CC BY
14
УДК 538.9; 538.955-405; 535.3; 537.87; 621.371
ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ И ПОТОК ЭНЕРГИИ В БИГИРОТРОПНОЙ ЛЕВОЙ СРЕДЕ
А. В. Иванов, О. А. Котельникова, А. В. Ведяев, В. А. Иванов
(.кафедра магнетизма) E-mail: [email protected]
Впервые рассматривается периодическая бигиротропная левая среда с одноосной анизотропией. Рассчитан угол вращения плоскости поляризации электромагнитной волны, гармонически изменяющийся вдоль ее распространения. Когда волновой вектор стремится к -к/а (а — постоянная решетки левого материала), увеличивается взаимодействие электромагнитной волны с резонансными частотами решетки и угол поворота плоскости поляризации возрастает. Для однородной бигиротропной левой среды получен вектор Умова-Пойнтинга (в отсутствие поглощения он сонаправлен групповой скорости), который при малой гиротропии противонаправлен фазовой скорости.
Метаматериал — это периодическая система из микроструктурных элементов различной формы (диски, кольца, полосы и др.), подобранных так, чтобы материал проявлял заданные физические свойства. Направленное на него коротковолновое излучение вызывает вторичную резонансную электромагнитную волну, и в результате может возникнуть эффект, при котором электромагнитная волна распространяется в одну сторону, а индуцированное поле — в другую. Такие метаматериалы относят к левым материалам, которым в последнее время уделяется все большее внимание [1-4]. Их именуют также материалами (средами) с отрицательной фазовой скоростью, материалами (средами) с отрицательным коэффициентом (индексом) преломления п = < 0 (на границе правой и левой среды), обратными средами, дважды отрицательными средами (и диэлектрическая, и магнитная проницаемости отрицательны), средами с обратной волной. О возможности существования сред, в которых групповая скорость может быть отрицательной, задумывались еще около сотни лет назад. Так, в 1904 г. X. Лэмб предложил гидродинамические модели, где для определенных областей частот фазовая и групповая скорости волн направлены навстречу друг другу [5]. В дальнейшем А. Шустер в своей монографии применил эти идеи к электромагнитным волнам в оптической области спектра [6]. В самом деле, из уравнений Максвелла в картине ЕБНВ [7], справедливой в области микроволн, для плоской монохроматической волны с напряженно-стями электрического и магнитного полей Е и Н ехр{1(кг — шЩ) следует, что для е,р<0 векторы к, Е и Н образуют левую тройку векторов — {к,Н,Е} [8]. Для более коротких волн магнитная поляризация теряет физическое значение [9]
и следует пользоваться картиной ЕВБ уравнений Максвелла, в которой В = Н и диэлектрическая проницаемость содержит в себе весь линейный отклик, включая и частотную, и пространственную дисперсию. В такой картине в любых средах тройка {к,Е,Н} — правая. В отсутствие поглощения вектор Умова-Пойнтинга 5 = х Н направлен по групповой скорости. Поэтому в непоглощающих левых (правых) средах фазовая скорость отрицательна (положительна) по отношению к групповой скорости. И единственным нетривиальным свойством левого материала является отрицательная по отношению к групповой фазовая скорость электромагнитной волны и как следствие п < 0 в любом диапазоне волн, включая оптические [10]. Левые материалы не нарушают никаких физических законов. Непротиворечивость противонаправленности групповой и фазовой скоростей отмечает и курс Ландау и Лифшица ([11], с. 398).
Из плотности электромагнитной энергии в изо-
тропной среде W = 4-
d(ws) i£i2 , йш I I
d(wft) Щ\2
йш I I
(для
слабозатухающих электромагнитных волн) ([11], гл. IX, § 80) следует, что левые материалы с необходимостью имеют дисперсные проницаемости е(ш) и р,(из). Тогда из соотношений Крамерса-Кронига вытекает, что, коль скоро вещественные е,р<0, проницаемости содержат и мнимые компоненты, из-за которых мнимая часть показателя п = ^Щ1, ведет к затуханию электромагнитных волн. Но всегда можно найти область параметров, при которых возможен левый материал с пренебрежимо малым затуханием электромагнитной волны [12].
