ЗАМЕЧАНИЯ О ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНАХ В СРЕДЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ε И µ. II Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 524.3.78:533.9.01

ЗАМЕЧАНИЯ О ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНАХ В СРЕДЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ е И д. II

Ю. К. Хохлов

Продолжается рассмотрение вопроса о возможности существования однородных изотропных сред с одновременно отрицательными электрической и магнитной прони-цаемостями. Показано, что полученный ранее отрицательный ответ сохраняется и при более строгом учете частотной дисперсии. В порядке обсуждения предлагается некоторое изменение системы уравнений Максвелла в диспергирующей среде.

Ключевые слова: электромагнитные волны, отрицательные проницаемости, плотность энергии.

В электродинамике сплошных сред существует актуальное направление, основанное на предположении о возможности т.н. паранормальных сред. При некоторых значениях частоты колебаний электромагнитного поля ш, электрическая и магнитная проницаемости такой среды е(ш) и д(ш) имеют отрицательные значения. О современном состоянии данного направления можно судить по работам [1-7].

Для теоретического исследования указанной проблемы особенно удобна однородная изотропная среда, которая и фигурирует во многих работах, в том числе и в нашей предыдущей работе [8].

В настоящей работе мы пытаемся усилить аргументацию работы [8] и при этом обнаруживаем возможность избежать внутреннего противоречия, послужившего в [8] поводом для критики всего направления.

Введем ортогональную систему координат х, у, г с ортами в!, е2, е3 = в! х е2. Будем рассматривать поля Е = в\Е(г,£), Н = е2Н(г,£), подчиняющиеся уравнениям Максвелла

£ + едг Н = 0, В + едг Е = 0. (1)

Умножая уравнения (1) на Е и Н и складывая результаты, получим уравнение ИЯИ РАН, 117312 Россия, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а.

непрерывности

ED + HB + cdz (EH ) = 0. (2)

Уравнения (1) дополняются т.н. материальными уравнениями для D и B. Следуя [9], стр. 369, напишем

сю

D(t) = J dTf (T)E(t — T). (3)

0

Функция f (T) определяется средой.

Для подстановки в (3) изберем E(t — T) = cos(p + uT) = cos uT • cos p — sin uT • sin p, p = kz — ut. Тогда (3) примет вид

D(t) = ^e(u) + £o(u)dpp^j cos p, (4)

где

сю сю

e(u) = J dTf (T) cos uT, e0(u) = J dTf (T) sinuT. 00 К такому же результату приводит подстановка E(t — T) = sin(p + uT).

Формулы для магнитного поля отличаются от таковых для электрического поля заменами е и f (T) на ^ и g(T). В частности

B(t) = ^u(u) + ^o(u)ддР^ cos p. (5)

Подстановка

col(E, H) = col(E0, H0) exp(ikz — iut) с учетом (4) и (5) приводит систему (1) к виду

(е + ie0)uE0 — ckH0 = 0,

(^ + i^0)uH0 — ckE0 = 0. (6)

Условие совместности системы (6) гласит:

c2k2 = (е + ie0)(^ + i^0 )u2.

В прозрачной среде величины е0 и ^0 пренебрежимо малы, следовательно, можно написать c2k2 = e(u)^(u)u2 и

ck = un(u), n(u) = e(u)^(u). (7)

В паранормальной среде n, а следовательно и k, отрицательны.

Формула (7) возвращает нас к тому, с чего мы начали в [8]:

D(t) = е(ш)Е (t), B (t) = (t).

Понятие "групповая скорость" может быть введено на примере суммы двух плоских монохроматических волн с близкими частотами ш1 = ш + 5ш и ш2 = ш — 5ш (см. также [10], стр. 40).

Пишем:

= ф + ф2 = ф — cos + cos ф2 =

= 2 cos ■ cos p = 2 cos(z5k — t5u) cos(kz — шЬ). (8)

Амплитуда суммарной волны распространяется со скоростью 5ш/5к, весьма близкой к групповой скорости VG = дьш/ёк. В пределе 5ш ^ 0 обе волны сливаются в одну монохроматическую волну с частотой ш и фазовой скоростью Vp = ш/к. Что касается групповой скорости, то она не обращается в нуль и не теряет смысл, несмотря на то, что никакой группы уже нет. Возникшую ситуацию можно понять следующим образом: при наличии частотной дисперсии в строго монохроматической волне скорость движения энергии равна групповой. Это позволяет работать с отдельными монохроматическими волнами, не теряя возможность принимать во внимание реальное существование групповой скорости.

Обратимся к вопросу о плотности энергии. Функция (8) является произведением двух волновых функций, из которых вторая представляет собой монохроматическую волну с фазовой скоростью VP = ш/к = c/n, где n = /еЦ. О подобной ситуации в [9] на стр. 403 сказано, что данная скорость "не соответствует скорости реального физического распространения какой бы то ни было величины". Это означает, что за распространение энергии целиком ответственна первая из написанных функций, распространяющаяся с групповой скоростью VG = dш/dk = c/n', где n' = n + шйп/йш1. В таком случае для плотности энергии W мы можем написать

W = S/Vg, (9)

где S = cEH/4п - вектор Пойнтинга.

Величина (9) существенно положительна. Это устраняет критическое замечание, сделанное в [8] по отношению ко всей концепции паранормальной среды. Вместе с тем,

Результат дифференцирования по ш формулы (7).

результат (9) заметно отличается от общепринятого результата Бриллюэна

W = (е'Ё2 + i'H2) , (10)

в котором величины е' и | определены аналогично и'.

В (9) величины е' и отсутствуют, что свидетельствует о принципиальном различии между (9) и (10). Присутствие в (10) операции усреднения лишь увеличивает это различие.

Для облегчения восприятия напомним знаки используемых величин в случае паранормальной среды: k < 0, и < 0, и' > 0, S > 0, W > 0.

Какой вид имеет система дифференциальных уравнений, для которой формула (9) является точным следствием? Мы можем предложить для обсуждения по крайней мере один ответ, который получается из системы

еЁ + cdzH = 0, iH + cdzЁ = 0 (11)

(см. также (1)), путем замен

е ^ е' = (и'/и))е = и'л/е/ï, i ^ i' = (n'/n)| = и'\Ji/е.

Новая система свободна от внутренних противоречий. При Аи/Аи ^ 0 она возвращается к виду (11). При отрицательных "затравочных" параметрах е и | эффективные параметры е' и как не трудно заметить, остаются положительными.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Л. И. Мандельштам, Полное собрание трудов, Т. 5 (М., Изд-во АН СССР, 1950).

[2] В. Е. Пафомов, ЖЭТФ 30, 761 (1956).

[3] В. Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).

[4] В. П. Макаров, А. А. Рухадзе, УФН 181, № 12, 1357 (2011).

[5] В. М. Агранович, Ю. Н. Гартштейн, УФН 176, № 10, 1051 (2006).

[6] С. Г. Раутиан, УФН 178, № 10, 1017 (2008).

[7] В. П. Макаров, А. А. Рухадзе, ЖЭТФ 130, вып. 3(9), 409 (2006).

[8] Ю. К. Хохлов, Краткие сообщения по физике ФИАН 40(7), 6 (2013).

[9] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (М., Наука, 1982). [10] В. П. Силин, А. А. Рухадзе, Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподоб-

ных сред (М., ЛИБРОКОМ, 2012).

Поступила в редакцию 1 апреля 2015 г.