сх и Б — безразмерный коэффициент лобового сопротивления и характерная площадь, зависящие от формы аппарата.
Для описания касательной составляющей контактной силы, действующей па гj-e колесо аппарата, будем использовать модель, которая, в отличие от традиционной модели увода [8], учитывает как поперечные, так и продольные деформации колес [1 4, 6, 9]:
Рцх — Кцх -^г3р(ьг3) , Рцу — ^г3'У^г3р(ьг3 ) >
-V
-V
и
егз'х —
гзх
и,
ОО ,3 —
£гзу —
гзу
ОО ,3 —
3 + 4у (г,j — 12)-
(6)
'гзу
Здесь кгз'Х и к,зу — коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и поперечном направлениях относительно плоскости симметрии г^го колеса (по осям ЛцХгз и ЛцУгз)', Nгз — нормальные реакции в точках контакта колес с опорной плоскостью; егзх и егзу — относительные проскальзывания колес в продольном и поперечном направлениях; игзх и игзу — проекции скорости точки контакта г^го колеса с опорной плоскостью па оси ЛцХц и Лг3угз соответственно, вычисляемые по формулам
игзх — ух + (—1)з В — °гз игзу — Уу — (—1)г Лг°^ •
Будем аппроксимировать [1] характеристику р(егз) кусочно-линейной функцией
Р — £гз /е при егз < е; Р — 1 при егз- ^ е, 0 < е ^ 1.
(7)
(8)
1-3
Для пневматических деформируемых колес е ~ 10 , для стальных колес е ~ 10-2 10-
Интервал, определяемый первым неравенством (8) и соответствующий линейной зоне характеристики контактной силы, отвечает движению колес аппарата с малыми смещениями (микропроскальзыванием), но без скольжения относительно опорной плоскости. Как и в [1 4, 6, 10], будем говорить, что при этом колеса не теряют сцепление с опорной плоскостью. Необходимым и достаточным условием такого движения служит неравенство
Р
гзх
кгзх Nгз
+
Рг
гзу
кгзу Nгз
< 1.
(9)
Второе неравенство (8) отвечает скольжению колес аппарата их потере сцепления с опорной плоскостью. Здесь касательные составляющие контактных сил переходят в кулоновы силы трения скольжения.
Второе уравнение (4) позволяет исключить из системы (1), (3)-(8) одну из переменных Г^ъ ^22) Дифференцирование его обеих частей по времени и подстановка полученного выражения в первое уравнение (4) с учетом двух последних динамических уравнений (1) для г = 2 дают
L 1
2 I — + п—
n I2
n I
М(П,г]) + --R(P21x + Р22х) 2 I2
n
П = -(П21 + П22). (10)
Исключаемая переменная в каждом случае выполнения первого или второго неравенства (8) будет определяться удобством исследования.
Так же, как ив [1], разобьем исследование динамики аппарата на два этапа. На первом этапе, до попадания на "микст", аппарат движется равномерно, прямолинейно, без потери сцепления колес с опорной плоскостью. На втором этапе рассматривается начальная стадия движения аппарата на "миксте". В момент времени, который будет приниматься за начальный для этого этапа, коэффициент кулонова трепня скольжения К22 правого заднего (ведущего) колеса мгновенно изменяет свое значение с ко па км < ко- При этом стационарное, установившееся движение аппарата нарушается и в системе возникает динамический процесс, обусловленный различиями величин касательных составляющих контактных сил на его задних колесах. Рассматривая начальную стадию движения аппарата при попадании на "микст", ограничимся случаем, когда поперечная и угловая скорости корпуса аппарата малы и изменяются в следующих диапазонах:
|Vy |~|Q* l(A + A2) < eVx. (11)
Изучая динамический процесс, выберем в качестве начальных условий соответствующие значения переменных для предыдущего этапа установившегося движения.
2. Движение аппарата до попадания на "микст". На основании (1), (3)—(8), (10) равномерному прямолинейному (стационарному) движению аппарата без потери сцепления колес с опорной плоскостью отвечают соотношения
Kij — к0 j Vy — 0, Qz — 0, Uijy — 0, 6ijy — 0, Pijy — 0, P1jx — 0,
Uijx — 0, Vx — QiR, Qi — Qij, P2jx — L/R (i,j — 1,2). ( )
В частности, из четвертого и восьмого соотношений следует, что при таком движении передние колеса не проскальзывают относительно опорной плоскости, задние (ведущие) колеса не проскальзывают в поперечном направлении.
