Автоколебания в процессе торможения автомобиля Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Механика

УДК 531.391

АВТОКОЛЕБАНИЯ В ПРОЦЕССЕ ТОРМОЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ

В. Г. Вильке1, И. Л. Шаповалов2

Рассматривается движение автомобиля после блокировки колес, скольжение которых по дороге описывается моделью нелинейного вязкого трения с падающим участком характеристики. Используемая модель трения аппроксимирует модель сухого трения, когда трение покоя превосходит трение скольжения. В этом случае на некоторых этапах торможения автомобиля при соответствующих начальных условиях движения в системе наблюдаются автоколебания колес, которые порождают периодически изменяющуюся тангенциальную нагрузку на полотно дороги, что может служить причиной возникновения на ней волнообразного рельефа. Волнообразный рельеф чаще наблюдается на грунтовых дорогах в местах перед поворотами, где происходит интенсивное торможение. Исследование характера движения механической системы иллюстрируется числовыми примерами для уравнений Лагранжа второго рода и для уравнений, полученных методом усреднения канонических уравнений в переменных действие—угол.

Ключевые слова: модель автомобиля с подвеской, модель нелинейного вязкого трения, автоколебания в процессе торможения автомобиля.

Motion of the automobile after blocking wheels whose sliding on a road is described by a model of nonlinear viscous friction with a falling segment of the characteristic is considered.

The used model of friction approximates a model of dry friction when the friction of rest surpasses the sliding friction. In this case, the self-oscillations of wheels are observed at some stages of braking of the automobile under the appropriate initial conditions of motion. These self-oscillations generate a periodically varied tangential loading on a roadbed, which may cause the appearance of a wavy relief on the road. Such a wavy relief is most often observed on soil roads at the turns during the intensive braking process. The study of the character of motion is illustrated by numerical examples for the Lagrange equations of the second kind and for the equations derived by a method of averaging the canonical equations written in the action-angle variables.

Key words: model of the automobile with a suspension bracket, model of nonlinear viscous friction, self-oscillation during braking the automobile.

Автоколебания в механических системах изучались, например, в работах [1-3]. Различаются случаи “жесткого” и “мягкого” возбуждения автоколебаний. В первом случае для возникновения автоколебательного режима необходимо выбрать начальные условия движения в области притяжения предельного цикла, описывающего автоколебательный процесс. Во втором случае устойчивые автоколебания возникают при почти всех начальных условиях движения. В настоящей работе условия возникновения “мягкого” возбуждения автоколебаний появляются в процессе торможения автомобиля, когда скорость скольжения заблокированных колес попадает в область, характеризуемую увеличением силы трения при уменьшении скорости скольжения.

1. Модель автомобиля и удар в момент блокировки колес. Рассмотрим процесс торможения автомобиля с заблокированными колесами (рис. 1). Корпус автомобиля с центром масс C соединен с колесами пружинами и демпферами. Движение автомобиля рассматривается в плоскости OX1X3. Корпус автомобиля поворачивается вокруг оси CX2 на угол <р. Пусть движения двух передних колес одинаковы, что позволяет их заменить одним колесом с удвоенной массой 2т и удвоенным моментом инерции 2 Д. Аналогичное утверждение справедливо для задних колес. Система координат CX1X2X3 связана с корпусом автомобиля. Пусть Xi, X3 — координаты центра масс корпуса автомобиля. Радиусы-векторы центров колес представим в виде

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат., проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.mQmail.ru.

2 Шаповалов Иван Леонидович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nazarovich 90Qmail.ru.

Кг = ХгEi + X3Ез + Т2(у) [(-(-1)гl + &)ei - (d + Vi)e3], Г2(<р)

/ cosу 0 sinу\

0 1 0

\ — sin у 0 cos у)

Здесь Е^ Е3 — орты системы координат 0Х1Х3; ei, е3 — орты системы координат Cxix2x3] Си Vu i = 1, 2, — соответственно продольные и поперечные перемещения центров колес относительно корпуса. Колеса автомобиля заблокированы, и их угловая скорость относительно корпуса автомобиля равна нулю. Справедливы равенства

(R Е3) = Х3 + (Г2(у)[(-(-1)гl + &)ei - (d + пг^], Е3)

а,

или

Х3 - ((-1)г1 + Сг) sin у - (d + пг) cos у = a, i = 1,2, (1)

где а — радиус колеса. Соотношения (1) суть голономные связи, наложенные на перемещения точек механической системы. Система имеет пять степеней свободы. В качестве обобщенных координат примем q = (Хг ,Х3, у, С ,С2), а координаты пь П2 определим согласно равенствам (1). Далее найдем

хг = (Ri, Ег) = Хг + (Г2(у)[(-(-1)гl + Сг) ei - (d + пг) е3], ЕД =

= Хг - ((-1)гl + Сг) cos у - (d + nг)sin у,

откуда

Xг = Хi - ((-1)гl + Сг) у sin у + Сг cos у - (d + пг)у cos у - Пг sin у = Хi + Сг - d у;

ьг = Хг - ау = Хi + Сг - di у; i =1,2; di = d + а.

