Замечание об функциях и ортогональных многочленах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.587

В.М. Галкин, Е.К. Китаева, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева ЗАМЕЧАНИЕ ОБ l — ФУНКЦИЯХ И ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Дается построение систем ортогональных многочленов, связанных с l — функциями Дирихле. При этом коэффициенты многочленов оказываются рациональными числами.

Ключевые слова: вес, ортогональность, непрерывная дробь, характер Дирихле.

Идущий от петербургской математической школы XIX в подход к изучению ортогональных многочленов основывается на разложении [2, 3]

btf№i =_a0_ (1)

a *—t х—b--a_■

X — b2 —

х —...

тг г г 0,(х) Q2 (х) Q3 (х) Qn (х)

Подходящие дроби непрерывной дроби в правой части ) {■> ( v ) {>■■■> ( \ '".

Л(х) P2(х) P3 (х) Pn(х) дают нужную систему ортогональных многочленов P0 (х) = 1, P, (х), р (х),..., Pn (х),... на интервале [a, b] с весом f (х ). В частности, три последовательных многочлена связаны рекуррентным соотношением

. Pn+1 =(х — bn )Pn — anPn—1, n > 1. (2)

Классические ортогональные системы (Лежандра, Эрмита, Чебышева и др.) обладают следующими свойствами:

1. Коэффициенты многочленов есть рациональные числа.

2. Коэффициенты an, bn в (2) также рациональны.

3. Вес f (х) достаточно просто устроен.

Свойства пунктов 1 и 2 обеспечены, если в формальном разложении

bf (t )dt 1,, 1 ,, 1

= -M0 +—M1 +—M2 +... (3)

a х — t х х2 х3

b

моменты Mfc = J tk f (t )dt являются рациональными числами, разложение правой части (3) в

a

непрерывную дробь из (1) производится с помощью простых алгебраических операций. Далее мы показываем, что легко обозримые весовые функции могут быть получены из рассмотрения так называемых L — функций Дирихле.

Приведем основные сведения о l — функциях [1]. При Re5 > 1 l — функция определяется

сходящимся рядом l(s, x) = ^x(n)n 5, в котором функция целочисленного аргумента x(n),

n=1

называемая характером Дирихле, обладает следующими свойствами:

1) функция x(n) периодическая с периодом к ;

2) x(nm)=X(m)X(n);

3) x(n) = 0, если n не взаимно просто с к . В частности, х(0 = 1.

Функция L(s, х) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного перемен-

© Галкин В.М., Китаева Е.К., Ерофеева Л.Н., Лещева С.В., 2016.

ного ^, за исключением, быть может, точки 5 = 1 и для действительно значных характеров удовлетворяет функциональному уравнению

4 - х)=

1

2(2т)-5к 2Г(5)ео8—Ь(5, х), если х(-1) = 1,

Т5

(4)

2(2п)-5к 2 Г(5^т—Ь^, х), если х(-1)= -1.

2

Правда, характер х(п) надо подчинить дополнительному условию - условию первооб-разности. Последнее технически громоздко определяется, но для стандартных теоретико-числовых функций оно выполняется. Под стандартными характерами мы далее понимаем

п—1 .. 1

функции Х-1 (п)=(- с к = 4, Х2 (п)=(- с к = 8, х р (п) =

п2-1

Гп\

Р

с к = р, где

Р )

- сим-

вол Лежандра [4], а также произведения предыдущих.

Напомним, что при п не взаимно простом с к правые части надо положить равными нулю. Ь(5, х)при Яе 5 > 1 допускает интегральное представление

1 ш ш

Ь(5, х) = -^ | ^-1Ф(Г, х)#, где ф(*, х) = 1х(п>. (5)

Г (5) 0

Функция ф(^, х) будет в дальнейшем служить «прототипом» весовой функции системы ортогональных многочленов.

Периодичность х(п) позволяет просуммировать ряд для ф(^, х):

/ ч к-1 х(п >

Лемма. Функция ф(^, х) четна при х(-1) = -1 и нечетна при х(-1) = 1 •

Доказательство мы опускаем, поскольку в конкретных примерах это свойство функции ф(^, х) легко проверяется.

к -1

Если характер х(п) первообразный, то 1х(п) = 0 и ф(^, х) регулярна в точке I = 0, т.е.

п=1

может быть разложена в степенной ряд. Более того, значения х(п) есть 0, ± 1, а потому степенной ряд имеет рациональные коэффициенты.

Эти коэффициенты выражаются через значения Ь - функций в силу следующего утверждения.

Предложение

ш (

ф{их)= I1-Ь(-т,хУ • (6)

т=0 т!

Доказательство. Наиболее короткий путь состоит в использовании расходящихся рядов и суммирования их по Абелю [6], надо просто разложить экспоненту в ф(^, х) в степенной ряд и после этого подсчитать коэффициент при 1т в ф(^, х).

Перейдем теперь к построению ортогональных систем многочленов. Интервал, на котором определяется весовая функция, возьмем равным (- да,+да). Весовую функцию 0(х, х) определяем равенствами

ф( Тхх)для х(-1)=-11

х ! 2т

Ж \ ~к

е(х, х)=

ф!-^Xх 1 для х(-1)=1.

1

Заметим, что в обоих случаях вес - четная функция, а потому моменты нечетного порядка равны нулю.