Материалы с п < 0 предсказал и пытался обнаружить экспериментально Л. И. Мандельштам [13, 14]. В работе [15] указывалось на возможность реализации одновременно е,р, < 0 в магнитных
полупроводниках, в проводящих ферромагнетиках и в емееи из газовой плазмы и монополей Дирака. В радиоэлектронике давно известны одномерные и двумерные периодические структуры, в которых в микроволновой (СВЧ) и оптической областях направлены навстречу друг другу групповая и фазовая скорости [16]. Успехом увенчался поиск левых сред среди метаматериалов. В работе [17] их предложили изготавливать из тонких металлических проволочек, которые дают е < 0 в определенной области частот, и кольцевых резонаторов с разрезами [18], обеспечивающих ц < 0 в своем диапазоне частот электромагнитной волны. Такую идею в перекрывающейся области частот удалось реализовать в работах [19, 20], с которых начался прорыв в область целого ряда левых материалов в различных диапазонах электромагнитной шкалы. Первые материалы проявляли левые свойства на частотах менее 10 ГГц [21-24]. Затем были предложены фильтры на частотах 0.7 ТГц [25], литографически приготовлены левые материалы на частотах около 1 ТГц [26], методами нанотехнологии получены материалы с ЮОТГц (длина волны 3 мкм) с постоянной квазирешетки от 0.45 до 0.9 мкм [27]. Эксперименты [28, 29] подтвердили противонаправленность фазовой и групповой скоростей в плоскопараллельной пластине из левых материалов.
Искусственные левые материалы анизотропны и не могут быть охарактеризованы скалярными значениями е и ц [30]. Длина распространяющейся в левых материалах электромагнитной волны сравнима с их постоянной решетки, поэтому следует учитывать и периодичность среды. В правых гиротропных средах вращение плоскости поляризации линейно поляризованных электромагнитных волн обусловлено либо особенностями структуры составляющих среду молекул (оптическая активность), либо магнитным полем (круговой дихроизм — эффект Фарадея). Вклады недиагональных гирокомпонент тензоров р и ё в эффект Фарадея могут быть сравнимы (напр., материалы типа желе-зо-иттриевого граната УРвбО^ в ближней ИК-об-ласти спектра [31]). Для левых сред также вначале считалось, что их свойства определены лишь диэлектрической поляризацией, пока в работе [32] не продемонстрировали сильный магнитный отклик левых материалов на электромагнитное излучение диапазона порядка терагерц.
В левых средах такие эффекты, как эффект Доплера, Черенкова-Вавилова, преломления и давления света, меняются на обратные [8]. Но в левых материалах следует ожидать и гиротропные явления, поскольку их свойства определяются асимметричными структурными единицами: кольцами-резонаторами с асимметричными разрезами. В настоящей работе для бигиротропной анизотропной левой среды теоретически изучено вращение плоскости поляризации электромагнитной волны с учетом
периодичности самого материала и оценен вектор Умова-Пойнтинга.
Гиротропную среду охарактеризуем антисимметричными тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей с осью г, направленной вдоль распространения электромагнитной волны:
(
-1 ■ie(z) 0
0\ 0
р = ц
( -1
-im(z) \ 0
ie(z) -1 0 1/
im{z) С -1 С 0
(1)
(е > 0, /л>0).
ч
Недиагональные компоненты в (1) выбраны в виде e(z) = во + е\ eos(qz), m(z) = + m¡ eos(qz), где q = 2ж/а — волновой вектор синусоидальной сверхрешетки вдоль оси z (а — постоянная квазирешетки левого материала); e\,m¡ — параметры модуляции. Знаки на диагоналях выбраны так, чтобы среда в плоскости {ху} проявляла левые свойства.
Из уравнений Максвелла в вышеупомянутой форме EDHB, которая использует напряженности электрических и магнитных полей Е.Н и индукции В, D, следуют уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей электромагнитной волны в рассматриваемом левом материале
c¿
c¿
grad ln p x rot E + grad(i? • grad ln e) = 0, grad ln e x rot H + grad (I/ • grad ln p) = 0.