Рассматривая аппараты с низким расположением центра масс, будем считать, что в ходе стационарного движения нормальные реакции принимают равные значения:
Nij — N — Mg/4. (13)
Первые уравнения (1) и (4) с учетом (6), первого равенства (8), двух последних соотношений (12) и формулы (13) дают шесть значащих соотношений
0 — 2P2jx - Fx(Vx), -P2jxR + nM(Q, n)/2 — 0,
P2jx = -koN^^, e2jX = j^2^, U2jx = Vx - tt2jR, Q = nQ2j (j = 1,2), ^ ^
6 Q2j R
связывающих пять неизвестных переменных величин Vx, P2jx, 62jx, Q, Q2j и параметр n где Fx(Vx) вычисляется из (5). Тем самым эти переменные и параметр зависимы. Зафиксировав Vx — V0 — const, получим
Р _ Fx(Vo) eFx(Yo) _ „ Уо
Q — nQ2 — Qo, M (Qo, n) — Fx(Vo)R/n (j — 1,2).
Последнее равенство (15) позволяет найти значение параметра
П — По,
(16)
К0М
соответствующее стационарному движению (12), (13), (15), (16). Это движение асимптотически устойчиво [1] в силу системы (1), (3) (8), (10).
На рис. 2 значение по отвечает ветви семейства графиков М(П, п) проходящей через точку (По, Рх(Уо)Я/и). Согласно третьему соотношению (14) и второму равенству (15) значение £о может быть найдено графически как абсцисса точки пересечения графика Р2ух = —коN е2ух/е и = 2) с горизонтальной прямой Р2]Х = Рх (Уо)/2 (рис. 3, кривая 1).
3. Движение аппарата на "миксте". Все колеса сохраняют сцепление с опорной плоскостью. Д.ля того чтобы выяснить, на какие переменные в наи-и большей степени повлияет изменение коэффициента ку-
лонова трения в этом случае, проведем оценку посто-Г>нс- 3 янных времени движения рассматриваемой системы.
В силу малости параметров е и у = т/М (см. (2) и (8)) составляющие ее движения развиваются в сильно разнесенных временных масштабах. Их оценками служат: Т = Ух^ /д — определяемое из первого уравнения системы (1) характерное время изменения продольной скорости Ух корпуса аппарата под действием контактных сил; Т2 = еУх^ /д — определяемое из второго и третьего уравнений системы (1) с учетом (7), первого равенства (8) и ограничений (11) характерное время изменения поперечной и угловой скоростей корпуса аппарата Уу и П^, а также поперечных скоростей Цуу точек контакта колес с опорной плоскостью; Тз = уУх„ /д — определяемое из четырех последних динамических уравнений системы (1) характерное время изменения угловой скорости осевого вращения колес; Т4 = уеУХ* /д — определяемое с учетом (8) характерное время изменения продольных скоростей и^х точек контакта колес с опорной плоскостью; Т5 = 1/Кр Кд = (дМ/дП)+ — определяемое из (4) характерное время изменения угловой скорости выходного вала двигателя (правая часть выражения для Кд задает характерный коэффициент наклона касательной к характеристикам двигателя на рис. 2).
Далее ограничимся случаем
0 < е < 1, (17)
когда
Т4 < Тз < Т2 < Т1,
(18)
и будем рассматривать аппараты и условия движения, для которых Т4 ~ Т5. Таким образом, динамический процесс выравнивания контактных сил на ведущих колесах аппарата, возникающий при попадании одного из них на "микст", в первую очередь затрагивает продольные скорости точки контакта этого (и остальных) колеса с опорной плоскостью, а также угловую скорость выходного вала двигателя, изменяющиеся на характерных временах Т ~ Т4 ~ Т5. Переменные, изменяющиеся на существенно больших временах, можно считать [1, 2, 11, 12] постоянными, равными своим начальным значениям, отвечающим стационарному движению (12), (13), (15), (16), в частности ^22у = 0, П22 = П2, N7 = N. Тем самым в момент попадания правого заднего колеса на "микст" выражениями для проекций касательной составляющей контактной силы и для микропроскальзывания на этом колесе служат
Р22х = -км N
е22х
Р
22у
0,
е22х =
Ц'22х _ Ь-Ра-(Уо)
П2Я ~ ~ 2кмЫ
= ем, е22у = 0,
(19)
откуда в силу четвертого соотношения (14), а также второго и третьих) равенств (15) следует, что продольная составляющая ^22Х скорости точки контакта правого заднего колеса мгновенно изменяет значение с и22хо па и22хм, где
и22х0 = ео П2R, и22хм = ем
(20)
На основании (9) и (19) условие сохранения сцепления правого заднего колеса с опорной плоскостью при попадании на "микст" имеет вид ^х(Уо)/2 < км N. Значение ем может быть найдено графически как абсцисса точки пересечения графика Рух = -кмNе22Х/е (и = 2) с горизонтальной прямой Р2зх = ^х(Уо)/2 (рис. 3, кривая 2).
