Замечания о электромагнитных волнах в среде с отрицательными е и // Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 524.3.78:533.9.01

ЗАМЕЧАНИЯ О ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНАХ В СРЕДЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ е И д

К). К. Хохлов

Рассматривается вопрос о толь, допускают ли основные законы электродинамики существование веществ с отрицательными е и д. Препятствием этому является, отрицательность плотности энергии волн, Ш, в теории таких сред. Показа,но, что попытка, изменить знак Ш только ухудшает ситуацию, поскольку приводит к конфликту знаков в уравнении непрерывности.

Ключевые слова: электромагнитные волны, отрицательные проницаемости.

За последние годы в научной литературе накопилось значительное количество работ. посвященных электродинамике гипотетической среды, характеризующейся отрицательными проницаемостями е и д. Подробное представление о современном состоянии данной тематики можно получить из работы [1].

В настоящих заметках заново рассматриваются некоторые, относящиеся к данной теме, вопросы, начиная с основ.

Из четырех уравнений Максвелла нам потребуются следующие два:

едгЕ - гоШ = 0, ДдгН + п^Е = 0. (1)

Здесь с = 1, дг = д/дЬ. Учет написанных уравнений в тождестве

ЕгоШ - Нп^Е = у(Е х И),

приводит к уравнению непрерывности

—дЛЕеЕ + ИДИ) = --Цпт(Е х И). (2)

8п 4п

Электромагнитное поле вещественно. Это экспериментальный факт, который нельзя игнорировать. Из него вытекает требование вещественности ей Д. Действуя на монохроматическую волну, характеризующуюся частотой ^операторы е, Д трансформируются в численные функции е(^), д(ш).

ИЯИ РАН, 117312 Россия, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а.

Чтобы подготовиться к случаю отрицательных проницаемостей, совершим замены £ ^ № ^ гДе 1 = ±1 Новые е и ^ будут неизменно положительны; значение 7 = —1 соответствует т.н. левой (паранормальной) среде. Кроме того, введем поля ЕЕ = ^/£ё, Н = ^/^Н1. В итоге система (1) примет вид

пДЁ — 7Г0Ш = 0, пдН + 7кЛЁ = 0, п = л/е^. (3)

Введем в рассмотрение плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в однородной изотропной среде:

Ё(г,Ь) = Ео ехеУ, Н(г,Ь) = Щеу еУ, у = К г — шЬ.

Здесь ех, еу, ех - орты правой системы координат; ш - положительная веще-

Ео Но

КОНСТ&НТЫ.

Тогда

шпЕ0 — Н0 = 0, шпН0 — Е0 = 0. (4)

Система (4) совместна при к"1 = ш2п2, следовательно кх = ±шп. Случаи 7 =1и 7 = —1 будем рассматривать раздельно. В первом случае система (4) имеет вид

шпЕ0 — кг Н0 = 0, шпН0 — кг Е0 = 0, (5)

из которого непосредственно видно, что при кх > 0 Е0 = Н0, при кх < 0 Е0 = —Н0. (Следовательно, всегда можно положить \Е0\ = \Н0\ = 1).

Если представить величины, с которыми мы работаем, в виде списка (Е0, Н0, кг),

то соответствующие списки допустимых комбинаций знаков этих величин будут иметь

(+ + +), (—— +), (+ — —), (— + —).

Это правые решения (число минусов в каждом списке четно). В случае 7 = — 1 система (4) имеет вид

шпЕ0 + кг Н0 = 0, шпН0 + кг Е0 = 0, (6)

из которого следует, что при кх > 0 Е0 = — Н0, при кх < 0 Е0 = Н0. Соответствующие списки знаков имеют вид

(+ — +), (— + +), (+ + —), (---).

1Эти поля назовем приведенны м и. Они достаточно интересны сами по себе, но их обсуждение

выходит за рамки настоящей публикации.

Это левые решения (число минусов в каждом списке нечетно).

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы рассмотреть уравнение непрерывности (2). записав его в данном частном случае как

dt W = -dz (EH )/4п, (7)

W = 7 (eE2 + /Н 2)/8п. (8)

Напомним, что ей / неизменно положительны, следовательно в левой среде, где 7 = — 1, плотность энергии (8) получается несомненно отрицательной. Подобный результат

W

другое выражение, отличающееся от (8) заменами

7е ^ е = дш(7eu)/du, 7/ ^ / = дш(7/ш)/дш2 (9)

Новые проницаемости, ё и Д, преимущественно положительны, что вроде бы и требуется. Однако выражение (8) получается из уравнений Максвелла тождественным путем. Проницаемости 7е и 7/ в (8) - это в точности те же проницаемости, что и в (3). Вследствие этого внедрение проницаемостей (9) следует начинать с уравнений Максвелла. Но тогда новые положительные проницаемости окажутся во всех уравнениях, т.е. мы попросту вернемся в правую среду. Если же последовать примеру В. Веселаго, т.е. заменить проницаемости только в уравнении непрерывности (7), то в этом уравнении возникнет конфликт знаков: левая часть изменит знак, правая нет.

Любопытно, что в книге [3] данный вопрос решается несколько иначе: не путем замены, но путем усреднения.

Понять ход рассуждений авторов [3] весьма трудно. Значительно легче самостоятельно рассмотреть какой-либо конкретный пример. Пусть это будет случай (+ +—), тогда

11 7

E = sin р, Н =-sin р, kz = —Шл/ё/, W =—sin2(kz z — ut). (10)

\Je ^ 4n

Благодаря множителю 7 = —1 выражение (10) отрицательно всюду, поэтому никакие усреднения не могут сделать его положительным.

Тем не менее, уравнения Максвелла в версии (1) формально допускают совместное существование отрицательных электрической и магнитной проницаемостей (в тексте это 7е и 7/).

2Сравните с [3], §§ 80, 83.

Что касается отрицательной Ш, то можно сказать следующее. Плотность потока какой оы то ни было материальной субстанции обычно связана с ее плотностью р формулой ] = р • V, оде V - скорость. Поскольку в нашем случае р = Ш < 0, то для ] > 0 необходимо V < 0. Это трудно себе представить. По-видимому, это свидетельствует о необходимости построить более детальное теоретическое описание рассматриваемых явлений.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В. П. Макаров. А. А. Рухадзе. А. А. Самохин. Прикладная физика. Л"2 4. 19 (2009).

[2] В. Г. Веселаго, УФН 92, вып. 3, 517 (1967).

[3] Л. Д. Ландау. Е. М. Лифтпиц. Электродинамика сплошных сред (М.. Наука. 1982).

Поступила в редакцию 5 декабря 2012 г.