(2)

Здесь хг, ьг — координаты центров колес и скорости точек контакта колес с дорогой Ki и K2 соответственно. Приближенные равенства в соотношениях (2) соответствуют задаче о малых колебаниях, когда

переменные у, у, Си Си пи пг являются малыми величинами.

Кинетическую энергию системы представим в виде

Т = У(У+А'?) + *±.4J‘ ^

м.

У

■ у2+ m(x2+x2).

Здесь М, Jo — масса и момент инерции корпуса автомобиля относительно его центра масс.

Потенциальная энергия представляется выражением

П = МдХ3 + ci(С2 + Сг) + с2 [(ш - по)2 + (т - по)2]-.

где ci, С2 — продольная и вертикальная жесткости подвески автомобиля для каждого колеса (ci ^ сД, по — постоянная. Вертикальные перемещения колес пь п2 вызывают сжатие пружин передней или задней подвески, а их изменение приводит к возникновению демпфирующих сил. Продольные перемещения Съ С2 порождают упругие силы деформаций элементов подвески с большим коэффициентом жесткости. Будем считать, что характеристики передней и задней подвесок автомобиля одинаковы.

Получим уравнения движения автомобиля в рамках теории малых колебаний. Согласно (1), (2) имеем пг = Х3 - (—1)гl у - d - а, где d + а = di — координата центра масс корпуса автомобиля, когда он находится в состоянии покоя, а вертикальные пружины подвески сжаты. Представим функцию Лагранжа, соответствующую малым колебаниям, в виде

L

М

У

(X2+X32) +

Jo + 4 Ji

2

2

у2 + m

г=i

[Хi - dtp + Сг]2 -

-MgX3 — + £|) — 2c2

X3

di —

Мд

4 С2

2

+l2 р2

(3)

Найдем обобщенные силы, действующие на систему в процессе торможения автомобиля. Силв1 нелинейного вязкого трения Fi, F2, приложенные к системе в четырех точках контакта, и диссипативные силы, возникающие в амортизаторах, совершают работу на возможных перемещениях

S A = 2Fi (SXi + S£i — di Sp) + 2 F2 (S Xi + £6 — di Sp) — 4 х(ХХз SX3 + l2p S<p),

где x — коэффициент, характеризующий диссипативные свойства амортизатора подвески колеса автомобиля. Далее получим выражения для обобщенных сил

QiX = 2Fi + 2F2, Q<p = —2(Fi + F2) di — 4xl<2 p, Q3X = — 4XX3, Qii = 2Fi, Q2£ = 2F2 ■

Уравнения Лагранжа второго рода запишем в виде

MoX — 4 mdp + 2m(£i + £i) = 2(Fi + F2);

M X3 + 4 xX3 + 4 С2 (X3 — di) = 0;

Iop — 2md(2Xi + £i + £2) +4С2 l2 p = —2 (Fi + F2)di — 4xl2p; (4)

m(Xi — d<p + £i) + ci = Fi, i = 1, 2;

M0 = M +4 m, I0 = J0 +4 Ji +4 md2 ■

Из второго уравнения системы (4) следует, что X3 (t) = di, посколвку началвные условия движения до и после момента блокировки колес соответственно имеют вид X3 (0) = di, X3(0) = 0. Пуств силы нелинейного вязкого трения определяются соотношениями

Fi = — kNi (vi — giv3 + g2v5), i = 1, 2;

Vi = X i + £ — dip), Ni = No — (—1)i c2lv, No = Mo g/4.

Здесв Ni — величина нормальной реакции в точке контакта с номером i, ^^^^фициент k характеризует свойства трущихся поверхностей шины и дороги. Учитывая малость угла р, примем Ni = N2 = No.