Изучим динамику аппарата после попадания на "микст" с применением асимптотических методов разделения движений [2, 11, 12]. Для этого приведем систему (1), (3)^(8), (10) относительно избыточного набора динамических переменных УХ5 Уу, Пг, Пц, П12, П21, ^22) П к сингулярно возмущенной форме [12] с малыми параметрами при производных. В соответствии с методикой фракционного анализа [2, 11] перейдем от этого набора переменных к набору РХ, Уу, П^, И11х, И12х, И21х, И22Х1 включающему быстрые переменные. В силу (7) и последнего соотношения (14) имеем
1 - п
Пц = д{Ух + (-1УВП2-ичХ) {1,3 = 1,2), П = —(2Ух-1121х-и22х). (21)
После указанных преобразований и учета упрощающих предположений рассматриваемая система принимает вид
МРХ = Р, МУу = р2, /* П = Рз,
и21х = - - -Р6, С722л = — ^ + - -Р7, (22)
Р = Рцх + Р12х + Р21х + Р22х - Рг(Ух), Р = РПу + Р12у + Р21у + Р22у - МУхП, Р = (-РПж + Р12х - Р21х + Р22х)В + (РПу + Р12у)А - (Р21у + Р22у)^2,
Р4 = -Р11ж, Р5 = -Р12ж, Р6 = -Р21х + Р7 = -Р22х +
Выражения (6), (7) для касательных составляющих контактных сил записываются в форме
Рцх = ~КоМе(Ух + (-1утг-и1]хУ Р11У = -КоМе(Ух + (-1увК-и1]хУ
р21 _ _Кодг_и21х_ р21 — Ги0дг ^ ~ (23)
п ду И22х п Л7 Уу - А2П.г .
Р^ = ~КмКе(Ух + ВП,-и22хУ Р^ = ~КмКе(Ух + ВП,-и22х) =
Здесь РХ(УХ) вычисляются из (5), N — го (13), Ь — из (10), где П задается последней формулой (21).
Проведем нормализацию [2, 11] системы (22), (23) на классе движения, определяемом условием (2), первым неравенством (8) и ограничениями (11), (17), заменив переменные и время их безразмерными аналогами:
Т — Ух — УХ* ^Х, Уу — Уу*Уу, — , Иг^'х — Uгjx*uгjxI Р^'х — Pгjx^pгjx,
Рг^у = Руу+Руу (г,; = 1,2), Ь = П = П*ш, М(П,п)= М*ш(ш,п), (24)
РХ = Fx*/x^ Рк = Рк:*/^: (к = 1 • • • I 7).
Нижним индексом * помечены характерные значения соответствующих переменных. Будем рассматривать рев качестве малых параметров, которые далее будут устремлены к нулю, и выберем характерные значения следующим образом:
Уу* = (А1 + А2)П.г* = Иг^Х* = еУХ*1
П* = МдЯ/Кд = Ух*/Я, Р^.* = Рг,-у* = Рх* = Мд, Ь* = М* = МдЯ, (25)
Р1* = Р2* = Мд, Рз* = Мд(А1 + А2) Р4* = Р5* = Рз* = Р7* = МдЯ, ограничившись характеристиками двигателя, для которых
Кв ~ МдК2/лУд{А1 + А2),
т.е. УХ* ^
Рассматривая начальный этап заноса аппарата после попадания на "микст", ограниченный характерными временами Т ~ Т2 изменения перемеиных Уу и П^, примем Т* = Т2. Нормализованным
аналогом системы (22), (23) служит сингулярно возмущенная система тихоновского вида [2, 11, 12] с малыми параметрами (17):
< = у'у = /2, ш'2 = ¿/з,
гг
ци'11х = ц} 1 - /Д/3 - 4/4, 1ш'\2х = М + /Д/з - 4/б> (26)
гг г1 гг г1
Ми21х = /¿Л ~ г/з - Т2/б, ^22ж = + М72/3 ~~ ^г/7'
г.г г2 гг г2
/1 = Р11х + Р12х + Р21х + Р22х - /х(Ух), /2 = Р11у + Р12у + Р21у + Р22у - еУх, /а = (-Р11Х + Р12х - Р21х + Р22х)Ь + (Р11у + Р12у)«1 - (Р21у + Р22у)«2,
/4 = -Р11х, /5 = -Р12х, /б = -Р21х + I, /7 = -Р22х + I, /х(Ух) = рУх^х^ + Л2)/2М, /= 1
22 —Ь ггк
п а
п
2
п
т(ш,г]) + -гз(р21х +р22ж) , и = -(2ух - еи21Х - еи22х)
2
Л1 Л2 В р. Р1 Р2 .2 I (27)
1 И^х 1 Уу + а*
Ру* - ~7ко-—: т 7\7~ГГ,-~—> Р13У -
4 Ух + (-1)-7'еОш. - еи^х' зу 4 Ух + (-1)^еОш. - еи^х' 1 И21х _ 1 Уу - а2^г
Р21х — "7^0-Г-, Р21у — -7К0 , ,
4 Ух - еОШ. - £И21х 4 Ух - еОШ. - еи21х
1 И22х 1 Уу - а2^г
Р22х = --;КМ-:—т-, Р22у = --;КМ-:—7- {г, 3=1,2).