(2)
(3)
Второе слагаемое в уравнении (2) пропорционально
ерЁ =
e/i
( 1 + ет —i[e(z) + m(z)] 0\ /Ёх\ i[e(z) + m(z)} \+ет 0 Ё,
0 0 1)
{(I + ет)Ёх — i[e{z) + m{z)]Éy\ i[e(z) + т(г)]Ёх + (1 + ет)Ёу 0
у
\
(4)
Здесь компоненты векторов-столбцов соответствуют вторым производным по времени координат электрического поля электромагнитной волны {Ех. £,,.. Е>}. Третье слагаемое в уравнении (2) имеет вид
grad ln р х rot Е = р
lVp х VE = ( mm'El
1
т¿
-im'E'x
■ im'E'y \
■ mm'E'y
(5)
Последнее слагаемое в (2) отсутствует, так как для выбранной геометрии Е • Vine = {Ех,Еу, 0} •
Подставляя (4) и (5) в уравнение (2), получаем систему уравнений для проекций напряженности электрического поля на оси декартовой системы координат
тт'Е' + im'E'„
рн __2_Z._
^ 1
1
т¿
e/i
[(1 + ет)Ёх — i(m + е)Ёу] = 0,
/=., • (6)
mm Ь . — tm Е[,
7" i У л
^У
1
т*-
e/i
[(1 + ет)Ёу + i(m + е)Ёх] = 0.
Аналогичная система получается для напряженности магнитного поля.
Для циркулярно поляризованных волн, Е± = = Ех ± 1Еу, система связанных дифференциальных уравнений (6) сводится к несвязанным уравнениям
п ff У Sin qZ f ^р т| —:-h4
1 т
±
+ ^о[С1 Т ео)(1 Т щ) Т (е1 + щ) cos<72]£± = 0
(e0e¡ + m0m¡ < e¡ + m¡), (7)
где ko = ШуЩм/с. В линейном приближении по малым гиротропным элементам е\,т\ (ср. (1)) уравнения (7) переписываются в виде
E+" + /i+q sin(qz) Е'+ + k+~( 1 cos qz)E± = 0, (8)
где введены обозначения
/iT = Tj
m¡
e\ + m i
Тт0 ' 1те0Тт0 (9)
к^ = ^о \/( 1 =Т= ¿?о) (1 ТЩ) = коу/1 те0тт0-
Каждое из уравнений (8) имеет общий вид дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
d2F
dF
+ uq sin qz ——b k(1 +1 cos qz)F = 0. (10) az¿ dz
Его решаем методом последовательных приближений, пользуясь тем, что в (9) параметры /i, / пропорциональности малым параметрам т\,е\. То есть решение уравнения (10) имеет вид F = Fq + F\ +..., где Eq =Лехр{—ikz}+B exp{ikz} — решение невозмущенного уравнения E¿' + k2Fo = 0, а следующие поправки пропорциональны соответствующим степеням малых параметров /i, / ос т\, е\: ~ p,k,lk. Первую к решению Eq поправку Е\ ос т\, е\ находим из дифференциального уравнения
d2F] dz2
■ k F\ =h(z),
(11)
где h(z) — ipk sin qz ■ Fq — Ik2 eos qz ■ Fq. Неоднородное уравнение (11) с постоянными коэффициентами и переменной правой частью получено путем подстановки Fu + F¡ в (10). Решение уравнения (11) можно найти, зная фундаментальные решения = exp{=p¿fe} однородного невозму-
щенного уравнения [33]:
Fí(z) =
<Р2
<p\h
(Р\(Р>2~<Р\<Р2
dz
<Р\
(p2h
Ч>\Ч>2~ Ч>'\Ч>2
dz + Fi
о-
Тогда для циркулярно поляризованных электромагнитных волн получаем пространственно-зависимые амплитуды напряженности электрического поля Е±(г) = Е± Щг) +
Е±^(г) = ±ае1^к±~^г ± с малыми коэф-
фициентами а = к^-Я*> Ь = ^ТХТ• Проекция напряженности электрического поля Ех(г) = [£, (г) +£_(г)]/2 имеет вид
М0) =Bcos
k+ — к_ 2
= В cos
rji\(k++k-)/2\z r*¿
k+ — k.