Начальные условия движения для переменных, входящих в уравнения (4), определим, рассматривая момент блокировки колес как приложение внутреннего момента ударного импульса между колесами и корпусом автомобиля в момент времени t = 0. До момента блокировки колес имели место условия Xi(— 0) = р (— 0) = р(— 0) = 0 Xi(— 0) = vo, £i(— 0) = £i(— 0) = 0 i = 1,2. Колеса автомобиля вращались со скоростью Q = vo a-i. Пусть точка Co — центр масс системы (корпус автомобиля и четыре колеса) при равномерном движении автомобиля со скоростью vo- Внутренний момент ударного импульса не изменяет величину момента количества движения системы относительно ее центра масс (относительно осей Кёнига), что выражается равенством

4 Ji Q = Ap(+0), A = Jo +4 Ji +4 ml2 + 4mrd2,

или

p(+0) = 4 Ji A-ia-ivo■

Здесь A — момент инерции автомобиля относительно его центра масс, определяемого вектором CCo = — 4 mM-i d e3, a mr = 4 mM Mo-1 — приведенная масса. Таким образом, задается начальное условие р(+0).

Начальные условия для оставшихся переменных таковы: Xi(+0) = р (+0) = 0 Xi(+0) = vo, £i(+0) = £i(+0) = 0 i = 1, 2, в виду отсутствия ударных импульсов в момент блокировки колес.

Заметим, что система уравнений, представленная первым, третьим и четвертым уравнениями в соотношениях (5), симметрична относительно переменных Д, £2- Отсюда следует, что система допускает семейство решений, когда £i(t) = -2(t) = £(t). Для этого семейства справедливы уравнения

Mo Xi — 4mdp + 4m£ = 4F,

Iop — 4md(Xi + £) + 4 c212 p = — 4Fdi — 4x l2p, (6)

m(Xi — dp + £) + ci £ = F.

Введем обозначения V = X i, u = ф, U = ф, w = = {и представим преобразованную

систему уравнений (6) в форме

V = 4 ci M 1 w

u = U, w = W,

J01 = J0/4 + J1 — mdd1,

(7)

J01U + ma(V + W) + xl2 U + c2l2 u + d1c1 w = 0 V + W — dU = — c1m-1w — kN0 m-1(v — g1v3 + g2 v5),

где Joi = Jo/4 + J\ — mdd\. Если коэффициент d1 = а вместе с ним и радиус колеса a = 0, то колебания корпуса автомобиля по углу ф не зависят от изменения осталвных переменных и затухают. Эти условия означают, что центр масс корпуса автомобиля (точка C) расположен в середине отрезка, соединяющего точки K1, K2 — точки контакта колес с дорогой, а радиус колес равен нулю. Конструктивно выполнить эти условия невозможно, но следует стремиться понизить высоту центра масс корпуса автомобиля, чтобы уменьшить колебания корпуса автомобиля по углу ф при его торможении.

График функции G(v) = v — g1 v3 + g2v5, где g1 = 0,004166 m-2 -c2, g2 = 0,000005 м-4 - с4, изображен на рис. 2.

Результаты численного интегрирования системы уравнений (7), полученные с помощью пакета программ Mathematica 5.1, представлены на рис. 3. По осям абсцисс на всех графиках отложено время в секундах. В численных расчетах использованы следующие данные [4]: M = 1500 кг; m = 25 кг; a = 0,3 м; d = 0,7 м; d1 = 1м; l = 2 м; Jq = 2280 кг -м2; J1 = 1,125 кг -м2; J01 = 554 кг -м

2.

-1 „-2.

4c1 M 1 = 263 с 2; c1 m 1 = 3944 с 2; xl2 Jo 1 = 4 с ^ c2 l2J011 = 39,44 с 2; d1 c1J011 = 178 м kN0 m-1 = 20,1 с-1.

Начальные условия движения: V(0) = 25 м щ-1; W(0) = 0 w(0) = —0,001 u(0) = 0 U(0) = 0,1371 с-1.