4 Ух + ео^г - еи22х 4 Ух + еОш. - еи22х
Штрихом обозначены производные по безразмерному времени
С учетом (24) нормализованные аналоги начальных условий для переменных Ух, Уу, П., Ицх, И 12х, и21х в момент попадания на "микст", которые равны своим значениям на этапе стационарного движения (12), (13), (15), (16), и нормализованные аналоги начальных значений переменных И21х и И22х, совпадающих с И21хо и И22хм из (20), принимают вид
Ух(0) = Уо, Уо = Уо/Ух*, Уу (0) = 0, (0) = 0, «11х (0) = и12х (0) = 0, и21х (0) = ео^2/е,
(28)
и22х(0) = ем Ш2/е, ^2 = П2Й/Ух*,
где Уо, П2 и Ух* были определены при записи (15) и (25).
Проведя вырождение системы (26), (27) по малому параметру ^ и считая параметр е конечным, получим систему уравнений
1п
У'х = е/ь ^ = /2, = тз/з, Ру® = 0, р2зх = I = г]) Ц = 1,2), (29)
гг 2
где выражения для правых частей дифференциальных уравнений, контактных сил и момента, приложенного к задним колесам аппарата, вычисляются при помощи формул (27), с учетом которых корнем первых двух конечных уравнений (29) служит
«11х = И12х = 0. (30)
Получаемое из двух последних конечных уравнений системы (29) условие равенства контактных сил на колесах ведущей оси обусловлено тем, что на характерных временах Т ~ Т2 процесс изменения переменных И21х и И22х, происходящий на временах Т ~ Т4, уже завершен, т.е. контактные силы уравновешиваются дифференциалом, несмотря на разные коэффициенты ко и км кулонова трения скольжения (подробнее протекание этого процесса обсуждается ниже). Перейдем к отысканию корня указанных уравнений. Из условия р21х = Р22х с учетом (27) получаем равенство
км
и21Х =-и22х + 0(е),
к0
согласно которому выражение для ш может быть записано в виде
ш = пьх - е- [--Ь 1 и22х + 0(е ).
2 V ко
Подставив его в выражение для т(ш, п) из (27) и проведя разложение в ряд Тейлора по е, получим
и22х + 0(е2),
т(и), г?) = т(пьх, г?) - е^ (— + 1) ^
2 \ ко ) дш
откуда с учетом выражений для р2ух из (27) и двух последних конечных уравнений системы (29) следуют искомые выражения
—2гхпт(пгх,п) ч —2гхпт(пгх, п) ч / ч
и21х =-£-+ 0(е), и22х =---+ 0{е). (31)
Ко км
Для доказательства близости решений исходной и вырожденной систем (26), (27) и (29) воспользуемся теорией Тихонова-Васильевой [2, 11, 12]. Исследуем изолированность, асимптотическую устойчивость по первому приближению и область влияния точек покоя присоединенной системы, получаемой из (26) путем замены времени т = ¿/^ и последующего приравнивания слагаемых порядка ^ к пулю:
= ~^ = ц(Р21Х-1) 0 = 1,2). (32)
Значения правых частей вычисляются из (27). Система (32) описывает движение аппарата на "малых" временах Т ~ Т4. Медленные переменные гх и гу, размерные аналоги которых изменяются на временах Т1 и Т2, полагаются постоянными. Считая характерное время реакции водителя (систе-
Т4 п
в момент попадания на "микст". Координаты (30), (31) точки покоя присоединенной системы находятся из конечных уравнений (29).