-Jk0z £(1)_Q
а проекция
Ey(z) = [£, (г) - EM)\/2l = £,íu> + E™ составлена из слагаемых k+ — к_
£<°>=fisin
:¡i[(k++k-)/2\z
= В sin
k+ — k.
rjik(¡ z
3"-
-B
^m\q — (e\+m\)k ^m\q + (e\+m\)k
2q(2k - q)
2q(2k + q)
x sin qz
.eíhz = B& 2(e¡+m¡)- m¡(q/ko)c¿
q 4 -(q/k0)2
sin qz-e
x
ik(¡Z
В результате находим угол вращения плоскости поляризации электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси г в бигиротропной левой среде
tgí(z)
E¡0)+El»
еР
е0+/и0 2(е\+т\)-т\(д/к0)2 smqz
= -п-Л0гт--]-, ч9-«0-• и А)
2 4 - ^/к0)2 q
Первый член в полученной формуле (12) сходен со стандартным выражением для эффекта Фа-радея в однородной гиротропной «правой» среде. Из второго слагаемого следует, что угол поворота Ф(г) увеличивается при приближении волнового вектора ко к значению ц/2 = ж /а, что сходно с резонансным взаимодействием электромагнитной
волны с периодической гиротропной средой. Заметим, что при реалистических значениях волнового вектора = Цу/щТЩёпериодический ги-ротропный вклад в (12) меняет знак, а в точках г = Ыж/д = Ыа/2 оси г (Ы — целое число) периодический вклад исчезает.
Для пространственно-однородного гиротропного левого материала уравнения Максвелла для электромагнитной волны можно записать в представлении ее волнового вектора к = {0,0,к}. Тогда из уравнений кхЕ = ^В и В = /¡Н следует векторное уравнение
-kEy
kEx \ = 0
Ulß
-Нх + imHy
-imHx - Ну 0
Выраженные из него компоненты напряженности магнитного поля Нх ,: позволяют получить вектор Умова-Пойнтинга
5 = -£хЯ = ------к. (13)
4тт 4жцш 1 — т£
При \т\ < 1 он противонаправлен волновому вектору, как и должно было быть в негиротропной левой среде. Заметим, что гиротропность материала увеличивает поток электромагнитной энергии в 1/(1 -т2).
В настоящей работе теоретически изучен эффект вращения плоскости поляризации электромагнитной волны в гиротропных левых средах в объемной фазе анизотропного левого материала с учетом его периодической квазирешетки. Для реалистических значений постоянной квазирешетки а = 0.45-0.9 мкм левого материала [27] следует ожидать возрастание угла поворота Ф(г) (12) для поляризованных электромагнитных волн с частотами вблизи интервала 150-300 ТГц. Заметим, что в настоящее время получены материалы, оказывающиеся левыми на частотах 150 ТГц, т.е. в ближней инфракрасной области [34]. Представляется возможным и рассмотрение слоистых негиротропных левых сред, в которых следует также ожидать магнитооптические эффекты, как и в негиротропных металлических мульти-слоях [35]. Из результата (13) следует, что в случае \т\ > 1 вектор Умова-Пойнтинга в гиротропной левой среде сонаправлен с волновым вектором бегущей электромагнитной волны в отличие от негиротропных левых сред. Как видно из выражений (9), в бигиротропной среде возможно распространение волн с обеими круговыми поляризациями, с волновыми векторами к± = ^о \/(— 1 ± ео)(—1 ± щ) при условиях |ео| > 1, \то\ > 1 или \е$\ < 1, |/ио| < 1. При этих условиях отдельно в гироэлектрической или гиромагнитной левой среде распространяется лишь одна циркулярно поляризованная волна, тогда как другая, с мнимым волновым вектором, затухает. Поэтому гиротропные левые материалы
бигиротропны. Полученный результат (12) может быть полезен и при наблюдениях поляризованного электромагнитного излучения в межгалактических магнитных полях (эффект Фарадея) с учетом левой среды в релятивистской системе отсчета [36].