Как видно из графиков, скорость корпуса автомобиля V(t) стремится к нулю (рис. 3,а). На интервале времени от нуля до 0,4 с колебания переменных w(t) и W(t) на частоте 10 Гц, обусловленные начальными условиями движения, затухают (рис. 3, б и 3, в соответственно). Затем на

интервале времени от 2 до 3,8 с, когда скорости автомобиля в процессе торможения попадает в интервал v Е (10, 20) и производная G(v) < 0, возникают автоколебания колес относителвно корпуса автомобиля (рис. 3,6 и 3,в). Эти автоколебания затухают, когда скорости V(t) становится меньше 10 м-с-1. Перемещения колеса относительно корпус а автомобиля w(t) имеют отрицательные значения (рис. 3,6). Ускорение торможения автомобиля пропорционально функции w(t). Как видно из графика, изображенного на рис. 3, б, в процессе автоколебаний на интервале времени от 2 до 3,8 с торможение автомобиля более эффективно. В дальнейшем, когда скорость проскальзывания v(t) оказывается в интервале от нуля до 10 м/с, автоколебания прекращаются, ускорение торможения уменьшается (рис. 3,6). Затухающие угловые колебания корпуса автомобиля на частоте 1 Гц представлены на рис. 3, г. Процесс затухания угловых колебаний прекращается на интервале времени от 2 до 3,8 с, когда возникают автоколебания. Существенное снижение скорости автомобиля происходит в течение 4 с при начальной скорости 90 км/час.

2. Аналитическое исследование процесса торможения автомобиля. Изучим процесс возникновения автоколебаний при торможении автомобиля, используя метод усреднения и канонические переменные действие-угол. Поскольку колебания корпуса автомобиля по вертикали отделяются от остальных движений в рамках теории малых колебаний, то рассмотрим оставшиеся движения системы, описываемые переменными (X, f, £), X = Xi + 4mM—1 ф. функция Лагранжа (3) и работа неконсервативных сил на возможных перемещениях примут следующий вид:

Lo

M0X2 M0 b2f2 mr£2

+

+

где

, 2 J0 + 4 J1 +4 md2

о = ---

— 4 mdXf — mr d£f — 4 mM

4 c1£2 4 c212tf2

(8)

mr

M0 ’ ""r M0 ’

5 A = 4F (5 X + M M-15£ — d1 5f) — 4 x l2f 5 f,

(9)

где

4F = —kM0gG(v), v = X + MM-1 £ — d1 f.

Рассмотрим случай d = 0 d1 = a. Тогда кинетическая энергия в формуле (8) принимает канонический вид. В этом случае центр масс корпуса автомобиля в состоянии покоя лежит на середине отрезка, соединяющего центры колес. Обобщенные импульсы определяются формулами [5]

Рх

дЬ0

дХ

Mo X, pv

9L° ЛЛ г2 • dL0 i

M0b f, p% = = тгф,

df

дф

а функция Гамильтона имеет вид

Н = JL +

Р%

2 M0 2 M0 b2 2 m

+ _Pf_ + 4ci{2 + 4c2 l2 f2

2

2

2

2

2

2

2

Перейдем к каноническим переменным действие-угол Д, фц Д5 Ф2 согласно равенствам [5]

/------- / Д о

Pz = у2тг Д ш\ cos ф\, ф = \j sin фь

pv = \/2М0Ь2 12ш2 cos ф2, р = \J2^р sin t^2'’ W2 и представим гамильтониан системы в новых переменных в виде

р2

К(рх, Д, Д, ф\, ф2) = у + uih + 0J2 Д •

4 ci

mr ’

4 с2 I2 Mpb2

Определим обобщенные силы, используя выражение (9) для работы сил на возможных перемещениях:

5 A = 4F

5 X + MM,

-1

611 + ё-5Фг)-а(^612 + Р^6ф2

д Д

дф1

д12

дф2

- 4хI2\J2M0 1Ъ~212ш2 cos ф2(^^-512

df

+ тг^5ф2),

дф2

откуда получим

„ , „ „ 4F М Гш1 . 4FM IiLUi

Qx = 4 F, ЯФ1 = —

Qi2 = - ^4 aF + 4% l2 \J 2Мф1Ъ~212 oj2 cos ф2^ ]J8(^pj2 sin V+

Яф2 = - ^4aF + 4x/2^/2M0_16-2/2w2cos ф2^ \jcos ф2.

Скорость скольжения точки контакта колеса по дороге равна

v = a0 + ai cos Ф1 + a2 cos ф2,

(10)

где

ao = pxM0 *, ai = MM0 1\j2mr 11\Ш\, d2 = —d \J2M0 1 b~212w2 .