Исследуем ее асимптотическую устойчивость по первому приближению. Проводя линеаризацию системы (32) около точки покоя и отбрасывая члены О(е), получим
^Д-ипж 1 Диих ^Ди12ж 1 Аи12ж
Г Ко-, -:- — — тКО"
^т 4 гх ^т 4 г;
<*Ац21х = 1 ^ I А_ , л„„. ^2,2
(1т %г\ух(2 + п2г\
1 / 2,2
( Ди21х(-4ко - П222Ко) + Д«22хГС2г2км) , (33)
Д«21жП2г2ко + Ди22х(-4км - п2г^км)
^т 8г2гж(2 + п2г2)
где Диух (г,^ = 1, 2) — малые отклонения переменных от точки покоя. Первые два уравнения системы (33) не связаны с последними и могут быть исследованы отдельно. Поскольку множитель при переменных Диу отрицателен, точка покоя (30) асимптотически устойчива в силу системы (33). Характеристическое уравнение системы двух последних уравнений (33)
2 (4 + та2г2)(кр + км) . к0км , ,ч
+ 8г2^(2 + п2г2) + гг2г|) 1 ;
имеет два различных вещественных отрицательных корня А1, Л2. Таким образом, точка, координаты которой определяются первыми слагаемыми правых частей (31), также асимптотически устойчива по первому приближению и является устойчивым узлом на фазовой плоскости И21Х, И22Х-
Исследование системы (33) показало, что в соответствии с теоремой Андронова-Понтрягина [13, 14] система (32) грубая: топологическая структура ее фазового портрета устойчива и не изменяется при малых изменениях правых частей. Таким образом, точка покоя (30), (31) асимптотически
е
Выясним область влияния этой точки покоя, образованную совокупностью начальных значений переменных для которых решение системы (32) стремится к (30), (31). Поскольку первые два уравнения системы (32) скалярные, они допускают качественное исследование методами [12].
Нетрудно видеть, что область влияния точки покоя по переменным не ограничена. Для замкнутой системы двух последних уравнений (32), согласно критерию Бендиксона [14], положительностью коэффициента при первой степени Л характеристического уравнения (34) при е ^ 0 обеспечивается отсутствие предельных циклов на фазовой плоскости U2ix, U22x- Точка покоя (31) единственна и асимптотически устойчива по первому приближению, следовательно, ее область влияния не ограничена.
В соответствии с теоремой Васильевой [2, 11, 12] рассогласование между решениями исходной системы (26), (27) и вырожденной системы (29) оценивается величиной O(ß) на конечном интервале времени t ~ 1, отвечающем интервалу T ~ T2 размерного времени T. Для переменных Uj (i,j = 1, 2) эта оценка верна вне пограничного слоя шириной O(-ß ln ß).
Проведенное исследование показало, что (32) можно рассматривать как модель переходного процесса изменения продольных составляющих скоростей точек контакта до значений, близких к (30) и (31), и продольных составляющих контактных сил до близких друг другу значений, определяемых конечными уравнениями вырожденной системы. Тем самым на уровне точности системы (29) поперечное движение аппарата, определяемое переменными vy и wz, не возмущается. Модель влияния переходного процесса на динамику аппарата можно построить при учете факторов следующего, первого по ß, порядка [1, 2, 11, 12].
Согласно алгоритму А.Б. Васильевой [12], при составлении приближенной модели, описывающей решение сингулярно возмущенной системы тихоновского вида на уровне точности O(ß), начальные условия по медленным переменным следует скорректировать членами порядка малого параметра. Для приближенной модели системы (26), (27) начальные условия по медленным переменным vx и vy, wz вместо (28) следует вычислять по формулам vx(0) = v0 + ßvX1)(0) vy(0) = ßV(i)(0), Wz (0) = ßwi1)(0),
00
vW (0) = 0, v§> (0) = 0, w« (0) = 4 [(-Pllx + Pl2x - P21x + P22x)bdT, (35)
¿2 J o
где интеграл берется по траекториям присоединенной системы (32); значение т = 0 отвечает моменту попадания на "микст" (началу переходного процесса), значение т = то — окончанию переходного процесса. Механический смысл интеграла (35) — суммарный импульс момента, приложенного к корпусу аппарата по оси Cz за время T ~ T4. Поскольку передние колеса аппарата на протяжении переходного процесса находятся в одинаковых условиях, справедливо равенство piix = pi2x, т.е. на этот импульс момента должны влиять только продольные составляющие контактных сил на задних колесах. Это нетрудно заметить и при помощи формул (27), (29) и (32), с учетом которых последнее выражение (35) и соответствующее подынтегральное выражение принимают вид
00
1 f d
= ¡2 / (Р22ж ~P21x)bdT, Р22х ~Р21х = ~ U2lx), (36)
z 0
откуда
¿25
ßW^O) = ß-\ (U22x(0O) - U2lx(OO) - (U22x(0) - U21Ж(0))) . (37)
Значения U2jx(0) и W2jx(rc>) (j = 1, 2) продольных составляющих скоростей точек контакта задних колес в начале и в конце переходного процесса определяются соответственно двумя последними выражениями (28) и выражениями (31) при vx = vo и п = По-
В пренебрежении слагаемыми О(е) окончательной формой выражения (37) в размерных переменных служит
л=«(g )21 C'^Silr"'+<* - ■ <з8)
Можно показать, что поправка, полученная в работе [1] при учете динамики двигателя, трансмиссии и колес аппарата
ß^O)=t*(j) |(^2iM-Q22(oo)), (39)
совпадает с первым слагаемым правой часта выражения (38). Таким образом, рассогласование между выражениями (38) и (39) имеет вид /л ( — ] — (во — 2-
Приведем численные результаты для параметров и динамических характеристик автомобиля, которые, за исключением продольной скорости корпуса, взяты из [1]. Поправка (39) имеет порядок 10-2 рад/с. Оба слагаемых в правой части формулы (38) имеют одинаковые порядки (10-2 рад/с) и разные знаки. Таким образом, поправка угловой скорости корпуса аппарата, вычисленная по этой формуле, имеет порядок 10-3 рад/с. Для других, более легких и быстроходных колесных аппаратов выражение (38) может быть больше.