Вычисление моментов четного порядка проведем лишь для первого случая, когда х(-1) = -1. Для второго случая приведем только результат, поскольку, по существу, дублируются вычисления для первого случая.

Итак, пусть х(-0 = — 1, т.е. ф(х,х)- четная функция. При т четном функциональное уравнение (4)дает

Ь(- т, х) = 2(2*)^ уТ2 Г (т + 1)зт ^^ Ь{т +1, х).

Пользуясь равенством (5), преобразуем правую часть к виду

2

2л ~k

-m-1

1 ад

(- l)f | t>(t, x)dt.

2л

Замена переменной интегрирования t = — r дает тогда

k

m m

L(- m, x) = 2(-1)2 J rmö(r, x)dr =(- 1)2Mm.

0

Таким образом, моменты могут быть найдены из разложения (6).

т+1

(-т, х) = 1-1)

В случае х(-1) = 1, оказывается, что для т нечетного Ь(— т,х) = (-1) 2 Мт_ 1, т.е. вновь моменты находятся из разложения (6).

В заключение приведем несколько примеров, иллюстрирующих изложенное. Предварительно отметим, что при четном весе и симметричном интервале интегрирования в (1) коэффициенты Ьт обращаются в нуль и Рп (- х) = (- 1)пРп (х)[2]. Рекуррентное соотношение принимает вид

Рп+1 (х) = Р(х)-апРп_х(х), Ро = 1, р = х.

Пример 1. x =Хз, k = 3 .

n 1 2 3

x(n) 1 -1 0

1 1 2 1 4 7 6 809 8

• =---х2 + — х4--х6 +-х8 -....

1 + 2ch х 3 9 36 1080 54432 Здесь первые члены последовательности {ап} таковы

2 7 36 572 1400 2907

3 3 7 63 99 113 Полученные значения можно записать в виде а = П

2 (9n2 -1) 4(4n2 -1) .

Пример 2. x = x-1, k = 4.

2епх

n 1 2 3 4

x(n) 1 0 -1 0

n

В [7] показано, что аи = —.

Пример 3. х=Х5, k = 5 .

п 1 2 3 4 5

x(n ) 1 -1 -1 1 0

/ ч 2shx

ф(х х)=-

1 + 2ch x + 2ch2x Здесь первые члены последовательности {ап} таковы

15 42 108 88 152 5967 8758 476520 640125 5237284 ' ' 5 ' 5 ' 3 ' 3 ' 95 ' 95 ' 4379 ' 4379 ' 31295 :

Пример 4. Х = Х2, k = 8.

n 1 2 3 4 5 6 7 8

x(n ) 1 0 -1 0 -1 0 1 0

/ \ sh x

Ф(Х Х)=-

ch2x

Первые члены последовательности {ап }имеют вид

240 585 4928 8267 1338480 1926985 107933952 142959495 ' 11 ' 11 ' 65 ' 65 ' 8267 ' 8267 ' 385397 ' 385387 :

Пример. 5х = Х-2,k = 8 .

n 1 2 3 4 5 6 7 8

x(n ) 1 0 1 0 -1 0 -1 0

ch x

ф(х Х)=-

еЬ 2 х

Для \ап } получены значения 3, 16,35,64,99,144,255,324,....

14п2 -1, при п нечетном, По-видимому ап = < 2

[4п , при п четном.

Сделаем некоторые замечания по приведенным примерам.

В примерах 3 и 4 авторам не удалось даже установить закон образования членов последовательности.

В примерах 1, 2 и 5 закон подобрать удалось, но строгим доказательством авторы располагают лишь для примера 2. С его структурой можно ознакомиться в [7], где разбираются

х

многочлены с весом

, ш sh —

Библиографический список

1. Чудаков, Н.Г. Введение в теорию l — функций Дирихле / Н.Г.Чудаков. - М.: ОГИЗ, 1947.

2. Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. - М., 1962.

3. Чебышев, П.Л. Избранные математические труды / П.Л. Чебышев. - М.-Л., 1946.

4. Хассе, Г. Лекции по теории чисел / Г. Хассе. - М., 1953.

5. Харди, Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. - ИЛ, М. 1951.

6. Galkin, V.M. Orthogonal polynomials associating with Cauchy distribution / V.M. Galkin, L.N. Erofeeva, S.V. Lescheva // Научные исследования и их практическое применение // Современное состояние и пути развития 2014: материалы Межд. научно-практической конференции: сб. науч. тр. SWorld. 2014. Вып. 3(36). Т. 2. С. 83-85.

2

7. Галкин, В.М. Ортогогальная система многочленов с весом х / В.М. Галкин [и др.] // Тру, жх sh — 2

ды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2015. №2(109). С. 256-260,

Дата поступления в редакцию 13.10.2016

V.M. Galkin, E.K. Kitaeva, S.V. Lescheva, L.N. Erofeeva A NOTE ON L-FUNCTIONS AND THE ORTHOGONAL POLYNOMIALS

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The series of systems of orthogonal polynomials are constructed. The coefficients of these polynomials are integers.

Design/methodology/approach: For a building taken approach based on application of the continued fraction and theory of moments.

Findings: The built polynomials are new. There some natural questions that require further researches. Research/limitations/implications: There are some unresolved questions. Originality/value: Unexpected connections with the analytic number theory are found out.

Key words: weight, orthogonality, continued fraction, Dirichlet character.