Канонические уравнения Гамильтона с учетом обобщенных сил (10) представляются в форме (5] дН

+ Qx = Qx, X = ГйГ = XT’

(11)

Px = -

it = —

дХ

дН

дфк

+ Qx = Qx , x - dH dpx Px ~ Mo

+ QФk = QФk, • дН Фк~ д!к — Qik

к =1, 2.

k >

Применим для анализа поведения решений системы уравнений (11) метод усреднения, полагая частоты невозмущенных колебаний Ш2 независимыми. Операция усреднения означает вычисле-

ние средних величин 2л-периодических по переменным ф\, Ф2 функций

2 п 2 п

(f('Px,h,h, ФъФч)) = j j f(Px,h,h, фьф2)#1#2-

о о

Эволюция движения в рассматриваемой задаче описывается усредненными уравнениями для переменных действия px, Д, i2. Сохраняя обозначения переменных, запишем усредненные уравнения в виде

pX {Qx) , ik {Qф k) , к 1, 2.

Будем считать, что невозмущенное движение системы представляется равномерным движением центра масс системы и незатухающими гармоническими колебаниями по переменной £ на частоте и переменной ф на частоте Ш2- Невозмущенное движение имеет место, если выполняются условия F = х = 0.

В результате усреднения по “быстрым” переменным ф\, Ф2 получим

{Qx) = — kMogao Go^0^1, Z2)/8, {Яф1) = —

dk Mg

к Mg Ihuii

16 V ~2ci

■ a1 G1(Z0, Z1, Z2),

^ф2) =

hUJ2 d2G\{Zo, Z2, Zi)-тЙ/2,

16 V 2 C212 v J Mob2

Go(Zo, Zi, Z2) =8 — gi(8Zo + 12Zi + 12Z2) +

+ g2(8Z0 + 40ZoZi + 4OZ0Z2 + 15Z2 + 15Z| + 60Zi Z2), Gi(Zo, Zi, Z2) = 8 — gi(24Zo +6Zi + 12Z2) +

+ g2(40 Zq + 60Zo Zi + 120 Zo Z2 + 5 Z2 + 30 Zi Z2 + 15Z|), где Zj = a2, j = 0, 1, 2. Усредненные уравнения движения представим в форме

Zq —-----j- ZqGq(Zq, Z\, Z2),

Z2 = —

4

a2k g 8 b2

Zi = -1^-ZlGl(Zo, Zb Z2),

Z2 Gi(Zq, Z2, Zi) —

4x l2

Jo + 4 Ji

32 m Z2.

Согласно числовым данным, приведенным в п. 1, имеем

= 0,314 с-1, 4

kMg

a2 k g

= 0,009896 с

-1

32 m 4 Xl2

= 2,355 c

-1

8b2 1 Jo + 4Ji

Начальные условия движения:

= 3,88 с

-i

Zo(0) = 625 м2 • с“2, Zi(0) = 0,01435 м2 • с

2 „—2

2

,-2

0,

Zk(t) =

об изменении

(12) обладают k = 0,1, 2, со-

механическои

Z2(0) = 0,003378 м

Все решения уравнений свойством lim

t

гласно теореме энергии

d

— (Т + П) = -kM0g(v2 -giv4+g2v6)-

-4xl2ф2 < 0. (13)

Неравенство (13) выражает диссипативные свойства нелинейного вязкого трения. Система дифференциальных уравнений (12) опи-свтает переходный процесс, в ходе которого могут возникатв автоколебания.

Графики решений, полученные с помощью пакета программ Mathematica 5.1, представлены на рис. 4. Процесс торможения показан на рис. 4, а. Ординаты графика на рис 4, б пропорциональны амплитуде колебаний по переменной £. Очевидно, что на интервале времени (2 с, 4 с) наблюдается возрастание амплитуды колебаний, что свидетельствует о возникновении автоколебаний. В дальнейшем при снижении скорости автомобиля автоколебания пропадают. Заметим, что в усредненном варианте начальное значение переменной Zi должно быть положительным.

В противном случае переменная Zi(t) = 0 в силу усредненных уравнений движения. Как следует из рис. 4, в, угол ф, характеризующий поворот корпуса автомобиля, монотонно убывает и практически не реагирует на возникновение автоколебательного режима.

Автоколебания блокированных колес порождают тангенциальные силы периодического характера, действующие на материал дороги, по которой движется автомобиль. В результате пластических деформаций поверхность дороги приобретает волнообразный характер в областях интенсивного торможения автомобилей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 13-01-00184, 12-01-00536, 1208-00637) и Федеральной целевой программы RFMEFI 57714X0079.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

2. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Либроком, 2010.

3. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

4. Тарасик В.П. Теория движения автомобилей. СПб.: БХВ-Петербург, 2006.

5. Вильке В.Г. Теоретическая механика. 3-е изд. СПб.: Лань, 2003.

Поступила в редакцию 19.02.2014