4. Движение аппарата на "миксте". Колеса, за исключением правого заднего, сохраняют сцепление с опорной плоскостью. Рассмотрим случай, когда при попадании на "микст" правое заднее колесо аппарата теряет сцепление с опорной плоскостью, т.е. первое неравенство (8) нарушается для г,^ = 2, а остальные колеса продолжают сохранять сцепление с ней: км N ^ (Уо )/2 < ко N. Переменная С22Х теперь изменяется па временах Т ~ Тз, т.е. в отличие от п. 3 здесь динамический процесс выравнивания контактных сил на ведущих колесах в первую очередь затрагивает переменные [/цХ, СЛ2Х, С21Х и О, изменяющиеся на характерных временах Т ~ Т4 ~ Т5, а остальные переменные, как и ранее, можно считать постоянными, равными своим значениям на этапе стационарного движения (12), (13), (15), (16). Тем самым в момент попадания правого заднего колеса на "микст" выражения для составляющих контактной силы на этом колесе имеют вид
р22х = -км р22у = 0.
Уравнения движения системы в новом наборе переменных УХ, Уу, Ог, СпХ, С21Х, О, включающем быстрые переменные, получаются из (22) заменой последнего динамического уравнения динамическим уравнением изменения переменной О из (4).
Выражения для касательных составляющих контактных сил находятся из (23) после замены
п Л7 и22ж г, ткт С22у
Р22х = , Р22у = -КМ^-р
у С22ж + С22у у С22ж + С22у
где С22у вычисляется из (7), и22х — го последнего равенства (21): С22х = 2УХ — С21х — 2ЕО/п.
Проведем нормализацию [2, 11] этой системы, заменив переменные и время их безразмерными аналогами (24). В рассматриваемом случае класс движения аппарата определяется условиями (2), первым и вторым неравенствами (8) для г = 1, 2, ] = 1 и г, = 2 соответственно, а также ограничениями (11) и (17), характерные значения — из (25), где следует заменить С22Х* на УХ*.
Нормализованным аналогом рассматриваемой системы служит система (26), последнее уравнение которой следует заменить уравнением
■ 2 II \ 2 7 -2 Т5 УХ*
выражения для касательных составляющих контактных сил и момента, приложенного к задним колесам аппарата, находятся из (27) после замены
1 И22Х 1 еи22у
Р22х = ~7 ИМ—Р= Р22у = --¡КМ
и + £2и22у \1'и'22х + £2и22у
2
и22х = 2ух - еи21х--и, и22у = уу- а2шг.
П
(40)
Начальные условия для переменных -иХ, уу, И12Х, И21Х в момент попадания на "микст"
берутся равными своим значениям (28), начальное условие для ш определяется равенством ш(0) = шо, шо = Оо/О*.
Проведя вырождение этой системы по малому параметру ц и считая параметр е конечным, получим систему (29), где выражения для правых частей дифференциальных уравнений вычисляются при помощи (27) и (40). С учетом (7) и (10) корнем первых трех конечных уравнений вырожденной системы — аналогом (30) и первого выражения (31) — служит
иих = У'12х = о, и21Х = — ухщп [Ух - - ) + 0(е). (41)
Ко V П /
М{П,П)
п м
Решения шм 1 = Ом 1/О* и им2 = Ом2/О* вырожденной системы по переменной ш отыскиваются из ее последних) консчнохх) уравнения, которое может быть приведено к виду
гп(ш, г]) = -^-к м^ш1>\.г + 0(е2).