Литература
1. Tretyakov S., Nefedov /., Sihvola А. et al. 11 J. Elec-tromagn. Waves and Appl. 2003. 17. P. 695.
2. Pendry J. // Science. 2004. 306. P. 1353.
3. Ramakrishna S.A. 11 Rep. Prog. Phys. 2005. 68. P. 449.
4. Блиох К.Ю., Блиох ЮЛ. 11 УФН. 2004. 174. С. 439.
5. Мандельштам Jl.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., 1972. С. 433.
6. Schuster A. An introduction to the theory of optics. London, 1928 (Шустер А. Введение в теоретическую оптику. Jl.-M., 1935. С. 331).
7. Памятных Е.А., Туров Е.А. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях. М., 2000.
8. Веселаго В.Г. // УФН. 1967. 92. С. 517; ЖЭТФ. 1966. 52. С. 1025.
9. Игнатов A.M., Рухадзе A.A. // УФН. 1981. 135. С. 171.
10. Агранович В.М., Гинзбург В. J1. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория эк-ситонов. М., 1979.
11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1982.
12. McCall M.W., Lakhtakia A., Weiglhofer W.S. 11 Eur. J. Phys. 2002. 23. P. 353.
13. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Т. 5. М„ 1950. С. 461.
14. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Т. 2. М.. 1947. С. 334.
15. Веселаго ВТ. // ФТТ. 1966. 8. С. 3571.
16. Силин P.A. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/ 086.pdf.
17. Pendry J.В., Holden A.J., Stewart W.J., Youngs I. // Phys. Rev. Lett. 1996. 76. P. 4773.
18. Pendry J.В., Holden A.J., Robbins D.J., Stewart W.J. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1999. 47. P. 2057.
19. Smith D.R., Padillia W.J., Vier D.C. et al. 11 Phys. Rev. Lett. 2000. 84. P. 4184.
20. Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. // Science. 2001. 292. P. 77.
21. Shelby R.A., Smith D.R., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. 11 Appl. Phys. Lett. 2001. 78. P. 489.
22. Bayindir M., Ay din K., Ozbay E. et al. 11 Appl. Phys. Lett. 2002. 81. P. 120.
23. Li K., McLean S.J., Gregor R.B. et al. 11 Appl. Phys. Lett. 2003. 82. P. 2535.
24. Smith D.R., Pendry J.В., Wiltshire M.C.K. // Science. 2004. 305. P. 788.
25. Wu D„ Fang N.. Sun C. et al. 11 Appl. Phys. Lett. 2003. 83. P. 201.
26. Yen T.J., Padilla W.J., Fang N. et al. 11 Science. 2004. 303. P. 1494.
27. Linden S., Enkrich С., Wegener М. et al. // Science. 2004. 306. P. 1351.
28. Cummer S.A., Popa B.-I. 11 Appl. Phys. Lett. 2004. 85. P. 4564.
29. Ay din K., Ozbay E., Markosj P., Soukoulis C.M. 11 Appl. Phys. Lett' 2002. 81. P. 120.
30. Lindell I.V., Tretyakov S.A., Nikoskinen K.I. et al. 11 Microwave and Opt. Tech. Lett. 2001. 31. P. 129.
31. Критик Г.С. Физика магнитных явлений. М., 1985.
32. Linden S., Enkrich С., Wegener М. et al. 11 Science 2004. 306. P. 1351.
33. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям. М., 1971. С. 144.
34. Zhang S., Fan W., Panoiu N.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2005. 95. P. 137404-1.
35. Белотелое A.E., Звездин А.К., Котов В.А., Пятаков АЛ. Ц ФТТ. 2003. 45. С. 1862.
36. Mackay T.G., Lakhtakia А. // J. Phys. А. 2004 . 37. P. 5697.
Поступила в редакцию 07.07.05