Например, при фиксированном п и и21х > 0 значения Ом 1 и Ом2 с погрешностью 0(е2) можно найти графически как абсциссы точек пересечения графика М(О, п) с горизонтальной прямой М(О, п) = 2км^Л/п (рис. 4). Рис. 4
Для доказательства близости решений исходной и вырожденной систем, как и в п. 3, воспользуемся теорией Тихонова Васильевой [2, 11, 12]. Присоединенная система имеет вид
М 2
Ои
13 х
1
ОТ
72/'!./•<• 0* = 1,2),
Й«21х 1 , Л Ош 1 / 2
= 72 (Р21.Т - , -^Г = 72 ( »7) -
ОТ
п
(42)
где значения правых частей вычисляются из (27) и (40). Система (42) описывает движение аппарата на "малых" временах Т ~ Т4. Медленные переменные и уу, и22х, размерные аналоги которых изменяются на временах Т1 и Т2, полагаются постоянными. Координаты ее точек покоя определяются значениями (41) и значениями шмь шм2 — корнями конечных уравнений вырожденной системы. Как и для (33), первые два уравнения системы (42) не связаны с остальными и могут быть исследованы независимо.
Обозначив через Ди^, Ди21х, Дш малые отклонения переменных и^, и12х, ш от точки покоя, разложив выражение для т(ш, п) в ряд Тейлора по Дш с центром в точке ш = ш, где ш = шм 1 пли ш = шм 2:
т(ш, по) = т(ш, по) + Лд ■ Дш + 0(Дш2), Ад = дт(ш, по)/дш|ш=й ,
проведя линеаризацию системы (42) около положения равновесия и отбросив члены О(е), получим систему
ОДи
11ж
1 Ди
ОТ
г1Ли21х
ОТ ОДш
=
11ж
ОДи
12ж
1 Ди
ОТ
=
12ж
(2 + п2г2)
— Ди21х(4 + п2г§)к0 + Дш ■
(43)
ОТ 8г4^х(2 + п2г2
Ди21х ■ 2пк0 + Дш ■ 8-ихп2йд
Ввиду отрицательности множителя при переменных Ди^ж точка покоя системы (42) по переменным и^ = 1, 2) асимптотически устойчива в силу системы первых двух уравнений (43). Для асимптотической устойчивости точки покоя системы двух последних уравнений (42) но первому приближению необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие положительности всех коэффициентов (Х)ответетвующего характеристического полинома, которое обеспечивается при
Ад < 0. (44)
Согласно этому неравенству и рис. 4 положение равновесия ш = шм 1 неустойчиво, положение равновесия ш = шм = шм2 асимптотически устойчиво по первому приближению.
При выполнении (44) точка покоя присоединенной системы устойчивый узел или фокус на фазовой плоскости И21х, ш; в силу грубости системы (42) ее точка покоя асимптотически устойчива по первому приближению и для аналога системы (43), учитывающего члены О(е). Доказательство неограниченности области влияния точки покоя проводится по аналогии с доказательством в п. 3.
Поправки к начальным условиям по медленным переменным уу, даются формулами (35), для вычисления последней из которых следует перейти к первой формуле (36), где с учетом (27) и (42) имеем
о («4ш 2 \
Р22х ~Р21х = ~2-Г — + '2"21 г • ОТ у П^з у
Таким образом,
0) = -цЩ- (и21х(оо) + ^w(oo) - (и21х(0) + . (45)
Согласно (15), (28), (41) и (44) значениями продольной составляющей скорости точки контакта левого заднего колеса и угловой скорости выходного вала двигателя в начале и в конце переходного процесса служат
и2\х(0) = u2ix(oo) = ^-v0sgn(v0, w(0) = wo, wo = ^o/Q*, w(oo) = wM-
£ k0 V n /
Окончательная форма выражения (45) в размерных переменных имеет вид
n'U(0)=2"f te)2 -iv° - £ПИ(!i» - Ч ■ (46)
Поправка угловой скорости корпуса, вычисленная по формуле (46) для параметров автомобиля из работы [1], является величиной 10-2 рад/с, что на порядок больше поправки (38) для случая п. 3, когда все колеса аппарата сохраняют сцепление с опорной плоскостью. Для более легких и быстроходных колесных аппаратов эта поправка может быть больше.
Проведенное исследование показало, что в случае сильного разнесения (18) постоянных времени T2, T4 и малости областей контакта колес аппарата с опорной плоскостью при построении выражений (38) и (46) можно не учитывать возвращающие моменты в областях контакта колес, не теряющих сцепление с опорной плоскостью [15-17], и моменты трения верчения в областях контакта скользящих колес [18], поскольку они зависят от медленных переменных и соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новожилов И.В., Павлов И. С1., Фрольцов В. А. О поведении автомобиля на "миксте" // Изв. РАН. Мехаи. твердого тела. 2001. № 3. 61-67.
2. Влахова A.B. Математические модели движения колесных аппаратов. М.; Ижевск: AHO "Ижевский институт компьютерных исследований", 2014.
3. Влахова A.B., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при "блокировке" и "пробуксовке" одного из колес // Фунд. и прикл. матем. 2005. 11, вып. 7. 11-20.
4. Влахова A.B., Новожилов И.В., Смирнов H.A. Математическое моделирование заноса автомобиля // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 44-50.
5. Влахова A.B., Новодерова А.П. О влиянии моментов трения верчения на занос колесного аппарата // Фунд. и прикл. матем. 2018. 22, вып. 2. 117-132.
6. Влахова A.B. О реализации связей в задачах качения колесного аппарата // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2013. № 3. 22-39.
7. Смирнов Г.А. Теория движения колесных машин. М.: Машиностроение, 1990.
8. Рокар И. Неустойчивость в механике. М.: ИЛ, 1959.
9. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2006.
10. Новожилов H.B., Кручинин П.А., Магомедов M.X. Контактные силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью // Сб. научно-методических статей. Вып. 23. М.: Изд-во МГУ, 2000. 86-95.
11. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.
12. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
13. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. 14, № 5. 245-251.
14. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959.
15. Кручинин П.А. Сухое трение в модели качения деформируемого колеса // Сб. научно-методических статей. Вып. 30. М.: Изд-во МГУ, 2017. 139-147.
16. Кручинин П.А., Ласкин A.A. Стационарные режимы движения статически неустойчивого робота с двумя соосными деформируемыми колесами // Фунд. и прикл. матем. 2018. 22, вып. 2. 181-193.
17. Кручинин H.A., Ласкин A.A. О моделях качения деформируемого колеса при описании движения роботизированных платформ / / VII Всерос. совещание-семинар заведующих кафедрами и преподавателей теоретической механики, робототехники, мехатроники вузов Российской Федерации: Мат-лы совещания / Под ред. В.А. Самсонова. Махачкала: Изд. центр "Мастер", 2016. 62-65.
18. Андропов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.; Ижевск: Ин-т космич. исслед., НИЦ "РХД", 2010.
Поступила в редакцию 06.03.2019
УДК 531.01
О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕЩАЮЩИМСЯ ВНУТРЕННИМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ
Е. И. Кугушев1, Т. В. Попова2, С. В. Сазонов3
Рассматривается система, состоящая из платформы, движущейся поступательно вдоль неподвижной прямой при наличии сил вязкого трения, и тела, совершающего относительно платформы за счет внутренних сил заданное поступательное движение вдоль той же прямой. В относительном движении величина скорости тела ограничена. Доказывается, что в случае линейного вязкого трения неограниченное смещение платформы в какую-либо сторону невозможно. В общем случае при некоторых условиях на силу вязкого трения величина скорости платформы ограничена. При этом если смещение платформы в какую-либо сторону, например вправо, не ограничено, то с ростом времени величина скорости платформы меняет свой знак бесконечное число раз, а общее время движения платформы влево и пройденный при этом путь стремятся к бесконечности.
Ключевые слова: вязкое трение, подвижная внутренняя масса, неограниченное перемещение.
We consider a system consisting of a translationally moving platform along a fixed line with viscous friction and a body committing a given translational motion relatively to the platform due to internal forces along the same line. In relative motion the value of the body velocity is limited. It is proved that, in the case of linear viscous friction, the unlimited displacement of the platform in any direction is impossible. In the general case under certain conditions imposed on the force of viscous friction, the velocity of the platform is limited. At the same time, if the displacement of the platform in any direction, for example to the right, is unlimited, then with the growth of time the value of the platform velocity changes its sign infinite number of times, and the total time of platform motion to the left and the path passed at the same time tend to infinity.
Key words: viscous friction, moving internal mass, unlimited movement.
1. Введение. Работа посвящена задаче перемещения в пространстве механических устройств за счет движения внутренних масс, обеспечиваемого внутренними силами. Такие перемещения могут стать возможными при наличии внешних сил трения. Устройства с подобного рода движителями представляют интерес при конструировании робототехнических систем, предназначенных для работ в агрессивных или опасных для людей средах. Первый вопрос, который приходится решать при разработке таких движителей, — это возможность или невозможность неограниченного перемещения устройства в пространстве. В работах [1-3] рассматривалась задача о движении в идеальной
1 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushevQkeldysh.ru.
2 Попова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: t.shahovaQyandex.ru.
3 Сазонов Сергей Вячеславович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ssazonovs.vQgmail.com.
Kugushev Evyenii Ivanovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
Popova Tatiana Valentinovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
Sazonov Sergey Vyacheslavovich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theoretical Mechanics and Mechatronics.
